精品解析：上海市民办浦东交中初级中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_下学期

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 交中初级中学 2022 学年第二学期八年级期末考试 数学试卷 （试卷满分 150分 考试时间 100分钟） 考生注意：在答题纸上规定位置作答，在试卷上答题一律无效． 一、选择题（本题共 6题，每题 4分，满分 24分） 1. 下列函数中，是一次函数的是（ ） 1 A. y 1 B. x3y 1 C. y  x2 1 D. y2 x 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的定义逐一进行判断即可． 1 【详解】解：A、y 1，自变量x的指数为-1， x 不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意； 1 1 B、x3y 1可整理为y  x ， 3 3 符合一次函数的定义，故此选项符合题意； C、y  x2 1，自变量x的指数是2， 不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意； D、y2是常数函数，不符合一次函数的定义， 故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数ykxb的定 义条件是：k、b为常数，k 0，自变量次数为1． 2. 下列命题中正确的是（ ） A. 两条对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形 B. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 一组对边平行且一组邻角相等的四边形是等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】分别利用矩形、平行四边形、正方形、梯形的判定进行判断即可． 第1页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：A、两条对角线相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故错误； B、两条对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故错误； C、一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形，故正确； D、一组对边平行且一组邻角相等的四边形不一定是等腰梯形，故正确； 故选：C． 【点睛】本题考查矩形、平行四边形、正方形、梯形的判定，掌握判定方法是解决问题的关键． 3. 气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（ ） A. 本市明天将有80%的地区降水 B. 本市明天将有80%的时间降水 C. 明天肯定下雨 D. 明天降水的可能性比较大 【答案】D 【解析】 【详解】由概率的意义可知，气象台预报“本市明天降水概率是80%”，是指明天下雨的可能性比较大. 故选D. x1 x2 x1 4. 用换元法解方程 + =2时，若设 =y，则原方程可化为关于y的方程是( ) x2 x1 x2 A. y2﹣2y+1=0 B. y2+2y+1=0 C. y2+y+2=0 D. y2+y﹣2=0 【答案】A 【解析】 x1 1 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设 =y，则原方程化为y+ =2，再转化为整式方程y2- x2 y 2y+1=0即可求解． x1 1 【详解】把 =y代入原方程得：y+ =2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0． x2 y 故选：A． 【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为 简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 5. 已知P是线段AB 的黄金分割点，且APBP，则下列比例式能成立的是( ) AB BP BP AB AP BP AB 51 A.  B.  C.  D.  AP AB AP BP AB AP AP 2 第2页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】C 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：如图所示， ∵P是线段AB的黄金分割点，且APBP， PB AP 51 ∴   ， AP AB 2 AB BP A.  ，故该选项不正确，不符合题意； AP AB BP AB B.  ，故该选项不正确，不符合题意； AP BP AP BP C.  ，故该选项正确，符合题意； AB AP AB 51 D.  ，故该选项不正确，不符合题意； AP 2 故选：C． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义，解决本题的关键是掌握黄金分割定义(把线段AB分成两条线段 AP和BPAP  BP ，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB 的黄金分割点)． 6. 已知梯形的四条边长分别是4、5、7、8，则中位线长可以为（ ） A. 4.5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】把构成梯形的条件转换成构成三角形的条件，通过从上底的一个顶点作一腰的平行线，通过平行 四边形的性质结合三角形三边的关系进行求解即可． 