第40讲数列的基本知识与概念_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的
项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N∗(或它的有限子集 {1，
2，⋯，n})为定义域的函数a =f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一
n
列函数值．
(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
知识点二、数列的分类
(1)按照项数有限和无限分：
递增数列：a ≥a
 n+1 n
递减数列：a ≥a
(2)按单调性来分： n+1 n ，

常数列：a =a =C(常数)
 n+1 n

摆动数列
知识点三、数列的两种常用的表示方法
(1)通项公式：如果数列{a }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这
n
个公式叫做这个数列的通项公式．
(2)递推公式：如果已知数列{a }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一
n
项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数
列的递推公式．
【解题方法总结】
(1)若数列{a n }的前n项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =   S S 1 ， - n S =1 ，n≥2，n∈N∗
n n-1
注意：根据S 求a 时，不要忽视对n=1的验证．
n n
a ≥a a ≤a
(2)在数列{a
n
}中，若a
n
最大，则
 a
n
≥a
n-1，若a
n
最小，则
 a
n
≤a
n-1.
n n+1 n n+1
必考题型全归纳
1 题型一：数列的周期性
1779 (2024·全国·高三专题练习)在数列a
n

第40讲 数列的基本知识与概念
知识梳理
知识点一、数列的概念
1
中，已知a >0，a =1，a = ，且a =
n 1 n+2 a +1 100
n
a ，则a +a = ( )
96 2022 3
5 1+ 5 5 -1+ 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】C
1 1 1
【解析】由a = ，可得a = = ，
n+2 a +1 100 a +1 1
n 98 +1
a +1
96
1
因为a =a ，所以 =a ，整理得a2 +a -1=0，
100 96 1 96 96 96
+1
a +1
96
5-1 1 5-1 1 5-1
由于a >0，解得a = ，从而a = = ，a = = ，
n 96 2 98 a +1 2 100 a +1 2
96 98
5-1
可知a =a =a =⋯=a = ，
96 98 100 2022 2
1 1 5
因为a = = ，所以a +a = ．
3 a +1 2 2022 3 2
1
第 页 共 页
1050 3427故选：C．
1780 (2024·全国·高三专题练习)在数列a
n
 中，a =7,a =24，对所有的正整数n都有a
1 2 n+1
=a +a ，则a = ( )
n n+2 2024
A.-7 B.24 C.-13 D.25
【答案】B
【解析】由a =a +a 得a =a +a ，
n+1 n n+2 n+2 n+1 n+3
两式相加得a =-a ，
n+3 n
∴a =-a =a ，
n+6 n+3 n
∴a
n
 是以6为周期的数列，
而2024=337×6+2，
∴a =a =24.
2024 2
故选：B.
1781 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)斐波那契数列a
n
 可以用如下方法定义：a =
n+2
a +a ，且a =a =1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列b
n+1 n 1 2 n
 ，则数列
b
n
 的第100项为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】D
【解析】由题意有a =a +a ，且a =a =1，
n+2 n+1 n 1 2
若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列{b }，
n
则b =1，b =1，b =2，b =3，b =1，b =0，b =1，b =1，b =2...，
1 2 3 4 5 6 7 8 9
则数列{b }是以6为周期的周期数列，
n
则b =b =b =3，
100 16×6+4 4
则数列{b }的第100项为3，
n
故选：D．
1782 (2024·全国·高三对口高考)已知数列a
n

1 1
中，a = ,a =1- (n≥2)，则a =
1 2 n+1 a 2014
n
( )
1
A. B.-1 C.2 D.1
2
【答案】A
【解析】数列a
n

