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2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）
1．（2分）化简： ＝ ．
2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是 ．
3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为
．
4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝ ．
5．（2分）函数 中自变量x的取值范围是 ．
6．（2分）已知函数 ，那么f（6）＝ ．
7．（2 分）如果直线 y＝（2k﹣3）x 经过第二、四象限，则 k 的取值范围是
．
8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率
是x ．
9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 ．
10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是 ．
11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距
离等于 ．
12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，AC＝8，那么BC＝
．
13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，且AD⊥BD，∠DAC＝
20°，那么∠BAD＝ °．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，点D是AC边中点，将△ABC沿某直线翻
折使得点B与点D重合，交边AB于点F，那么BE的长为 ．
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学科网（北京）股份有限公司二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 和3 B． 和 C． 和 D． 和
16．（3分）若点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ）都在反比例函数 （k＜0）的
1 2 3
图象上，则有（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2
17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（ ）
A．ax2﹣x+2＝0 B． x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣m＝0 D．x2﹣mx﹣1＝0
18．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线
D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）计算： ．
20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．
21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边中点，延长CD至点E
，联结BE，当 时，求∠DBE的度数．
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学科网（北京）股份有限公司22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程 s（m）
与时间t（min）
（1）兔子在比赛中睡觉的时间为 分钟；
（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时 分
钟；
（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点（m）与时间t（min）的
函数关系式．
四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分
36分）
23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括
六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图（场地间空隙忽略不计），
预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息
24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分线段AD．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．
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学科网（北京）股份有限公司25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数 图象
都经过点A（﹣1，a）．
（1）求k的值；
（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．
①求AB的长；
②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为 时，求点C的坐标．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，垂足为点E．
（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，求BC的长；
（2）已知CD＝BC，
①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；
②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，且点G是CF中点时，求 的
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学科网（北京）股份有限公司值．
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学科网（北京）股份有限公司2023-2024学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本题共14小题，每小题2分，满分28分）
