第40讲数列的基本知识与概念_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第40讲 数列的基本知识与概念 知识梳理 知识点一、数列的概念 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的 项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N∗(或它的有限子集 {1， 2，⋯，n})为定义域的函数a =f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一 n 列函数值． (3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法． 知识点二、数列的分类 (1)按照项数有限和无限分： 递增数列：a ≥a  n+1 n 递减数列：a ≥a (2)按单调性来分： n+1 n ，  常数列：a =a =C(常数)  n+1 n  摆动数列 知识点三、数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式：如果数列{a }的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这 n 个公式叫做这个数列的通项公式． (2)递推公式：如果已知数列{a }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一 n 项与它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数 列的递推公式． 【解题方法总结】 (1)若数列{a n }的前n项和为S n ，通项公式为a n ，则a n =   S S 1 ， - n S =1 ，n≥2，n∈N∗ n n-1 注意：根据S 求a 时，不要忽视对n=1的验证． n n a ≥a a ≤a (2)在数列{a n }中，若a n 最大，则  a n ≥a n-1，若a n 最小，则  a n ≤a n-1. n n+1 n n+1 第 页 共 页 322 10431 题型一：数列的周期性 1779 (2024·全国·高三专题练习)在数列a n  1 中，已知a >0，a =1，a = ，且a = n 1 n+2 a +1 100 n a ，则a +a = ( ) 96 2022 3 5 1+ 5 5 -1+ 5 A. B. C. D. 2 2 2 2 1780 (2024·全国·高三专题练习)在数列a n  中，a =7,a =24，对所有的正整数n都有a 1 2 n+1 =a +a ，则a = ( ) n n+2 2024 A.-7 B.24 C.-13 D.25 1781 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)斐波那契数列a n  可以用如下方法定义：a = n+2 a +a ，且a =a =1，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列b n+1 n 1 2 n  ，则数列 b n  的第100项为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 1782 (2024·全国·高三对口高考)已知数列a n  1 1 中，a = ,a =1- (n≥2)，则a = 1 2 n+1 a 2014 n ( ) 1 A. B.-1 C.2 D.1 2 1783 (2024·全国·高三对口高考)设函数f定义如下，数列x n  满足x =5，且对任意自然数均 0 有x n+1 =fx n  ，则x 的值为 ( ) 2005 x 1 2 3 4 5 fx  4 1 3 5 2 A.1 B.2 C.4 D.5 1784 (2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)在数列a n  中，已知a =2,a =3，当n 1 2 ≥2时，a 是a ⋅a 的个位数，则a = ( ) n+1 n n-1 2023 A.4 B.3 C.2 D.1 1785 (2024·北京通州·统考三模)数列a n  必考题型全归纳 中，a =2，a =4，a a =a (n≥2)，则a = 1 2 n-1 n+1 n 2023 ( ) 1 1 A. B. C.2 D.4 4 2 第 页 共 页 323 10432 题型二：数列的单调性 1786 (2024·北京密云·统考三模)设数列a n  的前n项和为S ，则“对任意n∈N*，a >0”是 n n “数列S n  为递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不是充分也不是必要条件 1787 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  满足a =a>0,a =-a2+ta n∈N* 1 n+1 n n  ，若存 在实数t，使a n  单调递增，则a的取值范围是 ( ) A. 0,1  B. 1,2  C. 2,3  D. 3,4  1788 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  a a a 满足 1 + 2 +⋯+ n =nn∈N* 2 22 2n  ,b = n λa n -1  -n2+4n，若数列b n  为单调递增数列，则λ的取值范围是 ( ) 3 A.  ,+∞ 8  1 B.  ,+∞ 2  3 C.   ,+∞  8  1 D.   ,+∞  2  1789 (2024·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试)数列a n  的通项公式 1 为a =kn2+n+1，则“k>- ”是“a n 3 n  为递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 1790 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  的通项公式为a =n2-3λn，则“λ<1”是“数 n 列a n  为递增数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3-t 1791 (2024·江苏南通·高三期末)已知数列{a }是递增数列，且a = n n  n-8, n≤6  ，则  tn-6, n>6 实数t的取值范围是 ( ) A. 2,3  B. 2,3  10 C.  ,3 7  D. 1,3  1792 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  满足a n+1 =log 2a n +1  ，若a n  是递增数列， 则a 的取值范围是 ( ) 1 A. 0,1  B. 0, 2  C. -1,0  D. 1,+∞  1793 (2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知数列a n  为递减数列，其前n项 和S =-n2+2n+m，则实数m的取值范围是( )． n A. -2,+∞  B. -∞,-2  C. 2,+∞  D. -∞,2  3 题型三：数列的最大(小)项 1794 (2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测)数列2n-1  和数列3n-2  的公共项 从小到大构成一个新数列a n  ，数列b n  a 满足：b = n，则数列b n 2n n  的最大项等于 . 第 页 共 页 324 10431795 (2024·全国·高三专题练习)记S 为数列a n n  的前n项和，若a n =2n-1，则n2-3n  ⋅ log 2S n +1  的最小值为 ． 1796 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  a 满足a =18，a -a =3n，则 n 的最小值 1 n+1 n n 为 1797 (2024·全国·高三专题练习)已知正项数列a n  满足a =1，a =64，a a =ka2 ，若a 1 2 n n+2 n+1 5 是a n  唯一的最大项，则k的取值范围为 ． 