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江西省南昌市 2024-2025 学年高一上学期 1 月选课走班调研检测（期
末）数学试题
一.单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“ ”的否定形式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题进行求解即可.
【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题，
所以 的否定是 .
故选：B
2. 已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解绝对值不等式化简集合 ，解一元二次不等式化简集合 ，再利用并集的定义求得答案.
【详解】依题意， ，
，
所以 .
故选：C3. 某工厂利用随机数表对生产的40个零件进行抽样测试，先将40个零件进行编号，编号分别为
，从中抽取8个样本，下面提供随机数表的第1行到第3行：
0347，4373，8636，9647，3661，4698，6371，6202
9774，2467，6242，8114，5720，4253，3237，3214
1676，0227，6656，5026，7107，3290，7978，5336
的
若从表中第2行第7列开始向右依次读取数据，则得到 第5个样本编号是（ ）
A. 37 B. 32 C. 14 D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据随机数表法的应用，按照已知的要求选出五个三个数字组成编号即可．
【详解】依题意从第2行第7列开始的数为67（舍去），62（舍去），42（舍去），81（舍去），14，
57（舍去），20，42（舍去），53（舍去），32，37，32（舍去），14（舍去），16，
则满足条件的5个样本编号为14，20，32，37，16，则第5个编号为16．
故选：D
4. 下列函数中，与函数 是同一个函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案.
【详解】对于A， ，对应关系不同，与函数 不是同一函数；
对于B， 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，定义域不同，所以与函数 不是同一函数；
对于C， 的定义域为 ，函数 的定义域为 ，
定义域不同，所以与函数 不是同一函数；
对于D， ，与函数 的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数.
故选：D
5. 设 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数的单调性比大小，即可求解.
【详解】由于 单调递减，故 ，即 ，
由于函数 为 上的单调递增函数，故 ，故 ，
因此 ，
故选：A
6. 已知 ，若 有三个零点，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，把问题转化为方程 在 上有两个不等根求解.
【详解】当 时，由 ，得 ，而函数 在 上单调递增，
又 有三个零点，因此方程 在 上有两个不等根，
于是 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
故选：B.
7. 元宵节灯展后，悬挂的2串（5盏）不同的花灯需要取下，如图所示，每次取1盏，第一串最下面的花
灯标记为 ，第二串最下面的花灯标记为 ，则花灯 与花灯 被相邻取下的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】还原情境，根据概率的乘法公式即可求解.
【详解】花灯 与花灯 被相邻取下的包括第一次取a第二次取x和第一次取x第二次取a，
概率为 .
故选：B
8. 已知函数 的零点为 ，函数 的零点为 ，则下列结论中错误的是（
）A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于AB，根据零点的存在性定理即可判断；对于C，令 ，从而可得
，再结合单调性即可判断；对于D，根据 的单调性可得
，从而可判断.
【详解】对于A，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增.
又 ，
且 在 上是连续函数，
又当 时， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，即 ，A正确；
对于B，因为 在 上单调递增， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递增.又 ，
且 在 上是连续函数，
又当 时， ，
所以 在 上存在唯一零点 ，即 ，B正确；
对于C， ，令 ，
则 ， ，
又 ，所以 ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，C错误；
对于D，因为 在 上单调递增，且 ，
所以 ，D正确.
故选：C.
二.多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 教练想从甲、乙两个人中选择一人参加省运动会800米比赛，收集了甲、乙两人近8次的比赛成绩，并
整理得到如下数据：
甲
乙
若比赛成绩在 以下（含 ）为优秀，用频率估计概率，则下列说法正确的是（ ）A. 乙比赛成绩优秀的概率为
B. 甲比赛成绩的平均数等于乙比赛成绩的平均数
C. 甲比赛成绩的方差小于乙比赛成绩的方差
D. 为冲击800米省冠军，教练应该选择乙参加省运动会800米比赛
【答案】AC
【解析】
【分析】由表格数据，计算乙比赛成绩优秀的概率判断A，应用平均数、方差公式求甲乙的平均数、方差，
比较它们的大小即可判断BCD.
【详解】比赛成绩在 以下（含 ）为优秀，由表中的数据，乙比赛成绩优秀的概率为 ，
故A正确.
