第32讲解三角形_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第32讲 解三角形
知识梳理
知识点一：基本定理公式
(1)正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆
半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA；
a b c
公式 = = =2R b2=c2+a2-2accosB；
sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2abcosC．
b2+c2-a2
cosA= ；
2bc
(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；
c2+a2-b2
常见变形 cosB= ；
(2)sinA= a ，sinB= b ，sinC= c ； 2ac
2R 2R 2R
a2+b2-c2
cosC= ．
2ab
(2)面积公式：
1 1 1
S ABC= absinC= bcsinA= acsinB
Δ 2 2 2
abc 1
S ABC= = (a+b+c)⋅r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．)
Δ 4R 2
知识点二：相关应用
(1)正弦定理的应用
①边化角，角化边⇔a:b:c=sinA:sinB:sinC
②大边对大角 大角对大边
a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB
a+b+c a+b b+c a+c a
③合分比： = = = =
sinA+sinB+sinC sinA+sinB sinB+sinC sinA+sinC sinA
b c
= = =2R
sinB sinC
(2)△ABC内角和定理：A+B+C=π
①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB⇔c=acosB+bcosA
同理有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC．
②-cosC=cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB；
tanA+tanB
③斜三角形中，-tanC=tan(A+B)= ⇔tanA+tanB+tanC=
1-tanA⋅tanB
tanA⋅tanB⋅tanC
A+B
④sin
2

C A+B
=cos ；cos
2 2

C
=sin
2
π 2π
⑤在ΔABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B= ,A+C= ．
3 3
知识点三：实际应用
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角
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249 1043(如图①)．
(2)方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角．
(1)北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)．
(2)北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．
(3)南偏西等其他方向角类似．
(4)坡角与坡度
(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．
(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【解题方法总结】
1、方法技巧：解三角形多解情况
在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a=bsinA bsinA<a<b a≥b a>b a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得
到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
(1)若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
(2)若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
(3)若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
(4)代数变形或者三角恒等变换前置；
(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到A+B+C=π．
3、三角形中的射影定理
在△ABC 中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB．
必考题型全归纳
1 题型一：正弦定理的应用
1335 (2024·福建龙岩·高三校联考期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a
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250 1043π 5π
=4,A= ,C= ，则b= ( )
4 12
A.2 3 B.2 5 C.2 6 D.6
a b c
1336 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，设命题p： = = ，命题q：
sinC sinA sinB
△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1337 (2024·河南·襄城高中校联考三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
π c+a
sinA=sinBcosC且c=2 3，A= ，则 = ( )
6 sinC+sinA
A.8 3 B.4 3 C.8 D.4
1338 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB-
π
bcosA=c，且C= ，则∠B= ( )
5
π π 3π 2π
A. B. C. D.
10 5 10 5
1339 (2024·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习)a，b，c分别为△ABC内角A，B，
C的对边．已知a=4，absinAsinC=csinB，则△ABC外接圆的面积为 ( )
A.16π B.64π C.128π D.256π
1340 (2024·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分
b
别为a，b，c，若asinAsinB+bcos2A= 3a，则 = ( )
a
A. 2 B. 3 C.2 2 D.2 3
1341 (2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别
2sin2B-sin2A
是a，b，c．若a=2b，则 的值为 ( )
sin2A
1 1 1
A.- B. C.1 D.
2 4 2
1342 (2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知bcosA=a 3-cosB  ，a=2，则c= ( )
A.4 B.6 C.2 2 D.2 3
2 题型二：余弦定理的应用
1343 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足b2+
b
c2-a2=bc且a= 3，则 = ( )
sinB
A.2 B.3 C.4 D.2 3
1344 (2024·河南·高三统考阶段练习)在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若tanA=
sinBsinC
，则A= ( )
sin2B+sin2C-sin2A
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251 1043π π π 5π π 2π
A. B. C. 或 D. 或
3 4 6 6 3 3
1345 (2024·全国·高三专题练习)设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=
sinB，且c2=2a2 1+sinC  ，则C= ( )
π π π 3π
A. B. C. D.
6 4 3 4
1346 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分
1 1 1
别为a，b，c，a2+b2=3c2，则 + - = ( )
tanA tanB tanC
1
A.0 B.1 C.2 D.
2
cosB
1347 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 +
b
cosC sinA
= ，则b的值为 ( )
c sinC
3
A.1 B. 3 C. D.2
2
3 题型三：判断三角形的形状
a2
1348 (2024·甘肃酒泉·统考三模)在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若 =
b2
sinAcosB
，则△ABC的形状为 ( )
sinBcosA
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
1349 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-
bcosA<0，则△ABC形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
b⋅cosC 1-cos2B
1350 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，若 = ，则△ABC的形状为
c⋅cosB 1-cos2C
( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
1351 (2024·全国·高三专题练习)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=c2+
a2-ca，且sinA=2sinC，则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
1352 (2024·河南周口·高三校考阶段练习)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,
b,c．若sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC，则该三角形的形状一定是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形
1353 (2024·全国·高三专题练习)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
a2cosAsinB=b2sinAcosB,则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形
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252 1043C.直角三角形 D.锐角三角形
1354 (2024·北京·高三101中学校考阶段练习)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC的形状为 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形
4 题型四：正、余弦定理与的综合
1355 (2024·河南南阳·统考二模)锐角△ABC是单位圆的内接三角形，角A,B,C的对边分别
为a,b,c，且a2+b2-c2=4a2cosA-2accosB，则a等于 ( )
A.2 B.2 2 C. 3 D.1
1356 (2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边
absinA absinB
分别为a，b，c， + =a2+b2-c2.
2sinB 2sinA
π
(1)求证：0<C≤ ；
3
1 1 1
(2)若 = + ，求cosA.
tanB tanA tanC
1357 (2024·重庆·统考三模)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A-B)
tanC=sinAsinB．
a2+c2
(1)求 ；
b2
2
(2)若cosB= ，求sinA．
3
1358 (2024·山东滨州·统考二模)已知△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
2cosB-C  cosA+cos2A=1+2cosAcosB+C  ．
(1)若B=C，求A；
b2+c2
(2)求 的值．
a2
1359 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，(a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB)，则
∠C= ( )
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
1360 (2024·青海·校联考模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若
3b2+c2-a2
△ABC的面积是