1．（2分）化简： ＝ 2 x y ．
【分析】根据限制条件“x＞0，y＞0”及二次根式的性质与化简解答．
【解答】解：由题意可知y＞0，x＞0，
∴ ＝5|x|•y ＝ ，即 ＝7xy ；
故答案为：2xy ．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简．二次根式的化简： ＝
．
2．（2分）一元二次方程x2+x＝0的根是 x ＝ 0 ， x ＝﹣ 1 ．
1 2
【分析】提公因式得到x（x+1）＝0，推出x＝0，x+1＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：x2+x＝0，
x（x+4）＝0，
x＝0，x+3＝0，
x ＝4，x ＝﹣1，
1 2
故答案为：x ＝0，x ＝﹣3．
6 2
【点评】本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程，因式分解等知识点的理解
和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
3．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的根的判别式的值为﹣4，则m的值为
5 ．
【分析】根据判别式的值，构建方程求解．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝5的根的判别式的值为﹣4，
∴16﹣4m＝7，
∴m＝5．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：5．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
4．（2分）在实数范围内分解因式：x2﹣2x﹣1＝ （ x ﹣ 1+ ）（ x ﹣ 1 ﹣ ）． ．
【分析】先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣4，
＝x2﹣2x+3﹣2，
＝（x﹣1）2﹣2，
＝（x﹣1+ ）（x﹣1﹣ ）．
故答案为：（x﹣3+ ）（x﹣1﹣ ）．
【点评】本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或平分差
的形式，然后利用公式法进行因式分解．
5．（2分）函数 中自变量x的取值范围是 x ≠﹣ 1 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≠0，
解得：x≠﹣6，
故答案为：x≠﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记分式的分母不为零是解题的
关键．
6．（2分）已知函数 ，那么f（6）＝ ．
【分析】将x＝6代入该函数解析式进行计算可得此题结果．
【解答】解：∵ ，
∴f（6）＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查求函数值，理解题中函数关系式是解答的关键．
7．（2分）如果直线y＝（2k﹣3）x经过第二、四象限，则k的取值范围是 k ＜ ．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据反比例函数的性质得2k﹣3＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得2k﹣3＜2，
解得k＜ ．
故答案为：k＜ ．
【点评】本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，熟知正比例函数 y＝kx
（k≠0）中，当k＜0时函数的图象在二、四象限是解答此题的关键．
8．（2分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为y元，每次提价的百分率
是x y ＝ 10 0 （ 1+ x ） 2 ．
【分析】利用经过两次提价后的价格＝原价×（1+每次提价的百分率）2，即可得出y与
x之间的函数关系式．
【解答】解：依题意得y＝100（1+x）2，
故答案为：y＝100（5+x）2．
【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y
与x之间的函数关系式是解题的关键．
9．（2分）“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 有两个内角互余的三角形是直
角三角形 ．
【分析】根据互逆命题的概念解答即可．
【解答】解：直角三角形的两个锐角互余的逆命题是有两个内角互余的三角形是直角三
角形，
故答案为：有两个内角互余的三角形是直角三角形．
【点评】本题考查的是命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题
的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．
其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
10．（2分）到点A的距离等于5cm的点的轨迹是 以点 A 为圆心，以 5 cm 为半径的圆 ．
【分析】圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的
距离等于5cm的点的集合是圆．
【解答】解：根据圆的定义可知，到点A的距离等于5cm的点的集合是以点A为圆心．
故答案为：以点A为圆心，5cm为半径的圆．
【点评】本题主要考查了圆的定义，正确理解定义是关键．
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学科网（北京）股份有限公司11．（2分）如果点A的坐标为（2，﹣1），点B的坐标为（5，3），那么A、B两点的距
离等于 5 ．
【分析】根据两点间的距离公式计算即可．
【解答】解：由两点间的距离公式得，AB＝ ，
故答案为：5．
【点评】本题考查两点间的距离公式，两点A（x ，y ），B（x ，y ），则这两点间的
1 1 2 2
距离为AB＝ ．
12．（2分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边的中线，AC＝8，那么BC＝ 6
．
【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质可得 AB＝10，然后再利用勾股定理进行
计算，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∴BC＝ ＝ ＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，熟练掌握直角三角形斜边上
