第40讲数列的基本知识与概念_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N∗(或它的有限子集 {1， 2，⋯，n})为定义域的函数a =f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 n 列函数值． (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点二、数列的分类 (1)按照项数有限和无限分： 递增数列：a ≥a  n+1 n 递减数列：a ≥a (2)按单调性来分： n+1 n ，  常数列：a =a =C(常数)  n+1 n  摆动数列 知识点三、数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{a }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这 n 个公式叫做这个数列的通项公式． (2)递推公式：如果已知数列{a }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一 n 项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式． 【解题方法总结】 (1)若数列{a n }的前n项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =   S S 1 ， - n S =1 ，n≥2，n∈N∗ n n-1 注意：根据S 求a 时，不要忽视对n=1的验证． n n a ≥a a ≤a (2)在数列{a n }中，若a n 最大，则  a n ≥a n-1，若a n 最小，则  a n ≤a n-1. n n+1 n n+1 必考题型全归纳 1 题型一：数列的周期性 1779 (2024·全国·高三专题练习)在数列a n  第40讲 数列的基本知识与概念 知识梳理 知识点一、数列的概念 1 中，已知a >0，a =1，a = ，且a = n 1 n+2 a +1 100 n a ，则a +a = ( ) 96 2022 3 5 1+ 5 5 -1+ 5 A. B. C. D. 2 2 2 2 【答案】C 1 1 1 【解析】由a = ，可得a = = ， n+2 a +1 100 a +1 1 n 98 +1 a +1 96 1 因为a =a ，所以 =a ，整理得a2 +a -1=0， 100 96 1 96 96 96 +1 a +1 96 5-1 1 5-1 1 5-1 由于a >0，解得a = ，从而a = = ，a = = ， n 96 2 98 a +1 2 100 a +1 2 96 98 5-1 可知a =a =a =⋯=a = ， 96 98 100 2022 2 1 1 5 因为a = = ，所以a +a = ． 3 a +1 2 2022 3 2 1 第 页 共 页 1050 3427故选：C． 1780 (2024·全国·高三专题练习)在数列a n  中，a =7,a =24，对所有的正整数n都有a 1 2 n+1 =a +a ，则a = ( ) n n+2 2024 A.-7 B.24 C.-13 D.25 【答案】B 【解析】由a =a +a 得a =a +a ， n+1 n n+2 n+2 n+1 n+3 两式相加得a =-a ， n+3 n ∴a =-a =a ， n+6 n+3 n ∴a n  是以6为周期的数列， 而2024=337×6+2， ∴a =a =24. 2024 2 故选：B. 1781 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)斐波那契数列a n  可以用如下方法定义：a = n+2 a +a ，且a =a =1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列b n+1 n 1 2 n  ，则数列 b n  的第100项为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】由题意有a =a +a ，且a =a =1， n+2 n+1 n 1 2 若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{b }， n 则b =1，b =1，b =2，b =3，b =1，b =0，b =1，b =1，b =2...， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 则数列{b }是以6为周期的周期数列， n 则b =b =b =3， 100 16×6+4 4 则数列{b }的第100项为3， n 故选：D． 1782 (2024·全国·高三对口高考)已知数列a n  1 1 中，a = ,a =1- (n≥2)，则a = 1 2 n+1 a 2014 n ( ) 1 A. B.-1 C.2 D.1 2 【答案】A 【解析】数列a n  1 1 中，a = ,a =1- (n≥2)， 1 2 n+1 a n 1 1 1 1 可知a =1- =-1，a =1- =2，a =1- = =a ， 2 a 3 a 4 a 2 1 1 2 3 故数列a n  是以3为最小正周期的周期数列， 1 所以a =a =a = . 