1798 (2024·高三课时练习)数列a n  2n-1,n≤4,  的通项公式为a n = -n2+(a-1)n,n≥5, 若a 5 是a n  中的最大项，则a的取值范围是 ． 1799 (2024·北京·高三北京八中校考阶段练习)数列a n  中，a =-n2+11nn∈N* n  ，则此数 列最大项的值是 ． 1800 (2024·全国·高三专题练习)已知a n =n2-tn+2022n∈N + ,t∈R  ，若数列a n  中最小 项为第3项，则t∈ ． 1801 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  的通项公式为a =n- n2+2，则a 的最小 n n 值为 . 4 题型四：数列中的规律问题 1802 (2024·全国·高三专题练习)分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学， 它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图1所示 的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为a ，则a = n 7 ( ) A.110 B.128 C.144 D.89 1803 (2024·云南保山·统考二模)我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》一书里 出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做 是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则此数列的第56项为 ( ) A.11 B.12 C.13 D.14 第 页 共 页 325 10431804 (2024·全国·高三专题练习)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三 n(n+1) 1 1 角形数1，3，6，10，第n个三角形数为 = n2+ n.记第n个k边形数为 2 2 2 Nn,k  1 (k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：N(n,3)= n2 2 1 3 1 + n；正方形数：N(n,4)=n2；五边形数：N(n,5)= n2- n；六边形数：N(n,6)=2n2 2 2 2 -n，可以推测Nn,k  的表达式，由此计算N20,23  = ( ) A.4020 B.4010 C.4210 D.4120 1805 (2024·全国·高三专题练习)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一 定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数， 如1，3，6，10，15，21，⋯这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角 形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列a n  类似地，数1，4，9，16，⋯叫做 正方形数，则在三角数列a n  中，第二个正方形数是 ( ) A.28 B.36 C.45 D.55 1806 (2024·全国·高三专题练习)早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字来表达 这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国 传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32， 40，50，60，72，⋯，若记该数列为a n  ，则a -a = ( ) 2021 2020 A.2018 B.2020 C.2022 D.2024 1807 (2024·全国·高三专题练习)观察下列各式： a+b=1； a2+b2=3； a3+b3=4； a4+b4=7； a5+b5=11； ⋯ 则a10+b10= ( ) A.28 B.76 C.123 D.10 第 页 共 页 326 10431808 (2024·全国·高三专题练习)古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的研究，若一 定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为三角形数， 如1，3，6，10，15，21，⋯这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角 形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列a n  ．类似地，数1，4，9，16，⋯叫做 正方形数，则在三角数列a n  中，第二个正方形数是 ( ) A.36 B.25 C.49 D.64 5 题型五：数列的恒成立问题 1809 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  的通项公式a =10n-2n，前n项和是S ，对 n n 于∀n∈N*，都有S ≤S ，则k= ． n k 1810 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  1 1 1 满足a = + +⋅⋅⋅+ ，若k≥a 恒成 n n n+1 2n n 立，则实数k的最小值为 ． 1811 (2024·河南郑州·高三校联考阶段练习)数列a n  1 满足a -a = (n≥2，且n n n-1 n(n+1) ∈N*)，a =2，对于任意n∈N*有λ>a 恒成立，则λ的取值范围是 . 1 n 1812 (2024·全国·高三专题练习)数列a n  满足a =n2+kn+2，若不等式a ≥a 恒成立，则 n n 4 实数k的取值范围是 ( ) A. -9,-8  B. -9,-7  C. -9,-8  D. -9,-7  1 1 1813 (2024·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习)数列{a }满足a = ，a = ，若 n 1 4 n+1 4-4a n a a a 不等式 2 + 3 +⋯+ n+2 a ，a =2a +1，写出一个符合上 n+1 n 2n n 述条件的数列a n  的通项公式 . 1817 (2024·全国·模拟预测)斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故 又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，⋯．在实际生活中， 很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在 现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列a n  满足：a =a =1，a = 1 2 n+2 a n+1 +a nn∈N∗  ，则1+a +a +a +a +⋯+a 是斐波那契数列a 3 5 7 9 2022 n  中的第 项． 1818 (2024·全国·高三专题练习)将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使 第 页 共 页 327 1043得相邻顶点的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？ 1819 (2024·全国·高三专题练习)已知平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任何三条不 共线．问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？ 1820 (2024·全国·高三专题练习)(1)学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷10次，不连 续出现正面的可能情形有多少种？ (2)用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以组成 多少个不同的6位数？ 第 页 共 页 328 1043