的中线性质，以及勾股定理是解题的关键．
13．（2分）如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，且AD⊥BD，∠DAC＝
20°，那么∠BAD＝ 5 8 °．
【分析】先根据AD⊥BD得出∠ADB＝90°，故可得出∠BAD+∠ABD＝90°，再由三角形
内角和定理得出∠DBC的度数，由角平分线的定义得出∠ABC的度数，进而得出∠BAD
的度数．
【解答】解：∵AD⊥BD，∠DAC＝20°，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
第9页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∵∠BAC+∠C+∠ABC＝180°，即∠BAD+∠DAC+∠C+∠ABD+∠DBC＝180°，
∴（∠BAD+∠ABD）+∠DAC+∠C+∠DBC＝180°，即90°+20°+38°+∠DBC＝180°，
∴∠DBC＝32°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠DBC＝32°，
∴∠BAD＝90°﹣32°＝58°．
故答案为：58．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
14．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，点D是AC边中点，将△ABC沿某直线翻
折使得点B与点D重合，交边AB于点F，那么BE的长为 ．
【分析】过A作AH⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，根据等腰三角形的性质得到∠B＝
∠C＝30°，BC＝2BG，求得AG＝ AB＝2，根据勾股定理得到BG＝ ＝2
，求得BC＝2BG＝4 ，得到CH＝ ＝ ，设BE＝x，根据线段垂直
平分线的性质得到DE＝BE＝x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过A作AH⊥BC于G，过D作DH⊥BCH，
∵AB＝AC＝4，
∴∠B＝∠C＝30°，BC＝2BG，
∴AG＝ AB＝2，
∴BG＝ ＝2 ，
∴BC＝2BG＝4 ，
∵点D是AC边中点，
∴CD＝ AC＝4，
第10页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∴DH＝ ，
∴CH＝ ＝ ，
设BE＝x，
∵将△ABC沿某直线翻折使得点B与点D重合，
∴EF垂直平分BD，
∴DE＝BE＝x，
∴ ＝3 ，
∵DE4﹣DH2＝EH2，
∴x5﹣12＝（7 ﹣x）2，
解得x＝ ，
∴BE的长为 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，勾股定理，正确地找
出辅助线是解题的关键．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
15．（3分）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A． 和3 B． 和 C． 和 D． 和
【分析】根据同类二次根式的概念，化简后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，
【解答】解：A、 和3 ，错误；
B、 和 不是同类二次根式；
第11页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司C、 和 是同类二次根式；
D、 和 不是同类二次根式；
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方
数相同的根式称为同类二次根式．
16．（3分）若点（﹣2，y ）、（﹣1，y ）、（1，y ）都在反比例函数 （k＜0）的
1 2 3
图象上，则有（ ）
A．y ＞y ＞y B．y ＞y ＞y C．y ＞y ＞y D．y ＞y ＞y
1 2 3 3 1 2 2 1 3 1 3 2
【分析】先根据反比例函数y＝ 中k＜0判断出函数图象所在的象限，再得出在每一象
限内函数的增减性，再根据三点横坐标的值即可判断出y ，y ，y 的大小．
1 2 3
【解答】解：∵反比例函数y＝ 中k＜0，
∴函数图象的两个分支位于二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣7＜0，
∴y ＞y ＞0，
2 7
∵1＞3，
∴y ＜0，
3
∴y ＞y ＞y ．
5 1 3
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17．（3分）下列关于x的一元二次方程定有实数解的是（ ）
A．ax2﹣x+2＝0 B． x2﹣2x+1＝0
C．x2﹣x﹣m＝0 D．x2﹣mx﹣1＝0
【分析】分别求出每个一元二次方程根的判别式Δ与0的关系，进而选择正确的选项．
【解答】解：A、ax2﹣x+2＝3，Δ＝1﹣8a 时，△≥0，故此选项不符合题意；
第12页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司B、 x2﹣2x+3＝0，Δ＝4﹣8 ，所以原方程没有实数解；
C、x2﹣x﹣m＝8，Δ＝1+4m 时，△≥0，故此选项不符合题意；
D、x7﹣mx﹣1＝0，Δ＝m7+4＞0，所以原方程一定有实数解；
故选：D．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程根的
情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
18．（3分）下⇔列说法中正确的是（ ）
A．“对顶角相等”没有逆命题
B．有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
C．以AB为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是线段AB的垂直平分线
D．有两组边分别相等的两个直角三角形全等
【分析】根据对顶角的性质、全等三角 的判定定理，等腰三角形的性质判断即可．
【解答】解：A、“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”；
B、有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
C、以AB为底边的等腰三角形顶点C的轨迹是线段AB的垂直平分线（底边的中点除
