第80讲阿基米德三角形_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第80讲 阿基米德三角形 知识梳理 如图所示，AB为抛物线x2=2py(p>0)的弦，A(x,y)，B(x ,y )，分别过A,B作的抛物 1 1 2 2 线的切线交于点P，称△PAB为阿基米德三角形，弦AB为阿基米德三角形的底边． 1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴． 2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点Cx 0 ，y 0  ，则另一顶点P的轨迹 为一条直线． 3、若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点． a3 4、底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为 ． 8p 5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积 的最小值为p2． x +x xx 6、点P的坐标为 1 2, 1 2 2 2p  ； 7、底边AB所在的直线方程为x 1 +x 2  x-2py-xx =0; 1 2 8、△PAB的面积为S = x 1 -x 2 △PAB  3 ． 8p 9、若点P的坐标为x 0 ,y 0  ，则底边AB的直线方程为x 0 x-py+y 0  =0． 10、如图1，若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与PA，PB分别交于点C，D， |AC| |CE| |PD| 则 = = . |CP| |ED| |DB| 11、若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形△PAB的 S 边PA，PB分别交于点C，D，则 △EAB =2． S △PCD 12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的 2 ． 3 第 页 共 页 829 1043图1 必考题型全归纳 1 题型一：定点问题 4440 (2024·山西太原·高二山西大附中校考期末)已知点A0,-1  ，B0,1  ，动点P满足  PB   AB    =PA⋅BA．记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程； (2)设D为直线y=-2上的动点，过D作C的两条切线，切点分别是E，F．证明：直线 EF过定点． 1 4441 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知动圆M恒过定点F0, 8  ，圆心 1 M到直线y=- 的距离为d,d=MF 4  1 + ． 8 (1)求M点的轨迹C的方程； (2)过直线y=x-1上的动点Q作C的两条切线l,l ，切点分别为A,B，证明：直线AB恒 1 2 过定点． 1 4442 (2024·全国·高二专题练习)已知平面曲线C满足：它上面任意一定到0, 2  的距离比 3 到直线y=- 的距离小1. 2 (1)求曲线C的方程； 1 (2)D为直线y=- 上的动点，过点D作曲线C的两条切线，切点分别为A、B，证明：直 2 线AB过定点； 5 (3)在(2)的条件下，以E0, 2  为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点， 求四边形ADBE的面积. 4443 (2024·陕西·校联考三模)已知直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)交于A，B两点，且OA ⊥OB，OD⊥AB，D为垂足，点D的坐标为(1,1)． (1)求C的方程； (2)若点E是直线y=x-4上的动点，过点E作抛物线C的两条切线EP，EQ，其中P， Q为切点，试证明直线PQ恒过一定点，并求出该定点的坐标． 4444 (2024·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试)抛物线的弦与在弦两端点处的切线 所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”．对于抛物线C：y=ax2给出如下三个条件： 1 ①焦点为F0, 2  1 ；②准线为y=- ；③与直线2y-1=0相交所得弦长为2． 2 (1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程； (2)已知△ABQ是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”，点Q是抛物线C在弦AB两端点处 第 页 共 页 830 1043的两条切线的交点，若点Q恰在此抛物线的准线上，试判断直线AB是否过定点？如果 是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由． 4445 (2024·湖北武汉·高二武汉市第四十九中学校考阶段练习)已知抛物线C:y=ax2(a是常 1 数)过点P(-2,2)，动点Dt,- 2  ，过D作C的两条切线，切点分别为A，B． (1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程； (2)当t=1时，求直线AB的方程； (3)证明：直线AB过定点． 4446 (2024·全国·高三专题练习)已知动点P在x轴及其上方，且点P到点F(0,1)的距离比 到x轴的距离大1. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若点Q是直线y=x-4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA、QB，其 中A、B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标. 2 题型二：交点的轨迹问题 4447 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F0,c  (c>0)到直线l: 3 2 x-y-2=0的距离为 ． 