第 62 讲 隐圆问题
必考题型全归纳
题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长
例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点 ， ， ，
满足 ，且 ，动点 ， 满足 ，
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题 ，则 到 ， ， 三点的距离相等，所以 是 的外
心.
又 ，
变形可得 ，
所以 ，同理可得 ， ，
所以 是 的垂心，
所以 的外心与垂心重合，
所以 是正三角形，且 是 的中心；
由 ，解得 ，
所以 的边长为 ；
如图所示，以 为坐标原点建立直角坐标系，则 ， ， ， ，
可设 ，其中 ， ，而 ，
即 是 的中点，则 ，
，
当 时， 取得最大值为 ．
故选：D．
例2．（2024·全国·高一阶段练习）已知 是单位向量， ，若向量 满足
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】单位向量 满足 ，即 ，作 ，以射线OA，OB分别作
为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，，设 ，则 ，由 得：
，
令 ，即 ，
，其中锐角
满足 ，
因此，当 时， ，当 时，
，
所以 的取值范围是 .
故选：D
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知单位向量 与向量 垂直，若向量 满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题意不妨设 ，设 ，则
．
∵ ，∴ ，即表示圆心为 ，半径为1的圆，设圆心为
P，∴ ．
∵ 表示圆P上的点到坐标原点的距离， ，∴ 的取
值范围为 ，
故选：C．
变式1．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆
上总存在两个点到原点的距离为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】问题可转化为圆 和圆 相交，
两圆圆心距 ，
由 得 ，
解得 ，即 .
故选：D
变式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原
点的距离为2，则实数a的取值范围是（ ）A． B．
C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）
【答案】A
【解析】∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：x2+y2＝4与圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，
∵|OC| ，
由R﹣r＜|OC|＜R+r得：1 3，
∴ ，
∴﹣2 a＜0或0＜a＜2 ．
故选A．
变式3．（2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点 ， ， ，
满足 ， ，动点 ， 满足 ，
，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】平面内， ， ，
， ， ，
可设 ， ， ， ，
动点 ， 满足 ， ，
可设 ， ， ，
， ，，
当且仅当 时取等号，
的最大值为 ．
故答案为： ．
变式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点 与 、 、
满足 ， ，动点 、 满足 ，
，则 的最大值为 ．
【答案】49
【解析】由 ，可得 为 的外心，
又 ，
可得 ， ，即 ，
即有 ， ，可得 为 的垂心，
则 为 的中心，即 为正三角形，
由 ,即有 ,解得 ， 的边长为 ，
由 ，可得 为 中点，
，
设 ，则 ， ,
,
当 时，最大值为49,
故答案为：49
题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值
例4．（2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，
为两个定点，动点 在直线 上，动点 满足 ，则
的最小值为 ．
【答案】5
【解析】设点 ，由 得： ，
即 ，即 ，
在以 为直径的圆上，不妨设 ， ，则 ， ，
，
，其中 为辅助角，
令 ， ，则 ， ．
，
令 ， ， ，
在 ， 上单调递增，
故当 时， 取得最小值 ，
再令 ， ，
显然 在 ， 上单调递增，
故 时， 取得最小值 ，
综上，当 ， 时， 取得最小值25．
故 的最小值为5,
故答案为：5．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知 四点共面， ， ，
，则 的最大值为 ．
【答案】10
【解析】设 ，由题意可得： ，
则： ，
ABC构成三角形，则： ，解得： ，由余弦定理：
，
当 时， 取得最大值为10.
例6．（2024·浙江金华·高二校联考期末）已知圆 ，点 ，
设 是圆 上的动点，令 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】设 ， ， ，
，
当 取得最小值时， 取得最小值，
由圆 ，则圆心 ，半径 ，
易知 ，则 .
故答案为： .
