第71讲面积问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第71讲 面积问题 知识梳理 1、三角形的面积处理方法 1 (1)S = ⋅底·高(通常选弦长做底，点到直线的距离为高) △ 2 1 1 (2)S △ = 2 ⋅水平宽·铅锤高= 2 AB  ⋅x E -x D  1 或S △ = 2 CD  ⋅y A -y E  (3)在平面直角坐标系xOy中，已知△OMN的顶点分别为O(0，0)，M(x ，y )，N(x ， 1 1 2 1 y 2 )，三角形的面积为S= 2 x 1 y 2 -x 2 y 1  ． 2、三角形面积比处理方法 (1)对顶角模型 1 OA⋅OC⋅sinα S 2 OA⋅OC ΔOAC = = S 1 OB⋅OD ΔOBD OB⋅OD⋅sinα 2 (2)等角、共角模型 1 OA⋅OC⋅sinα S 2 OA⋅OC ΔOAC = = S 1 OB⋅OD ΔOBD OB⋅OD⋅sinα 2 3、四边形面积处理方法 (1)对角线垂直 第 页 共 页 742 10431 S= AC⋅BD 2 (2)一般四边形 1 S= AC⋅BD⋅sinα 2 (3)分割两个三角形 1 S= AC⋅(d +d ) 2 1 2 4、面积的最值问题或者取值范围问题 一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数 的最值(一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界 性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等)，在算面积的过程中，优先选择长度为定 值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量． 必考题型全归纳 1 1 题型一：三角形的面积问题之S = ⋅底·高 △ 2 x2 y2 4056 (2024·福建漳州·高三统考开学考试)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为F( a2 b2 1 1 - 3,0)，且过点A 3, 2  . (1)求C的方程； (2)不过原点O的直线l与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列. (i)求l的斜率； (ii)求△OPQ的面积的取值范围. 第 页 共 页 743 10434057 (2024·湖南常德·高三常德市一中校考阶段练习)在平面直角坐标系中，已知点 1 A ,0 2  1 ，点B在直线l:x=- 上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点 2 M. (1)求动点M的轨迹E的方程； (2)设点P是轨迹E上的动点，点R,N在y轴上，圆C:(x-1)2+y2=1内切于△PRN，求 △PRN的面积的最小值. 4058 (2024·浙江·模拟预测)我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入 微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以 解决，已知曲线C上任意一点Px,y  满足 (x+ 2)2+y2- (x- 2)2+y2=2. (1)化简曲线C的方程； (2)已知圆O:x2+y2=1(O为坐标原点)，直线l经过点Am,0  (m>1)且与圆O相切，过 点A作直线l的垂线，交C于M,N两点，求△OMN面积的最小值. x2 y2 4059 (2024·河北秦皇岛·校联考二模)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)实轴的一个端点 a2 b2 1 1 是P，虚轴的一个端点是Q，直线PQ与双曲线的一条渐近线的交点为 , 2 2  . (1)求双曲线的方程； 1 (2)若直线y=kx+ (0b>0)过点M 2,1  ，且左焦点为F 1- 2,0  . (1)求椭圆E的方程； (2)△ABC内接于椭圆E，过点P4,1  和点A的直线l与椭圆E的另一个交点为点D，与  BC交于点Q，满足AP   QD=    AQ   PD  ，求△ABC面积的最大值. 2 题型二：三角形的面积问题之分割法 4061 (2024·全国·高三专题练习)设动点M与定点Fc,0  c>0  的距离和M到定直线l：x= 4 c 的距离的比是 ． c 2 (1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)当c= 2时，记动点M的轨迹为Ω，动直线m与抛物线Γ：y2=4x相切，且与曲线Ω 交于点A，B．求△AOB面积的最大值． 4062 (2024·四川成都·高三校联考阶段练习)已知椭圆C的对称中心为坐标原点，对称轴为坐 1 标轴，焦点在y轴上，离心率e= ，且过点P(3,2)． 