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2023-2024 学年上海市浦东新区部分学校联考八年级（上）期末数学
试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分）
1. 下列二次根式中最简二次根式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用最简二次根式的定义判断即可得到正确的选项．
【详解】解：A、 可化为 ，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、 可化为 ，不是最简二次根式，故本选项错误；
C、 可化为 ，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、 是最简二次根式，故本选项正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了最简二次根式以及二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的判断方法是解答本题的
关键．
2. 在下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
.
A 和 B. 和 C. 和 D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 ＝2 ，故 和 不是同类二次根式，不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司B、 ＝2 ，故 和 是同类二次根式，符合题意；
C、 = ，故 和 不是同类二次根式，不符合题意；
D、 和 不是同类二次根式，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，解
题的关键是掌握如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3. 下列函数中，y随着x的增大而减小的是（ ）
A. y=3x B. y=﹣3x C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：A、y=3x，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
B、y=﹣3x，y随着x的增大而减小，正确；
C、 ，每个象限内，y随着x的增大而减小，故此选项错误；
D、 ，每个象限内，y随着x的增大而增大，故此选项错误；
故选B．
考点：反比例函数的性质；正比例函数的性质．
4. 某厂今年十月份的总产量为500吨，十二月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是 ，则可以列
出方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据经过两个月的增长，产量从500吨增长到720吨列方程即可．
【详解】解：设平均每月的增率是x，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得：500（1＋x）2＝720；
故选：B．
【点睛】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为 a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过
两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b（当增长时中间的“±”号选“＋”，当降低时中间的“±”号选“−”）．
5. 下列命题是真命题的个数为（ ）
①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．
②三角形的内角和是180°．
③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．
④相等的角是对顶角．
⑤两点之间，线段最短．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．
【详解】解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，
∴①错误；
∵三角形的内角和是180°，∴②正确；
∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；
∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；
∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；
∴真命题为②③⑤，
故选B ．
【点睛】本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来
判断命题是真命题还是假命题是解题关键．
6. 如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型是我国古代数学家赵爽的《勾股弦图》，它
是由四个全等的直角三角形拼接而成，如果大正方形的面积是18，直角三角形的直角边长分别为a、b，且
a2＋b2＝ab＋10，那么小正方形的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由正方形1性质和勾股定理得 ，再由 ，得 ，则 ，
即可解决问题．
【详解】解：设大正方形的边长为 ，
大正方形的面积是18，
，
，
，
，
，
小正方形的面积 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及完全平方公式等知识，解题的关键是求出 ．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7. 计算： ＝______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】解： ；
为
故答案 ．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，属于基础题目，熟练掌握运算法则是关键．
8. 化简： ＝______________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质，利用二次根式的性质进行化简．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴原式 ．
故答案为：
9. 已知 是方程 的一个根，那么m=_________．
【答案】
【解析】
【分析】将 代入方程 ，即可得到答案.
【详解】把x=3代入 得9-6+m=0，解得m=-3.故答案为-3.
【点睛】本题考查是有关一元二次方程的应用和一元一次方程的解法，解题的关键是熟悉有关一元二次方
程的应用和一元一次方程的解法，要能够熟练灵活的应用.
10. 在实数范围内分解因式： =____________．
【答案】
【解析】
【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
【详解】令x2−3x−2=0，
则a=1，b=−3，c=−2，
∴x= =
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学科网（北京）股份有限公司∴x2−3x−2= .
故答案为 .
【点睛】本题考查实数范围内分解因式，解题的关键是掌握实数范围内分解因式.
11. 函数 的定义域为_________________．
【答案】x＞5
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得：x−5＞0，
解得x＞5，
故答案为：x＞5.
【点睛】本题考查求函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可
取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，
被开方数为非负数．
12. 已知反比例函数 的图像有一支在第二象限，那么常数 的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由函数图象有一支在第二象限，可得 <0，解上步得到的不等式即可得到m的取值范围.
【详解】由反比例函数的图象有一支在第二象限，可得 <0，解得 .
