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闵行区高一期末数学区统考试卷
2025.01
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应
在答题纸相应位置直接填写结果．
1. 已知全集 ，集合 ，则 ______
【答案】
【解析】
【分析】根据补集概念进行求解.
【详解】 .
故答案为：
2. 若 ，用有理数指数幂的形式表示 ______
【答案】
【解析】
【分析】 ，结合指数幂运算法则进行求解.
【详解】 ， .
故答案为：
的
3. 对任意 ，幂函数 的图象一定不经过第______象限
【答案】四
【解析】
【分析】分 和 两种情况，得到图像一定不经过第四象限.
【详解】当 时，若 ，则 ，此时幂函数经过第二象限，
若 ，则 ，此时幂函数经过第三象限，
当 时， 恒成立，此时幂函数经过第一象限，故图象一定不经过第四象限.
故答案为：四
4. 已知 ，则函数 的值域为______
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数性质得结论．
【详解】 ，值域是 ．
故答案为： ．
5. 命题“若 ，则 ”是真命题，则实数a的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】根据命题的真假得出结论．
【详解】命题“若 ，则 ”是真命题，则 ，
故答案为： ．
6. 若 ，对任意 且 ，函数 的图像必过定点______
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求解．
【详解】令 ，则 ， ，图象过定点 ，
故答案为： ．
7. 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时，
______
【答案】
【解析】【分析】根据条件得到 时， ，又f (−x)=−f (x)，求出答案.
【详解】当 时， ，故 ，
又y=f (x)是定义在R上的奇函数，故f (−x)=−f (x)，
所以 ，故 .
故答案为：
8. 用函数的观点解关于x的不等式 ，可得解集为______
【答案】
【解析】
【分析】设函数 ，根据函数单调性，即可解所求不等式.
【详解】设函数 ，定义域为 ，
的
根据幂函数单调性可得， 和 都是 上 增函数，
所以函数 是 上增函数，
又 ，
则不等式 的解集为 .
故答案为：
9. 若 ， ，则 ______
【答案】1
【解析】
【分析】指数式化为对数式，结合换底公式得到 .
【详解】由 ， 得 ， ，故 ， ，
故 .
故答案为：1
10. 设 ，且函数 是偶函数，若 ，则 ______
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的性质列出方程求解即可.
【详解】因为函数y=g(x)是偶函数，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
故答案为： .
11. 雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个
领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为
伯努利不等式，其内容如下：设 ，且 ，n为大于1的正整数，则 ．由此可知，
函数 在区间 上的最小值是______
【答案】1
【解析】
【分析】由题意得当 且 时， ，并得到当 时， ，当 时，
，从而得到最小值.
【详解】由题意得，当 且 时， ，故 ，
当 时， ，当 时， ，
综上， 在 上的最小值为1，此时 .故答案为：1
12. 若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数a的取值范围为______
【答案】
【解析】
【分析】先得到 在 上恒成立，参变分离得到 ，求出
，故 ，再由 在 上有根，
即 在 上有根，求出 ，需满足 ，故 .
【详解】由题意得 在 上恒成立，
故 ，
，
故只需求出 ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，且 或2时， ，故 的最大值为3，
故 ，
故 ，
另外， 在 上有根，
即 ， ，
故 在 上有根，
根据 的单调性可知， 在 处取得最小值 ，
故 ， ，
要想 在 上有根，
需满足 ，
综上， .
故答案为：【点睛】方法点睛：分离参数法基本步骤为：
第一步：首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参
数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，
第二步：先求出含变量一边的式子的最值，通常使用函数单调性或基本不等式进行求解.
第三步：由此推出参数的取值范围即可得到结论.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只—个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
A. 与 B. 与
.
C 与 D. 与
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同
一函数.
【详解】A选项， ， ，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误；
B选项，令 ，解得 ， 的定义域为 ，
的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误；
C选项， 的定义域为(0,+∞)， 的定义域为 ，
两函数定义域不同，不是同一函数，C错误；
D选项， ， ，
两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确.