1 1
中，a = ,a =1- (n≥2)，
1 2 n+1 a
n
1 1 1 1
可知a =1- =-1，a =1- =2，a =1- = =a ，
2 a 3 a 4 a 2 1
1 2 3
故数列a
n
 是以3为最小正周期的周期数列，
1
所以a =a =a = .
2014 671×3+1 1 2
故选：A
1783 (2024·全国·高三对口高考)设函数f定义如下，数列x
n
 满足x =5，且对任意自然数均
0
有x n+1 =fx n  ，则x 的值为 ( ) 2005
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
第 页 共 页
1051 3427fx 
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】B
【解析】由对任意自然数均有x n+1 =fx n  ，且x =5， 0
可得x 1 =fx 0  =f5  =2，x 2 =fx 1  =f2  =1，x 3 =fx 2  =f1  =4，
x 4 =fx 3  =f4  =5，x 5 =fx 4  =f5  =2，⋯⋯，
所以数列x
n
 是4项为周期的周期数列，且前四项分别为2,1,4,5，
所以x =x =x =2.
2005 501×4+1 1
故选：B.
1784 (2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)在数列a
n
 中，已知a =2,a =3，当n
1 2
≥2时，a 是a ⋅a 的个位数，则a = ( )
n+1 n n-1 2023
A.4 B.3 C.2 D.1
【答案】C
【解析】因为a =2,a =3，当n≥2时，a 是a ⋅a 的个位数，
1 2 n+1 n n-1
所以a =6，a =8，a =8，a =4，a =2，a =8，a =6，a =8，a =8，a =4，
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
可知数列a
n
 中，从第3项开始有a =a ，
n+6 n
即当n≥3时，a 的值以6为周期呈周期性变化，
n
又2023÷6=337...1，
故a =a =2.
2023 1
故选：C.
1785 (2024·北京通州·统考三模)数列a
n
 中，a =2，a =4，a a =a (n≥2)，则a =
1 2 n-1 n+1 n 2023
( )
1 1
A. B. C.2 D.4
4 2
【答案】C
【解析】因为a =2，a =4，a a =a (n≥2)，令n=2，则aa =a ，求得a =2，
1 2 n-1 n+1 n 1 3 2 3
1 1
令n=3，则a a =a ，求得a = ，令n=4，则a a =a ，求得a = ，
2 4 3 4 2 3 5 4 5 4
1
令n=5，则a a =a ，求得a = ，令n=6，则a a =a ，求得a =2，
4 6 5 6 2 5 7 6 7
令n=7，则a a =a ，求得a =4，⋯⋯，
6 8 7 8
所以数列a
n
 的周期为6，则a =a =2.
2023 1
故选：C
【解题方法总结】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2 题型二：数列的单调性
1786 (2024·北京密云·统考三模)设数列a
n
 的前n项和为S ，则“对任意n∈N*，a >0”是
n n
“数列S
n
 为递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
第 页 共 页
1052 3427C.充分必要条件 D.既不是充分也不是必要条件
【答案】A
【解析】数列a
n
 中，对任意n∈N*，a >0，
n
则S =S +a >S ,n≥2，
n n-1 n n-1
所以数列S
n
 为递增数列，充分性成立；
当数列S
n
 为递增数列时，S >S ,n≥2，
n n-1
即S +a >S ，所以a >0，n≥2，
n-1 n n-1 n
如数列-1,2,2,2,⋯,不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意n∈N*，a >0”是“数列S
n n
 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
1787 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 满足a =a>0,a =-a2+ta n∈N*
1 n+1 n n
 ，若存
在实数t，使a
n
 单调递增，则a的取值范围是 ( )
A. 0,1  B. 1,2  C. 2,3  D. 3,4 
【答案】A
【解析】由a
n
 单调递增，得a =-a2+ta >a ，
n+1 n n n
由a =a>0，得a >0，
1 n
∴t>a +1(n∈N*).
n
n=1时，得t>a+1①，
n=2时，得t>-a2+ta+1，即a-1  t<a+1  a-1  ②，
若a=1，②式不成立，不合题意；
若a>1，②式等价为t<a+1，与①式矛盾，不合题意.
综上，排除B，C，D.
故选：A
1788 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n

a a a
满足 1 + 2 +⋯+ n =nn∈N*
2 22 2n
 ,b =
n
λa n -1  -n2+4n，若数列b n  为单调递增数列，则λ的取值范围是 ( )
3
A.  ,+∞
8

1
B.  ,+∞
2

3
C.   ,+∞
 8

1
D.   ,+∞
 2

【答案】A
a a a
【解析】由 1 + 2 +⋯+ n =nn∈N*
2 22 2n

a a a
可得 1 + 2 +⋯+ n-1 =n-1n≥2
2 22 2n-1
 ，
a
两式相减可得 n =1，则a =2n,n≥2，
2n n
a
当n=1时， 1 =1可得a =2满足上式，故a =2n n∈N*
2 1 n
 ，
所以b n =λ2n-1  -n2+4n，
因数列b
n
 为单调递增数列，即∀n∈N*，b -b >0，
n+1 n
则λ2n+1-1  -n+1  2+4n+1  - λ2n-1   -n2+4n  =λ⋅2n-2n+3>0.
2n-3
整理得λ> ，
2n
2n-3 2n-1 2n-3 5-2n
令c = ，则c -c = - = ,n∈N*，
n 2n n+1 n 2n+1 2n 2n+1
当n≤2时，c >c ，当n≥3时，c <c ，
n+1 n n+1 n
第 页 共 页
1053 34273
于是得c = 是数列c
3 8 n