为了好计算甲乙的平均数和方差，只需要根据秒数计算即可，
甲的平均数 ，
乙的平均数 ，
所以甲比赛成绩的平均数小于乙比赛成绩的平均数，故B错误.
甲的方差
.
乙的方差
，则 ，C正确.
由于甲的比赛成绩的平均值比乙比赛成绩平均值低（用时约少说明跑的快），
并且甲的方差小，数据稳定，故选派甲去参加比赛比较合适，D错误.
故选：AC
10. 已知符号函数 下列说法正确的是（ ）A. 函数 为奇函数
B.
C.
D. 函数 在 上单调递减
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，运用奇偶性定义判断即可；对于B，利用指数函数的值域结合新定义判断即可；对于
C，利用对数函数的值域结合新定义判断即可；对于D，求出 时的函数解析式，根据二次函数
单调性判断即可.
【详解】对于A， ，当 时， ，
则 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，
所以 为偶函数，错误.
对于B，因为 ，所以 ，正确.
对于C，当 时， ，所以 ，
所以 ，正确.
对于D，当 时， ，则 ，开口向下，
对称轴为 ，所以函数 在 上单调递减，正确.
故选：BCD11. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 函数 定义域为 B.
C. 在 为减函数 D. 不等式 的解集为
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，求得函数 定义域为 即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式
即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断.
【详解】对于A，因为 且 ，所以函数 定义域为 ，A错误；
对于B，因为 ，
当 时， ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
当 时， ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 ，B正确；
对于C，令 ，则 在 上单调递增，且 ，
又 在 上单调递减，所以 在 上为减函数；
因为 在 上单调递增，且 ，又 在 上单调递减，所以 在 上为减函数；
所以 在 上为减函数，C正确；
对于D， ，令 ，
当 时，解得 或 ，所以 或 ，
当 时， ，所以 无实数解，
所以不等式 的解集为 ，D错误.
故选：BC.
三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知 ，若 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，然后分 和 两种情况，得到方程，求解即可.
【详解】由 得 ，所以 ，
所以 或 ，解得 .
故答案为：
13. 某车间10名工人生产某产品的数量（单位：件）分别为32，35，38，39，40，42，44，44，45，x，
若所给数据的第50百分位数与第25百分位数的差为2，且 ，则 ______.【答案】40
【解析】
【分析】分类讨论确定第50百分位数与第25百分位数，列式求解即可.
【详解】已知数据有10个，所以第50百分位数为第5项和第6项数据的平均值，第25百分位数为第3项
数据，
若 ，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为 和35，
则 ，不合题意；
若 ，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为 和x，
则 ，解得 ，不合题意；
若 ，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为 和38，
则 ，不合题意；
若 ，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为 和38，
则 ，解得 ，不合题意；
若 ，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为 和38，
则 ，解得 ；
若 ，则这组数据的第50百分位数与第25百分位数分别为41和38，它们的差为3，不符合条件.
故答案为：40
14. 电除尘器是火力发电厂必备的配套设备，它的功能是将燃煤或燃油锅炉排放烟气中的颗粒烟尘加以清
除，从而大幅度降低排入大气层中的烟尘量，这是改善环境污染，提高空气质量的重要环保设备.其除尘效率 与驱进速度 之间的函数关系为 ，其中 为烟气量， 总除尘面积，若在烟气量与总除
尘面积一定的情况下，除尘效率 时，驱进速度为 ；除尘效率 时，驱进速度为 ，则
______.（结果保留两位有效数字）
参考数据： .
【答案】1.7
【解析】
【分析】根据题意可得 ，结合指、对数运算求解即可.
详解】由题意可得： ，整理可得 ，
【
两式相比可得 .
故答案为：1.7.
四.简答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）求值： ；
（2）已知 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）1
【解析】
【分析】（1）利用对数的概念、对数运算性质及换底公式，指数幂的运算性质化简计算；
（2）结合指对互化，利用对数运算性质及换底公式求解即可.【详解】（1）原式
；
（2）因为 ，所以
，
所以 ，
则 .
16. 已知函数 .