2 (1)求抛物线C的方程； (2)设点P(x ，y )为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B 0 0 为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q； (3)过(2)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切 线l ，l ，求l ，l 交点M满足的轨迹方程． 1 2 1 2 4448 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线 C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率 3 e= ． 2 (1)求椭圆E的方程； (2)经过A、B两点分别作抛物线C的切线l 、l ，切线l 与l 相交于点M．证明：点M定 1 2 1 2 在直线y=-1上； (3)椭圆E上是否存在一点M′，经过点M′作抛物线C的两条切线M′A′、M′B′(A′、B′为 切点)，使得直线A′B′过点F？若存在，求出切线M′A′、M′B′的方程；若不存在，试说明理 由． 4449 (2024·全国·高三专题练习)已知动点Q在x轴上方，且到定点F0,1  距离比到x轴的 距离大1. (1)求动点Q的轨迹C的方程； (2)过点P1,1  的直线l与曲线C交于A，B两点，点A，B分别异于原点O，在曲线C的 A，B两点处的切线分别为l ，l ，且l 与l 交于点M，求证：M在定直线上. 1 2 1 2 4450 (2024·全国·高三专题练习)已知动点P与定点F(1,0)的距离和它到定直线l:x=4的距 1 离之比为 ，记P的轨迹为曲线C． 2 (1)求曲线C的方程； (2)过点M(4,0)的直线与曲线C交于A,B两点，R,Q分别为曲线C与x轴的两个交点， 第 页 共 页 831 1043直线AR,BQ交于点N，求证:点N在定直线上． 4451 (2024·全国·高三专题练习)已知点F为抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点，点M、N在抛 物线上，且M、N、F三点共线.若圆P:(x-2)2+(y-3)2=16的直径为MN. (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点F的直线l与抛物线交于点A，B，分别过A、B两点作抛物线C的切线l ，l ，证 1 2 明直线l ，l 的交点在定直线上，并求出该直线. 1 2 4452 (2024·全国·高三专题练习)下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和 探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整． (1)圆O:x2+y2=r2上点Mx 0 ,y 0  处的切线方程为 ．理由如下： ． x2 y2 (2)椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)上一点x 0 ,y 0  处的切线方程为 ； x2 (3)P(m,n)是椭圆L: +y2=1外一点，过点P作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如 3 图，则直线AB的方程是 ．这是因为在Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  两点处，椭圆L的切线 xx x x xm 方程为 1 +yy=1和 2 +y y=1．两切线都过P点，所以得到了 1 +yn=1和 3 1 3 2 3 1 x m 2 +y n=1，由这两个“同构方程”得到了直线AB的方程； 3 2 (4)问题(3)中两切线PA，PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为y-n=k(x- y-n=k(x-m) m)，由  x2+3y2=3 ，得(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(n-km)2-3=0，化简得Δ= 0，得(3-m2)x2+2mnk+1-n2=0．若PA⊥PB，则由这个方程可知P点一定在一个 圆上，这个圆的方程为 ． (5)抛物线y2=2px(p>0)上一点x 0 ,y 0  处的切线方程为y y=p(x +x)； 0 0 (6)抛物线C:x2=4y，过焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点，分别过点A，B作抛 物线的两条切线l 1 和l 2 ，设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，则直线l 的方程为xx=2(y +y)．直线 1 1 1 l 的方程为x x=2(y +y)，设l 和l 相交于点M．则①点M在以线段AB为直径的圆 2 2 2 1 2 上；②点M在抛物线C的准线上． 3 题型三：切线垂直问题 4453 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，过点P作抛物线C的两条 切线，切点分别为A,B. (1)若点P坐标为0,-1  ，求切线PA,PB的方程； (2)若点P是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线PA和PB互相垂直. 