变式5．（2024·高二课时练习）正方形 与点 在同一平面内，已知该正方形的边长
为1，且 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】如图，以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则 ，设点 ，则由 ，
得 ，
整理得 ，
即点 的轨迹是以点 为圆心， 为半径的圆，
圆心M到点D的距离为 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
变式6．（2024·上海闵行·高二校考期末）如图，△ 是边长为1的正三角形，点 在△
所在的平面内，且 （ 为常数），满足条件的点 有无数个，
则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系，如图所示：则 设 则
化简得 即
当 时，点 不存在；
当 时，点 只有一个；
当 时，点 的轨迹是一个圆形，有无数个；
故答案为：
变式7．（2024·全国·高三专题练习）如图， 是边长为1的正三角形，点P在
所在的平面内，且 （a为常数），下列结论中正确的是
A．当 时，满足条件的点P有且只有一个
B．当 时，满足条件的点P有三个
C．当 时，满足条件的点P有无数个
D．当a为任意正实数时，满足条件的点总是有限个
【答案】C【解析】以 所在直线为 轴， 中点为原点，建立直角坐标系，如图所示
则 ， ， ，
设 ，可得 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
化简得： ，即 ，
配方，得 …（1）
当 时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；
当 时，方程（1）的右边为0，表示点 ，恰好是正三角形的重心；
当 时，方程（1）的右边大于0，表示以 为圆心，半径为 的圆，
由此对照各个选项，可得只有C项符合题意.
故选：C．
题型三：隐圆的第三定义：到两定点的夹角为90°例7．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）已知圆
和点 ，若圆 上存在两点 使得 ，则实数 的取
值范围是 ．
【答案】
【解析】对于 上任意一点 ，当 均为圆的切线时 最大，
由题意， ，即 ，此时 为满足题设条件的临界点，
如上图，若 与 重合，则 ， 为圆的切线，此时 ，
综上， 在临界点之间移动过程中，有 ，即 ，
解得 ，可得 .
故答案为：
例8．（2024·江苏南京·金陵中学校考模拟预测）已知圆C：(x－1)2＋(y－4)2＝10和点
M(5，t)，若圆C上存在两点A，B，使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是
【答案】[2，6]
【解析】因为点M在圆C外，当AM，BM与圆C相切时，∠AMB最大，要使在圆C上存
在两点A和B，使得MA⊥MB，只需当AM，BM与圆C相切时，
∠AMB≥90°，即∠AMC ≥ 45°，则sin∠AMC＝ ≥ ，解得2≤t≤6.
故答案为：[2，6].
例9．（2024·高二课时练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直线交于点 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知可得动直线 经过定点 ，
动直线 经过定点 ，
且两条直线互相垂直，且相交于点 ，
所以 ，即 ，
由基本不等式可得 ，
即 ，可得 ，
故选：C.
变式8．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）设 ，过定点 的动直线
和过定点 的动直线 交于点 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【解析】显然 过定点 ，直线 可化成 ，则经过定点
，
根据两条直线垂直的一般式方程的条件， ，
于是直线 和直线 垂直，又 为两条直线的交点，则 ，
又 ，由勾股定理和基本不等式，
，则 ，
当 时， 的最大值是 .
故选：C
变式9．（2024·高二课时练习）设 ，过定点 的动直线 和过定点 的动直
线 交于点 ，则 的值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】B【解析】由题意，动直线 经过定点 ，则 ，
动直线 变形得 ，则 ，
由 得 ，
∴
，
故选：B．
变式10．（2024·全国·高三校联考阶段练习）设 ，动直线 ： 过定点 ，
动直线 ： 过定点 ，且 ， 交于点 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】B
【解析】根据方程推出 ，可得 ， 的交点 在以 为直径的圆上，可得
，再根据不等式知识可求得结果.动直线 ： 过定点
，动直线 ： 过定点 ，
因为 ，所以 ，所以 ， 的交点 在以 为直径的圆上，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，解得 .即 ，
所以 的最大值是 .
故选：B
变式11．（2024·全国·高三专题练习）设向量 ， ， 满足 ， ，
，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】建立坐标系，以向量 ， 的角平分线所在的直线为 轴，使得 ， 的坐标分别
为 ， ，设 的坐标为 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
表示以 为圆心， 为半径的圆，
则 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，
因为圆到原点的距离为 ，所以圆上的点到原点的距离的最小值为 ，故选：B
变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ， ，若圆 ：
上存在一点 ，使得 ，则实数 的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】根据题意，圆C：x2+y2-8x-8y+31=0，即（x-4）2+（y-4）2=1；
其圆心为（4，4），半径r=1，
设AB的中点为M，
又由点A（1-m，0），B（1+m，0），则M（1，0），|AB|=2|m|，
以AB为直径的圆为（x-1）2+y2=m2，
若圆C：x2+y2-8x-8y+31=0上存在一点P，使得PA⊥PB，则圆C与圆M有公共点，
又由
即有|m|-1≤5且|m|+1≥5，
解可得：4≤|m|≤6，即-6≤m≤-4或4≤m≤6，
即实数m的最大值是6；
故选C．
变式13．（2024·江西宜春·高一江西省万载中学校考期末）已知 ， 是平面内两个互相
垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】如图，设 ， ， ， ，则 ， ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 在以 为直径的圆上，故 的最大值为圆的直径 ，
故选：C.