，则A= ( )
4
π 2π π 5π
A. B. C. D.
3 3 6 6
1361 (2024·全国·校联考三模)已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，a2+c2=
B B
ac3cos2 -sin2
2 2
 .
(1)求证：a，b，c成等比数列；
sin2B 3
(2)若 = ，求cosB的值.
sin2A+sin2C 4
1362 (2024·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)在△ABC中，角A，B，C
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253 1043B+C
所对的边分别为a，b，c，已知csin =asinC
2
(1)求角A的大小；
21
(2)若b=1，sinB= ，求边c及cos(2B+A)的值．
7
5 题型五：解三角形的实际应用
方向1：距离问题
1363 (2024·全国·高三专题练习)山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标(如图1)，其主
体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限
发展、无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物
楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿
水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A，B，C，D
在同一铅垂面内)，则A，B两点之间的距离为 米.
1364 (2024·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中)一游客在A处望见在正北方向有
一塔B，在北偏西45°方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行1km后到达D处，这时塔
和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°，则塔B与寺庙C的距离为 km.
1365 (2024·河南郑州·高三统考期末)如图，为了测量A,C两点间的距离，选取同一平面上的
B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB=5，BC=8，CD=3，DA
=5，且A,B,C,D四点共圆，则AC的长为 km.
1366 (2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习)如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处
测得灯塔底部C在北偏东15°方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，此时测得灯塔底
部C在北偏东60°方向上，测得塔顶P的仰角为60° ，已知灯塔高为2 3km．则巡逻船的
航行速度为 km/h．
1367 (2024·重庆·统考模拟预测)如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的
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254 1043高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高300m的M处
(即MD=300m)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高BC=
m．
1368 (2024·河南·校联考模拟预测)中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山高的问
题(如图1)：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.从前表却
行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目着地取望
岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2，要测量
海岛上一座山峰的高度AH，立两根高48丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=800步，
D，B，H三点共线且在同一水平面上，从点B退行100步到点F，此时A，C，F三点共线，
从点D退行120步到点G，此时A，E，G三点也共线，则山峰的高度AH= 步.(古
制单位:180丈=300步)
1369 (2024·全国·高三专题练习)为了培养学生的数学建模和应用能力，某校数学兴趣小组对
学校雕像“月亮上的读书女孩”进行测量，在正北方向一点测得雕塑最高点仰角为30°，在
正东方向一点测得雕塑最高点仰角为45°，两个测量点之间距离约为4 3米，则雕塑高为
1370 (2024·全国·模拟预测)山西应县木塔(如图1)是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中
国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的
高度，在木塔的附近找到一建筑物AB，高为7 3米，塔顶P在地面上的射影为D，在地面
上再确定一点C(B，C，D三点共线)，测得BC约为57米，在点A,C处测得塔顶P的仰角
分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为 米．
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255 10431371 (2024·福建厦门·高三厦门一中校考期中)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标