4454 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，点P是抛物线C的准线上 的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，点M是AB的中点. (1)求证：切线PA和PB互相垂直； (2)求证：直线PM与y轴平行； (3)求△PAB面积的最小值. 第 页 共 页 832 10434455 (2024·全国·高三专题练习)已知中心在原点的椭圆Γ 和抛物线Γ 有相同的焦点(1,0)， 1 2 1 椭圆Γ 的离心率为 ，抛物线Γ 的顶点为原点. 1 2 2 (1)求椭圆Γ 和抛物线Γ 的方程； 1 2 (2)设点P为抛物线Γ 准线上的任意一点，过点P作抛物线Γ 的两条切线PA，PB，其中 2 2 A,B为切点.设直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，求证：kk 为定值. 1 2 1 2 4456 (2024·全国·高三专题练习)已知中心在原点的椭圆C 1 和抛物线C 2 有相同的焦点1,0  ， 3 椭圆C 过点G1, 1 2  ，抛物线C 的顶点为原点． 2 1  求椭圆C 和抛物线C 的方程； 1 2 2  设点P为抛物线C 准线上的任意一点，过点P作抛物线C 的两条切线PA，PB，其 2 2 中A，B为切点． ①设直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，求证：kk 为定值； 1 2 1 2 ②若直线AB交椭圆C 于C，D两点，S ，S 分别是△PAB，△PCD的面积，试问： 1 △PAB △PCD S △PAB 是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由． S △PCD p 4457 (2024·全国·高三专题练习)抛物级x2=2py(p>0)的焦点F到直线y=- 的距离为2. 2 (1)求抛物线的方程； (2)设直线y=kx+1交抛物线于Ax 1 , y 1  ， Bx 2 , y 2  两点，分别过A，B两点作抛 物线的两条切线，两切线的交点为P，求证：PF⊥AB. 4458 (2024·河南驻马店·校考模拟预测)已知抛物线E：x2=2pyp>0  的焦点为F，点P在 E上，直线l：x-y-2=0与E相离．若P到直线l的距离为d，且PF  +d的最小值为 3 2 ．过E上两点A,B分别作E的两条切线，若这两条切线的交点M恰好在直线l上． 2 (1)求E的方程； (2)设线段AB中点的纵坐标为n，求证：当n取得最小值时，MA⊥MB． 4 题型四：面积问题 第 页 共 页 833 10434459 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=2pyp>0  3 ，点Ax, 2  是抛物 线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2． (1)求抛物线的方程； 1 (2)点Q为直线y=- 上的动点，过点Q作抛物线C的两条切线，切点分别为D，E，求 2 △QDE面积的最小值． 4460 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线x2=2py上一点Mx 0 ,1  到其焦点F的距离为 2． (1)求抛物线的方程； (2)如图，过直线l:y=-2上一点A作抛物线的两条切线AP，AQ，切点分别为P，Q，且 直线PQ与y轴交于点N．设直线AP，AQ与x轴的交点分别为B，C，求四边形ABNC 面积的最小值． 4461 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点到原点的距离等于直 线l:x-4y-4=0的斜率. (1)求抛物线C的方程及准线方程； (2)点P是直线l上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，求△PAB 面积的最小值. 4462 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知抛物线C:y2=2px(p>0)上的点R的横坐标为 1，焦点为F，且|RF|=2，过点P(-4,0)作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为 线段PA上的动点，过D作抛物线的切线，切点为E(异于点A，B)，且直线DE交线段PB 于点H. 第 页 共 页 834 1043(1)求抛物线C的方程； (2)(i)求证：|AD|+|BH|为定值； 1 (ii)设△EAD，△EBH的面积分别为S ，S ，求S=3S + S 的最小值. 1 2 1 3 2 4463 (2024·全国·高三专题练习)已知点A(-4，4)、B(4，4)，直线AM与BM相交于点M，且 直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为-2，点M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)Q为直线y=-1上的动点，过Q作曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面 积S的最小值． 4464 (2024·河南开封·河南省兰考县第一高级中学校考模拟预测)已知点F- 3,0  ，平面上 3 的动点S到F的距离是S到直线 3x+4=0的距离的 倍，记点S的轨迹为曲线C． 2 (1)求曲线C的方程； (2)过直线l:y=2上的动点Ps,2  s>2  向曲线C作两条切线l ，l ，l 交x轴于M，交y 1 2 1 轴于N，l 交x轴于T，交y轴于Q，记△PNQ的面积为S ，△PMT的面积为S ，求S ⋅S 2 1 2 1 2 的最小值． 5 题型五：外接圆问题 1 4465 (2024·全国·高三专题练习)已知P是抛物线C：y= x2-3的顶点，A，B是C上的两 4   个动点，且PA⋅PB=-4． (1)试判断直线AB是否经过某一个定点？若是，求这个定点的坐标；若不是，说明理由； (2)设点M是△PAB的外接圆圆心，求点M的轨迹方程． 