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量
满足 ，则 的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，且 ， 为线段 的中点，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，所以点 在以 为圆心，半径为 的圆，所以 的最大值即为该圆的直径，
所以 的最大值为 .
故选：C.
变式15．（2024·湖北武汉·高二校联考期中）已知 和 是平面内两个单位向量，且
，若向量 满足 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示：
设 ， ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，即 .
所以 在以 为直径的圆上.设 的中点为 ，因为 和 是平面内两个单位向量，且 ，
所以 ， .
所以 .
故选：B
变式16．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知向量 ， 是平
面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则 的最大值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，
故可设 ， ， ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
整理得到 ，即 ，
故 的最大值为 ，
故选：B.
题型四：隐圆的第四定义：边与对角为定值、对角互补、数量积定值
例10．（2024·全国·高一专题练习）设向量 满足 ， ，，则 的最大值等于 .
【答案】2
【解析】由题设， ，而 ，则 ，
令 ，则 ，又 ，如下图示：
所以 ， ，则 ，故 共圆，
而 ，即 ，故外接圆直径 ，
对于 ，当 为直径时最大，即 .
故答案为：2.
例11．（2024·全国·高三专题练习）在边长为8正方形 中，点 为 的中点，
是 上一点，且 ，若对于常数 ，在正方形 的边上恰有 个不同的点 ，
使得 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ， ，（1）当点P在AB上时，设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∴当 时有一解，当 时有两解；
（2）当点P在AD上时，设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 或 时有一解，当 时有两解；
（3）若P在DC上，设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
∴当 时有一解，当 时有两解；
（4）当点P在BC上时，设 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴当 或 时有一解，当 时有两解，
综上，在正方形 的四条边上有且只有6个不同的点P，使得 成立，那么
m的取值范围是 ，
故答案为： ．
例12．（2024·全国·高三专题练习）在平面四边形 中，连接对角线 ，已知
， ， ， ，则对角线 的最大值为（ ）
A．27 B．16 C．10 D．25
【答案】A
【解析】以D为坐标原点，DB,DC分别为x,y轴建立如图所示直角坐标系，则
,因为 ， ，所以由平面几何知识得A点轨迹为圆弧
（因为为平面四边形 ，所以取图中第四象限部分的圆弧），设圆心为E,则由正弦定
理可得圆半径为 ，
因此对角线 的最大值为故选：A
变式17．（2024·全国·高考真题）设向量 满足 ， ，
，则 的最大值等于
A．4 B．2 C． D．1
【答案】A
【解析】
因为 ， ，所以 , .
如图所以，设 ，则 , , .
所以 ，所以 ，所以 四点共圆.
不妨设为圆M，因为 ,所以 .
所以 ,由正弦定理可得 的外接圆即圆M的直径为 .所以当 为圆M的直径时， 取得最大值4.
故选A.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）在平面内,设A、B为两个不同的定点,动点P满足:
( 为实常数)，则动点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不能确定
【答案】A
【解析】设 ， 以 所在直线为 轴， 的中垂线为 轴，建立直角坐标系
如图所示：
则 设
即 ，表示圆
故选：A
变式19．（2024·全国·高三专题练习）如图，梯形 中， ， ， ，
, 和 分别为 与 的中点，对于常数 ，在梯形 的四条边上恰
好有8个不同的点 ，使得 成立，则实数 的取值范围是A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】以DC所在直线为x轴，DC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，
则梯形的高为 ,∴A(−1,2),B(1,2),C(2,0),D(−2,0),∴ .
1)当P在DC上时,设P(x,0)(−2 x 2),则 .
⩽ ⩽
于是 ，
∴当 时,方程有一解,当 时，λ有两解；
(2)当P在AB上时,设P(x,2)(−1 x 1),则 .
⩽ ⩽
∴ ，
∴当 时,方程有一解,当 时，λ有两解；
(3)当P在AD上时，直线AD方程为y=2x+4，设P(x,2x+4)(−2<x<−1),则 .
于是 ，
∴当 或 时,方程有一解,当 时，方程有两解；
(4)当P在CD上时,由对称性可知当 或 时，方程有一解，
当 时，方程有两解；
综上,若使梯形上有8个不同的点P满足 成立，
则λ的取值范围是 .
