第33讲解三角形图形问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第33讲 解三角形图形问题 知识梳理 解决三角形图形类问题的方法： 方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性 质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单 的问题，相似是三角形中的常用思路； 方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路； 方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系 的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运 算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起； 方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使 得问题更加直观化. 必考题型全归纳 1 题型一：妙用两次正弦定理 1399 (2024·全国·高三专题练习)如图，四边形ABCD中∠BAC=90°，∠ABC=30°，AD⊥ CD，设∠ACD=θ. (1)若ΔABC面积是ΔACD面积的4倍，求sin2θ； π (2)若∠ADB= ，求tanθ. 6 1400 (2024·湖北黄冈·高一统考期末)如图，四边形 ABCD中∠BAC=90°， ∠ABC= 60°，AD⊥CD，设 ∠ACD=θ． (1)若△ABC面积是△ACD面积的4倍，求 sin2θ; 1 (2)若 tan∠ADB= ，求 tanθ. 2 1401 (2024·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S = △ABC 2S 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. △ACD 已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且 . 第 页 共 页 261 1043(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC； (2)若AC=3，求四边形ABCD的面积. 1402 (2024·甘肃金昌·高一永昌县第一高级中学校考期中)如图，在平面四边形ABCD中， π 3π ∠BCD= ,AB=1,∠ABC= . 2 4 (1)当BC= 2,CD= 7时，求△ACD的面积. π (2)当∠ADC= ,AD=2时，求tan∠ACB. 6 π 1403 (2024·广东广州·高一统考期末)如图，在平面四边形ABCD中，∠BCD= ,AB=1, 2 2π ∠ABC= ． 3 (1)若BC=2,CD= 7，求△ACD的面积； π (2)若∠ADC= ,AD=2，求cos∠ACD． 6 1404 (2024·广东·统考模拟预测)在平面四边形ABCD中，∠ABD=∠BCD=90°，∠DAB= 45°. (1)若AB=2，∠DBC=30°，求AC的长； 3 (2)若tan∠BAC= ，求tan∠DBC的值. 4 第 页 共 页 262 1043sinA 2a2 1405 (2024·江苏徐州·高一统考期末)在① = ，②sinB-cosB= cosBcosC a2+c2-b2 2b-a ，③△ABC的面积 c 2 S= bbsinC+ctanCcosB 4  这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 . (1)求角C； 5 (2)若点D在边AB上，且BD=2AD，cosB= ，求tan∠BCD. 13 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 1406 (2024·广东深圳·深圳市高级中学校考模拟预测)记△ABC的内角A、B、C的对边分别 为a、b、c，已知bcosA-acosB=b-c. (1)求A； 3 (2)若点D在BC边上，且CD=2BD，cosB= ，求tan∠BAD. 3 1407 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b， c，且2cosA(ccosB+bcosC)=a. (1)求角A； (2)若O是△ABC内一点，∠AOB=120°，∠AOC=150°，b=1，c=3，求tan∠ABO． 2 题型二：两角使用余弦定理 1 1408 (2024·全国·高一专题练习)如图，四边形ABCD中，cos∠BAD= ，AC=AB=3AD． 3 (1)求sin∠ABD； (2)若∠BCD=90°，求tan∠CBD． 1409 (2024·全国·高一专题练习)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD= 3BC= 3． (1)求证：sinC= 3sinA； (2)若C=2A，AB=2CD，求梯形ABCD的面积． 1410 (2024·河北·校联考一模)在△ABC中，AB=4，AC=2 2，点D为BC的中点，连接 AD并延长到点E，使AE=3DE. (1)若DE=1，求∠BAC的余弦值； 第 页 共 页 263 1043π (2)若∠ABC= ，求线段BE的长. 4 1411 (2024·全国·模拟预测)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2cos22C 23π =3-5cos2 -C 2  . (1)求角C； AC (2)若点D在AB上，BD=2AD，BD=CD，求 的值. BC 1412 (2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习)如图，在梯形ABCD中，AB⎳CD，AD⋅ sinD=2CD⋅sinB. (1)求证：BC=2CD； (2)若AD=BC=2，∠ADC=120°，求AB的长度. 