第37讲三角形四心及奔驰定理_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第37讲 三角形四心及奔驰定理 知识梳理 技巧一．四心的概念介绍： (1)重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． (2)内心：角平分线的交点(内切圆的圆心)，角平分线上的任意点到角两边的距离相等． (3)外心：中垂线的交点(外接圆的圆心)，外心到三角形各顶点的距离相等． (4)垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 技巧二．奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点． 已知△ABC的顶点A(x ，y )，B(x ，y )，C(x ，y )，则△ABC的重心坐标为G 1 1 2 2 3 3 x +x +x y +y +y ( 1 2 3， 1 2 3)． 3 3     注意：(1)在△ABC中，若O为重心，则OA+OB+OC=0． (2)三角形的重心分中线两段线段长度比为2：1，且分的三个三角形面积相等．    1 1 重心的向量表示：AG= AB+ AC． 3 3     奔驰定理：S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0，则△AOB、△AOC、△BOC的面积之比等 A B C 于λ :λ :λ 3 2 1         奔驰定理证明：如图，令λ OA=OA ，λ OB=OB ，λ OC=OC ，即满足OA +OB + 1 1 2 1 3 1 1 1  OC =0 1 S 1 S 1 S 1 △AOB = ， △AOC = ， △BOC = ，故S :S :S =λ :λ :λ． S λλ S λλ S λ λ △AOB △AOC △BOC 3 2 1 △A1OB1 1 2 △A1OC1 1 3 △B1OC1 2 3 技巧三．三角形四心与推论：     (1)O是△ABC的重心：S :S :S =1:1:1⇔OA+OB+OC=0． △BOC △COA △A0B     (2)O是△ABC的内心：S :S :S =a:b:c⇔aOA+bOB+cOC=0． △B0C △COA △AOB (3)O是△ABC的外心：     S :S :S =sin2A:sin2B:sin2C⇔sin2AOA+sin2BOB+sin2COC=0． △B0C △COA △AOB (4)O是△ABC的垂心：     S :S :S =tanA:tanB:tanC⇔tanAOA+tanBOB+tanCOC=0． △B0C △COA △AOB 技巧四．常见结论  AB (1)内心：三角形的内心在向量  AB   AC +  AC  所在的直线上．  AB    ⋅PC+BC    ⋅PC+CA    ⋅PB=0⇔P为△ABC的内心．  (2)外心：PA   =PB   =PC  ⇔P为△ABC的外心． 第 页 共 页 307 1043      (3)垂心：PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA⇔P为△ABC的垂心．     (4)重心：PA+PB+PC=0⇔P为△ABC的重心． 必考题型全归纳 1 题型一：奔驰定理 1677 (2024·全国·高一专题练习)已知O是△ABC内部的一点，∠A，∠B，∠C所对的边分别     为a=3，b=2，c=4，若sinA⋅OA+sinB⋅OB+sinC⋅OC=0，则△AOB与△ABC的 面积之比为 ( ) 4 1 2 5 A. B. C. D. 9 3 9 9  1678 (2024·安徽六安·高一六安一中校考期末)已知O是三角形ABC内部一点，且OA+    2OB+OC=0，则ΔAOB的面积与ΔABC的面积之比为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 5 1679 (2024·全国·高一专题练习)若点M是△ABC所在平面内的一点，点D是边AC靠近A    的三等分点，且满足5AM=AB+AC，则△ABM与△ABD的面积比为 ( ) 1 2 3 9 A. B. C. D. 5 5 5 25 1680 (2024·全国·高三专题练习)平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将   △OAB，△OBC，△OCA的面积分别记作S ，S ，S ，则有关系式S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅ c a b a b c   OC=0．因图形和奔驰车的logo很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC     的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为 △ABC的 ( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 1681 (2024·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非 常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其 为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积     分别为S 、S 、S ，则有S OA+S OB+S OC=0，设O是锐角△ABC内的一点， A B C A B C ∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题错误的是 ( ) 第 页 共 页 308 1043    A.若OA+OB+OC=0，则O为△ABC的重心     B.若OA+2OB+3OC=0，则S :S :S =1:2:3 A B C   C.则O为△ABC(不为直角三角形)的垂心，则tan∠BAC⋅OA+tan∠ABC⋅OB+   tan∠ACB⋅OC=0  D.若OA   =OB  5π     9 =2，∠AOB= ，2OA+3OB+4OC=0，则S = 6 △ABC 2 1682 (多选题)(2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习)“奔驰定理”是平面向量 中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的 logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，     △AOC，△AOB的面积分别为S ,S ,S ，则S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0，O是 A B C A B C △ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的 有 ( )     A.