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆交于A，B两点，且直线PA，PB的倾斜角互补，点M(0,8)，求三角形 MAB面积的最大值． x2 y2 4063 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线 - =1,(a>0,b>0)的离心率为2， a2 b2 右焦点F到渐近线的距离为 3． (1)求双曲线的标准方程； 第 页 共 页 744 1043(2)若点P为双曲线右支上一动点，过点P与双曲线相切的直线l，直线l与双曲线的渐近 线分别交于M，N两点，求△FMN的面积的最小值． x2 y2 4064 (2024·广东广州·高三中山大学附属中学校考阶段练习)过椭圆 + =1的右焦点F 4 3 作两条相互垂直的弦AB，CD.AB，CD的中点分别为M，N. (1)证明：直线MN过定点； (2)若AB，CD的斜率均存在，求△FMN面积的最大值. 3 题型三：三角形、四边形的面积问题之面积坐标化 y2 4065 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知双曲线C:x2- =1的左右焦点分别为F、F，若 3 1 2 点P为双曲线C在第一象限上的一点，且满足PF 1  +PF 2  =8，过点P分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和B. (1)求四边形OAPB的面积； x2 y2 (2)若对于更一般的双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  ，点P为双曲线C上任意一点， 过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线PA、PB与渐近线的交点分别是A和 B.请问四边形OAPB的面积为定值吗？若是定值，求出该定值(用a、b表示该定值)； 若不是定值，请说明理由. x2 y2 4066 (2024·浙江·高三竞赛)已知直线l与椭圆C： + =1(a>b>0)交于A、B两点，直 a2 b2 线AB不经过原点O. (1)求△OAB面积的最大值； (2)设M为线段AB的中点，延长OM交椭圆C于点P，若四边形OAPB为平行四边形， 求四边形OAPB的面积. x2 4067 (2024·全国·高三专题练习)F,F 分别是椭圆于 +y2=1的左、右焦点. 1 2 4   (1)若Р是该椭圆上的一个动点，求PF ⋅PF 的取值范围； 1 2 (2)设A2,0  ,B0,1  是它的两个顶点，直线y=kx(k≥0)与AB相交于点D，与椭圆相 交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值. 4068 (2024·江苏苏州·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y2=4x的焦 点为F，过F的直线交C于A，B两点(其中点A在第一象限)，过点A作C的切线交x轴 第 页 共 页 745 1043于点P，直线PB交C于另一点Q，直线QA交x轴于点T. (1)求证：AF  ⋅AT  =BF  ⋅QT  ； (2)记△AOP，△AFT，△BQT的面积分别为S ，S ，S ，当点A的横坐标大于2时，求 1 2 3 S 3 的最小值及此时点A的坐标. S -S 2 1 x2 y2 4069 (2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习)设椭圆E： + =1(a>b> a2 b2 0)的一个顶点为A0,1  2 ，离心率为 ，F为椭圆E的右焦点． 2 (1)求椭圆E的方程； (2)设过F且斜率为k的直线与椭圆E交于D，G两点，若满足AD⊥AG，求k的值； (3)过点P2,0  的直线与椭圆E交于B，C两点，过点B，C分别作直线l：x=t的垂线 (点B，C在直线l的两侧)．垂足分别为M，N，记△BMP，△MNP，△CNP的面积分别 1 为S ，S ，S ，试问：是否存在常数t，使得S ， S ，S 总成等比数列？若存在，求出t的 1 2 3 1 2 2 3 值，若不存在，请说明理由． 4070 (2024·福建泉州·泉州七中校考模拟预测)已知圆C:x- 3  2+y2=16，点G- 3,0  ， 圆周上任一点P，若线段PG的垂直平分线和CP相交于点Q，点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)若过点1,0  的动直线n与椭圆C相交于M,N两点，直线l的方程为x=4.过点M作 MT⊥l于点T，过点N作NR⊥l于点R.记△GTR,△GTM,△GRN的面积分别为S， S ，S .问是否存在实数λ，使得λ S ⋅S -S=0成立？若存在，请求出λ的值；若不存在， 1 2 1 2 请说明理由. 4071 (2024·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考开学考试)设抛物线Γ：y2=4x的焦点为 F，经过x轴正半轴上点Mm,0  的直线l交Γ于不同的两点A和B. (1)若FA  =3，求A点的坐标； 第 页 共 页 746 1043(2)若m=2，求证：原点O总在以线段AB为直径的圆的内部； (3)若FA  =FM  ，且直线l ⎳l，l 与Γ有且只有一个公共点E，问：△OAE的面积是否 1 1 存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由.