文档内容
丰台区 2023-2024 学年度第一学期期末练习
八年级数学
考生须知
1、本练习卷共6页，共三道大题，27道小题，满分100分．练习时间90分钟．
2、在练习卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和教育ID号．
3、练习题答案一律填涂或书写在答题卡上，在练习卷上作答无效．
4、在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
5、练习结束，将本练习卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
的
1. 若代数式 有意义，则实数 取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为零是解答的关键．根据分式的分
母不能为零求解即可．
【详解】解：要使代数式 有意义，只需 ，
则实数 的取值范围是 ，
故选：C．
2. 下面分别是表示“节能”、“可回收”、“低碳”和“绿色食品”的相关标志中的部分图形，其中可以
看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
第1页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．结
合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
3. 北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，目前北斗卫星导航系统授时精度优于
秒．将 用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对
值小于1的数的方法：将原数化为 的形式，其中 ，n为整数，n的值等于把原数变为
a时小数点移动的位数．据此即可解答．
【详解】解：将 用科学记数法表示应为 ，
故选：B．
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，根据幂的运算法则计算即可；熟知幂的运算法则是解题的关键．
【详解】A、 ，故本选项符合题意；
B、 ，故本选项不符合题意；
第2页/共23页
学科网（北京）股份有限公司C、 ，故本选项不符合题意；
D、 ，故本选项不符合题意；
故选： ．
5. 如图，在 中，利用直角三角板作边 上的高，下列作法正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是作图 基本作图，根据高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A．不是三角形的高，故此选项不合题意；
B．不是三角形的高，故此选项不合题意；
C．不是三角形的高，故此选项不合题意；
D．是 的边 上的高，故此选项符合题意．
故选：D．
6. 如图， 可以看作是 沿直线 平移得到的．如果 ， ，那么线段 的长
是( )
第3页/共23页
学科网（北京）股份有限公司A. 2.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质．直接根据图形平移的性质进行解答即可．
【详解】解：∵ 由 平移而成，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：B．
7. 甲工程队完成一项工程需 天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程，若两队共同工作6
天可完成这项工程，则下面列式正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题是工程问题, 解答此题的关键是掌握工作效率 时间 工作总量；
根据工作效率 时间 工作总量，要求 6 天完成，则两队的工作效率之和乘6即可；
【详解】把这项工程看做单位 “ 1 ”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ；
根据工作效率 时间 工作总量，可得： ；
故选：C．
8. 如图， 与 均为等腰直角三角形， ，点 是线段 的中点，
点 在线段 上（不与点 ， 重合），连接 ， ．
第4页/共23页
学科网（北京）股份有限公司给出下面四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，三角形三边关系，解答的关
键是证明三角形全等；
根据 ，得出 即 即可
判断①正确；结合 与 均为等腰直角三角形，可证明 即可得出
根据 即可判断出 故②正确；根据 是
线段 的中点，`得出 ，即可判断③正确；三角形三边关系可得
即可判断出④错误；
【详解】解： 与 均为等腰直角三角形， ，
故①正确；
在 与 中
第5页/共23页
学科网（北京）股份有限公司故②正确；
点 是线段 的中点，
故③正确；
故④错误；
故选：B．
第二部分 非选择题
二、填空题（共24分，每题3分）
9. 若代数式 的值为0，则 的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．
【详解】解：由题意得： 且 ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题
的关键．
10. 分解因式： ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
