文档内容
第 32 讲 解三角形
知识梳理
知识点一：基本定理公式
（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外
接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
；
公式 ；
．
（1） ， ，
；
；
常见变形
；
（2） ， ， ；
．
（2）面积公式：
（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．）
知识点二：相关应用
（1）正弦定理的应用
①边化角，角化边
②大边对大角 大角对大边
③ 合 分 比 ：
（2） 内角和定理：
①
同理有： ， ．② ；
③ 斜 三 角 形 中 ，
④ ；
⑤在 中，内角 成等差数列 ．
知识点三：实际应用
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯
角（如图①）．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．
（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．
（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．
（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
（3）南偏西等其他方向角类似．
（4）坡角与坡度
（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．
（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．
【解题方法总结】
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个
一解 两解 一解 一解 无解
数
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有 的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有 的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
（4）代数变形或者三角恒等变换前置；
（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到 ．
3、三角形中的射影定理
在 中， ； ； ．
必考题型全归纳
题型一：正弦定理的应用
例1．（2024·福建龙岩·高三校联考期中）在 中，角 所对的边分别为 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）在 中，设命题p： ，命题q：
是等边三角形，那么命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例3．（2024·河南·襄城高中校联考三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，
c，若 且 ， ，则 （ ）
A． B． C．8 D．4
变式1．（2024·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别是 ，若，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习） ， ， 分别为 内角
， ， 的对边．已知 ， ，则 外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中） ABC的三个内角A，B，C所对的
△
边分别为a，b，c，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）在 中，内角A，B，C所对的边
分别是a，b，c．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
变式5．（2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△ABC的内角A，B，C的对
边分别为a，b，c，已知 ， ，则c＝（ ）
A．4 B．6 C． D．
【解题方法总结】
（1）已知两角及一边求解三角形；
（2）已知两边一对角；．（3）两边一对角，求第三边．
题型二：余弦定理的应用
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知 的内角 所对的边分别为 满足
且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
例5．（2024·河南·高三统考阶段练习）在 中，角 的对边分别为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
例6．（2024·全国·高三专题练习）设 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
△
，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式6．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在 ABC中，角A，B，C的对
△
边分别为a，b，c， ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．变式7．（2024·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，且
，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解题方法总结】
（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．
（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，
若余弦值
题型三：判断三角形的形状
例7．（2024·甘肃酒泉·统考三模）在 中内角 的对边分别为 ，若
，则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
例8．（2024·全国·高三专题练习）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
，则 形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
例9．（2024·全国·高三专题练习）在 中，若 ，则 的形状为
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形变式8．（2024·全国·高三专题练习）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，且 ，则 的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
变式9．（2024·河南周口·高三校考阶段练习）已知 的三个内角 所对的边分别
为 ．若 ，则该三角形的形状一定是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．锐角三角形
变式10．（2024·全国·高三专题练习）设 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，若 则 的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
变式11．（2024·北京·高三101中学校考阶段练习）设 的内角 ， ， 所对的边分
别为 ， ， ，若 ，则 的形状为（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形
【解题方法总结】
（1）求最大角的余弦，判断 是锐角、直角还是钝角三角形．
（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是
直角三角形．
题型四：正、余弦定理与的综合
例10．（2024·河南南阳·统考二模）锐角 是单位圆的内接三角形，角 的对边分别为 ，且 ，则 等于（ ）
A．2 B． C． D．1
例11．（2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习）在 中，角 ， ， 所
对的边分别为 ， ， ， .
(1)求证： ；
(2)若 ，求 .
例12．（2024·重庆·统考三模）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
．
(1)求 ；
(2)若 ，求 ．
变式12．（2024·山东滨州·统考二模）已知 的三个角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)求 的值．变式13．（2024·全国·高三专题练习）在 中， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
变式14．（2024·青海·校联考模拟预测）在 中，内角A，B，C所对应的边分别是
a，b，c，若 的面积是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式15．（2024·全国·校联考三模）已知a，b，c分别为 的内角A，B，C的对边，
.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若 ，求 的值.
变式16．（2024·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在 中，角 ，
， 所对的边分别为 ， ， ，已知
(1)求角 的大小；(2)若 ， ，求边 及 的值．
【解题方法总结】
先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三
角函数转化求解．
题型五：解三角形的实际应用
方向1：距离问题
例13．（2024·全国·高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图
1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“ ”完美嵌入其中，寓意无
限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近
一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后
无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，
B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.
例14．（2024·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在 处望见在正北方
向有一塔 ，在北偏西45°方向的 处有一寺庙，此游客骑车向西行 后到达 处，这时
塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔 与寺庙 的距离为______ .
例15．（2024·河南郑州·高三统考期末）如图，为了测量 两点间的距离，选取同一平
面上的 ， 两点，测出四边形 各边的长度（单位：km）： ， ，， ，且 四点共圆，则 的长为_________ .