(三角形面   积公式：在△ABC中，设CA=a=x 1 ,y 1    ，CB=b=x 2 ,y 2  ，则△ABC的面积为 1  S= a 2   2 b  2   -a⋅b  2 1 = 2 x 1 y 2 -x 2 y 1  4072 (2024·四川眉山·高三校考阶段练习)在△PF 1 F 2 中，已知点F 1- 3,0  ，F 2 3,0  ，PF 边 1 上的中线长与PF 边上的中线长之和为6；记△PFF 的重心G的轨迹为曲线C. 2 1 2 (1)求C的方程； (2)若圆O：x2+y2=1，E0,-1  ，过坐标原点O且与y轴不重合的任意直线l与圆O相 交于点A，B，直线EA，EB与曲线C的另一个交点分别是点M，N，求△EMN面积的最 大值. 4 题型四：三角形的面积比问题之共角、等角模型 4073 (2024·河北·统考模拟预测)已知抛物线C:x2=2py(p>0)，过点P(0,2)的直线l与C交 于A,B两点，当直线l与y轴垂直时，OA⊥OB(其中O为坐标原点). (1)求C的准线方程； (2)若点A在第一象限，直线l的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与y轴交于点T，连接 TB交C于另一点为D，直线AD与y轴交于点Q，求△APQ与△ADT面积之比的最大 值. x2 y2 4074 (2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习)已知椭圆E: + =1(a>b a2 b2 c >0),c= a2-b2，且过(2,0),1, a  两点． (1)求椭圆E的方程和离心率e； (2)若经过M(1,0)有两条直线l,l ，它们的斜率互为倒数，l 与椭圆E交于A，B两点，l 1 2 1 2 与椭圆E交于C，D两点，P，Q分别是AB，CD的中点试探究：△OPQ与△MPQ的面 积之比是否为定值？ 若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． x2 y2 4075 (2024·江苏徐州·高三校考开学考试)设椭圆 + =1(a>b>0)的左右顶点分别为 a2 b2 A 1 ,A 2 ，右焦点为F，已知A 1 F  =3,A 2 F  =1． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点P是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A P交y轴于点Q，若三角形APQ 2 1 的面积是三角形A FP面积的二倍，求直线A P的方程． 2 2 4076 (2024·广东深圳·深圳中学校考模拟预测)已知定点F(2,0)，关于原点O对称的动点P， |PF| |QF| Q到定直线l:x=4的距离分别为d ，d ，且 = ，记P的轨迹为曲线C. p Q d d p Q (1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？ 1 (2)已知点M，N是直线m:x= y+2与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别 k 为M ，N(M ，N 不同于原点O)，且直线MN与直线l:x=4相交于点R，求△RMN与 1 1 1 1 1 △RMN 面积的比值. 1 1 4077 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知抛物线C：y2=2pxp>0  上一点Aa,a  a≠0  第 页 共 页 747 10435 到焦点F的距离为 ． 2 (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点，直线OP,OQ与圆E：x-2  2+y2=4的 另一交点分别为M,N,O为坐标原点，求△OPQ与△OMN面积之比的最小值． y2 x2 4078 (2024·陕西商洛·陕西省丹凤中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的 a2 b2 左、右顶点分别为A,B，长轴长为短轴长的2倍，点P在C上运动，且△ABP面积的最大 值为8． (1)求C的方程； (2)若直线l经过点Q1,0  ，交C于M,N两点，直线AM,BN分别交直线x=4于D，E两 点，试问△ABD与△AQE的面积之比是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理 由． x2 y2 4079 (2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)已知A，B分别是椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  的右顶点和上顶点，AB  1 = 5，直线AB的斜率为- . 2 (1)求椭圆的方程； (2)直线l⎳AB，与x，y轴分别交于点M，N，与椭圆相交于点C，D. (i)求△OCM的面积与△ODN的面积之比； (ⅱ)证明：CM  2+MD  2为定值. 5 题型五：三角形的面积比问题之对顶角模型 x2 y2 4080 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离心率 2 2 为 ，且C经过点1, 2 2  ． (1)求椭圆C方程； (2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于点M、N,F为C的右焦点，直线MF、NF分别交C S 于另一点M 、N ，记△FMN与△FMN 的面积分别为S 、S ，求 1 的范围． 