2n-3 3
的最大项，即当n=3时， 取得最大值 ，从而得λ>
2n 8
3
，
8
3
所以λ的取值范围为{λλ>
8
 ．
故选：A
1789 (2024·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试)数列a
n
 的通项公式
1
为a =kn2+n+1，则“k>- ”是“a
n 3 n
 为递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
【答案】B
【解析】由题意得数列a
n
 为递增数列等价于对任意n∈N*,a -a =
n+1 n
kn+1   2+n+2  -kn2+n+1  =2kn+k+1>0恒成立，
1
即k>- 对任意n∈N*恒成立，
2n+1
1
因为- <0，且可以无限接近于0，所以k≥0，
2n+1
1
所以“k>- ”是“a
3 n
 为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
1790 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 的通项公式为a =n2-3λn，则“λ<1”是“数
n
列a
n
 为递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若数列a
n
 为递增数列，
则a n+1 -a n = n+1  2-3λn+1    -n2-3λn 
=n2+2n+1-3nλ-3λ

-n2-3λn

=2n+1-3λ>0，
即3λ<2n+1
由n∈N*，所以有3λ<2×1+1=3⇔λ<1，
反之，当λ<1时，a -a >0，则数列a
n+1 n n
 为递增数列，
所以“λ<1”是“数列a
n
 为递增数列”的充要条件，
故选：C.
3-t
1791 (2024·江苏南通·高三期末)已知数列{a }是递增数列，且a = n n
 n-8, n≤6 
，则  tn-6, n>6
实数t的取值范围是 ( )
A. 2,3  B. 2,3 
10
C.  ,3
7
 D. 1,3 
【答案】C
3-t
【解析】因为a = n
 n-8, n≤6 
 tn-6, n>6 ，{a n }是递增数列，
第 页 共 页
1054 34273-t>0
 10
所以t>1 ，解得 <t<3，
7
(3-t)×6-8<t
10
所以实数t的取值范围为 ,3
7
 ，
故选：C
1792 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  满足a n+1 =log 2a n +1  ，若a n  是递增数列，
则a 的取值范围是 ( )
1
A. 0,1  B. 0, 2  C. -1,0  D. 1,+∞ 
【答案】A
【解析】因为a n  是递增数列，所以a n <a n+1 ，即a n <log 2a n +1  ．
如图所示，作出函数y=x和y=log 2x+1  的图象，
由图可知，当x∈0,1  时，x<log 2x+1  ，且log 2x+1  ∈0,1  ．
故当a 1 ∈0,1  时，a 1 <log 2a 1 +1  =a 2 ，且a 2 ∈0,1  ，
依此类推可得a <a <a <⋯，
1 2 3
满足a n  是递增数列，即a 1 的取值范围是0,1  ．
故选:A.
1793 (2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知数列a
n
 为递减数列，其前n项
和S =-n2+2n+m，则实数m的取值范围是( )．
n
A. -2,+∞  B. -∞,-2  C. 2,+∞  D. -∞,2 
【答案】A
【解析】因为a -a <0，所以数列a
n+1 n n
 为递减数列，
当n≥2时，a n =S n -S n-1 =-n2+2n+m- -n-1  2+2n-1   +m  =-2n+3，
故可知当n≥2时，a
n
 单调递减，
故a
n
 为递减数列，只需满足a <a ，即-1<1+m⇒m>-2．
2 1
故选：A
【解题方法总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法 根据a n+1 -a n 的符号判断数列a n  是递增数列、递减数列或是常数列
a
作商比较法 根据 n+1(a >0或a <0)与1的大小关系进行判断
a n n
n
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
第 页 共 页
1055 34273 题型三：数列的最大(小)项
1794 (2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)数列2n-1  和数列3n-2  的公共项
从小到大构成一个新数列a
n
 ，数列b
n

a
满足：b = n，则数列b
n 2n n
 的最大项等于
.
7
【答案】 /1.75
4
【解析】数列2n-1  和数列3n-2  的公共项从小到大构成一个新数列为：
1,7,13,⋅⋅⋅，该数列为首项为1，公差为6的等差数列，
所以a =6n-5，
n
6n-5
所以b =
n 2n
6n+1 6n-5 11-6n
因为b -b = - =
n+1 n 2n+1 2n 2n+1
所以当n≥2时，b -b <0，即b >b >b >⋯，
n+1 n 2 3 4
又b <b ，
1 2
所以数列b
n

