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数学学科期末质量评估卷答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列运算正确的是（ ）
A．x5•x2＝x10 B．（﹣2m3n4）2＝4m6n6
C．（﹣a2）3＝﹣a6 D．y4÷y4＝0
【解答】解：A．x5 x2＝x7，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
⋅
B．（﹣2m3n4）2＝4m6n8，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
C．（﹣a2）3＝﹣a6，该选项计算正确，故该选项符合题意；
D．y4÷y4＝1，该选项计算错误，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：当x＝2时， ， ， ，故选项A、B、C不符合题意；
x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即 没有意义，选项D符合题意．
故选：D．
3．某种芯片每个探针单元的面积为0.00000164cm2，0.00000164用科学记数法可表示为（ ）
A．1.64×10 ﹣6 B．1.64×10 ﹣5
C．16.4×10 ﹣7 D．0.164×10 ﹣5
相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：0.00000164＝1.64×10 ﹣6，
故选：A．
4．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为
圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝3﹣1＝2，
则CB＝ ＝ ，
那么点P表示的实数为3﹣ ，
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}故选：A．
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，
故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一
个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】D
6．小刚在化简 时，整式 M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是 ，则整式 M是
（ ）
A． B．a+b C．a﹣b D．
【解答】解：∵化简 时，整式M看不清楚了，通过查看答案，发现得到的化简结果是 ，
∴ ＝
＝
＝
＝ ，
∴M＝a+b．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．因式分解：ax2+ay2+2axy＝ a（x+y）2 ．
【解答】解：ax2+ay2+2axy
＝a（x2+y2+2xy）
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}＝a（x+y）2．
故答案为：a（x+y）2．
8、（ +1）2023（ ﹣1）2024＝ ﹣1 ．
【解答】解：原式＝[（ +1）（ ﹣1）]2023•（ ﹣1）
＝（2﹣1）2023•（ ﹣1）
＝ ﹣1．
故答案为 ﹣1．
9、已知实数m满足m2﹣m﹣1＝0，则代数式m3﹣2m+2023的值为_____________
【解答】解：原式＝m（m2﹣2）+2023；
∵m2﹣m﹣1＝0；
∴m2﹣2＝m﹣1；
即m（m2﹣2）+2023＝m（m﹣1）+2023；
∴m3﹣2m+2023＝m（m﹣1）+2023＝m2﹣m+2023；
∵m2﹣m＝1；
∴m3﹣2m+2023＝1+2023＝2024．
10．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BC＝5，AB＝3，线段BC的垂直平分线交AC、BC于点P和点Q，则PA的
长度为___________
【解答】解：如图，连接PB，
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AC＝ ＝4，
∵线段BC的垂直平分线交AC、BC于点P和点Q，
∴PC＝PB，
设PA＝x，则PC＝PB＝4﹣x，
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}在Rt△APB中，由勾股定理得，
PA2+AB2＝PB2，
∴x2+32＝（4﹣x）2，
解得x＝ ，
即PA＝ ，
11、“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小
时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时
x里，则可列方程为 ．
【解答】解：设学生步行的速度为每小时x里，则牛车的速度是每小时1.5x里，
∵学生早出发1小时，孔子和学生们同时到达书院，
∴ ，
故答案为： ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的
速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连接AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF
是等腰三角形时，则t＝ 5或 或4 秒．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，AB＝20，
由勾股定理得： ，
当FA＝FB时，DF⊥AB，
∴ ，
∴t＝10÷2＝5；
当AF＝AB＝20时，∠ACB＝90°，
则BF＝2BC＝24，
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}∴ ，即 ，
解得： ，
由勾股定理得： ，
∴ ；
当BF＝AB＝20时，
∵BF＝20，BC＝12，
∴CF＝BF﹣BC＝8，
由勾股定理得： ，
∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，
∴DF＝AC＝16，
∴ ，
∴t＝8÷2＝4；
综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为5或 或4，
故答案为：5或 或4．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13、（1）计算：﹣12022+（ ﹣3.14）0+（﹣2）﹣2；
（2）解方程： π ．
【解答】解：（1）﹣12022+（ ﹣3.14）0+（﹣2）﹣2
＝ π
＝ ；
【解答】解：1﹣x2+1＝﹣x（1+x），
1﹣x2+1＝﹣x﹣x2，
x＝﹣2．
检验：当x＝﹣2时，1﹣x2≠0，x﹣1≠0，
∴x＝﹣2是原方程的解．
14．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在格点上．