准足球场的B底线宽AB=72码，球门宽EF=8码，球门位于底线的正中位置．在比赛
过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P，使得∠EPF最大，这时候点P就是
最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O处(OA=AB,OA⊥AB)时，根据场上
形势判断，有OA、OB两条进攻线路可供选择．若选择线路OB，则甲带球 码时，
到达最佳射门位置．
1372 (2024·全国·高三专题练习)当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m的竹
竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α= ．
1373 (2024·全国·高三专题练习)游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线
路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线步行到景点B处，然后从B沿直线步
11
行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的 倍，
9
甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB=1040m，BC=500m，
则sin∠BAC等于 ．
1374 (2024·全国·高三专题练习)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问
题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶A离地面a米，树上另一点B离地
面b米，在离地面cc<b  米的C处看此树，离此树的水平距离为 米时看A，B的
视角最大.
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256 10436 题型六：倍角关系
1375 (2024·全国·高三专题练习)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知acosB=
b1+cosA  .
(1)证明：A=2B；
(2)若c=2b,a= 3，求△ABC的面积.
1376 (2024·全国·模拟预测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c(a，b，c互不相
等)，且满足bcosC=2b-c  cosB.
(1)求证：A=2B；
(2)若c= 2a，求cosB.
1377 (2024·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)在△ABC中，角A、B、C的对
边分别为a、b、c，若A=2B．
(1)求证：a2-b2=bc；
2 3
(2)若cosB= ，点D为边AB上一点，AD= DB，CD=2 6，求边长b．
3 4
1378 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)已知a,b,c分别是△ABC的角A,
B,C的对边，bsinB-asinA=sinC2bcos2B-c  .
(1)求证：A=2B；
c
(2)求 的取值范围.
a
1379 (2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)已知a,b,c分别为锐角
△ABC内角A,B,C的对边，b-2acosC=a．
(1)证明：C=2A；
sinA
(2)求 的取值范围．
cosC
1380 (2024·福建三明·高三统考期末)非等腰△ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、
a-cosB sinB
c，且 = .
a-cosC sinC
(1)证明：a2=b+c；
2
(2)若B=2C，证明：b> .
3
7 题型七：三角形解的个数
1381 (2024·贵州·统考模拟预测)△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a= 3.
若这个三角形有两解，则b的取值范围是 ( )
A. 3<b≤2 B. 3<b<2 C.1<b<2 3 D.1<b≤2
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257 10431382 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情况
为 ( )
A.一个解 B.二个解 C.无解 D.无法确定
1383 (2024·河南南阳·高三统考期中)在△ABC中，C=30°，b= 2，c=x.若满足条件的
△ABC有且只有一个，则x的可能取值是 ( )
1 3
A. B. C.1 D. 3
2 2
1384 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，则下列条
件能确定三角形有两解的是 ( )
π π
A.a=5,b=4,A= B.a=4,b=5,A=
6 4
5π π
C.a=5,b=4,A= D.a=4,b=5,A=
6 3
1385 (2024·北京朝阳·高三专题练习)在下列关于△ABC的四个条件中选择一个，能够使角
A被唯一确定的是： ( )
1
①sinA=
2
1
②cosA=- ；
3
1
③cosB=- ,b=3a；
4
④∠C=45°,b=2,c= 3.
A.①② B.②③ C.②④ D.②③④
1386 (2024·全国·高三专题练习)设在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足
π
a= 3,b=m,B= 的△ABC不唯一，则m的取值范围为 ( )
6
3
A.  , 3
2