7
的最大项为第二项，其值为 .
4
7
故答案为： .
4
1795 (2024·全国·高三专题练习)记S 为数列a n n  的前n项和，若a n =2n-1，则n2-3n  ⋅
log 2S n +1  的最小值为 ．
【答案】-4
【解析】依题意，数列a
n

1-2n
是首项为1，公比为2的等比数列，则S = =2n-1，
n 1-2
于是(n2-3n)⋅log (S +1)=n3-3n2，令b =n3-3n2，
2 n n
则有b -b =(n+1)3-3(n+1)2-(n3-3n2)=3n2-3n-2，
n+1 n
显然当n≥2时，3n2-3n-2>0，即b >b ，因此当n≥2时，数列{b }是递增的，
n+1 n n
又b 1 =-2,b 2 =-4，所以n2-3n  ⋅log 2S n +1  的最小值为-4.
故答案为：-4
1796 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n

a
满足a =18，a -a =3n，则 n 的最小值
1 n+1 n n
为
【答案】9
【解析】由已知可得，a =a +3n，
n+1 n
所以当n≥2时，有a n =a n-1 +3n-1  .
则有
a =18，
1
a =a +3×1，
2 1
a =a +3×2，
3 2
⋯
a n =a n-1 +3n-1  ，
两边分别相加可得，a +a +a +⋯+a =a +a +⋯+a +18+3×1+3×2+⋯
1 2 3 n 1 2 n-1
+3n-1 
n-1
=a +a +⋯+a +18+ 1 2 n-1
 3+3n-3  3nn-1
=a +a +⋯+a + 2 1 2 n-1

2
第 页 共 页
1056 3427+18，
3nn-1
所以a =
n

+18.
2
当n=1时，a =18满足条件.
1
3nn-1
所以，a =
n

+18，
2
a 3n-1
所以 n =
n
 18 3n 18 3
+ = + - .
2 n 2 n 2
设fx 
3x 18 3
= + - ，
2 x 2
根据对勾函数的性质可知，当0<x<2 3时，fx  单调递减；当x>2 3时，fx  单调
递增.
又f3 
3×3 18 3
= + - =9，f4
2 3 2

3×4 18 3
= + - =9，
2 4 2
a
所以，当n=3或n=4时， n 有最小值为9.
n
故答案为：9.
1797 (2024·全国·高三专题练习)已知正项数列a
n
 满足a =1，a =64，a a =ka2 ，若a
1 2 n n+2 n+1 5
是a
n
 唯一的最大项，则k的取值范围为 ．
1 2
【答案】 ,
4 4

a a
【解析】因为a a =ka2 ，所以 n+2 =k n+1，又a =1，a =64，
n n+2 n+1 a a 1 2
n+1 n
a
所以 n+1
 a
n

a
是首项为64，公比为k的等比数列，则 n+1 =64kn-1=26kn-1，
a
n
a a a (n-2)(n-1)
则a = n ⋅ n-1 ⋅⋯⋅ 2 ⋅a =26kn-2⋅26kn-3⋅⋯⋅26k0⋅1=26n-6k 2 ，
n a a a 1
n-1 n-2 1
因为a 是a 5 n  唯一的最大项，所以  a a 5 > > a a 6，即   2 2 2 2 4 4 k k 6 6 > > 2 2 3 18 0 k k 3 10 ，解得 4 1 <k< 4 2 ，
5 4
1 2
即k的取值范围为 ,
4 4
 .
1 2
故答案为： ,
4 4
 .
1798 (2024·高三课时练习)数列a
n