【详解】解：∵梯形的四条边长分别是4、5、7、8，故梯形不是等腰梯形， 分情况： 第一种：上底为4，下底为5，腰分别是7和8，如图， 第3页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 显然，1、7、8不能构成三角形，此情况不存在； 第二种：上底为4，下底为7，腰分别是5和8，如图， 显然，3、5、8不能构成三角形，此情况不存在； 第三种：上底为4，下底为8，腰分别是5和7，如图， 显然，4、5、7能构成三角形， 48 此时，中位线长为 6； 2 第四种：上底为5，下底为7，腰分别是4和8，如图， 显然，2、4、8不能构成三角形，此情况不存在； 第五种：上底为5，下底为8，腰分别是7和4，如图， 显然，3、4、7不能构成三角形，此情况不存在； 第六种：上底为7，下底为8，腰分别是4和5，如图， 显然，1、4、5不能构成三角形，此情况不存在； 第4页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故选：C． 【点睛】此题考查梯形的中位线，三角形三边的关系，注意分情况讨论． 二、填空题（本题共 12题，每题 4分，满分 48分） 7. 已知一次函数y kx1的图像经过点A2,5 ，那么k ____________； 【答案】2 【解析】 【分析】将点A2,5 ，代入y kx1，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：∵一次函数y kx1的图像经过点A2,5 ， ∴52k1， 解得：k 2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 8. 一次函数y＝3x+m﹣1的图象不经过第二象限，则m的取值范围是_____． 【答案】m≤1． 【解析】 【分析】根据一次函数的图象不经过第二象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵一次函数y＝3x+m﹣1的图象不经过第二象限， ∴m﹣1≤0， 解得 m≤1． 故答案是：m≤1． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0 时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键． 9. x2______ x2 x3 0的解（填“是”或“不是”）． 【答案】不是 【解析】 第5页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】方程的解代入方程则满足等式关系；方程的解要使等式中的每项由意义； 【详解】解：方程x2 x3 0， ∴x20或 x3 0， ∴x 2，x 3， 1 2 当x2时， x3无意义，舍去， ∴x3是原方程的解． 故答案为：不是． 【点睛】此题考查方程解的性质，二次根式有意义的条件：被开方数不能为负；掌握二次根式的性质是解 题关键． 10. 一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概 率是______________. 1 【答案】 3 【解析】 【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可. 【详解】  在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果， 2 1 掷的点数大于4的概率为  . 6 3 1 故答案为 . 3 【点睛】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率PA事件A可能出现的结果数所有可能出现 的结果数的商是解答此题的关键. 11. 如果一个多边形的每一个内角都是140，那么这个多边形是___________边形 【答案】九 【解析】 【分析】先求出每一个外角的度数，再用360除即可求出边数． 【详解】解：  多边形的每一个内角都等于140， 多边形的每一个外角都等于18014040， 边数n360409． 故答案是：九． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是关键． 第6页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 12. 已知平行四边形的面积是144cm2，相邻两边上的高分别为8cm和9cm，则这个平行四边形的周长为 _______． 【答案】68cm 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积以及相邻两边的高，计算出相邻两边的长是18和16，再根据平行四边形 的对边相等，即可求得其周长． 【详解】解：∵平行四边形的面积＝边长×高， ∴当边上的高为8cm时，边长＝144÷8＝18； 当边上的高为9cm时，边长＝144÷9＝16． 平行四边形的周长为2（18＋16）＝68cm． 故填空答案：68cm． 【点睛】平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积，即S＝a•h．其中a可以是平行四边 形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高． 13. 已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点．AC＝24，BD＝38，AD＝28，那么△OBC的 周长等于____． 【答案】59 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可求得OB、OC，则可求得答案． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， 1 1 ∴BO＝ BD＝19，CO＝ AC＝12，BC＝AD＝28， 2 2 ∴BO+CO+BC＝19+12+28＝59，即△OBC的周长为59， 故答案为：59． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． 14. 顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形的两条对角线为a、b，则等腰梯形的面积为___________． 