第6页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
11. 已知等腰三角形的一个角是 ，则它的顶角的度数是___________．
【答案】 或
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和为 ，分度数为 的角为顶角和底角两
种情况进行求解即可．
【详解】解：当度数为 的角是顶角时，则顶角的度数为 ；
当度数为 的角为底角时，则顶角的度数为 ；
综上所述，顶角的度数为 或 ，
故答案为： 或 ．
12. 如果关于 的多项式 是完全平方式，那么 的值是___________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题是完全平方公式的运用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平
方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
根据两数和的完全平方等于两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，可得答案．
【详解】解：由 是一个完全平方式，得 ，
故答案为：9．
13. 如图， 于点 ， 于点 ，且 ，如果 ，那么 的度数
是___________．
第7页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【答案】140
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，先求出 ，再证明
，推出 ，即可求解．
【详解】.解： ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为：140．
14. 如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若 ， ，则 的周长是___________．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握折叠前后对应边相等，对应角
第8页/共23页
学科网（北京）股份有限公司相等，全等三角形对应边相等，是解题的关键．通过证明 得出 ，即可解
答．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ ，
∵ 沿 折叠得到 ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，
故答案为：15．
15. 如图，有边长分别为 ， 的 型和 型正方形纸片，长为 、宽为 的 型长方形纸片若干
张、1张 型纸片、1张 型纸片和2张 型纸片可以无缝隙、不重叠地拼成一个正方形，则这个正方形
的边长为_________（用含 ， 的式子表示）．
【答案】 ##
【解析】
第9页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【分析】该题主要考查了完全平方公式的应用，解答的关键是掌握完全平方公式；
根据题意以及完全平方公式解答即可；
【详解】解：根据题意，1张 型纸片、1张 型纸片和2张 型纸片无缝隙、不重叠地拼成一个正方形，
则正方形面积为： ，
故这个正方形的边长为 ，
故答案为： ．
16. 学校举办新年趣味联欢活动，学生要从贴鼻子、打地鼠、套圈、猜谜语、跳房子这5个项目中，依照
个人兴趣，选择3个项目参加活动（每人都只选择3个项目）．已知某小组6名学生选择上述项目的统计
结果如下表：
项目 贴鼻子 打地鼠 套圈 猜谜语 跳房子
选择人数 4 4 3
如果 ，那么 _________；在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有1人，只
选择贴鼻子、打地鼠的有1人，只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，那么 的
最小值为___________．
【答案】 ①. 4 ②. 2
【解析】
【分析】该题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意；
根据6名学生每人都只选择3个项目，得出6名学生共参加 个项目，从而求出 时， 的值；再根据
题意得出 ， 为正整数，且 解答即可
【详解】解：根据题意6名学生每人都只选择3个项目可得，6名学生共参加 个项目，
如果 ，
那么 ；
根据题意可得， ，即 ，
第10页/共23页
学科网（北京）股份有限公司在贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目中，如果三个项目都选的有1人，只选择贴鼻子、打地鼠的有1人，
只选择打地鼠、套圈的有1人，只选择贴鼻子、套圈的有1人，
已有一人选择了贴鼻子、打地鼠、套圈三个项目，故选择猜谜语的人数
为正整数，且
故当 时， ，此时 最小，
故答案为：4；2．
三、解答题（共60分，第17题4分，第18-23题，每题5分，第24-25题，每题6分，第26-
27题，每题7分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】该题主要考查了实数的混合运算和同底数幂除法运算，解题的重点是熟悉零指数幂，负整数指数
幂，以及同底数幂除法运算；
先计算零指数幂，负整数指数幂，同底数幂除法运算，再合并即可；
【详解】解：原式
．
18. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式，以及单项式乘多项式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键；原
式利用完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果；
【详解】解：原式
．
第11页/共23页
学科网（北京）股份有限公司19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则，先算括号，再算除法
运算即可；
【详解】解：原式
．
20. 解分式方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解答，解题的关键是掌握分式方程的解法，注意，检验；
根据分式方程的解答方法解答即可；
【详解】解：方程两边乘 ，得
解得： ；
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
21. 如图，在 中， ，点 ， 在边 上， ．
求证： ．
第12页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与证明，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与证明是
解题的关键；
根据等角对等边得出 ，再根据“ ”证 ，即可得出结论；
【详解】证明： 在 中， ，
．
在 和 中，
．
．
22. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】 ，
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值和分式性质，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键；
将代数式运用分式性质化简原式变形后，由已知等式求出 的值，整体代入计算即可求出值；
【详解】解：原式
第13页/共23页
学科网（北京）股份有限公司．
，
．
原式 ．
23. 下面是小明设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程．
已知：如图，直线l及直线l上一点P．
求作：直线PQ，使得 ．
作法：如图，
①以点P为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于点A，B；
②分别以点A，B为圆心，大于 的同样长为半径作弧，两弧在直线l的同侧交于点Q；
③作直线PQ．
直线PQ就是所求作的直线．
根据小明设计的尺规作图的过程，
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接QA，QB．
∵ ______， ，
∴ （______）（填推理的依据）．
【答案】（1）见解析；（2）QB，三线合一
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用等腰三角形的性质解决问题即可．
第14页/共23页
学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）如图，直线PQ即为所求作．
（2）理由：连接QA，QB．
∵QA=QB，PA=PB，
∴PQ⊥l（三线合一）．
故答案为：QB，三线合一．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，
属于中考常考题型．
为
24. 北京水稻历史悠久， 重振北京稻历史品牌辉煌，丰台区与国家粳稻工程技术研究中心共同建设
“国家粳稻工程技术研究中心北京稻育繁种基地”，并于2023年7月正式挂牌、基地除培育优质稻品种外、
会建设北京稻科普及培训展厅，并打造北京市中小学生科普实践教育基地，2023年10月，基地试验田迎
来丰收，李老师通过探访基地，带来如下信息
信息一：基地有 、 两块试验田，分别种植普通水稻、粳稻“天隆优717”， 试验田比 试验
田少20亩；
信息二： 试验田总产量为10吨， 试验田总产量为23吨；
信息三：粳稻“天隆优717”的平均每亩产量是普通水稻平均每亩产量的1.15倍．
根据以上信息，求出粳稻“天隆优717”平均每亩产量．
【答案】0.575吨
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用，设普通水稻平均每亩产量为 吨，则粳稻“天隆优717”平均每亩
产量为 吨，利用 试验田比 试验田少20亩，可列方程，解方程即可解答，解题的关键是找出正确
的等量关系．
【详解】解：设普通水稻平均每亩产量为 吨，
则粳稻“天隆优717”平均每亩产量为 吨．
由题意可得，
第15页/共23页
学科网（北京）股份有限公司．
解得 ．
检验：当 时， ．
所以，原分式方程的解为 ．
．
答：粳稻“天隆优717”平均每亩产量为0.575吨．
25. 根据下面三位同学的探究交流过程，补充完成以下内容．
a．小明计算两个两位数（十位上的数相同，个位上的数的和是10）相乘的运算：
， ， ， ；
的
b．小明邀请田田尝试写出符合这个特征 其他算式，并计算出结果：
算式：________①___________；
c．小明与田田观察上面的运算，发现了运算规律：十位上的数相同，个位上的数的和为10的两个两位数
相乘，十位上的数乘以______②_______作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位和
个位；
d．小亚也参与了讨论，他们尝试用含有字母的式子表示上述规律：