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}（1）点A的坐标为 （3，4） ，点B的坐标为 （0，2） ；
（2）图中线段BC的长为 ；
（3）△ABC的面积为 5.5 ；
（4）点P在y轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，则点P的坐标为 （0， ）或（0，﹣ ） ．
【解答】解：（1）点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（0，2）；
故答案为：（3，4），（0，2）；
（2）BC＝ ＝ ；
故答案为： ；
（3）S
△ABC
＝4×3﹣ ×2×3﹣ ×1×4﹣ ×1×3＝5.5；
故答案为：5.5；
（4）设P（0，m），
∵△ABP的面积等于△ABC的面积，
∴ |m﹣2|×3＝5.5，
解得：m＝ 或﹣ ，
∴点P的坐标为（0， ）或（0，﹣ ）．
故答案为：（0， ）或（0，﹣ ）．
15．先化简： ，再从x＝1，2，3，4中任选一个数，求式子的值．
【解答】解：
＝
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}＝ ；
∵x≠1，2，
∴取x＝3时，原式＝ （或取x＝4，原式＝ ）．
16．如图，图1为4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形边长为1．
（1）图1中正方形ABCD的面积为 10 ，边长为 ；
（2）①依照图1中的作法，在下面图2的方格中作一个正方形，同时满足下列两个要求：
Ⅰ．所作的正方形的顶点，必须在方格的格点上；
Ⅱ．所作的正方形的边长为 ．
②请在图2中的数轴上标出表示实数 的点，保留作图痕迹．
【解答】解：（1）正方形的边长为： ，面积为： ，
故答案为：10， ；
（2）①如图所示的正方形即为所作；
②如图2中，正方形EFGH是所画的面积为8的格点正方形，
以点E为圆心、EF为半径画弧，交数轴于点P，则点P的坐标为实数 ．
17．有一块矩形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为18dm2和32dm2的两块正方形木板．
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}（1）截出的两块正方形木板的边长分别为 3 dm， 4 dm；
（2）求剩余木板的面积；
（3）如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm、宽为1dm的矩形木条，最多能截出 2 个这样的木条．
【解答】解：（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为 ＝3 dm， ＝4 dm，
故答案为：3 ，4 ；
（2）根据题意得：矩形的长为3 （dm），宽为4 dm，
∴剩余木料的面积＝（7 ）﹣18﹣32＝6（dm2）；
（3）根据题意得：从剩余的木料的长为3 dm，宽为4 ＝ （dm），
∵3 ， ，
∴能截出2×1＝2块这样的木条．
故答案为：2．
18．赣江市民公园视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学
习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为8米；（注：BD⊥CE）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；
③牵线放风筝的王明身高1.6米；
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
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{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝172﹣82＝225，
所以，CD＝15（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝15+1.6＝16.6（米），
答：风筝的高度CE为16.6米；
（2）由题意得，CM＝9米，
∴DM＝6，
∴BM＝ ＝ ＝10（米），
∴BC﹣BM＝17﹣10＝7（米），
∴他应该往回收线7米．
19．习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭
碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入
一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多1.5万元，用18万元购买甲种农机
具的数量和用12万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共20件，且购买的总费用不超过72.6万元，则甲种农机具
最多能购买多少件？
【解答】解：（1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需（x+1.5）万元，根据题意得： ，
解得：x＝3，
经检验：x＝3是方程的解且符合题意．
答：甲种农机具一件需4.5万元，乙种农机具一件需3万元，
（2）设甲种农机具最多能购买a件，则：4.5a+3（20﹣a）≤72.6，
解得：a≤8.4，
第9页（共15页）
{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}因为a为正整数，
所以甲种农机具最多能购买8件．
20．课本上，我们利用数形结合思想探索了整式乘法的法则和一些公式．类似地，我们可以探索一些其他的公式．
【以形助数】
借助一个棱长为a的大正方体进行以下探索．
（1）在其一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为 a3﹣b3． ．
（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，因为BC＝a，AB＝a﹣b，CF＝b，所以
长方体①的体积为ab（a﹣b），类似地，长方体②的体积为 b2（a﹣b）， ，长方体③的体积为 a2（a﹣b） ：
（结果不需要化简）
（3）将表示长方体①、②、③的体积的式子相加，并将得到的多项式分解因式，结果为 （a﹣b）（a2+ab+b2） ．
（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为 a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2） ．
【以数解形】
（5）对于任意数a、b，运用整式乘法法则证明（4）中得到的等式成立．
【解答】解：（1）由题意可得：a3﹣b3．
故答案为：a3﹣b3．
（2）由题意可得：b2（a﹣b），a2（a﹣b）
故答案为：b2（a﹣b），a2（a﹣b）