2n-1,n≤4,

的通项公式为a
n
=
-n2+(a-1)n,n≥5,
若a
5
是a
n

中的最大项，则a的取值范围是 ．
【答案】9,12 
【解析】当n≤4时，a =2n-1单调递增，
n
因此n=4时，取得最大值为a =15，
4
a-1 当n≥5时，a =-n2+(a-1)n=-n-
n 2
 (a-1)2 2 + ，
4
因为a 是a
5 n
 中的最大项，
a-1
 ≤5.5
所以 2 解得9≤a≤12，
-25+5(a-1)≥15
故答案为: 9,12  .
1799 (2024·北京·高三北京八中校考阶段练习)数列a
n
 中，a =-n2+11nn∈N*
n
 ，则此数
第 页 共 页
1057 3427列最大项的值是 ．
【答案】30
11
【解析】设f(n)=-n2+11n，则该数列当n= 时，f(n)取最大值，
2
又因为a =-n2+11nn∈N*
n

11
，而5< <6，
2
故当n=5或n=6时，此数列取最大项，其值为a =30，a =30，
5 6
故此数列最大项的值是：30
故答案为：30
1800 (2024·全国·高三专题练习)已知a n =n2-tn+2022n∈N + ,t∈R  ，若数列a n  中最小
项为第3项，则t∈ ．
【答案】(5,7)
【解析】因为fx 
t
=x2-tx+2020开口向上，对称轴为x= ，
2
5 t 7
则由题意知 < < ，
2 2 2
所以t∈(5,7)．
故答案为：(5,7).
1801 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 的通项公式为a =n- n2+2，则a 的最小
n n
值为 .
【答案】1- 3/- 3+1
n- n2+2
【解析】因为a =n- n2+2=
n
 n+ n2+2  2
=- ，
n+ n2+2 n+ n2+2
易知数列a
n
 为递增数列，
所以数列a
n
 的最小项为a ，即最小值为1- 3.
1
故答案为：1- 3
【解题方法总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法
(1)将数列视为函数f(x)当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f(x)的类型作出相应的
函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项．
a ≥a
(2)通过通项公式a
n
研究数列的单调性，利用 
 a
n
≥a
n-1，(n≥2)确定最大项，利用
n n+1
a ≤a


n n-1，(n≥2)确定最小项．
a ≤a
n n+1
a
(3)比较法：若有a -a =f(n+1)-f(n)>0或a >0时 n+1 >1，则a >a ，
n+1 n n a n+1 n
n
则数列a
n
 是递增数列，所以数列a
n
 的最小项为a =f(1)；若有a -a =f(n+1)-
1 n+1 n
a
f(n)<0或a >0时 n+1 <1，则a <a ，则数列a
n a n+1 n n
n
 是递减数列，所以数列a
n

的最大项为a =f(1)．
1
4 题型四：数列中的规律问题
1802 (2024·全国·高三专题练习)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，
它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示
的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为a ，则a =
n 7
第 页 共 页
1058 3427( )
A.110 B.128 C.144 D.89
【解析】已知a 表示第n行中的黑圈个数，设b 表示第n行中的白圈个数，
n n
则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和
2个黑圈，
所以a =2a +b ，b =a +b ，
n+1 n n n+1 n n
又因为a =0，b =1，
1 1
所以a =1，b =1；
2 2
a =2×1+1=3，b =1+1=2；
3 3
a =2×3+2=8，b =3+2=5；
4 4
a =2×8+5=21，b =8+5=13；
5 5
a =2×21+13=55，b =21+13=34；
6 6
a =2×55+34=144．
7
故选：C.
1803 (2024·云南保山·统考二模)我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里
出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做
是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列
2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列的第56项为 ( )
A.11 B.12 C.13 D.14
【解析】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，...，
nn+1
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则T =
n

，
2
可得当n=10，所有项的个数和为55，第56项为12，
故选：B.
1804 (2024·全国·高三专题练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三
n(n+1) 1 1
角形数1，3，6，10，第n个三角形数为 = n2+ n.记第n个k边形数为
2 2 2
Nn,k 
1
(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：N(n,3)= n2
2
1 3 1
+ n；正方形数：N(n,4)=n2；五边形数：N(n,5)= n2- n；六边形数：N(n,6)=2n2
2 2 2
第 页 共 页
1059 3427-n，可以推测Nn,k  的表达式，由此计算N20,23  = ( )
A.4020 B.4010 C.4210 D.4120
1 1 2 0
【解析】由题意可得：N(n,3)= n2+ n，N(n,4)= n2+ n，
2 2 2 2
3 1 4 2
N(n,5)= n2- n，N(n,6)= n2- n.
2 2 2 2
k-2 4-k
由此可归纳N(n,k)= n2+ n，
2 2
23-2 4-23
所以N(20,23)= ×202+ ×20=4010，
2 2
故选：B.
1805 (2024·全国·高三专题练习)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一
定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，
如1，3，6，10，15，21，⋯这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角
形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列a
n
 类似地，数1，4，9，16，⋯叫做
正方形数，则在三角数列a
n
 中，第二个正方形数是 ( )
A.28 B.36 C.45 D.55
【解析】由题意可得，三角数列a
n