外）；
D、有两组边分别相等的两个直角三角形不一定全等；
故选：B．
【点评】本题考查的是轨迹，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做
假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
三、简答题（本大题共4小题，每小题6分，满分24分）
19．（6分）计算： ．
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式＝4 ﹣（ ﹣ +
第13页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司＝4 ﹣ + + +
＝6 ．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关
键．
20．（6分）用配方法解3x2﹣2x﹣1＝0．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【解答】解：3x2﹣5x﹣1＝0，
移项得2x2﹣2x＝8，
二次项系数化成1得 ，
配方得 ，即
∴ ，
解得， ．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到
等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的
平方．
21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边中点，延长CD至点E
，联结BE，当 时，求∠DBE的度数．
【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得CD＝ AB＝BD＝4，则 ＝ BD＝
2，再由勾股定理的逆定理得△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝8，
第14页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∴CD＝ AB＝BD＝4，
∴ ＝ BD＝6，
∵BE＝2 ，
∴DE4+BE2＝BD2，
∴△BDE是直角三角形，且∠E＝90°，
∵DE＝ BD，
∴∠DBE＝30°，
即∠DBE的度数为30°．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理的逆定理以及含 30°角的
直角三角形的判定等知识，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和勾股定理的逆定理
是解题的关键．
22．（6分）龟兔赛跑是同学们熟悉的寓言故事，乌龟和兔子在比赛过程中的路程 s（m）
与时间t（min）
（1）兔子在比赛中睡觉的时间为 6 分钟；
（2）已知兔子在OB段和CD段的速度保持一致，则兔子完成比赛共用时 1 1 分钟；
（3）在（2）的条件下，已知乌龟比兔子提前1分钟到达终点（m）与时间t（min）的
函数关系式．
【分析】（1）计算点C和B的横坐标之差即可；
（2）利用速度＝ ，求出OB段的速度，再利用时间＝ ，求出CD段所用的
时间，进而求出完成比赛一共用的时间；
（3）根据题意，求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可．
第15页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司【解答】解：（1）兔子在比赛中睡觉的时间为8﹣2＝4（m），
故答案为：6．
（2）兔子的速度为 ＝20（m/min） ＝2（min），
∴兔子完成比赛共用时8+3＝11（min），
故答案为：11．
（3）由题意可知，乌龟完成比赛用时11﹣5＝10（min），
∴点A的坐标为（10，100）．
当0≤t≤10时，设乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式为s＝
kt，100）代入，
得10k＝100，解得k＝10，
∴乌龟在比赛过程中路程s（m）与时间t（min）的函数关系式s＝10t（0≤t≤10）．
【点评】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键．
四、解答题（本大题共4小题，第23、24题，每题8分；第25、26题，每题10分；满分
36分）
23．（8分）学校体育组准备在操场上划出一块长方形区域开展跳绳比赛，比赛区域包括
六块相同的跳绳场地及预留道路，如图是比赛区域的规划图（场地间空隙忽略不计），
预留道路的宽度为4米，比赛区域的总面积为144平方米．请你根据以上信息
【分析】设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，比赛区域的长为2x+4+2x＝
（4x+4）米，宽为3x米，根据比赛区域的总面积为144平方米，可列出关于x的一元二
次方程，解之可得出x的值，再将其符合题意的值分别代入（4x+4）及3x中，即可求出
结论．
【解答】解：设跳绳场地的宽为x米，则跳绳场地的长为2x米，宽为3x米，
根据题意得：（5x+4）•3x＝144，
整理得：x7+x﹣12＝0，
解得：x ＝5，x ＝﹣4（不符合题意，舍去），
1 2
第16页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司∴6x+4＝4×5+4＝16（米），
3x＝3×3＝9（米）．
答：比赛区域的长是16米，宽是5米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解
题的关键．
24．（8分）已知：如图，点E在BC上，∠B＝∠C＝90°，EF垂直平分线段AD．
（1）求证：AE⊥DE；
（2）联结BF、CF，求证：△BFC是等腰直角三角形．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理，线段垂直平分线的性质，垂直的定
义即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵EF垂直平分线段AD，
∴EA＝ED，
在Rt△ABE和Rt△ECD中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ECD（HL），
∴∠BAE＝∠CED，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠CED+∠AEB＝90°，
∴∠AED＝180°﹣（∠CED+∠AEB）＝90°，
∴AE⊥DE；
（2）延长BF交CD的延长线于G，