【答案】ab##ba 【解析】 【分析】根据同意得到一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高，然后利用梯形的面积公式求解即 第7页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 可． 【详解】根据同意可得， 一条对角线是梯形得中位线，另一条是梯形的高， 1 ∴等腰梯形的面积 （上底＋下底）高ab． 2 故答案为：ab． 【点睛】此题考查了梯形的中位线和梯形的面积，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 15. 在梯形 ABCD中， AD∥BC，BC 90， AB4cm，CD3cm，则梯形高_________． 12 【答案】 cm 5 【解析】 【分析】先画出这个梯形，过点A作AE∥CD交BC于点E，过点A作AFBC 于点F，证明四边形 AECD是平行四边形，从而得到AE CD3cm，利用平行的性质和BC 90推出 B∠AEB 90，BAE 90，利用勾股定理求出BE，再用等面积法求出梯形的高AF 即可. 【详解】画出这个梯形如下，过点A作AE∥CD交BC于点E，过点A作AFBC 于点F， ∵AD∥BC，AE∥CD， ∴四边形AECD是平行四边形，AEBC ∴AE CD3cm， ∵BC 90，AEBC ∴B∠AEB 90 ∴BAE 180BAEB90 又∵AB4cm，AE 3cm， ∴BE  AB2  AE2 5cm ∵BAE 90，AFBC 1 1 1 1 ∴S  ABAE  BEAF，即 43 5AF △ABE 2 2 2 2 12 12 ∴AF  cm，即梯形高 cm， 5 5 12 故答案为： cm 5 第8页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线和使用等面 积法求高是解题的关键． 16. 已知P点为线段AB的黄金分割点，AP4cm，且APBP，则AB___________cm 【答案】2 52##22 5 【解析】 BP AP 51 【分析】如图，点P是线段AB上的黄金分割点，APBP，则   ，再代入数据计算即 AP AB 2 可． 【详解】解：如图，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP4cm，APBP， BP AP 51    ， AP AB 2 解得AB2 52． 故答案为：2 52． 【点睛】本题考查的是线段的黄金分割点，掌握“线段的黄金分割点的定义”是解题的关键． 17. 如图，在直角梯形 ABCD中 AD∥BC，E是腰 AB的中点，CE  DE， AD5，BC 11，则 DC __________ 【答案】16 【解析】 【分析】取CD的中点F ，连接EF ，得出EF 是梯形ABCD的中位线，进而根据直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】如图所示，取CD的中点F ，连接EF ， 第9页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 则EF 是梯形ABCD的中位线， ∵AD5，BC 11， 1 ∴EF  ADBC8， 2 又CE  DE， 1 ∴EF  CD， 2 ∴CD16. 故答案为：16． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题 的关键． 18. 如图，点M 的坐标为 3,2 ，点P从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿y轴向上移动，同时过点P yx 的直线l也随之上下平移，且直线l与直线 平行，如果点M 关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果 点P的移动时间为t秒，那么t的值为__________ 【答案】2或3##3或2 【解析】 【分析】过点M 作MF 直线l，交y轴于点F ，交x轴于点E，与直线l相交于点A，则点E、F 为点M 在坐标轴上的对称点，过点M 作MD x轴于点D，设直线l的解析式为 y xb，由直线l与直线 y x平行可得OPA45，即可证明 MDE与 OEF均为等腰直角三角形，进而可求出点E、F 的   第10页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 坐标，根据中点坐标公式可求出MF和ME的中点坐标，代入 y xb可求出b值，即可得点P坐标， 即可求解． 【详解】如图，过点M 作MF 直线l，交y轴于点F ，交x轴于点E，与直线l相交于点A，则点E、F 为点M 在坐标轴上的对称点．  直线l与直线y x平行， 设直线l解析式为y xb， 过点M 作MD x轴于点D，则OD3，MD2，  直线l的解析式为y xb， OPD45， OFE OEF 45，  MDE与 OEF均为等腰直角三角形，   DE MD2，OE OF 1， E(1，0)，F(0，1)．  M(3，2)，F(0，1)， 3 线段MF中点坐标为( ， 1 )． 2 2 3  直线y xb过点( ， 1 )， 2 2 3 1    b， 2 2 解得：b2， 点P坐标为(0，2)， t 2．  M(3，2)，E(1，0)， 第11页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 线段ME中点坐标为(2，1)． 直线y xb过点(2，1)， 12b， 解得：b3， 点P坐标为(0，3)， t 3． 点M 关于l的对称点，当t 2时，落在y轴上，当t 3时，落在x轴上． 故答案为：2或3． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M 的对称点，不要漏解；其 次注意点E、F 坐标以及线段中点坐标的求法． 三、解答题（共 7 题，第 19~22 题各 10 分，第 23 题 12 分，第 24 题 12 分，第 25 题 14 分） 19. 解方程： x11 x． 【答案】x 0，x 1 1 2 【解析】 【分析】先对方程进行移项变为： x1 x1，两边平方变为：x1x12 ，之后化简，解方程即 可，注意最后求得的解需符合根式有意义． 