本题选择D选项.
变式20．（2024·江苏·高一专题练习）已知正方形 的边长为4，点 ， 分别为 ，
的中点，如果对于常数 ，在正方形 的四条边上，有且只有8个不同的点 ，使
得 成立，那么 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示,
设 的中点为 ,则 ,两式平方相减得 ,所以,即 ,所以 ,
由对称性可知每个边上存在两个点 ,所以点 在边的中点和顶点之间,
故 ,解得 ,
故选:D
题型五：隐圆的第五定义：到两定点距离之比为定值
例13．（2024·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考阶段练习）阿波罗尼斯是古希
腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深
刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是
他的研究成果之一.指的是：已知动点 与两定点 的距离之比 ，
那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为
，其中，定点 为 轴上一点，定点 的坐标为 ，若点 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ， ，所以 ，由 ，
所以 ，因为 且 ，所以 ，
整理可得 ，又动点M的轨迹是 ，所以 ，解得 ，所以 ，又 ，
所以 ，
因为 ，所以 的最小值 ，
当M在位置 或 时等号成立.
故选：D
例14．（2024·江西赣州·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、
阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼
斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为
，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系
中，圆 、点 和点 ，M为圆O上的动点，则 的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，令 ，则 ，
由题知圆 是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且 ，设点 ，则 ，
整理得： ，
比较两方程可得： ， ， ，即 ， ，点 ，
当点M位于图中 的位置时， 的值最大，最大为 .
故选：B.
例15．（2024·湖南张家界·高二统考期末）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、
阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究
成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：
已知动点 与两定点 ， 的距离之比为 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼
斯圆．如动点 与两定点 ， 的距离之比为 时的阿波罗尼斯圆为
．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆 上的动点 和
定点 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，点M在圆 上，取点 ，连接 ，有，
当点 不共线时， ，又 ，因此 ∽ ，
则有 ，当点 共线时，有 ，则 ，
因此 ，当且仅当点M是线段BN与
圆O的交点时取等号，
所以 的最小值为 .
故选：C
变式21．（2024·广东东莞·高三东莞实验中学校考开学考试）对平面上两点A、B，满足
的点P的轨迹是一个圆，这个圆最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，命名
为阿波罗尼斯圆，称点A，B是此圆的一对阿波罗点．不在圆上的任意一点都可以与关于
此圆的另一个点组成一对阿波罗点，且这一对阿波罗点与圆心在同一直线上，其中一点在
圆内，另一点在圆外，系数 只与阿波罗点相对于圆的位置有关．已知 ， ，
，若动点P满足 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意知： ，即 ，
（当且仅当 三点按顺序共线时取等号），
又 ， 的最小值为 ；
故答案为： .
变式22．（2024·上海·高三校联考阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥
曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足 （其
中 是正常数，且 ），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已
知两定点 ，P是圆 上的动点，则 的最小值为
【答案】
【解析】如图，在 轴上取点 ，， ， ， ，
（当且仅当 为 与圆 交点时取等号），
.
故答案为： .
变式23．（2024·四川广安·高二广安二中校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，
对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动
点M与两定点Q，P的距离之比 ，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯
圆.已知动点 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 为 轴上一点，
且 ，若点 ，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】设 ， ，所以 ，又 ，所以
.
因为 且 ，所以 ，整理可得 ，又动
点M的轨迹是 ，所以 ，解得 ，所以 ，又 ，所以
，
因为 ，所以 的最小值为 ，当且仅当
三点共线时取等.
故答案为： .
变式24．（2024·河北沧州·校考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他对圆锥
曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗
尼斯圆是他的研究成果之一，指的是“如果动点 与两定点 的距离之比为(
，那么点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆”下面我们来研究与此相关的一个问题，
已知点 为圆 上的动点， ，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】
假设存在这样的点 ，使得 ，则 ，设点 ，则，
即 ，
该圆对照 ，所以 ，所以点 ，
所以 .
故答案为：
变式25．（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前 年）证明过这样一个
命题：平面内到两定点距离之比为常数 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿
氏圆，已知 、 分别是圆 ，圆 上的动点， 是坐标原点，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】如图所示：
取点 ，设 ，
则 ，在 和 中， ，
所以 和 相似，且相似比为 ，
所以 ，则 ，
而 ，
即 的最小值为 ，
所以 .
故答案为：