2014 671×3+1 1 2 故选：A 1783 (2024·全国·高三对口高考)设函数f定义如下，数列x n  满足x =5，且对任意自然数均 0 有x n+1 =fx n  ，则x 的值为 ( ) 2005 x 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 第 页 共 页 1051 3427fx  A.1 B.2 C.4 D.5 【答案】B 【解析】由对任意自然数均有x n+1 =fx n  ，且x =5， 0 可得x 1 =fx 0  =f5  =2，x 2 =fx 1  =f2  =1，x 3 =fx 2  =f1  =4， x 4 =fx 3  =f4  =5，x 5 =fx 4  =f5  =2，⋯⋯， 所以数列x n  是4项为周期的周期数列，且前四项分别为2,1,4,5， 所以x =x =x =2. 2005 501×4+1 1 故选：B. 1784 (2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)在数列a n  中，已知a =2,a =3，当n 1 2 ≥2时，a 是a ⋅a 的个位数，则a = ( ) n+1 n n-1 2023 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】因为a =2,a =3，当n≥2时，a 是a ⋅a 的个位数， 1 2 n+1 n n-1 所以a =6，a =8，a =8，a =4，a =2，a =8，a =6，a =8，a =8，a =4， 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 可知数列a n  中，从第3项开始有a =a ， n+6 n 即当n≥3时，a 的值以6为周期呈周期性变化， n 又2023÷6=337...1， 故a =a =2. 2023 1 故选：C. 1785 (2024·北京通州·统考三模)数列a n  中，a =2，a =4，a a =a (n≥2)，则a = 1 2 n-1 n+1 n 2023 ( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 【答案】C 【解析】因为a =2，a =4，a a =a (n≥2)，令n=2，则aa =a ，求得a =2， 1 2 n-1 n+1 n 1 3 2 3 1 1 令n=3，则a a =a ，求得a = ，令n=4，则a a =a ，求得a = ， 2 4 3 4 2 3 5 4 5 4 1 令n=5，则a a =a ，求得a = ，令n=6，则a a =a ，求得a =2， 4 6 5 6 2 5 7 6 7 令n=7，则a a =a ，求得a =4，⋯⋯， 6 8 7 8 所以数列a n  的周期为6，则a =a =2. 2023 1 故选：C 【解题方法总结】 解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2 题型二：数列的单调性 1786 (2024·北京密云·统考三模)设数列a n  的前n项和为S ，则“对任意n∈N*，a >0”是 n n “数列S n  为递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 第 页 共 页 1052 3427C.充分必要条件 D.既不是充分也不是必要条件 【答案】A 【解析】数列a n  中，对任意n∈N*，a >0， n 则S =S +a >S ,n≥2， n n-1 n n-1 所以数列S n  为递增数列，充分性成立； 当数列S n  为递增数列时，S >S ,n≥2， n n-1 即S +a >S ，所以a >0，n≥2， n-1 n n-1 n 如数列-1,2,2,2,⋯,不满足题意，必要性不成立； 所以“对任意n∈N*，a >0”是“数列S n n  为递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 1787 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  满足a =a>0,a =-a2+ta n∈N* 1 n+1 n n  ，若存 在实数t，使a n  单调递增，则a的取值范围是 ( ) A. 0,1  B. 1,2  C. 2,3  D. 3,4  【答案】A 【解析】由a n  单调递增，得a =-a2+ta >a ， n+1 n n n 由a =a>0，得a >0， 1 n ∴t>a +1(n∈N*). n n=1时，得t>a+1①， n=2时，得t>-a2+ta+1，即a-1  t<a+1  a-1  ②， 若a=1，②式不成立，不合题意； 若a>1，②式等价为t0， n+1 n 则λ2n+1-1  -n+1  2+4n+1  - λ2n-1   -n2+4n  =λ⋅2n-2n+3>0. 