（3）由题意可得：b2（a﹣b）+a2（a﹣b）+ab（a﹣b）＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）
（4）根据几何体体积的不同表示方法可得：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故答案为：a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
（5）∵右边＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3＝a3﹣b3．
∴右边＝左边
∴对于任意数a、b，a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）成立．
第10页（共15页）
{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}1．已知直线1为长方形ABCD的对称轴，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，
点D的对应点D'恰好落在对称轴1上．
（1）如图，当点E在边DC上时，
①填空：点D'到边AB的距离是 3 ； （ 直接写出结果）
②求DE的长．
（2）当点E在边DC的延长线上时，（友情提醒：可在备用图上画图分析）
①填空：点D'到边CD的距离是 8 ；（直接写出结果）
②填空：此时DE的长为 10 ．（直接写出结果）
【解答】解：设直线l交CD于点M，交AB于点N，
（1）①如图1，点E在边DC上，则点D′在线段MN上，
∵四边形ABCD是矩形，AD＝5，AB＝8，
∴∠D＝∠DAB＝90°，DC＝AB＝8，
∵直线l是矩形ABCD的对称轴，
∴l⊥AB，l⊥DC，DM＝CM＝ DC＝4，AN＝BN＝ AB＝4，
∴∠DMN＝∠ANM＝90°，MN⊥AB，
由折叠得D′E＝DE，A′D＝AD＝5，
∴D′N＝ ＝ ＝3，
∴点D'到边AB的距离是3，
故答案为：3．
②∵DC∥AB，AD⊥AB，MN⊥AB，
∴MN＝AD＝5，
∴D′M＝5﹣3＝2，
∵EM2+D′M2＝D′E2，且EM＝4﹣DE，
∴（4﹣DE）2+22＝DE2，
第11页（共15页）
{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}解得DE＝ ，
∴DE的长为 ．
（2）①如图2，点E在边DC的延长线上，则点D′线段MN的延长线上，
∵∠AND′＝90°，AN4，AD′＝5，
∴D′N＝ ＝ ＝3，
∴D′M＝5+3＝8，
∴点D′到边CD的距离是8，
故答案为：8．
②∵∠D′ME＝90°，
∴EM2+D′M2＝D′E2，
∵EM＝DE﹣4，D′M＝8，D′E＝DE，
∴（DE﹣4）2+82＝DE2，
解得DE＝10，
故答案为：10．
22．材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： 这
样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： 这样的
第12页（共15页）
{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如： ．类似地，假分式也可以化为“带
分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
；
．
请根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：①分式 是 真 分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ＝ ．
（2）把分式 化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整
数．
【解答】解：（1）①分式 中，分子的次数小于分母的次数，
∴分式 是真分式；
② ，
故答案为：①真；②
（2）
＝
＝ ，
若这个分式的值为整数，
则x﹣3＝1或x﹣3＝﹣1或x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2，
∴x＝4或x＝2或x＝5或x＝1．
六、（本大题12分）
23.定义：连接三角形的一个顶点和其对边上一点，若所得线段能将该三角形分割成一个等腰三角形和一个直角三角
形，则称该线段为原三角形的“妙分线”．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝ ，AD⊥BC，D为垂足，AD为△ABC的“妙分线”．若BD＝1，则CD长为
2 ；
（2）如图2，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是CB延长线上一点，E为AB上一点，BE＝BD，连接
第13页（共15页）
{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}CE并延长交AD于点F，BH平分∠ABC，分别交CF，AC于点G，H，连接AG．求证：AG是△AFC的“妙分
线”；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝3 ．若AC为△BCD的“妙分线”，直接写出CD的长．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵AB＝ ，BD＝1，
∴AD＝ ＝ ＝2，
∵AD为△ABC的“妙分线”，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴CD＝AD＝2，
故答案为：2；
（2）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝∠ABC＝90°，
∵AB＝BC，BE＝BD，
∴△ABD≌△CBE（SAS），
∴∠BAD＝∠BCE，
∵∠CEB＝∠AEF，
∴∠AFE＝∠CBE＝90°，
∴△AFG是直角三角形，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABG＝∠CBG，
∵AB＝BC，BG＝BG，
∴△ABG≌△CBG（SAS），
∴AG＝CG，
第14页（共15页）
{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}∴△AGC是等腰三角形，
∴AG是△AFC的“妙分线”；
（3）解：如图3中，过点A作AH⊥BC于点H．
有两种情形：
①当CD⊥BD时，或当CD′⊥AC时，AC为△BCD或△BCD'的“妙分线”，
∵BC＝3 ，
又∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝ ，
∴AH＝ ＝ ＝ ，
∵S
△ABC
＝ •BC•AH＝ •AB•CD，
∴ × × ＝ ×5CD，
∴CD＝3，
∴AD＝ ＝4，
∴S
△BCD
＝ •BD•CD＝ ×（5+4）×3＝ ，
设CD′＝x，DD′＝y，
∴ ，
解得： ，
第15页（共15页）
{#{QQABSQqEogiIAAAAAQgCUwGaCAKQkACACIoOxAAAoAAASQFABAA=}#}