（1）判断函数 的奇偶性，并说明理由；
（2）记函数 的值域为 ，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，求 的取值范围.
【答案】（1）函数 为奇函数，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合指数运算，利用奇函数定义证明即可；
（2）先根据指数函数的值域求出函数 的值域，然后利用充分不必要条件的概念列不等式求解即
可.
【小问1详解】
函数 为奇函数，其理由如下：因为 的定义域为R，且 ，
所以 ，则函数 为奇函数.
【小问2详解】
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，所以集合 ，
“ ”是“ ”的充分不必要条件，
所以 ，则 .
17. 某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，
采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表：
男生样本的频率分布直方图
女生样本的频率分布表
组别 频数 频率
4 0.10
8 n
m p
12 0.30
2 0.05（1）求 和 的值；
（2）计算男生样本的平均数和方差；
（3）根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差
【答案】（1） ， ；
（2）平均数为169，方差为89
（3）平均数为166，方差为100.8.
【解析】
【分析】（1）根据频率和为1求 ，由频率公式求 的值；
（2）根据平均数、方差公式求解；
（3）根据分层抽样的平均数、方差公式求解.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，
因为 的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40，
则 ，所以 ；
【
小问2详解】
由男生样本的频率分布直方图知，
平均数为 ，
方差为
；
【小问3详解】
由女生样本的频率分布表可知
为
平均数 ，
方差为所以平均数为 ，
方差为 .
所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8.
18. 已知 .
（1）当 时，求证： 在 上为减函数；
（2）若方程 有且仅有一个实数根，求 的最小值；
（3）若存在 使得 在 上恒成立，求证： .
【答案】（1）证明见解析
（2）4 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据单调性的定义，按照步骤证明即可；
（2）先利用定义法判函数 的单调性，然后利用基本不等式求出 的最小值 ，由题
意 ，将 化为 ，利用基本不等式求最小值即可；
（3）结合（2）利用基本不等式得求出 的最小值 ， ，根据 消去a即可证明.
【小问1详解】
当 时， ，设 ，且 .
则 ，
因为 ，所以 ，所以 .
所以 ，
所以 在 为减函数；
【小问2详解】
因为 ，所以 ，
任取 ， ，且 ，
则 ，
因为 ， ，且 ，所以 ， ，
当 时， ，所以 ，即 ，
当 时， ，所以 ，即 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
因为 ，当且仅当 时等号成立，
因为方程 有且仅有一个实数根，
所以 ，即 ，则 ，当且仅当 即 时取等，
所以 的最小值为4；
【小问3详解】
因为当 时， ，当且仅当 时等号成立，
由题意知， ，
所以 ，即 .
19. “曼哈顿距离”是人脸识别中一种重要的测距方式.在平面直角坐标系中，其定义为：A，B的坐标分别为
，那么称 为两点间的曼哈顿距离.
（1）已知点 .
（i）若点 的横坐标为 ，且点 在函数 图象上，求 ；
（ii）若点 在函数 上运动，求 的最小值；
（2）已知点 在函数 上运动，点 ，若 恒成立，求实数 的取值范
围.
【答案】（1）（i） ；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）求出点 坐标，代入曼哈顿距离公式求解即可；
（ii）由已知 ，求出曼哈顿距离，结合一次函数单调性求出分段函数的最小值；（2）利用曼哈顿距离公式得 ，从 与 和 的大小关系
出发分类讨论，利用单调性求出最值列式求解.
【小问1详解】
（i）因为点 的横坐标为 ，
且点 在函数 图象上，所以 ，
则 ；
（ii）因为点 在函数 上运动，所以 ，
则 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ；所以当 时， ；
【小问2详解】
因为点 在函数 上运动，所以 ，
则 ，
因为 的对称轴为 的对称轴为 ，
所以现在从 与 和 的大小关系出发分类讨论：
①当 时， 单调递减，最小值为 ；
在 上单调递减，在 单调递增，此时 ，
由题意知 ，则 ；
②当 时， 在 上单调递减，在 单调递增，
此时 ；
又 单调递增，则 ，
由题意知 ，则 ；
③当 时， 在 单调递减，
在 单调递增，此时 （合题意），
综上，实数 的取值范围是 .