nn+1
的通项为a =
n

，
2
则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，⋯.，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为b
n
 ，则b =n2，
n
其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，⋯，
∴在三角数列a
n
 中，第二个正方形数是36.
故选：B.
1806 (2024·全国·高三专题练习)早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达
这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国
传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，
40，50，60，72，⋯，若记该数列为a
n
 ，则a -a = ( )
2021 2020
A.2018 B.2020 C.2022 D.2024
【解析】由题设中的数据可知数列a
n
 满足：a -a =2n，a -a =2n，
2n 2n-1 2n+1 2n
第 页 共 页
1060 3427故a -a =2×1010=2020，
2021 2020
故选：B．
1807 (2024·全国·高三专题练习)观察下列各式：
a+b=1；
a2+b2=3；
a3+b3=4；
a4+b4=7；
a5+b5=11；
⋯
则a10+b10= ( )
A.28 B.76 C.123 D.10
【解析】设an+bn=fn  ,则
f3  =f1  +f2  =4,f4  =f2  +f3  =7,f5  =f3  +f4  =11,⋯
通过观察不难发现：fn  =fn-1  +fn-2  ,从而
f6  =f4  +f5  =18,f7  =f5  +f6  =29,f8  =f6  +f7  =47,
f9  =f7  +f8  =76,f10  =f8  +f9  =123,
故a10+b10=123，
故选：C.
1808 (2024·全国·高三专题练习)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一
定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数，
如1，3，6，10，15，21，⋯这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角
形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列a
n
 ．类似地，数1，4，9，16，⋯叫做
正方形数，则在三角数列a
n
 中，第二个正方形数是 ( )
A.36 B.25 C.49 D.64
【解析】由题意可得，三角数列a
n

nn+1
的通项为a =
n

，则三角数列的前若干项为
2
1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，⋯，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为b
n
 ，则b =n2，其前若干项为1，4，9，16，
n
25，36，49，⋯，
∴在三角数列a
n
 中，第二个正方形数是36．
故选：A．
【解题方法总结】
特殊值法、列举法找规律
5 题型五：数列的恒成立问题
1809 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 的通项公式a =10n-2n，前n项和是S ，对
n n
于∀n∈N*，都有S ≤S ，则k= ．
n k
【答案】5
【解析】
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1061 3427如图，为y=10x和y=2x的图象，设两个交点为A，B，
因为a =10-2=8>0，所以0<x <1，
1 A
因为a =50-32=18>0，a =60-64=-4<0，所以5<x <6，
5 6 B
结合图象可得，当n∈1,5  时，10n>2n，即a >0， n
当n∈6,+∞  时，10n<2n，即a <0，所以当n=5时，S 取得最大值，即k=5. n n
故答案为：5.
1810 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n

1 1 1
满足a = + +⋅⋅⋅+ ，若k≥a 恒成
n n n+1 2n n
立，则实数k的最小值为 ．
3
【答案】 /1.5
2
1 1 1 1 1 2
【解析】∵a -a = + - = + - <0，
n+1 n 2n+1 2n+2 n 2n+1 2n+2 2n
∴数列a n  为单调递减数列，a n 
3
max =a 1 = 2 ．从而k≥a n 
3
= ， max 2
3
即k的最小值为 ．
2
3
故答案为：
2
1811 (2024·河南郑州·高三校联考阶段练习)数列a
n

1
满足a -a = (n≥2，且n
n n-1 n(n+1)
∈N*)，a =2，对于任意n∈N*有λ>a 恒成立，则λ的取值范围是 .
1 n
5
【答案】  ,+∞
 2

1
【解析】∵a -a =
n n-1 nn+1 
1 1 1
∴a -a = = -
2 1 2×3 2 3
1 1 1
a -a = = -
3 2 3×4 3 4
1 1 1
a -a = = -
4 3 4×5 4 5
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1 1 1
a -a = = -
n n-1 n×(n+1) n n+1
1 1
从而可得a -a = -
n 1 2 n+1
5 1 5 5
即a = - ，因为a < ，所以λ≥ .
n 2 n+1 n 2 2
5
故答案为：  ,+∞
 2