2n-3 整理得λ> ， 2n 2n-3 2n-1 2n-3 5-2n 令c = ，则c -c = - = ,n∈N*， n 2n n+1 n 2n+1 2n 2n+1 当n≤2时，c >c ，当n≥3时，c 2n 8 3 ， 8 3 所以λ的取值范围为{λλ> 8  ． 故选：A 1789 (2024·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试)数列a n  的通项公式 1 为a =kn2+n+1，则“k>- ”是“a n 3 n  为递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 【答案】B 【解析】由题意得数列a n  为递增数列等价于对任意n∈N*,a -a = n+1 n kn+1   2+n+2  -kn2+n+1  =2kn+k+1>0恒成立， 1 即k>- 对任意n∈N*恒成立， 2n+1 1 因为- <0，且可以无限接近于0，所以k≥0， 2n+1 1 所以“k>- ”是“a 3 n  为递增数列”的必要不充分条件， 故选：B 1790 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  的通项公式为a =n2-3λn，则“λ<1”是“数 n 列a n  为递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若数列a n  为递增数列， 则a n+1 -a n = n+1  2-3λn+1    -n2-3λn  =n2+2n+1-3nλ-3λ  -n2-3λn  =2n+1-3λ>0， 即3λ<2n+1 由n∈N*，所以有3λ<2×1+1=3⇔λ<1， 反之，当λ<1时，a -a >0，则数列a n+1 n n  为递增数列， 所以“λ<1”是“数列a n  为递增数列”的充要条件， 故选：C. 3-t 1791 (2024·江苏南通·高三期末)已知数列{a }是递增数列，且a = n n  n-8, n≤6  ，则  tn-6, n>6 实数t的取值范围是 ( ) A. 2,3  B. 2,3  10 C.  ,3 7  D. 1,3  【答案】C 3-t 【解析】因为a = n  n-8, n≤6   tn-6, n>6 ，{a n }是递增数列， 第 页 共 页 1054 34273-t>0  10 所以t>1 ，解得 -2． 2 1 故选：A 【解题方法总结】 解决数列的单调性问题的3种方法 作差比较法 根据a n+1 -a n 的符号判断数列a n  是递增数列、递减数列或是常数列 a 作商比较法 根据 n+1(a >0或a <0)与1的大小关系进行判断 a n n n 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 第 页 共 页 1055 34273 题型三：数列的最大(小)项 1794 (2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)数列2n-1  和数列3n-2  的公共项 从小到大构成一个新数列a n  ，数列b n  a 满足：b = n，则数列b n 2n n  的最大项等于 . 7 【答案】 /1.75 4 【解析】数列2n-1  和数列3n-2  的公共项从小到大构成一个新数列为： 1,7,13,⋅⋅⋅，该数列为首项为1，公差为6的等差数列， 所以a =6n-5， n 6n-5 所以b = n 2n 6n+1 6n-5 11-6n 因为b -b = - = n+1 n 2n+1 2n 2n+1 所以当n≥2时，b -b <0，即b >b >b >⋯， n+1 n 2 3 4 又b 0，即b >b ，因此当n≥2时，数列{b }是递增的， n+1 n n 又b 1 =-2,b 2 =-4，所以n2-3n  ⋅log 2S n +1  的最小值为-4. 故答案为：-4 1796 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  a 满足a =18，a -a =3n，则 n 的最小值 1 n+1 n n 为 【答案】9 【解析】由已知可得，a =a +3n， n+1 n 所以当n≥2时，有a n =a n-1 +3n-1  . 则有 a =18， 1 a =a +3×1， 2 1 a =a +3×2， 3 2 ⋯ a n =a n-1 +3n-1  ， 两边分别相加可得，a +a +a +⋯+a =a +a +⋯+a +18+3×1+3×2+⋯ 1 2 3 n 1 2 n-1 +3n-1  n-1 =a +a +⋯+a +18+ 1 2 n-1  3+3n-3  3nn-1 =a +a +⋯+a + 2 1 2 n-1  2 第 页 共 页 1056 3427+18， 3nn-1 所以a = n  +18. 2 当n=1时，a =18满足条件. 1 3nn-1 所以，a = n  +18， 2 a 3n-1 所以 n = n  18 3n 18 3 + = + - . 2 n 2 n 2 设fx  3x 18 3 = + - ， 2 x 2 根据对勾函数的性质可知，当02 3时，fx  单调 递增. 又f3  3×3 18 3 = + - =9，f4 2 3 2  3×4 18 3 = + - =9， 2 4 2 a 所以，当n=3或n=4时， n 有最小值为9. n 故答案为：9. 