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质.
13. 已知直角坐标平面上点P(3,2)和Q(-1,5)，那么PQ=____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】∵P(3,2)和Q(-1,5)，
∴PQ= =5.
【点睛】本题考查两点间的距离公式，解题的关键是掌握两点间的距离公式.
14. “有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是_____命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【解析】
【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明后即可得到该命题为真命题．
【详解】已知： ABC和 A′B′C′中,∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠B、∠B′的角平分线,BD=B′D′，
求证： ABC≌△△A′B′C′.△
证明：△∵∠B=∠B′且∠B、∠B′的角平分线分别为BD和B′D′，
∴∠ABD=∠A′B′D′= ∠B，
∵BD=B′D′,∠A=∠A′，
∴△ABD≌△A′B′D′，
∴AB=A′B′，
∵∠A=∠A′,∠B=∠B′，
∴△ABC≌△A′B′C′.
∴“有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”是真命题，
故答案为真.
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题证明的基本步骤.
15. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，AD=4，CD=2，那么∠A=____度．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，根据角平分线性质求出 ，然
后通过证明 是等边三角形得出 ，由三角形内角和定理即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】证明：过点D作DE⊥AB于E，取A、D的中点F，连接EF，则 ，
∵ ，
∴ ,
∵EF是 的中线，
∴ ，
∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD=2，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴
故答案为：30．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线性质的应用及直角三角形斜边上的中线，解题的关键是
做辅助线证明 是等边三角形，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
.
16 如图， 垂直平分 垂直平分 ，若∠ ，则 _______度．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】40
【解析】
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角等知识点，根据三角形内角和
定理得到 ，根据线段垂直平分线的性质得到 ， ，根据等边对等角得
到 ， ， 进 而 得 到 ， 则
．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
同理可得： ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：40．
17. 在 ABC中，AD是BC边上的中线，AD⊥AB，如果AC=5，AD=2，那么AB的长是________．
【答案△】3
【解析】
【分析】过点C作CE∥AB交AD延长线于E，先证△ABD≌△ECD（AAS），求出AE=2AD=4，在
Rt△AEC中， 即可．
【详解】解：过点C作CE∥AB交AD延长线于E，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∵AD⊥AB，CE∥AB，
∴AD⊥CE，∠ABD=∠ECD，
∴∠E=90°，
在△ABD和△ECD中
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学科网（北京）股份有限公司，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴AB=EC，AD=ED=2，
∴AE=2AD=4，
在Rt△AEC中， ，
∴AB=CE=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性
质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等．
18. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C
的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于______．
【答案】12或
【解析】
【分析】根据题意可知，需要分两种情况， ， ，画出对应的图形，再根据折
叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解．
【详解】解：①当 时，如图，
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学科网（北京）股份有限公司此时，四边形 是正方形，
则 ，
又 是等腰直角三角形，
属于 ，
所以 ；
②当 时，如图，
设 ，则 ， ，
由折叠可知， ，
由题意可知， ，
，
，
即 是等腰直角三角形，
， ，
，
，
解得 ，
．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：12或 ．
【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的
关键是学会用分类讨论的思想解决问题．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，共24分）
19. 计算：
【答案】4
【解析】
【分析】先进行分母有理化，计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减.
【详解】解：原式
.
【点睛】本题考查二次根式的运算，熟练掌握分母有理化和二次根式运算法则是解题关键.
20. 解方程：
【答案】 ，
【解析】
【分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解： ，
，
，
解得 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司所以方程的解是 ， ．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解的技巧是解题的关键．
21. 关于 的一元二次方程 ，其根的判别式的值为 ，求 的值及这个方程的根．
【答案】m＝－2； ， .
【解析】
【分析】根据根的判别式 ＝b2−4ac＝9，求得m的值；进而得到原方程，再解方程求出方程的根即可．
【详解】解：由题意得：△（2m-1）2−4×m2＝9，
解得m＝－2，
当m＝－2时，原方程为： ，
解得： ， .