1 3
B.(0, 3) C.  ,
2 2

1
D.  ,1
2

π
1387 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，a=2，B= ，若该三角形有两个解，则b边范
6
围是 ( )
A. 2,4  B.  3，4  C.  3，2  D. 1,2 
π
1388 (2024·全国·高三专题练习)若满足∠ABC= ,AC=6,BC=k的△ABC恰有一个，则
4
实数k的取值范围是 ( )
A. 0,6  B. 0,6  ∪6 2  C. 6,6 2  D. 6,6 2 
8 题型八：三角形中的面积与周长问题
 
1389 (2024·全国·高三对口高考)在△ABC中，若AB⋅BC=-2，且∠B=60°，则△ABC的面
积为 ( )
3
A.2 3 B. 3 C. D. 6
2
1390 (2024·河南·襄城高中校联考三模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
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258 1043π 3
∠BAC= ，D为BC上一点，BD=2DC，AD=BD= ，则△ABC的面积为
3 2
( )
3 3 9 3 9 3 9 3
A. B. C. D.
32 8 16 32
1391 (2024·四川成都·校考模拟预测)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知
cosB b 3 3
= ，S = ，且b= 3，则 ( )
cosC 2a-c △ABC 4
1 3
A.sinC= B.cosB= C.a+c=2 3 D.a+c=3 2
2 2
1392 (2024·河北石家庄·统考三模)已知△ABC中，角A，B，C的对边长分别是a，b，c，sinA
=4sinCcosB，且c=2.
(1)证明：tanB=3tanC；
(2)若b=2 3，求△ABC外接圆的面积
1393 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
a1-cosC  =ccosA．
(1)证明：△ABC是等腰三角形；
2 2 1
(2)若△ABC的面积为 ，且cosC= ，求△ABC的周长．
3 3
π
1394 (2024·全国·高三专题练习)在①2acosA=ccosB+bcosC；②asinB=bsinA+
3
 .
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
3+ 3
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积S= ，c=2，
2
，求a.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
  1
1395 (2024·湖南长沙·周南中学校考二模)已知向量a=(sinx，1+cos2x)，b=cosx，
2
 ，
fx 
  1
=a⋅b- .
2
(1)求函数y=fx  的最大值及相应x的值；
7π
(2)在△ABC中，角A为锐角且A+B= ，fA
12

1
= ，BC=2，求△ABC的面积.
2
1396 (2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，a=6，bsin2A=4 5sinB.
π
(1)若b=1，证明：C=A+ ；
2
8 5
(2)若BC边上的高为 ，求△ABC的周长.
3
1397 (2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
1
c，已知cosB= .
3
B A+C
(1)求cos2 +tan2 的值；
2 2
(2)若b=4，S =2 2，求c的值.
△ABC
1398 (2024·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,
b,c，acosC+ 3asinC-b-c=0．
(1)求A；
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259 1043(2)若a= 13，且△ABC的面积为3 3，求△ABC周长．
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260 1043