如果设一个两位数十位上的数是 （ ，且 为整数），个位上的数是 （ ，且 为
整数），那么这个两位数可以表示为 ，则另一个两位数可以表示为_______③_______，上述规律
可以表示为_________④_________（用含 ， 的式子表示）；
e．他们尝试对这个规律进行证明：________⑤___________．
【 答 案 】 ① 答 案 不 唯 一 ， 如 ： ； ② 它 与 1 的 和 ； ③ ； ④
；⑤见解析
【解析】
【分析】①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”解答即可；
第16页/共23页
学科网（北京）股份有限公司②根据题干十位上的数乘以它与1的和的规律解答即可；
③根据题干规律另一个两位数十位相同，个位等于10减去上一个两位数的个位解答即可；
④根据题干这两个两位数相乘的规律解答即可；
⑤将 化简即可；
【详解】解：①根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”写出算式为：答案不唯一，如：
，
故答案为：答案不唯一，如： ；
②观察算式发现规律为：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果
的十位和个位，
故答案为：和它与1的和；
③根据题干规律“十位上的数相同，个位上的数的和是10”可得另一个两位数可以表示为 ，
故答案为： ；
④由②中的规律：十位上的数乘以它与1的作为结果的千位和百位，两个个位上的数相乘作为结果的十位
和个位可得： ，
故答案为： ；
⑤证明：
，
．
【点睛】该题重点考查了代数式表示以及整式乘法运算，解答的关键是读懂题意．
26. 如图，在 中， ， ，在线段 上取一点 ，便得 ，连接 ，
第17页/共23页
学科网（北京）股份有限公司在线段 延长线上取一点 ，使得 ， ．
（1）求 的度数（用含 的式子表示）；
（2）延长线段 至点 ，使得 ，连接 交 于点 ，依题意补全图形，用等式表示线段
与 的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2） ，见解析
【解析】
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关
键是掌握以上知识点；
（1）根据 ， ，得出 ，再根据 ，证明
，在 中，得出 ，再根据 ，即可得出
．
（2）依题意补全图形，在 上取一点 ，使得 ，连接 ，在 中，得出
， ，再根据 ，得出 ，故
第18页/共23页
学科网（北京）股份有限公司，证明 和 即可解答；
【小问1详解】
解： ， ，
．
，
．
在 中， ，
．
，
．
【小问2详解】
解：依题意补全图形，如图．
数量关系： ．
证明：在 上取一点 ，使得 ，连接 ．
在 中， ，且 ，
第19页/共23页
学科网（北京）股份有限公司．
，
．
．
，
．
， ．
，
．
，
．
．
．
，
．
．
．
27. 在平面直角坐标系 中，对于点 和点 （点 的横、纵坐标相等），给出如下定义： 为过点
且与 轴垂直的直线， 为过点 且与 轴垂直的直线，先作点 关于 的对称点 ，再
作点 关于 的对称点 ，则称点 是点 关于点 的“关联点”．
第20页/共23页
学科网（北京）股份有限公司例如：如图，点 关于原点 的“关联点”是 ．
（1）如果点 是点 关于点 的“关联点”，那么 ___________；
（2）点 关于点 的“关联点”为 ，如果 是以 为底的等腰三角形，求该三角
形的面积；
（3）点 关于点 的“关联点”为 ，如果以 为边的等腰直角三角形只在第一象限内，
直接写出 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3） 且
【解析】
【分析】该题主要考查了坐标与图形，等腰三角形性质，解不等式等知识点，解题的关键是读懂题意；
（1）根据点 是点 关于点 的“关联点”，根据对称性质即可解答；
（2）根据点 关于点 的“关联点”为 ，设点 关于直线 的对称点为 ，则点 关于直线
的对称点为 ．得到点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，点 到直线 的距离等于点 到直
线 的距离．即可得出 ，设 是 的中点，根据 是以 为底的等腰三角形，即
可得出 ，计算面积即可；
第21页/共23页
学科网（北京）股份有限公司（3）根据点 关于点 的“关联点”为 ，得出 和 ，再根据以 为边
的等腰直角三角形只在第一象限内，即可列不等式求解即可；
【小问1详解】
点 是点 关于点 的“关联点”，
；
【小问2详解】
∵点 关于点 的“关联点”为 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，则点 关于直线 的对称点为 ．
∴点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离，
点 到直线 的距离等于点 到直线 的距离．
设 是 的中点．
∵ 是以 为底的等腰三角形，
∴ ．
∴点 的纵坐标为2．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
第22页/共23页
学科网（北京）股份有限公司∴ ．
【小问3详解】
点 关于点 的“关联点”为 ，
，
以 为边的等腰直角三角形只在第一象限内，
解得： ，
时，不能构成三角形，
故 ，
故当 且 时，以 为边的等腰直角三角形只在第一象限内．
第23页/共23页
学科网（北京）股份有限公司