3 题型三：张角定理与等面积法 1413 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA =2b+c  sinB+2c+b  sinC. (1)求角A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面 积. 1414 (2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，且2asinA=2b+c  sinB+2c+b  sinC． (1)求A的大小； (2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=4，AC=6，求△ABC的面 积． 1415 (2024·山东潍坊·统考模拟预测)在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c， 且(c-b)sinC=(a-b)(sinA+sinB)． (1)求A； BD (2)若D为BC上点，AD平分角A，且b=3，AD= 3，求 ． DC 1416 (2024·安徽淮南·统考二模)如图，在△ABC中，AB=2，3sin2B-2cosB-2=0，且点 D在线段BC上． 第 页 共 页 264 10433π (1)若∠ADC= ，求AD的长； 4 sin∠BAD (2)若BD=2DC， =4 2，求△ABD的面积． sin∠CAD 1417 (2024·江西抚州·江西省临川第二中学校考二模)如图，在△ABC中，AB=4，cosB= 1 ，点D在线段BC上. 3 3π (1)若∠ADC= ，求AD的长； 4 16 2 sin∠BAD (2)若BD=2DC，△ACD的面积为 ，求 的值. 3 sin∠CAD 1 1418 (2024·全国·高一专题练习)已知函数f(x)= 3sinωxcosωx-cos2ωx+ (ω>0)，其图 2 π2 像上相邻的最高点和最低点间的距离为 4+ ． 4 (1)求函数f(x)的解析式； (2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=4，bc=12，f(A)=1．若角A的平 分线AD交BC于D，求AD的长． 1419 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对 a sinB-sinC 边分别为a,b,c，且 = ． b+c sinA-sinC (1)求B； (2)若b= 6，角B的平分线交AC于点D，BD=1，求△ABC的面积． 4 题型四：角平分线问题 1420 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第一二二中学校校考模拟预测)在△ABC中，已知AB= 5，∠BAC的平分线与边BC交于点D，∠DAC的平分线与边BC交于点E，cos∠EAC= 3 10 . 10 6 (1)若BC= AC，求△ABC的面积； 5 2 (2)若cos∠ADB= ，求BC. 10 1421 (2024·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测)锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，已知 3bsinC+csinB  =4asinBsinC，b2+c2-a2=8， (1)求cosA的值及△ABC的面积； (2)∠A的平分线与BC交于D，DC=2BD，求a的值． 1422 (2024·山东泰安·统考模拟预测)在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且 π 2cosC⋅sinB+ 6  +cosA=0. (1)求角C的大小； (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=2，BD=2AD，求△ABC的面积. 1423 (2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测)如图，在△ABC中，角A，B，C所对的 第 页 共 页 265 1043π 边分别为a，b，c，a+2b=2ccosB- 3  ，角C的平分线交AB于点D，且BD=2 7， AD= 7. (1)求∠ACB的大小； (2)求CD. 1424 (2024·广东深圳·校考二模)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 A sinBsinCcos2 =2sin2A. 2 (1)证明：b+c=3a； 4 6 AD 3 (2)若角B的平分线交AC于点D，且BD= ， = ，求△ABC的面积. 5 DC 2 1425 (2024·海南·校联考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点M在 边BC上，AM是角A的平分线，asinB=- 3bcosA，CM=2MB． (1)求A； (2)若AM=2 3，求BC的长． 3 1426 (2024·四川·校联考模拟预测)在①a=bcosC+ csinB；②c=3这两个条件中任选 3 一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 已知△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，点D为BC边的中点，b=AD= 7，且 ． (1)求a的值； (2)若∠ABC的平分线交AC于点E，求△BCE的周长． 5 题型五：中线问题 1427 (2024·浙江杭州·统考一模)已知△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足 2csinAcosB+2bsinAcosC= 3a，c>a． (1)求角A； (2)若b=2，BC边上中线AD= 7，求△ABC的面积． 1428 (2024·四川内江·校考模拟预测)在△ABC中，D是边BC上的点，∠BAC=120°，AD  =1，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍． (1)求△ACD的面积； (2)求△ABC的边BC上的中线AE的长． 