1 1 1 1 1 2 S 2 4081 (2024·全国·高三对口高考)在平面直角坐标系xoy中，点B与点A1,-1  关于原点O 1 对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于- ． 3 (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N,问：是否存在点P使得△PAB与 △PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 4082 (2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)已知O为坐标原点，抛物线的方程为x2= 第 页 共 页 748 10432pyp>0  x2 y2 ，F是抛物线的焦点，椭圆的方程为 + =1a>b>0 a2 b2  ，过F的直线l与抛 物线交于M，N两点，反向延长OM，ON分别与椭圆交于P，Q两点． (1)求k ⋅k 的值； OM ON (2)若OP  2+OQ  2=5恒成立，求椭圆的方程； S (3)在(2)的条件下，若 △OMN 的最小值为1，求抛物线的方程(其中S ，S 分别是 S △OMN △OPQ △OPQ △OMN和△OPQ的面积)． 4083 (2024·四川·校联考一模)已知点-2,0  x2 y2 在椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  上，点 1 Mm, 2  m≠0  在椭圆C内．设点以A,B为C的短轴的上、下端点，直线AM,BM分 1 别与椭圆C相交于点E,F，且EA,EB的斜率之积为- ． 4 (1)求椭圆C的方程； (2)记S △BME ，S △AMF 分别为△BME，△AMF的面积，若m∈- 3,-1  ∪1, 3  ，求 S △AMF 的取值范围． S △BME 4084 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试)已知点-2,0  x2 y2 在椭圆C： + =1(a a2 b2 1 >b>0)上，点Mm, 2  m≠0  在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线 1 AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为- . 4 (1)求椭圆C的方程； S 1 (2)记S ，S 分别为△BME，△AMF的面积，若 △AMF = ，求m的值. △BME △AMF S 4 △BME x2 y2 4085 (2024·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的 1 左、右焦点为F,F，离心率为 .点P是椭圆C上不同于顶点的任意一点，射线PF,PF 1 2 2 1 2 分别与椭圆C交于点A,B，△PFB的周长为8. 1 (1)求椭圆C的标准方程； S S (2)设△PFF，△PFB，△PAB的面积分别为S,S ,S .求证： 2 + 1 为定值. 1 2 1 1 2 3 S -S S -S 3 2 2 1 6 题型六：四边形的面积问题之对角线垂直模型 x2 y2 4086 (2024·河南·襄城高中校联考三模)设双曲线E: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分 别为F 1 ,F 2 ，F 1 F 2  x =2 5，且E的渐近线方程为y=± ． 2 第 页 共 页 749 1043(1)求E的方程； (2)过F 作两条相互垂直的直线l 和l ，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求 2 1 2 四边形ABCD面积的最小值． x2 y2 4087 (2024·山西朔州·高三校联考开学考试)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的左、右焦 a2 b2   点分别为F 1 ，F 2 ，M为椭圆E的上顶点，MF 1 ⋅MF 2 =0，点N 2,-1  在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设经过焦点F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点， 2 求四边形ACBD的面积的最小值. 4088 (2024·江西·高三统考阶段练习)已知直线l:x-y+1=0与抛物线C:x2=2py(p>0)交 于A,B两点，AB  =8. (1)求p； (2)设抛物线C的焦点为F，过点F且与l垂直的直线与抛物线C交于E,G，求四边形 AEBG的面积. 