1797 (2024·全国·高三专题练习)已知正项数列a n  满足a =1，a =64，a a =ka2 ，若a 1 2 n n+2 n+1 5 是a n  唯一的最大项，则k的取值范围为 ． 1 2 【答案】 , 4 4  a a 【解析】因为a a =ka2 ，所以 n+2 =k n+1，又a =1，a =64， n n+2 n+1 a a 1 2 n+1 n a 所以 n+1  a n  a 是首项为64，公比为k的等比数列，则 n+1 =64kn-1=26kn-1， a n a a a (n-2)(n-1) 则a = n ⋅ n-1 ⋅⋯⋅ 2 ⋅a =26kn-2⋅26kn-3⋅⋯⋅26k0⋅1=26n-6k 2 ， n a a a 1 n-1 n-2 1 因为a 是a 5 n  唯一的最大项，所以  a a 5 > > a a 6，即   2 2 2 2 4 4 k k 6 6 > > 2 2 3 18 0 k k 3 10 ，解得 4 1 0或a >0时 n+1 >1，则a >a ， n+1 n n a n+1 n n 则数列a n  是递增数列，所以数列a n  的最小项为a =f(1)；若有a -a =f(n+1)- 1 n+1 n a f(n)<0或a >0时 n+1 <1，则a 0，所以00，a =60-64=-4<0，所以52n，即a >0， n 当n∈6,+∞  时，10n<2n，即a <0，所以当n=5时，S 取得最大值，即k=5. n n 故答案为：5. 1810 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  1 1 1 满足a = + +⋅⋅⋅+ ，若k≥a 恒成 n n n+1 2n n 立，则实数k的最小值为 ． 3 【答案】 /1.5 2 1 1 1 1 1 2 【解析】∵a -a = + - = + - <0， n+1 n 2n+1 2n+2 n 2n+1 2n+2 2n ∴数列a n  为单调递减数列，a n  3 max =a 1 = 2 ．从而k≥a n  3 = ， max 2 3 即k的最小值为 ． 2 3 故答案为： 2 1811 (2024·河南郑州·高三校联考阶段练习)数列a n  1 满足a -a = (n≥2，且n n n-1 n(n+1) ∈N*)，a =2，对于任意n∈N*有λ>a 恒成立，则λ的取值范围是 . 1 n 5 【答案】  ,+∞  2  1 【解析】∵a -a = n n-1 nn+1  1 1 1 ∴a -a = = - 2 1 2×3 2 3 1 1 1 a -a = = - 3 2 3×4 3 4 1 1 1 a -a = = - 4 3 4×5 4 5 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 1 1 1 a -a = = - n n-1 n×(n+1) n n+1 1 1 从而可得a -a = - n 1 2 n+1 5 1 5 5 即a = - ，因为a < ，所以λ≥ . n 2 n+1 n 2 2 5 故答案为：  ,+∞  2  1812 (2024·全国·高三专题练习)数列a n  满足a =n2+kn+2，若不等式a ≥a 恒成立，则 n n 4 第 页 共 页 1062 3427实数k的取值范围是 ( ) A. -9,-8  B. -9,-7  C. -9,-8  D. -9,-7  【答案】B k 【解析】a =n2+kn+2=n+ n 2  2 k2 - +2， 2 ∵不等式a ≥a 恒成立， n 4 k ∴3.5≤- ≤4.5， 2 解得-9≤k≤-7， 故选：B． 1 1 1813 (2024·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习)数列{a }满足a = ，a = ，若 n 1 4 n+1 4-4a n a a a 不等式 2 + 3 +⋯+ n+2 a ，a =2a +1，写出一个符合上 n+1 n 2n n 述条件的数列a n  的通项公式 . 【答案】a =n-1(答案不唯一) n 【解析】由a 2n =2a n +1得：a 2n +1=2a n +1  ， 则当a n =n-1时，a n +1=n，∴a 2n +1=2n，故a n =n-1n∈N∗  满足递推关系， 又a n+1 -a n =n-n-1  =1>0，满足a >a ， n+1 n ∴满足条件的数列a n  的一个通项公式为：a =n-1. n 故答案为：a =n-1(答案不唯一). n 1817 (2024·全国·模拟预测)斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故 又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，⋯．在实际生活中， 很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在 现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列a n  满足：a =a =1，a = 1 2 n+2 a n+1 +a nn∈N∗  ，则1+a +a +a +a +⋯+a 是斐波那契数列a 3 5 7 9 2022 n  中的第 项． 