1429 (2024·四川绵阳·统考二模)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，a2sinC+ 3acosC=3b，A=60°． 第 页 共 页 266 1043(1)求a的值；   1 (2)若BA⋅AC=- ，求BC边上中线AT的长． 2 1430 (2024·广东广州·统考一模)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b, 2sinA=3sin2C. (1)求sinC； 3 7 (2)若△ABC的面积为 ，求AB边上的中线CD的长. 2 π 1431 (2024·安徽宣城·安徽省宣城中学校考模拟预测)△ABC中，已知 3cos -B 3  + π cos +B 6  =0.AC边上的中线为BD. (1)求∠B； (2)从以下三个条件中选择两个，使△ABC存在且唯一确定，并求AC和BD的长度. 条件①：a2-b2+c2-3c=0；条件②a=6；条件③S =15 3. △ABC 1432 (2024·辽宁沈阳·东北育才双语学校校考一模)如图，设△ABC中角A，B，C所对的边 分别为a，b，c，AD为BC边上的中线，已知c=1且2csinAcosB=asinA-bsinB+ 1 21 bsinC，cos∠BAD= ． 4 7 (1)求b边的长度； (2)求△ABC的面积； (3)设点E，F分别为边AB，AC上的动点(含端点)，线段EF交AD于G，且△AEF的面   1 积为△ABC面积的 ，求AG∙EF的取值范围． 6 π-A 1433 (2024·广东广州·统考三模)在①bsin =asinB；② 3asinB=b2-cosA 2  这两个 条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答. 问题：已知△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边， . (1)求角A的大小； (2)已知AB=2,AC=8，若BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P，求∠MPN的 余弦值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 6 题型六：高问题 1434 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别 为a，b，c，a=6，bsin2A=4 5sinB. π (1)若b=1，证明：C=A+ ； 2 8 5 (2)若BC边上的高为 ，求△ABC的周长. 3 第 页 共 页 267 1043 1435 (2024·重庆·统考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，m= sinB,sinC+cosC   ，n=cosC-sinC,cosB    1 ，m⋅n= ． 2 (1)求sin2A； (2)若a=3，BC边上的高线长 7-1，求sinBsinC． 1436 (2024·四川自贡·统考三模)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2+c2= a2+bc． (1)求A； 3 (2)若BC上的高AD= a，求cosBcosC． 4 1437 (2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， a2+c2-b2 且c- 3bsinA= -b． 2c (1)求A； 1 (2)若b= c，且BC边上的高为2 3，求a． 4  1438 (2024·辽宁抚顺·统考模拟预测)已知△ABC中，点D在边AB上，满足CD=  CA λ  CA   CB +  CB      B 6 (λ>0)，且cos = ，△CAD的面积与△CBD面积的比为2 6:3． 2 3 (1)求sinA的值； (2)若AB=5，求边AB上的高CE的值． 7 题型七：重心性质及其应用 1439 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3c2= a2+8b2． (1)求cosB的最小值； sin∠AMB (2)若M为△ABC的重心，∠AMC=90°，求 ． sin∠CMB 1440 (2024·河南开封·开封高中校考模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c， 已知 3asinB-acosC=ccosA,b= 6,G为△ABC的重心． (1)若a=2，求c的长； 3 (2)若AG= ，求△ABC的面积． 3 1441 (2024·广西钦州·高三校考阶段练习)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且acosB+ 3asinB=c+b． (1)求角A的大小; (2)若b=3，点G是△ABC的重心，且AG= 21，求△ABC内切圆的半径． 1442 (2024·全国·高三专题练习)设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，AD为BC 2π 1 边上的中线，c=1，∠BAC= ，2csinAcosB=asinA-bsinB+ bsinC． 3 2 (1)求AD的长度； (2)若E为AB上靠近B的四等分点，G为△ABC的重心，连接EG并延长与AC交于点 F，求AF的长度． 1443 (2024·四川内江·高三威远中学校校考期中)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a, 第 页 共 页 268 1043B+C b,c,a=6,bsin =asinB． 2 (1)求A的大小； (2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D， ，求△ABC的面积． 请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题． ①M为△ABC的重心，AM=2 3； ②M为△ABC的内心，AD=3 3； ③M为△ABC的外心，AM=4． 