1812 (2024·全国·高三专题练习)数列a
n
 满足a =n2+kn+2，若不等式a ≥a 恒成立，则
n n 4
第 页 共 页
1062 3427实数k的取值范围是 ( )
A. -9,-8  B. -9,-7  C. -9,-8  D. -9,-7 
【答案】B
k 【解析】a =n2+kn+2=n+
n 2
 2 k2 - +2，
2
∵不等式a ≥a 恒成立，
n 4
k
∴3.5≤- ≤4.5，
2
解得-9≤k≤-7，
故选：B．
1 1
1813 (2024·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习)数列{a }满足a = ，a = ，若
n 1 4 n+1 4-4a
n
a a a
不等式 2 + 3 +⋯+ n+2 <n+λ，对任何正整数n恒成立，则实数λ的最小值为
a a a
1 2 n+1
7 3 7 3
A. B. C. D.
4 4 8 8
【答案】A
2 3 4 5 n
【解析】依题意a = ,a = ,a = ,a = ⋯，由此可知a =
2 6 3 8 4 10 5 12 n 2n+1 
a
，所以 n+1 =
a n
1
1+
nn+2 
1 1 1
=1+  -
2 n n+2

a a a
，所以 2 + 3 +⋯+ n+2 =n+1+
a a a 1 2 n+1
1 1 1 1
1+ - -
2 2 n+2 n+3

7 1 1 1
=n+ -  +
4 2 n+2 n+3

a a a
， 2 + 3 +⋯+ n+2 <n+λ对任何正整数n恒成立，即λ
a a a
1 2 n+1
7
≥ ．
4
考点：数列与不等式．
【解题方法总结】
分离参数，转化为最值问题．
6 题型六：递推数列问题
1814 (2024·全国·高三专题练习)设数列a n  满足a 2009 = 2，且a n+1 a n =2a n+1 -2n∈N∗  ，则
数列的前2009项之和为 .
【答案】2008+ 2/ 2+2008
【解析】由a n+1 a n =2a n+1 -2n∈N∗ 
2
，得a = ，则 n+1 2-a
n
2 2 1
a = = =1+ ，
n+2 2-a 2 1-a
n+1 2- n
2-a
n
1 1
∴a =1+ =1+
n+4 1-a 1
n+2 1-1+
1-a
n

=a ，
n
∴数列a
n
 是以4为周期的数列，∴a =a = 2.
2009 1
2
由a = 可得a =2+ 2,a =- 2，a =2- 2 ，
n+1 2-a 2 3 4
n
∴a 1 +a 2 +a 3 +⋯+a 2009 =502a 1 +a 2 +a 3 +a 4  +a =502×4+ 2=2008+ 2. 1
故答案为：2008+ 2.
第 页 共 页
1063 34271815 (2024·全国·高三专题练习)正项数列a
n

a
中，a = n ，a =1，猜想通项公式为a
n+1 1+3a 1 n
n
= ．
1
【答案】
3n-2
a 1 1+3a 1 1
【解析】方法一:由a = n 得 = n = +3，所以
n+1 1+3a a a a a
n n+1 n n n
 为等差数列，且
1
公差为3，首项为1，故 =1+3n-1 a
n

