文档内容
第 40 讲 数列的基本知识与概念
知识梳理
知识点一、数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个
数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 （或它的有限
子集 ）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所
对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
知识点二、数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：
（2）按单调性来分：
知识点三、数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）
开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式
就叫做这个数列的递推公式．
【解题方法总结】
的 前 项 和 为 ， 通 项 公 式 为 ， 则
（ 1 ） 若 数 列
注意：根据 求 时，不要忽视对 的验证．
（2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则
必考题型全归纳
题型一：数列的周期性例1．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中， ，对所有的正整数 都有
，则 （ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）斐波那契数列 可以用如下方法定义：
，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数
列 的第100项为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．（2024·全国·高三对口高考）已知数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．1
变式2．（2024·全国·高三对口高考）设函数 定义如下，数列 满足 ，且对任意自然数均有 ，则 的值为（ ）
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
A．1 B．2 C．4 D．5
变式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列 中，已知
，当 时， 是 的个位数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
变式4．（2024·北京通州·统考三模）数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．4
【解题方法总结】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
题型二：数列的单调性
例4．（2024·北京密云·统考三模）设数列 的前n项和为 ，则“对任意 ，
”是“数列 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也不是
必要条件
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若存在实数 ，使 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足
，若数列 为单调递增数列，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列 的通项
公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则“
”是“数列 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式7．（2024·江苏南通·高三期末）已知数列 是递增数列，且 ，
则实数t的取值范围是（ ）A． B． C． D．
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 是递增
数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式9．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 为递减数列，其前
n项和 ，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【解题方法总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法
根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据 与1的大小关系进行判断
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
题型三：数列的最大（小）项
例7．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列 和数列 的公共
项从小到大构成一个新数列 ，数列 满足： ，则数列 的最大项等于
______.例8．（2024·全国·高三专题练习）记 为数列 的前n项和，若 ，则
的最小值为______．
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的最小
值为_________
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ， ，
，若 是 唯一的最大项，则k的取值范围为______．
变式11．（2024·高三课时练习）数列 的通项公式为 若 是
中的最大项，则a的取值范围是______．
变式12．（2024·北京·高三北京八中校考阶段练习）数列 中， ，
则此数列最大项的值是__________．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，若数列
中最小项为第3项，则 ______．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则
的最小值为___________.
【解题方法总结】求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数 当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相
应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 的最值，进而求出数列的最大（小）
项．
（2）通过通项公式 研究数列的单调性，利用 确定最大项，利用
确定最小项．
（3）比较法：若有 或 时 ，则 ，则
数 列 是 递 增 数 列 ， 所 以 数 列 的 最 小 项 为 ； 若 有
或 时 ，则 ，则数列 是递减数列，
所以数列 的最大项为 ．
题型四：数列中的规律问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几
何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图
1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为 ，
则 （ ）
A．110 B．128 C．144 D．89
例11．（2024·云南保山·统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》
一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成
数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
例12．（2024·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.
如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为 .记第n个k边形数为
，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：
；正方形数： ；五边形数： ；六边形数：
，可以推测 的表达式，由此计算 （ ）
A．4020 B．4010 C．4210 D．4120
变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的
研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为
三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列 类似地，数1，4，
9，16，…叫做正方形数，则在三角数列 中，第二个正方形数是（ ）
A．28 B．36 C．45 D．55
变式16．（2024·全国·高三专题练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字
来表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用
来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，
12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为 ，则 （ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
变式17．（2024·全国·高三专题练习）观察下列各式：
；；
；
；
；
则 （ ）
A．28 B．76 C．123 D．10
变式18．（2024·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的
研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为
三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三
角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列 ．类似地，数1，
4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列 中，第二个正方形数是（ ）
A．36 B．25 C．49 D．64
【解题方法总结】
特殊值法、列举法找规律
题型五：数列的恒成立问题
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ，前n项和是 ，对于 ，都有 ，则k＝______．
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 恒
成立，则实数k的最小值为______．
例15．（2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）数列 满足 ( ，且
)， ，对于任意 有 恒成立，则 的取值范围是___________.
变式19．（2024·全国·高三专题练习）数列 满足 ，若不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习）数列 满足 ，
，若不等式 ，对任何正整数 恒成立，则实数 的最
小值为
A． B． C． D．
【解题方法总结】
分离参数，转化为最值问题．
题型六：递推数列问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，且，则数列的前2009项之和为______.
例17．（2024·全国·高三专题练习）正项数列 中， ， ，猜想通项公
式为 _________．
例18．（2024·广东佛山·统考模拟预测）数列 满足 ， ，写出一个
符合上述条件的数列 的通项公式______.
变式21．（2024·全国·模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例
引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数
列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列
满足： ， ，则 是斐波那契数列
中的第______项．
变式22．（2024·全国·高三专题练习）将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜
色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任
何三条不共线．问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？变式24．（2024·全国·高三专题练习）（1）学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷
10次，不连续出现正面的可能情形有多少种？
（2）用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以
组成多少个不同的6位数？