【点睛】本题考查根的判别式以及解一元二次方程，熟知根的判别式 ＝b2−4ac是解题关键．
△
22. 已知： ，并且 与 成正比例， 与 成反比例．当x=2时，y=5；当 时，
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）求当 时的函数值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据正比例关系、反比例关系可设 ，再将两组 的值代入求解即可得；
（2）将 代入函数解析式即可得．
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学科网（北京）股份有限公司【小问1详解】
解：由题意可设 ，
则 ，解得 ，
则 ，即 ．
【小问2详解】
解：当 时， ．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，熟练掌握待定系数法是解题关键．
四、解答题：（本大题共3题，第23题6分，第24题8分，第25题8分，共22分）
23. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AB中点，ED∥BC，且与∠ABC的平分线BD交于点
D，联结AD．
（1）求证：AD⊥BD；
（2）记BD与AC的交点为F，求证：BF＝2AD．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的性质可得 ，由等腰三角形的性质和三角形内
角和定理可得 ，可证 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ，由“ ”可证 ，可得
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学科网（北京）股份有限公司．
【小问1详解】
解：证明： 为 中点，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：延长 ， 交于点 ，
在 和 中，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加恰当辅助线构
造全等三角形．
24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正比例函数 的图像与反比例函数 的
图像都经过点A（2，m）．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点B在 轴的上，且OA=BA，反比例函数图像上有一点C，且∠ABC=90°，求点C坐标．
【答案】（1）反比例函数的解析式为： ；（2）点C坐标为（4， ）.
【解析】
【分析】（1）将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，可得点A的完整坐标，再将点A代入反比例函
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学科网（北京）股份有限公司数的解析式求出k即可；
（2）过点A作AD垂直OB于D，根据等腰三角形三线合一可得OD=BD，求出B点坐标，利用两点间距
.
离公式表示出AB、BC和AC，根据∠ABC=90°利用勾股定理列出方程，解方程即可解决问题
【详解】解：（1）将点A（2，m）代入 ，得： ，
∴A（2， ），
将点A（2， ）代入 得： ，
∴ ，
∴反比例函数的解析式为： ；
（2）过点A作AD垂直OB于D，
∵OA=BA，
∴OD=BD，
∵A（2， ），
∴OD=2，
∴OB=4，即B（4，0），
设点C坐标为（a， ），
则 ， ，
，
∵∠ABC=90°，
∴ ，即 ，
整理得： ，
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学科网（北京）股份有限公司解得：a=4或-3，
经检验，a=4或-3均是分式方程的解，
∵x＞0，
∴a=4，
∴点C坐标为（4， ）.
【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征、
等腰三角形的性质、两点间距离公式、勾股定理以及解分式方程和一元二次方程等知识，灵活运用相关知
识进行推理计算是解答本题的关键.
25. 如图，在△ABC中，AC＝2 ，AB＝4 ，BC＝6，点P为边BC上的一个动点（不与点B、C重
合），点P关于直线AB的对称点为点Q，联结PQ、CQ，PQ与边AB交于点D．
（1）求∠B的度数；
（2）联结BQ，当∠BQC＝90°时，求CQ的长；
（3）设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域．
【答案】（1）30° （2）
（3）y＝ （0＜x＜6）
【解析】
的
【分析】（1）由勾股定理 逆定理可得出 ，由直角三角形的性质可得出答案；
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学科网（北京）股份有限公司（2）求出 ，由直角三角形的性质得出 ．由勾股定理可得出答案；
（3）过点 作 于点 ，证明 为等边三角形，由勾定理得出 ，则
可得出答案．
【小问1详解】
解： ， ， ，
， ，
，
，
，
；
【小问2详解】
解： 点 关于直线 的对称点为点 ，
垂直平分 ，
，
，
，
，
，
，
．
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学科网（北京）股份有限公司；
【小问3详解】
解：过点 作 于点 ，
， ，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
， ，
，
关于 的函数解析式为 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称
的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
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学科网（北京）股份有限公司