1
=3n-2，故a = ， n 3n-2
1 1
1 1 4 1 7 1
方法二：由a =1得a = = ，a = = ，a = = ，⋯，
1 2 1+3 4 2 3 7 3 3 10
1+ 1+
4 7
1
由此可猜想a =
n 3n-2
1
故答案为：a =
n 3n-2
1816 (2024·广东佛山·统考模拟预测)数列a
n
 满足a >a ，a =2a +1，写出一个符合上
n+1 n 2n n
述条件的数列a
n
 的通项公式 .
【答案】a =n-1(答案不唯一)
n
【解析】由a 2n =2a n +1得：a 2n +1=2a n +1  ，
则当a n =n-1时，a n +1=n，∴a 2n +1=2n，故a n =n-1n∈N∗  满足递推关系，
又a n+1 -a n =n-n-1  =1>0，满足a >a ， n+1 n
∴满足条件的数列a
n
 的一个通项公式为：a =n-1.
n
故答案为：a =n-1(答案不唯一).
n
1817 (2024·全国·模拟预测)斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故
又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，⋯．在实际生活中，
很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在
现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列a
n
 满足：a =a =1，a =
1 2 n+2
a n+1 +a nn∈N∗  ，则1+a +a +a +a +⋯+a 是斐波那契数列a 3 5 7 9 2022 n  中的第
项．
【答案】2023
【解析】由a n+2 =a n+1 +a nn∈N∗  可得1+a +a +a +a +⋯+a 3 5 7 9 2022
=a +a +a +a +a +⋯+a =a +a +a +a +⋯+a
2 3 5 7 9 2022 4 5 7 9 2022
=a +a +a +⋯+a =⋯=a +a =a .
6 7 9 2022 2021 2022 2023
故答案为：2023.
1818 (2024·全国·高三专题练习)将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使
得相邻顶点的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？
【解析】记一个n边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不
相同的方法数为T．易知T =A3=6，T =(3×2×1×2+3×2×1×1)=18．
n 3 3 4
对于任意一个n(n≥5)边形，记A,A ,⋯,A 顺次为这个n边形的顶点，则对它按题设
1 2 n
要求染色，有两种情况：
①A ，A 异色，共有T 种方法；
1 n-1 n-1
②A ，A 同色，共有2T 种方法．
1 n-1 n-2
因此T n =T n-1 +2T n-2n≥5  ．
第 页 共 页
1064 3427所以T -2T =-(T -2T )
n n-1 n-1 n-2
T -2T
所以 n n-1 =-1，(n≥5)
T -2T
n-1 n-2
又T -2T =18-12=6，
4 3
所以T -2T =6×(-1)n-4=6×(-1)n，
n n-1
所以T =2T +6×(-1)n，
n n-1
所以T -2(-1)n=2(T -2×(-1)n-1)，
n n-1
T -2(-1)n
所以 n =2，
T -2×(-1)n-1
n-1
所以T -2(-1)n=(6-2(-1)3)×2n-3，
n
所以T n =2-1  n+2n. 适合n=3,4.
因此T n =2-1  n+2n，∴T =22021-2． 2021
1819 (2024·全国·高三专题练习)已知平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任何三条不
共线．问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？
【解析】设k条直线把平面分成的部分为a 个．显然a =2．
k 1
第k+1条直线与前k条直线共有k个互不相同的交点，它被这k个交点分成k+1段，每
段都将它所在的部分一分为二．
因此有a =a +k+1．即a -a =k+1.
k+1 k k+1 k
由此递推公式，累加即得
a n =a n -a n-1  +a n-1 -a n-2  +⋯+a 2 -a 1  +a 1
=n+n-1 
nn+1
+⋯+2+1+1=

+1．该式适合n=1.
2
nn+1
故这些直线把平面分成

+1部分．
2
注意到n条直线中的每条都被另外的n-1条截成n段，其中恰有两端的两条射线是无
界的，
因此共有2n条射线．被n条直线分成的诸部分中，围成每个无界区域的边界折线恰有
两条是射线，
而且每条射线恰是两个无界区域的公共边界．所以共有2n个无界部分．
1820 (2024·全国·高三专题练习)(1)学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连
续出现正面的可能情形有多少种？
(2)用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成
多少个不同的6位数？
【解析】(1)设甲投掷nn≥2  次，不连续出现正面的可能情形有a 种，考虑最后一次投 n
掷：若最后一次呈现反面，则前n-1次有a 种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二
n-1
次必是反面，前n-2次有a n-2 种不同的方法.由加法原理得：a n =a n-1 +a n-2n≥4  ，易
知其初值a =3，a =5，
2 3
则a =a +a =8,a =a +a =13,a =a +a =21,
4 2 3 5 3 4 6 4 5
a =a +a =34,a =a +a =55,a =a +a =89,a =a +a =144,
7 5 6 8 6 7 9 7 8 10 8 9
∴甲投掷10次，不连续出现正面的可能情形有144种.
(2)设用1，2，3，4四个数字组成符合条件的一个n位数，有a 种方法.
n
若末位是1，则倒数第二位只能是2，3或4，符合条件的有3a 个；
n-2
若末位是2，3或4，则符合条件的有3a 个；
n-1
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1065 3427由加法原理得：a n =3a n-1 +3a n-2n≥3  ，又a =4,a =15, 1 2
∴a =57,a =216,a =819,a =3105,
3 4 5 6
故用1，2，3，4四个数字可以组成符合条件的不同的6位数有3105个
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