1 4466 (2024·高二单元测试)已知点P是抛物线C:y= x2-3的顶点，A，B是C上的两个动 4   点，且PA⋅PB=-4. (1)判断点D0,1  是否在直线AB上？说明理由； (2)设点M是△PAB的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d，点N1,0  ，求MN  -d的 最大值. 1 4467 (2024·全国·高三专题练习)已知点P是抛物线C:y= x2-3的顶点，A，B是C上的两 4   个动点，且PA⋅PB=-4. (1)判断点D0,-1  是否在直线AB上？说明理由； (2)设点M是△PAB的外接圆的圆心，求点M的轨迹方程. 第 页 共 页 835 10436 题型六：最值问题 4468 (2024·全国·高三专题练习)如图已知P-2,t  是直线x=-2上的动点，过点P作抛物 线y2=4x的两条切线，切点分别为A,B，与y轴分别交于C,D. (1)求证：直线AB过定点，并求出该定点； (2)设直线AB与x轴相交于点Q，记A,B两点到直线PQ的距离分别为d,d ；求当 1 2 AB  取最大值时△PCD的面积. d +d 1 2 4469 (2024·湖南·高三校联考阶段练习)在直角坐标系xoy中，已知抛物线C:x2= 2pyp>0  ，P为直线y=x-1上的动点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A, B，当P在y轴上时，OA⊥OB. (1)求抛物线C的方程； (2)求点O到直线AB距离的最大值. 4470 (2024·辽宁沈阳·校联考二模)从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行 于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线都会汇聚 到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线C:x2= 2pyp>1  ，从点4,9  发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物线两 次反射后，反射光线由G点射出，经过点-1,5  ． (1)求抛物线C的方程； (2)已知圆M:x2+y-3  2=4，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA   和EB，切点分别为A、B，求EA⋅EB的取值范围． 4471 (2024·贵州·高三校联考阶段练习)已知抛物线C:x2=2pyp>0  上的点2,y 0  到其焦 点F的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)已知点D在直线l：y=-3上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A,B，直线 AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当MN  第 页 共 页 836 1043AB 最小时，求  MN  的值. 4472 (2024·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考阶段练习)已知抛物线C:y2=4x，点P为直 线x=-2上的任意一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，则点M0,1  到直线AB的距离的最大值为 ( ) A.1 B.4 C.5 D. 5 7 题型七：角度相等问题 4473 设抛物线C:y=x2的焦点为F，动点P在直线l:x-y-2=0上运动，过P作抛物线C 的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB． 4474 (2024·全国·高三专题练习)已知F，F分别是椭圆C:17x2+16y2=17的上、下焦点，直 1 线l 过点F且垂直于椭圆长轴，动直线l 垂直l 于点G，线段GF的垂直平分线交l 于点 1 2 1 2 H，点H的轨迹为C . 2 (1)求轨迹C 的方程； 2 (2)若动点P在直线l:x-y-2=0上运动，且过点P作轨迹C 的两条切线PA、PB，切点 2 为A、B，试猜想∠PFA与∠PFB的大小关系，并证明你的结论的正确性. 4475 (2024·江苏南通·高三统考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知圆G:x2+(y-1)2 =1与抛物线C:x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E (0，2)作直线交抛物线于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线交于点P． (1)求证：点P的纵坐标为定值； (2)若F是抛物线C的焦点，证明：∠PFA=∠PFB． 4476 (2024·全国·高三专题练习)如图所示，设抛物线C：y=x2的焦点为F，动点P在直线l： x-y-2=0上运动，过P作抛物线C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，求证： ∠AFB=∠BFP. 4477 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的 第 页 共 页 837 1043圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E 作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别作拋物线C的切线交于点P. (1)求证∶点P的纵坐标为定值； (2)若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB. 第 页 共 页 838 1043