故选：D
14. 小明同学在用二分法研究函数 在区间 的零点时，发现 ， ，，那么他下一步应计算（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二分法的概念判断．
【详解】由题意零点在区间 上，因此应计算 ，
故选：C．
15. 设 、 、 、 为实数，下列命题中成立的是（ ）
A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么
C. 如果 ， ，那么 D. 如果 ， ，那么
【答案】A
【解析】
【分析】对于A、B选项，利用不等式的性质可判断原命题的真假；对于 C、D选项，取特殊值可判断原
命题的真假.
【
详解】对于A，若 ，则 ，显然 成立，选项A正确；
对于B，若 ，当 时， ，当 时， ，选项B错误；
对于C，令 ，满足 ， ，但是 ，
不满足 ，选项C错误；
对于D，令 ，满足 ， ，但是 ，
不满足 ，选项D错误，
故选：A.16. 已知m、n都是实数， ，若函数 的值域为R，且对任意的实
数t，关于x的方程 有且只有一个实数解，则满足题意的实数对 的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数
【答案】B
【解析】
【分析】再同一坐标系内画出 和 的图象，数形结合得到，
且 时满足题目中的两个条件，其他情况不合要求，得到答案.
【详解】 定义域为 ，其在定义域内单调递减，
定义域为R，且 ，故 为偶函数，
当x∈(0,+∞)时， 单调递增，由复合函数单调性得 单调递减，
同一坐标系内，画出 和 的图象，如下：
的值域为R，
显然 ，
若 ，此时不满足值域为R，
若 ，此时y=f (x)图象如下：满足值域为R，但不满足关于x的方程 有且只有一个实数解，不合要求，
若 ，此时y=f (x)图象如下：
满足值域为R，也满足关于x的方程 有且只有一个实数解，满足要求，
若 ，此时y=f (x)的值域不为R，舍去，
综上， 满足要求，即满足要求的 只有1个，即(−3,2).
故选：B
【点睛】方法点睛：方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大
大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要
熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性
进行解决.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根为 、 ．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若 ，求实数m的取值范围．
【答案】（1） ．（2） ．
【解析】
【分析】（1）由判别式大于0可得；
（2）由韦达定理求解．
【小问1详解】
由题意 ，解得 或 ，
的范围是 ．
【小问2详解】
由题意 ， ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，即 ．
18. 已知 ， ．
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 ，证明： 在区间 上是严格增函数．
【答案】（1）奇函数，理由见解析；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再根据 与 的关系判断即可；
（2）根据函数单调性定义证明即可.
【小问1详解】
y=f (x)是奇函数，理由如下：
的定义域为 ，关于原点对称，
，根据函数奇偶性定义知， 为奇函数；
【小问2详解】
时， ，设 ，则
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，即 ，
根据函数单调性定义知，y=f (x)在区间 上是严格增函数．
19. 当某外来物种进入某地区时，种群数量会先缓慢增长，然后再加速增长，再然后增速减缓，最终与当
地环境达到自然平衡（如图所示）．数学生物学研究表明，种群数量 与时间t的关系可以用逻辑斯蒂
方程（Logistic Equation）： 来表示，其中K表示环境容量（特定环境能够稳定
承载的最大种群数量）， 表示种群初始数量，r表示物种内禀增长率（没有环境限制时种群数量的固有
增长率）．某环境保护组织计划对一个新建的池塘放养某鱼类F．已知池塘对鱼类F的环境容量为1000条，
初始投入100条，鱼类F的年内禀增长率为30％．
（1）预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F多少条? （结果保留整数）的
（2）如果某一天与它前一年 同一天相比，鱼类F的年增长率小于或等于5％，则称此时鱼类F与当
地环境接近自然平衡．问至少需要经过多少年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡?（结果保留整数），
其中 ， ， ，
【答案】（1）333 （2）14
【解析】
【分析】（1）代入数据，得到 ，计算出 ，得到答案；
（2）得到不等式 ，求出 ，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡.