若2OA+3OB+4OC=0，则S :S :S =4:3:2 A B C  B.若OA   =OB  2π     9 3 =2，∠AOB= ，且2OA+3OB+4OC=0，则S = 3 △ABC 4       C.若OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，则O为△ABC的垂心     π D.若O为△ABC的内心，且5OA+12OB+13OC=0，则∠ACB= 2 1683 (多选题)(2024·全国·高一专题练习)“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因 为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为 “奔驰定理”.奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC、△AOC、△AOB的面积分别为     S 、S 、S ，则S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0.设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC、 A B C A B C ∠ABC、∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有 ( )     A.若OA+2OB+3OC=0，则S :S :S =1:2:3  A B C B. OA   =OB  5π     9 =2，∠AOB= ，2OA+3OB+4OC=0，则S = 6 △ABC 2     π C.若O为△ABC的内心，3OA+4OB+5OC=0，则∠C= 2 第 页 共 页 309 1043    D.若O为△ABC的重心，则OA+OB+OC=0 2 题型二：重心定理 1684 (2024·福建泉州·高一校考期中)著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、 垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为 三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，重心为G，垂心为 H，M为BC中点，且AB=5，AC=4，则下列各式正确的有 ．     ①AG⋅BC=-3 ②AO⋅BC=-6         ③OH=OA+OB+OC ④AB+AC=4OM+2HM 1685 (2024·全国·高一专题练习)点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶 点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是 (把你认为正确的序号 全部写上)．     ①动点P满足OP=OA+PB+PC，则△ABC的重心一定在满足条件的P点集合中；     AB AC ②动点P满足OP=OA+λ  +  |AB| |AC|  (λ>0)，则△ABC的内心一定在满足条件的 P点集合中；     AB AC ③动点P满足OP=OA+λ  +  |AB|sinB |AC|sinC  (λ>0)，则△ABC的重心一定在满 足条件的P点集合中；     AB AC ④动点P满足OP=OA+λ  +  |AB|cosB |AC|cosC  (λ>0)，则△ABC的垂心一定在 满足条件的P点集合中；      OB+OC AB AC ⑤动点P满足OP= +λ  +  2 |AB|cosB |AC|cosC  (λ>0)，则△ABC的外心一 定在满足条件的P点集合中． 1686 (2024·河南·高一河南省实验中学校考期中)若O为△ABC的重心(重心为三条中线交     点)，且OA+OB+λOC=0，则λ= ．  1687 (2024·全国·高一专题练习)(1)已知△ABC的外心为O，且AB=5，AC=3，则AO⋅  BC= ．   (2)已知△ABC的重心为O，且AB=5，AC=3，则AO⋅BC= ．   π (3)已知△ABC的重心为O，且AB=5，AC=3，A= ，D为BC中点，则AO⋅OD= 3 ． 1688 (2024·江苏无锡·高一江苏省太湖高级中学校考阶段练习)在△ABC中，AB=2，     ∠ABC=60°，AC⋅AB=-1，若O是△ABC的重心，则BO⋅AC= . 1689 (2024·江西南昌·高三校联考期中)锐角△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，点G 为△ABC的重心，若AG⊥BG，则cosC的取值范围为 ． 1690 (2024·全国·高三专题练习)过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，     3 PC= AC，QC=nBC，则n的值为 . 4 1691 (2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)在△ABC中，过重心G的直线交  边AB于点P，交边AC于点Q，设△APQ的面积为S ，△ABC的面积为S ，且AP= 1 2 第 页 共 页 310 1043   S λAB,AQ=μAC，则 1 的取值范围为 ． S 2 3 题型三：内心定理   1692 (2024·湖北·模拟预测)在△ABC中，AB⋅AC=16，S =6，BC=3，且AB>AC， △ABC   若O为△ABC的内心，则AO⋅BC= ． 1693 (2024·全国·高三专题练习)已知Rt△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，I是△ABC的    内心，P是△IBC内部(不含边界)的动点.若AP=λAB+μAC(λ，μ∈R)，则λ+μ的取 值范围是 . 1694 (2024·黑龙江黑河·高三嫩江市高级中学校考阶段练习)设I为△ABC的内心，AB=    AC=5，BC=6，AI=mAB+nBC，则m+n为 ． 1695 (2024·福建福州·高三福建省福州第一中学校考阶段练习)已知点O是ΔABC的内心，    3 1 若AO= AB+ AC，则cos∠BAC= . 