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闵行区高一期末数学区统考试卷
2025.01
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应
在答题纸相应位置直接填写结果．
1. 已知全集 ，集合 ，则 ______
2. 若 ，用有理数指数幂的形式表示 ______
3. 对任意的 ，幂函数 的图象一定不经过第______象限
4. 已知 ，则函数 的值域为______
5. 命题“若 ，则 ”是真命题，则实数a的取值范围为______
6. 若 ，对任意 且 ，函数 的图像必过定点______
7. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时，
______
8. 用函数的观点解关于x的不等式 ，可得解集为______
9. 若 ， ，则 ______
10. 设 ，且函数 是偶函数，若 ，则 ______
11. 雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个
领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为
伯努利不等式，其内容如下：设 ，且 ，n为大于1的正整数，则 ．由此可知，
函数 在区间 上的最小值是______
12. 若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数a的取值范围为______二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
.
A 与 B. 与
.
C 与 D. 与
14. 小明同学在用二分法研究函数 在区间 的零点时，发现 ， ，
，那么他下一步应计算（ ）
.
A B. C. D.
的
15. 设 、 、 、 为实数，下列命题中成立 是（ ）
A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么
C. 如果 ， ，那么 D. 如果 ， ，那么
16. 已知m、n都是实数， ，若函数 的值域为R，且对任意的实
数t，关于x的方程 有且只有一个实数解，则满足题意的实数对 的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根为 、 ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 ，求实数m的取值范围．
18. 已知 ， ．（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 ，证明： 在区间 上是严格增函数．
19. 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当
地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量 与时间t的关系可以用逻辑斯蒂
方程（Logistic Equation）： 来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定
承载的最大种群数量）， 表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有
增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，
初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％．
（1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数）
（2）如果某一天与它前一年的同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当地环
境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），其中
， ， ，
20. 在平面直角坐标系 中，若点 ， ，称 为A，B两点的绝对和，
记为 ．
（1）若 ， ，求 ；（2）已点 ，点 在直线 上，证明 ；
（3）已知点 ， ，动点 在函数 ， 的图象上，记 的最大值为 ，
求函数 的最小值．
21. 已知集合 ，n是正整数， ， …， ，都是实数．若
，则称A为n元“M集”，记作 ．
（1）判断 是否为真命题；
（2）若 ，x、y均为正实数，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ，且 ， ．
记 ， ．证明：当 时，
对任意实数x恒成立，且 ．