【小问1详解】
由题意得 ，
当 时， ，
预计放养5年后的同一天，该池塘里有鱼类F条数为333；
【小问2详解】
由题意得 ，
化简得 ，
其中 ， ， ，
由于 单调递减，
当 时， ，当 时， ，
解得 ，故至少14年鱼类F才能与池塘环境接近自然平衡.
20. 在平面直角坐标系 中，若点 ， ，称 为A，B两点的绝对和，
记为 ．
（1）若 ， ，求 ；
（2）已点 ，点 在直线 上，证明 ；
（3）已知点 ， ，动点 在函数 ， 的图象上，记 的最大值为 ，
求函数 的最小值．
【答案】（1）
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）由A(x ,y )，B(x ,y )两点绝对和的定义 即可求解；
1 1 2 2
（2）根据点 在直线 上，设点 ，代入两点绝对和公式，再利用绝对值不等式即可
证明；
（3）易知 ，设 ， .根据函数 的奇偶性，只需讨论
在 的最大值.对参数 进行分类讨论，去绝对值，研究二次函数单调性与最值即可
求得 ，再根据分段函数单调性即可求解.【小问1详解】
， ，∴由题知 .
【小问2详解】
∵点 在直线 上，∴设 .
， .
由绝对值不等式可知： ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
.
【小问3详解】
∵动点 在函数 ， 的图象上，∴设 ， .
， .
设 ， .
则 的定义域关于原点对称，且 ，
∴函数 ， 为偶函数，
故只需研究函数 在 的最大值即可.
当 时， ， ，
由二次函数性质可知： 图象开口向上，对称轴为 ，
故函数 在 上单调递增， ；
当 时， ， ，
由二次函数性质可知： 图象开口向下，对称轴为 ，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ；
当 时，令 得 ， ，
由二次函数性质可知： 开口向下，对称轴为 ；
开口向上，对称轴为 ，故 在 上单调递增.
①当 ，即 时， 在 上单调递增，此时 ，
， ；
②当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ， ， .
综上， .
当 时， 在 上单调递减， ；
当 时， 在 上单调递增， .∴函数 的最小值为 .
【点睛】本题为新定义题型，在理解题意的基础上写出函数，再利用分类讨论和数形结合思想研究二次函
数最值即可.
21. 已知集合 ，n是正整数， ， …， ，都是实数．若
，则称A为n元“M集”，记作 ．
（1）判断 是否为真命题；
（2）若 ，x、y均为正实数，求 的取值范围；
（3）若 ， ， ，且 ， ．
记 ， ．证明：当 时，
对任意实数x恒成立，且 ．
【答案】（1） 为真命题，理由见解析
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）验证满足 ，故 为真命题；
（2）由题意得到 ，变形得到 ，结合 ，求出，进而得到 的取值范围；
（3）首先得到 ， ，又 ，作差变形得
到 ，从而得到 ，再根据
变形得到 .
【小问1详解】
为真命题，理由如下：
， ，
所以满足 ， 为真命题；
【小问2详解】
由题意得 ，故 ， ，
，
因为x、y均为正实数，故 ，所以 ，
故当 时， 取得最大值 ，且 ，所以 ，
的取值范围为
【小问3详解】
，故 ，
所以 ，同理可得 ，
故
，
又 ，
所以，
因为 ， ， ，所以 ，
，
故 ，
下证 ，
由于 ，
即
，
若 ，因为 ， ，
所以 ，
所以 ，满足 ，满足要求，
又
因为 ， ， ，
若 ，其中 ，
此时 ， ，
此时 ，不合要求，
综上， .
【点睛】关键点点睛：第三问，作差法比较大小，反复用到 ， ，
又 ，对式子变形，因式分解，进而判断出大小，得到答案.