【详解】解：∵ x11 x， ∴ x1 x1， ∴x1x12 ， ∴x12 x10， x1x110， ∴xx10， 解得：x 0，x 1． 1 2 又∵x10， ∴x1， ∴x 0，x 1． 1 2 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的解法，同时也考查了根式有意义，利用合适的方法进行解方程 第12页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 是解题的关键． x2 3xy2y2 0 20. 解方程组： ． x2y120 x 4 x 6 1 2 【答案】 ； y 4 y 3   1 2 【解析】 【分析】先利用因式分解，由①得到x y 0，x2y 0，再与②组成两个二元一次方程组，解这两个 二元一次方程组，即可求得原方程组的解． x2 3xy2y2 0① 【详解】 x2y120② 由①得，x y 0，x2y 0， x2y 12 x2y 12 把这两个方程与②组成方程组得， ， ， x y 0 x2y 0 x 4 x 6 1 2 解得： ， ， y 4 y 3   1 2 x 4 x 6 1 2 故方程组的解为： ， ． y 4 y 3   1 2 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组． 21. 如图，已知矩形ABCD的对角线交于点O，点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA． （1）求证：四边形OFGE是平行四边形． （2）猜想：当ABD______°时四边形OFGE是菱形，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）30，证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过“点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA”得到OE、AD分别为 ABC、  △ADO的中位线，再由中位线的性质可以证明OE∥FG且OE  FG，即可证明四边形OFGE是平行 第13页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 四边形． （2）根据“邻边相等的平行四边形是菱形”得到OF  FG时四边形OFGE是菱形，从而得到△OAD为 等边三角形，推出ABD30． 【小问1详解】 证明：∵矩形ABCD的对角线交于点O， ∴ODOBOA， 又∵点E、F和G分别平分线段AB、OD和OA， ∴OE为△ABD的中位线，FG为△AOD的中位线， 1 1 ∴OE  AD，OE∥AD，FG∥AD，FG AD， 2 2 ∴OE∥FG，OE  FG， ∴四边形OFGE是平行四边形． 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形OFGE是平行四边形 当四边形OFGE是菱形时，则OF  FG ∴OD AD， ∴△AOD为等边三角形， ∴ADB60， ∴ABD30， ∴当ABD30时，四边形OFGE是菱形． 故答案为：30 【点睛】本题考查了三角形的中位线、矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质，掌握矩形的 性质、平行四边形的判定、菱形的性质与判定是解题关键． 22. 某文具厂加工一种学习用具2500套，在加工了1000套后，采用了新技术，使每天比原来多加工25套， 结果提前了3天完成任务．求该文具厂原来每天加工多少套这样的学习用具． 【答案】该文具厂原来每天加工100套这样的学习用具 【解析】 【分析】设该文具厂采用新技术前平均每天加工x套学习工具，根据等量关系：采用了新技术前生产1000 套学生画图工具所用的时间采用了新技术后生产1500套学生画图工具所用的时间3，列出方程求解即 可． 【详解】解：设该文具厂采用新技术前平均每天加工x套学习工具，则采用了新技术后平均每天加工 第14页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) x25 套学习工具，根据题意得： 25001000 25001000  3， x x25 解这个方程，得x100， 经检验，x100是原方程的根． 答：该文具厂采用新技术前平均每天加工100套学习工具． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，正确找出等量关系是解决问题的关键． 23. 如图，正方形ABCD边长为4，点E在边 AB上一点（点E与点A、B不重合），过点A作AFDE， 垂足为G， AF 与边BC相交于点F． （1）求证：AF  DE； 13 （2）连接DF、EF ，如果 DEF 的面积为 ，求AE的长．  2 【答案】（1）详见解析 （2）AE 3或1，详见解析 【解析】 【分析】（1）先证得AEDAFB，很容易证明 ABF与 DAE全等，由此得出AF  DE，进而可   得结论； （2）根据三角形的面积求得AE，再根据勾股定理求得DE，根据（1）中AF  DE即可得出结论； 【小问1详解】 ∵AF  DE，B90， ∴AEDAFB， 在△ABF 与 DAE中，  AEDAFB   DAE B ，  AD AB  第15页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴ ABF  DAE（AAS），   ∴AF  DE， 【小问2详解】 ∵ ABF  DAE，   ∴设AE  BF  x， ∴BE CF 4x， ∴ DEF 的面积S S S S  正方形 ADE EBF DCF 1 1 1 44 4x （4x）x （4 4x） 2 2 2 1 82x x2， 2 1 13 ∴y  x2 2x8 ， 2 2 解得，x 3，x 1， 1 2 ∴AE 3或AE 1， 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质的应用，本题的 关键是知道两线段之间的垂直关系． 3 24. 