7 题型七：四边形的面积问题之一般四边形 x2 y2 4089 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  过 3 1, 2  6 和 2, 2  两点. (1)求椭圆C的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线x=4上运动时，直线 AM，BM分别交椭圆于两点P和Q. (i)证明：点B在以PQ为直径的圆内； (ii)求四边形APBQ面积的最大值. x2 y2 4090 (2024·新疆伊犁·高三校考阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  经过点 2 2 P- ,- 3 3  ，O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M， 1 直线l与直线OM的斜率乘积为- . 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若四边形OAPB为平行四边形，求四边形OAPB的面积. x2 y2 4091 (2024·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试)定义：若椭圆C: + =1(a>b>0) a2 b2 上的两个点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  xx yy 满足 1 2 + 1 2 =0，则称A,B为该椭圆的一个“共轭点 a2 b2 对”，记作A,B  .已知椭圆C的一个焦点坐标为F 1-2 2,0  ，且椭圆C过点A3,1  . 第 页 共 页 750 1043(1)求椭圆C的标准方程； (2)求“共轭点对”A,B  中点B所在直线l的方程； (3)设O为坐标原点，点P,Q在椭圆C上，且PQ⎳OA，(2)中的直线l与椭圆C交于两 点B,B ，且B 点的纵坐标大于0，设四点B,P,B ,Q在椭圆C上逆时针排列.证明：四边 1 2 1 1 2 形BPB Q的面积小于8 3. 1 2 x2 y2 4092 (2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试)已知椭圆C ： + =1(a>b>0)左、 1 a2 b2 右焦点分别为F，F，且F 为抛物线C :y2=8x的焦点，P(2, 2)为椭圆C 上一点. 1 2 2 2 1 (1)求椭圆C 的方程； 1   (2)已知A，B为椭圆C 上不同两点，且都在x轴上方，满足FA=λFB. 1 1 2 (ⅰ)若λ=3，求直线FA的斜率； 1 (ⅱ)若直线FA与抛物线y2=x无交点，求四边形FFBA面积的取值范围. 1 1 2 x2 y2 4093 (2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  的离心 2 率e= ，且经过点 2,-1 2  . (1)求椭圆E的方程； (2)设直线l:y=kx+m与椭圆E交于A，B两点，且椭圆E上存在点M，使得四边形 OAMB为平行四边形.试探究：四边形OAMB的面积是否为定值？若是定值，求出四边 形OAMB的面积；若不是定值，请说明理由. x2 4094 (2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试)类似于圆的垂径定理，椭圆C： + a2 y2 =1(a>b>0)中有如下性质：不过椭圆中心O的一条弦PQ的中点为M，当PQ， b2 b2 x2 y2 OM斜率均存在时，k ⋅k =- ，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆E： + PQ OM a2 81 9   =1，直线OP与椭圆E交于A，B两点，且OA=3OP，其中O为坐标原点. (1)求点P的轨迹方程Γ；    (2)过点P作直线CD交椭圆E于C，D两点，使PC+PD=0，求四边形ACBD的面积. 4095 (2024·浙江·高三舟山中学校联考开学考试)已知抛物线E：y=x2与圆M：x2+y-4  2 =r2 r>0  相交于A，B，C，D四个点． (1)当r=2时，求四边形ABCD的面积； (2)四边形ABCD的对角线交点是否可能为M，若可能，求出此时r的值，若不可能，请说 明理由； (3)当四边形ABCD的面积最大时，求圆M的半径r的值． 第 页 共 页 751 1043x2 x2 y2 4096 (2024·四川成都·校联考模拟预测)已知椭圆C ： +y2=1(a>1)与椭圆C ： + 1 a2 2 12 b2 =1(00)相交 于A，B，C， D四个点． (1)当r=2时，求四边形ABCD面积； (2)当四边形ABCD的面积最大时，求圆M的半径r的值． y2 x2 2 4100 (2024·浙江·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，抛 1 a2 b2 2 物线C :x2=8y的准线与C 相交，所得弦长为2 6. 2 1 (1)求C 的方程； 1 (2)若Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  在C 上，且x <0b>0)的离心率为 ，且过点 a2 b2 2 第 页 共 页 752 10436 D 3, 2  ． (1)求椭圆C的标准方程； 1 (2)若动直线l：y=- x+m1≤m<2 2  与椭圆C交于A,B两点，且在坐标平面内存在 两个定点P,Q，使得k k =k k =λ(定值)，其中k ,k 分别是直线PA,PB的斜率， PA PB QA QB PA PB k ,k 分别是直线QA,QB的斜率． QA QB ①求λ的值； ②求四边形PAQB面积的最大值． 第 页 共 页 753 1043