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第32讲 解三角形
知识梳理
知识点一：基本定理公式
(1)正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆
半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2=b2+c2-2bccosA；
a b c
公式 = = =2R b2=c2+a2-2accosB；
sinA sinB sinC
c2=a2+b2-2abcosC．
b2+c2-a2
cosA= ；
2bc
(1)a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC；
c2+a2-b2
常见变形 cosB= ；
(2)sinA= a ，sinB= b ，sinC= c ； 2ac
2R 2R 2R
a2+b2-c2
cosC= ．
2ab
(2)面积公式：
1 1 1
S ABC= absinC= bcsinA= acsinB
Δ 2 2 2
abc 1
S ABC= = (a+b+c)⋅r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r．)
Δ 4R 2
知识点二：相关应用
(1)正弦定理的应用
①边化角，角化边⇔a:b:c=sinA:sinB:sinC
②大边对大角 大角对大边
a>b⇔A>B⇔sinA>sinB⇔cosAb a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得
到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
(1)若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
(2)若式子含有a,b,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
(3)若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；
(4)代数变形或者三角恒等变换前置；
(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到A+B+C=π．
3、三角形中的射影定理
在△ABC 中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB．
必考题型全归纳
1 题型一：正弦定理的应用
1335 (2024·福建龙岩·高三校联考期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a
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250 1043π 5π
=4,A= ,C= ，则b= ( )
4 12
A.2 3 B.2 5 C.2 6 D.6
a b c
1336 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，设命题p： = = ，命题q：
sinC sinA sinB
△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1337 (2024·河南·襄城高中校联考三模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
π c+a
sinA=sinBcosC且c=2 3，A= ，则 = ( )
6 sinC+sinA
A.8 3 B.4 3 C.8 D.4
1338 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acosB-
π
bcosA=c，且C= ，则∠B= ( )
5
π π 3π 2π
A. B. C. D.
10 5 10 5
1339 (2024·河南郑州·高三郑州外国语中学校考阶段练习)a，b，c分别为△ABC内角A，B，
C的对边．已知a=4，absinAsinC=csinB，则△ABC外接圆的面积为 ( )
A.16π B.64π C.128π D.256π
1340 (2024·甘肃兰州·高三兰州五十一中校考期中)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分
b
别为a，b，c，若asinAsinB+bcos2A= 3a，则 = ( )
a
A. 2 B. 3 C.2 2 D.2 3
1341 (2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别
2sin2B-sin2A
是a，b，c．若a=2b，则 的值为 ( )
sin2A
1 1 1
A.- B. C.1 D.
2 4 2
1342 (2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)△ABC的内角A，B，C的对边分别
为a，b，c，已知bcosA=a 3-cosB ，a=2，则c= ( )
A.4 B.6 C.2 2 D.2 3
2 题型二：余弦定理的应用
1343 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c满足b2+
b
c2-a2=bc且a= 3，则 = ( )
sinB
A.2 B.3 C.4 D.2 3
1344 (2024·河南·高三统考阶段练习)在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若tanA=
sinBsinC
，则A= ( )
sin2B+sin2C-sin2A
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251 1043π π π 5π π 2π
A. B. C. 或 D. 或
3 4 6 6 3 3
1345 (2024·全国·高三专题练习)设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=
sinB，且c2=2a2 1+sinC ，则C= ( )
π π π 3π
A. B. C. D.
6 4 3 4
1346 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分
1 1 1
别为a，b，c，a2+b2=3c2，则 + - = ( )
tanA tanB tanC
1
A.0 B.1 C.2 D.
2
cosB
1347 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 +
b
cosC sinA
= ，则b的值为 ( )
c sinC
3
A.1 B. 3 C. D.2
2
3 题型三：判断三角形的形状
a2
1348 (2024·甘肃酒泉·统考三模)在△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若 =
b2
sinAcosB
，则△ABC的形状为 ( )
sinBcosA
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
1349 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c-
bcosA<0，则△ABC形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
b⋅cosC 1-cos2B
1350 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，若 = ，则△ABC的形状为
c⋅cosB 1-cos2C
( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
1351 (2024·全国·高三专题练习)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2=c2+
a2-ca，且sinA=2sinC，则△ABC的形状为 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
1352 (2024·河南周口·高三校考阶段练习)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,
b,c．若sin2A+csinA=sinAsinB+bsinC，则该三角形的形状一定是 ( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形
1353 (2024·全国·高三专题练习)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
a2cosAsinB=b2sinAcosB,则△ABC的形状为 ( )
A.等腰三角形 B.等腰三角形或直角三角形
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252 1043C.直角三角形 D.锐角三角形
1354 (2024·北京·高三101中学校考阶段练习)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，若a2cosAsinB=b2sinAcosB，则△ABC的形状为 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等边三角形
4 题型四：正、余弦定理与的综合
1355 (2024·河南南阳·统考二模)锐角△ABC是单位圆的内接三角形，角A,B,C的对边分别
为a,b,c，且a2+b2-c2=4a2cosA-2accosB，则a等于 ( )
A.2 B.2 2 C. 3 D.1
1356 (2024·河北唐山·高三开滦第二中学校考阶段练习)在△ABC中，角A，B，C所对的边
absinA absinB
分别为a，b，c， + =a2+b2-c2.
2sinB 2sinA
π
(1)求证：0 .
3
7 题型七：三角形解的个数
1381 (2024·贵州·统考模拟预测)△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，A=60°，a= 3.
若这个三角形有两解，则b的取值范围是 ( )
A. 3