第17页（共24页）
学科网（北京）股份有限公司由（1）知，Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴BE＝CD，AB＝CE，
∴BC＝BE+CE＝AB+CD，
∵∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠ABF＝∠G，
在△ABF与△DGF中，
，
∴△ABF≌△DGF（AAS），
∴DG＝AB，BF＝FG，
∴CD+DG＝CG＝BC＝AB+CD，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CF⊥BG，∠CBF＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌
握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
25．（10分）在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x和反比例函数 图象
都经过点A（﹣1，a）．
（1）求k的值；
（2）点B是y轴上一点，且∠BAO＝90°．
①求AB的长；
②如果点C在直线OA上，当△ABC的面积为 时，求点C的坐标．
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）把A（﹣1，a）代入y＝﹣2x求得A（﹣1，2），把A（﹣1，2）代入
得到k＝﹣2；
（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，设B（0，m），根据勾股定理得到结论；
（3）设C（a，﹣2a），根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：（1）∵正比例函数y＝﹣2x和反比例函数 图象都经过点A
（﹣2，
∴a＝﹣2×（﹣1）＝6，
∴A（﹣1，2），
∴7＝ ，
∴k＝﹣2；
（2）如图，过A作AH⊥y轴于H，
∴AH＝8，OH＝2，
设B（0，m），
∴BH＝m﹣5，
∵AO2＝15+22＝3，
∴AB2＝OB2﹣AO7＝AH2+BH2，
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学科网（北京）股份有限公司∴m5﹣5＝1+（m﹣4）2，
解得m＝2.2，
∴OB＝ ，
∴AB＝ ＝ ；
（3）∵点C在直线OA上，
∴设C（a，﹣2a），
∵∠BAO＝90°，
∴S△ABC ＝ ＝ × × ＝ ，
解得a＝﹣ 或a＝﹣ ，
∴点C的坐标为（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面
积公式，勾股定理，正确地画出图形是解题的关键．
26．（10分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AC上一点，垂足为点E．
（1）如图1，点E是AB的中点，CD＝DE，求BC的长；
（2）已知CD＝BC，
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学科网（北京）股份有限公司①如图2，联结CE，求证：CE平分∠BED；
②如图3，延长DE至点F，联结CF交线段AB于点G，且点G是CF中点时，求 的
值．
【分析】（1）连接BD，利用线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质和全等三角形
的判定与性质解答即可；
（2）①过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，交DE的延长线于点G，利用直
角三角形的性质，全等三角形的判定与性质和正方形的判定与性质解答即可；
②过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，交DE的延长线于点M，利用①的
结论，全等三角形的判定与性质，平行线的性质解答即可得出结论．
【解答】（1）解：连接BD，如图，
∵DE⊥AB，AE＝BE＝ ，
∴DE为AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
在Rt△ADE和Rt△BDC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△BDC（HL），
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学科网（北京）股份有限公司∴AE＝BC＝8．
答：BC的长为3．
（2）①证明：过点C作CF⊥AB于点F，过点C作CG⊥DE，如图，
∵CF⊥AB，CG⊥DE，
∴四边形CGEF为矩形，
∴∠GCF＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠GCD+∠DCF＝∠DCF+∠FCB＝90°，
∴∠DCG＝∠BCF．
在△DGC和△BFC中，
，
∴△DGC≌△BFC（AAS），
∴CG＝CF，
∴矩形CGEF为正方形，
∴∠DEC＝∠BEC＝45°，
∴CE平分∠BED；
②解：过点C作CH⊥AB于点H，过点C作CM⊥DE，如图，
由（2）知：四边形CMEH为正方形，
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学科网（北京）股份有限公司∴ME＝EH，CH∥ME．
∴∠GCH＝∠F．
∵∠HCB+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠HCB＝∠A，
∵∠A＝∠F，
∴∠HCB＝∠HCG，
在△HGC和△HBC中，
，
∴△HGC≌△HBC（AAS），
∴GH＝BH，
∵△DMC≌△BHC，
∴MD＝BH，
∴MD＝GH，
∴ED＝EG．
在△HGC和△EGF中，
，
∴△HGC≌△EGF（ASA），
∴EG＝GH，EF＝CH．
∴EF＝EH＝2EG＝8DE．
在△ADE和△FGE中，
，
∴△ADE≌△FGE（AAS），
∴AE＝EF，
∴AE＝EH＝2EG，
∴ ＝2．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，垂直的定义，全等三角形的判定与性质矩
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学科网（北京）股份有限公司形的判定与性质正方形的判定与性质，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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