1444 (2024·全国·高三专题练习)在①2acosA=bcosC+ccosB；②tanB+tanC+ 3= 3tanBtanC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答． 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ． (1)求角A的大小； 3 (2)若△ABC为锐角三角形，且其面积为 ，点G为△ABC重心，点M为线段AC的中 2  点，点N在线段AB上，且AN=2NB，线段BM与线段CN相交于点P，求GP  的取值范 围． 注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分． 8 题型八：外心及外接圆问题 1445 (2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，且a，b，c是公差为2的等差数列. (1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面积. (2)是否存在正整数b，使得△ABC的外心在△ABC的外部?若存在，求b的取值集合；若 不存在，请说明理由. 1446 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a= 6． (1)求bcosC+ccosB的值；     (2)若O是△ABC的外心，且 3⋅OA+OB+ 2⋅OC=0，求△ABC外接圆的半径． 1447 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；3b=4c， 4 cosC= . 5 (1)求cosA的值； (2)若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积. 1448 (2024·高三统考阶段练习)在△ABC中，角A，B，C对应的三边分别为a，b，c，(tanA +1)(tanB+1)=2，c=2 2，a=2，O为△ABC的外心，连接OA，OB，OC． (1)求△OAB的面积； (2)过B作AC边的垂线交于D点，连接OD，试求cos∠OBD的值． 9 题型九：两边夹问题 1449 (2024·全国·高三专题练习)在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若cosA+ 2 a+b sinA- =0，则 的值是 ( ) sinB+cosB c A.2 B. 3 C. 2 D.1 第 页 共 页 269 10431450 (2024·河北唐山·高三校考阶段练习)在ΔABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对边 2 a+b 的边长.若cosA+sinA- =0，则 的值是( ). cosB+sinB c A.1 B. 2 C. 3 D.2 1451 (2024·全国·高三专题练习)在ΔABC中，已知边a,b,c所对的角分别为A,B,C，若 2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A，则tanA= 1452 (2024·江苏苏州·吴江中学模拟预测)在ΔABC中，已知边a,b,c所对的角分别为A,B, C，若5-2cos2B-3cos2C=2sinAsinBsinC+sin2A，则tanA= ． 1453 (2024·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试)在ΔABC中，已知边a、b、c所对的角分 别为A、B、C，若a= 5，2sin2B+3sin2C=2sinAsinBsinC+sin2A，则ΔABC的面积S = . 1454 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，若(cosA+sinA)(cosB+sinB)=2，则角C= ． 1455 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设S是 1 4 3 △ABC的面积，若b2+c2- a2= S，则角A的值为 ． 3 3 10 题型十：内心及内切圆问题 1456 (2024·福建泉州·高三福建省泉州第一中学校考期中)在△ABC中，角A，B，C的对边   分别为a，b，c，I为△ABC的内心，延长线段AI交BC于点D，此时CB=3CD sinB (1)求 ； sinC 2π b+c (2)若∠ADB= ，求 . 3 a 1457 (2024·山西·高三校联考阶段练习)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， a=7,2ccosB=3a-2b  cosC. (1)求cosC； (2)若B=2C，M为△ABC的内心，求△AMC的面积. 1458 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知2sinB=sinA+cosA⋅tanC． (1)求C的值； 3 (2)若△ABC的内切圆半径为 ，b=4，求a-c． 2 1459 (2024·辽宁鞍山·统考模拟预测)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知 3b=a 3cosC-sinC  . (1)求A； (2)若a=8，△ABC的内切圆半径为 3，求△ABC的周长. 1460 (2024·全国·高三专题练习)已知在△ABC中，其角A、B、C所对边分别为a、b、c，且满 足bcosC+ 3bsinC=a+c． (1)若b= 3，求△ABC的外接圆半径；   (2)若a+c=4 3，且BA⋅BC=6，求△ABC的内切圆半径 第 页 共 页 270 10431461 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=7，b +c=13，内切圆半径r= 3，则tanA= . 第 页 共 页 271 1043