【答案】2023 【解析】由a n+2 =a n+1 +a nn∈N∗  可得1+a +a +a +a +⋯+a 3 5 7 9 2022 =a +a +a +a +a +⋯+a =a +a +a +a +⋯+a 2 3 5 7 9 2022 4 5 7 9 2022 =a +a +a +⋯+a =⋯=a +a =a . 6 7 9 2022 2021 2022 2023 故答案为：2023. 1818 (2024·全国·高三专题练习)将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使 得相邻顶点的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？ 【解析】记一个n边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不 相同的方法数为T．易知T =A3=6，T =(3×2×1×2+3×2×1×1)=18． n 3 3 4 对于任意一个n(n≥5)边形，记A,A ,⋯,A 顺次为这个n边形的顶点，则对它按题设 1 2 n 要求染色，有两种情况： ①A ，A 异色，共有T 种方法； 1 n-1 n-1 ②A ，A 同色，共有2T 种方法． 1 n-1 n-2 因此T n =T n-1 +2T n-2n≥5  ． 第 页 共 页 1064 3427所以T -2T =-(T -2T ) n n-1 n-1 n-2 T -2T 所以 n n-1 =-1，(n≥5) T -2T n-1 n-2 又T -2T =18-12=6， 4 3 所以T -2T =6×(-1)n-4=6×(-1)n， n n-1 所以T =2T +6×(-1)n， n n-1 所以T -2(-1)n=2(T -2×(-1)n-1)， n n-1 T -2(-1)n 所以 n =2， T -2×(-1)n-1 n-1 所以T -2(-1)n=(6-2(-1)3)×2n-3， n 所以T n =2-1  n+2n. 适合n=3,4. 因此T n =2-1  n+2n，∴T =22021-2． 2021 1819 (2024·全国·高三专题练习)已知平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任何三条不 共线．问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？ 【解析】设k条直线把平面分成的部分为a 个．显然a =2． k 1 第k+1条直线与前k条直线共有k个互不相同的交点，它被这k个交点分成k+1段，每 段都将它所在的部分一分为二． 因此有a =a +k+1．即a -a =k+1. k+1 k k+1 k 由此递推公式，累加即得 a n =a n -a n-1  +a n-1 -a n-2  +⋯+a 2 -a 1  +a 1 =n+n-1  nn+1 +⋯+2+1+1=  +1．该式适合n=1. 2 nn+1 故这些直线把平面分成  +1部分． 2 注意到n条直线中的每条都被另外的n-1条截成n段，其中恰有两端的两条射线是无 界的， 因此共有2n条射线．被n条直线分成的诸部分中，围成每个无界区域的边界折线恰有 两条是射线， 而且每条射线恰是两个无界区域的公共边界．所以共有2n个无界部分． 1820 (2024·全国·高三专题练习)(1)学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连 续出现正面的可能情形有多少种？ (2)用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成 多少个不同的6位数？ 【解析】(1)设甲投掷nn≥2  次，不连续出现正面的可能情形有a 种，考虑最后一次投 n 掷：若最后一次呈现反面，则前n-1次有a 种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二 n-1 次必是反面，前n-2次有a n-2 种不同的方法.由加法原理得：a n =a n-1 +a n-2n≥4  ，易 知其初值a =3，a =5， 2 3 则a =a +a =8,a =a +a =13,a =a +a =21, 4 2 3 5 3 4 6 4 5 a =a +a =34,a =a +a =55,a =a +a =89,a =a +a =144, 7 5 6 8 6 7 9 7 8 10 8 9 ∴甲投掷10次，不连续出现正面的可能情形有144种. (2)设用1，2，3，4四个数字组成符合条件的一个n位数，有a 种方法. n 若末位是1，则倒数第二位只能是2，3或4，符合条件的有3a 个； n-2 若末位是2，3或4，则符合条件的有3a 个； n-1 第 页 共 页 1065 3427由加法原理得：a n =3a n-1 +3a n-2n≥3  ，又a =4,a =15, 1 2 ∴a =57,a =216,a =819,a =3105, 3 4 5 6 故用1，2，3，4四个数字可以组成符合条件的不同的6位数有3105个 第 页 共 页 1066 3427