7 7 1696 (2024·甘肃兰州·高一兰州市第二中学校考期末)在面上有△ABC及内一点O满足关系     式：S ⋅OA+S ⋅OB+S ⋅OC=0即称为经典的“奔驰定理”，若△ABC的三 △OBC △OAC △OAB     边为a，b，c，现有a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为△ABC的 心. 1697 (2024·贵州安顺·统考模拟预测)已知O是平面上的一个定点，A、B、C是平面上不共线    AB 的三点，动点P满足OP=OA+λ  AB   AC +  AC      λ∈R  ，则点P的轨迹一定经过 △ABC的 ( ) A.重心 B.外心 C.内心 D.垂心 x2 y2 1698 (2024·江西·校联考模拟预测)已知椭圆 + =1的左右焦点分别为F，F，P为椭 16 12 1 2   圆上异于长轴端点的动点，G，I分别为△PFF 的重心和内心，则PI⋅PG= ( ) 1 2 4 16 A. B. 3 C.2 D. 3 3 1699 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC，I是其内心，内角A,B,C所对的边分别a,b,c， 则 ( )    1    cAB bAC A.AI= (AB+AC) B.AI= + 3   a a  bAB cAC  cAB bAC C.AI= + D.AI= + a+b+c a+b+c a+b a+c  3 1700 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，cosA= ，O为△ABC的内心，若AO= 4   xAB+yACx,y∈R  ，则x+y的最大值为 ( ) 2 6- 6 7- 7 8-2 2 A. B. C. D. 3 5 6 7 1701 (2024·全国·高三专题练习)点O在ΔABC所在平面内，给出下列关系式：     (1)OA+OB+OC=0；       (2)OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA； 第 页 共 页 311 1043  AC (3)OA⋅  AC   AB -  AB        BC =OB⋅  BC   BA -  BA      =0；       (4)(OA+OB)⋅AB=(OB+OC)⋅BC=0． 则点O依次为ΔABC的 ( ) A.内心、外心、重心、垂心； B.重心、外心、内心、垂心； C.重心、垂心、内心、外心； D.外心、内心、垂心、重心 1702 (2024·全国·高三专题练习)已知ΔABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，O为 ΔABC内一点，若分别满足下列四个条件：     ①aOA+bOB+cOC=0；     ②tanA⋅OA+tanB⋅OB+tanC⋅OC=0；     ③sin2A⋅OA+sin2B⋅OB+sin2C⋅OC=0；     ④OA+OB+OC=0； 则点O分别为ΔABC的 ( ) A.外心、内心、垂心、重心 B.内心、外心、垂心、重心 C.垂心、内心、重心、外心 D.内心、垂心、外心、重心 4 题型四：外心定理   1703 (2024·山西吕梁·高三统考阶段练习)设O为△ABC的外心，且满足2OA+3OB+    4OC=0，OA  =1，下列结论中正确的序号为 ．    7 ①OB⋅OC=- ；②AB 8  =2；③∠A=2∠C．   1704 (2024·河北·模拟预测)已知O为△ABC的外心，AC=3，BC=4，则OC⋅AB= ． 1705 (2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考阶段练习)已知O是△ABC的外  AC 心，若   AB     AB AB⋅AO+   AC     AC⋅AO=2mAO2，且sinB+sinC= 3，则实数m的最大 值为 ．   1706 (2024·全国·高三专题练习)设O为△ABC的外心，若AB=4，BC=2 3，则BO⋅AC = . 1707 (2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知点O是△ABC的外心，a，b，c    π cosB cosC 分别为内角A，B，C的对边，A= ，且 ⋅AB+ ⋅AC=2λOA，则λ的值为 3 sinC sinB ．   1 1708 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，AB=6，AC=3 5．点M满足AM= AB 5      1 1 1 + AC．过点M的直线l分别与边AB,AC交于点D,E且AD= AB，AE= AC． 4 λ μ     已知点G为△ABC的外心，AG=λAB+μAC，则AG  为 ． 1709 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC中，AB=AC=1，BC= 2，点O是△ABC的   外心，则CO⋅AB= . 第 页 共 页 312 10431710 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点P是△ABC的内心、外心、重     心、垂心之一，且满足2AP⋅BC=AC2-AB2，则点P一定是△ABC的 ( ) A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 5 题型五：垂心定理     1711 (2024·全国·高三专题练习)设O为ΔABC的外心，若OA+OB+OC=OM，则M是 ΔABC的 ( ) A.重心(三条中线交点) B.内心(三条角平分线交点) C.垂心(三条高线交点) D.外心(三边中垂线交点) 1712 (2024·全国·高三专题练习)已知H为△ABC的垂心(三角形的三条高线的交点)，若    1 2 AH= AB+ AC，则sin∠BAC= . 3 5     1713 (2024·北京·高三强基计划)已知H是△ABC的垂心，2HA+3HB+4HC=0，则 △ABC的最大内角的正弦值是 ．     1714 (2024·全国·高三专题练习)设H是△ABC的垂心，且4HA+5HB+6HC=0，则 cos∠AHB= ． 1715 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，点O、点H分别为△ABC的外心和垂心，|AB|   =5,|AC|=3，则OH⋅BC= . 4 1716 (2024·全国·高三专题练习)在△ABC中，AB=AC，tanC= ，H为△ABC的垂心，且 3    满足AH=mAB+nBC，则m+n= . 第 页 共 页 313 1043