如图，在直线y x上有两点，P4,3 、P 4,3 4 1 2 （1）在直线 yx 上找两点M ，M （只需写出一组坐标）与P、P 构成平行四边形 1 2 1 2 第16页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）在直线 yx 上找两点Q，Q ，使四边形PQPQ 是以PP 为一条对角线的矩形． 1 2 1 1 2 2 1 2 （3）在直角坐标系平面内找两点R，R （直接写出坐标），使四边形PRPR 是以PP 为一条对角线的 1 2 1 1 2 2 1 2 正方形． 【答案】（1） 2,2 ； 2,2 ．答案不唯一，只要满足 a,a 或 a,aa 0 即可，且无序．  5 5  5 5  （2）  2, 2 ；  2, 2 ．  2 2  2 2  （3） 3,4 ； 3,4 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可知点M 与点M 关于原点O对称，结合M ，M 都在直 1 2 1 2 yx 线 上进行求解即可； （2）根据矩形对角线相等且平分可知OQ OP，由此利用勾股定理求解即可； 1 1 （3）如图，设R的坐标为 a,ba 0,b0 ，自R作y轴的垂线，垂足为F，自P作x轴的垂线， 1 1 1 垂足为E．证明△OEP≌△OFR ，求出a3,b4．则R的坐标为 3,4 ．因R 与R关于原点O成 1 1 1 2 1 中心对称，则R 的坐标为 3,4 ． 2 【小问1详解】 若四边形PM PM 为平行四边形，则对角线互相垂直平分，因此点M 与点M 关于原点O对称，因函 1 1 2 2 1 2 数 yx 上的点的横纵坐标符号相反，若取点M 的坐标为 2,2 ，则点M 的坐标为 2,2 ． 1 2 【小问2详解】 若四边形PQPQ 是以P P 为一条对角线的矩形，因矩形的对角线相等且互相平分，则OQ OP．设 1 1 2 2 1 2 1 1 Q的坐标为 a,aa 0 ，由勾股定理得， 1 第17页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OQ  a2 a2  2a,OP  32 42 5. 1 1 5 ∴ 2a 5．即：a  2 ． 2  5 5  5 5  所以Q的坐标是  2, 2 ，Q 的坐标是 2, 2 ． 1  2 2  2 2 2  【小问3详解】 如图，设R的坐标为 a,ba 0,b0 ，自R作y轴的垂线，垂足为F，自P作x轴的垂线，垂足为 1 1 1 E． 因正方形的对角线相等且互相垂直平分， ∴OP OR，EOP ROF 90FOP， 1 1 1 1 1 ∵OEP OFR 90， 1 1 ∴△OEP≌△OFR ， 1 1 RF  PE 3，OF OE 4． 1 1 即：a3,b4． R的坐标为 3,4 ． 1 因R 与R关于原点O成中心对称， 2 1 第18页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴R 的坐标为 3,4 ． 2 【点睛】本题考查了一次函数、特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形）的性质，解题的关键是理解坐 标的含义和善于利用勾股定理、全等三角形等知识来解题． 25. 如图，在矩形ABCD中，AB2，AD3，点P在边AD上，连接BP，点A关于直线BP为对称 点为A， 1 （1）点A落在BC边上，求AP的长 1 （2）点A落在线段PC上，求AP的长； 1 （3）点A到直线CD的距离等于AB的长，求AP的长． 1 1 【答案】（1）2 （2）3 5 （3）42 3 【解析】 【分析】（1）依据轴对称的性质及矩形的性质即可求得AP的长． （2）由勾股定理先求得A′C的长，再在△CDP中利用勾股定理列出方程，求解x即可（见图）． （3）过A′作BC的垂线，构造多个矩形与直角三角形，然后将所求的量与已知的量集中在同一个直角三角 形A′MP即可求解．（见图） 【小问1详解】 点A落在BC边上，如下图所示． 1 ∵点A与点A关于BP对称， ∴ABPABP． 第19页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由AD∥BC得，ABPAPB， ∴ABPAPB． ∴AP AB2． 【小问2详解】 点A落在线段PC上，如下图． 1 根据矩形的对边相等可得：AD BC 3，CD AB2． 设APx．则DP  AD AP 3x． ∵点A与点A关于BP对称， BAPBAP90，则BAC 90． 在直角  BAC中，AC  BC2 AB2  32 22  5． 在直角 PCD中，由勾股定理得：  PC2  PD2 CD2，即PA AC2  PD2 CD2 ∴  x 5 2 3x2 22， 解得：x3 5． 【小问3详解】 点A到直线CD的距离等于AB的长，自点A作AH CD，垂足为H，则依题意知，AH  AB．自 1 1 点A作BC的垂线交AD于点M、交BC于点N，垂足为点N．则因AD∥BC， ∴MN BC，垂足为点N． ∵点A与点A关于BP对称， 第20页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴AB AB AH 2，并设AP AP x． 又四边形AHDM 、四边形ANCH 、四边形CDMN均有三个角为直角，故均是矩形． ∴MD AH  NC 2，DH MA，AN  HC，MN CD． 在直角 ABN 中，BN  BCNC  BCAH  BCAB321，  ∴AN  AB2 BN2  22 12  3． 则AM MN AN  ABAN 2 3． PM  ADAPMD3x21x． 在直角△A′MP中， AM 2 3，PM 1x，AP x， 由勾股定理得：x2   2 3 2 1x2 ． 解得：x 42 3． 【点睛】本题考查了轴对称的性质应用、矩形的性质应用、勾股定理的应用等知识点，解题的关键将已知 条件与待求结果集中在同一个直角三角形内即可求解． 第21页/共22页 学科网（北京）股份有限公司上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 第22页/共22页 学科网（北京）股份有限公司