变式17．（2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）如图，一条巡逻船由南向北行驶，
在A处测得灯塔底部C在北偏东 方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯
塔底部C在北偏东 方向上，测得塔顶P的仰角为 ，已知灯塔高为 ．则巡逻
船的航行速度为______ ．
方向2：高度问题
例16．（2024·重庆·统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座
山峰的高度，先在山脚 处测得山顶 处的仰角为 ，又利用无人机在离地面高 的
处（即 ），观测到山顶 处的仰角为 ，山脚 处的俯角为 ，则山高
_________m．
例17．（2024·河南·校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山
高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相
直.从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图
2，要测量海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800
步，D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点
共线，从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度
AH=_________步.（古制单位:180丈=300步）
例18．（2024·全国·高三专题练习）为了培养学生的数学建模和应用能力，某校数学兴趣
小组对学校雕像“月亮上的读书女孩”进行测量，在正北方向一点测得雕塑最高点仰角为
30°，在正东方向一点测得雕塑最高点仰角为45°，两个测量点之间距离约为 米，则雕
塑高为______
变式18．（2024·全国·模拟预测）山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大
的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组
为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物 ，高为 米，塔顶 在地面上的射
影为 ，在地面上再确定一点 （ ， ， 三点共线），测得 约为57米，在点
处测得塔顶 的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为__________米．方向3：角度问题
例19．（2024·福建厦门·高三厦门一中校考期中）足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，
某标准足球场的B底线宽 码，球门宽 码，球门位于底线的正中位置．在比
赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得 最大，这时候点P就
是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处 时，根据场上形
势判断，有 、 两条进攻线路可供选择．若选择线路 ，则甲带球______码时，到
达最佳射门位置．
例20．（2024·全国·高三专题练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为 时，一根长为
的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角 ________．
例21．（2024·全国·高三专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．
线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的 倍，
甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，
则sin∠BAC等于________．
变式19．（2024·全国·高三专题练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何
极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点
B离地面b米，在离地面 米的C处看此树，离此树的水平距离为___________米时
看A，B的视角最大.
【解题方法总结】
根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三
角知识求解．
题型六：倍角关系
例22．（2024·全国·高三专题练习）记 的内角 的对边分别为 ，已知
.
(1)证明： ；(2)若 ，求 的面积.
例23．（2024·全国·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c
互不相等），且满足 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求 .
例24．（2024·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）在 中，角 、 、
的对边分别为 、 、 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，点 为边 上一点， ， ，求边长 ．
变式20．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 分别是 的
角 的对边， .
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.变式21．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）已知 分别为锐角
ABC内角 的对边， ．
(1)证明： ；
(2)求 的取值范围．
变式22．（2024·福建三明·高三统考期末）非等腰 的内角 、 、 的对应边分别
为 、 、 ，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，证明： .
题型七：三角形解的个数
例25．（2024·贵州·统考模拟预测） 中，角 的对边分别是 ， ，
.若这个三角形有两解，则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
例26．（2024·全国·高三专题练习）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的
情况为（ ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
例27．（2024·河南南阳·高三统考期中）在 中， ， ， . 若满足条
件的 有且只有一个，则 的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
变式23．（2024·全国·高三专题练习）在 中，内角 所对的边分别为 ，则
下列条件能确定三角形有两解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式24．（2024·北京朝阳·高三专题练习）在下列关于 的四个条件中选择一个，能
够使角 被唯一确定的是：（ ）
①
② ；
③ ；④ .
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
变式25．（2024·全国·高三专题练习）设在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，
c，若满足 的 不唯一，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式26．（2024·全国·高三专题练习）在 中， ， ，若该三角形有两个解，
则 边范围是（ ）
A． B． C． D．
变式27．（2024·全国·高三专题练习）若满足 的 恰有一个，
则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知
两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角
定理进行判断．
题型八：三角形中的面积与周长问题
例28．（2024·全国·高三对口高考）在 中，若 ，且 ，则
的面积为（ ）A． B． C． D．
例29．（2024·河南·襄城高中校联考三模）在 中，内角A， ， 所对的边分别为 ，
， ， ， 为 上一点， ， ，则 的面积为
（ ）
A． B． C． D．
例30．（2024·四川成都·校考模拟预测）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对
边，已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
变式28．（2024·河北石家庄·统考三模）已知 中，角 ， ， 的对边长分别是 ，
， ， ，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求 外接圆的面积
变式29．（2024·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，
c，且 ．(1)证明： 是等腰三角形；
(2)若 的面积为 ，且 ，求 的周长．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）在① ；②
.
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 的面积 ， ，
___________，求 .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
变式31．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）已知向量 （ ， ）， （
， ）， .
(1)求函数 的最大值及相应x的值；
(2)在 ABC中，角A为锐角且 ， ，BC=2，求 的面积.
△变式32．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 的内角A， ， 的对
边分别为 ， ， ， ， .
(1)若 ，证明： ；
(2)若 边上的高为 ，求 的周长.
变式33．（2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记 的内角 ， ， 的对边分别
为 ， ， ，已知 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
变式34．（2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知 中角 的对边分
别为 ， ．
(1)求 ；
(2)若 ，且 的面积为 ，求 周长．【解题方法总结】
解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含
有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定
理都有可能用到
