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第 1 讲 集合
知识梳理
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数 正整数集 整数集 有理数 实数集
集 集
符号 或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任
何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合 ，可知 ,在该集合中，
,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复
出现的.
集合 应满足 .
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 和 是
同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举
法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范
围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都
是集合 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作
（或 ），读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合 的真子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包
含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（
），此时，集合 与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的
子集，是任何非空集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与
的交集，记作 ，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与
的并集，记作 ，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为
集合 相对于全集 的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即
．
4、集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
【解题方法总结】
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有
个，非空真子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） , ．
必考题型全归纳
题型一：集合的表示：列举法、描述法
例1．（2024·广东江门·统考一模）已知集合 ， ，
则集合B中所有元素之和为（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
【答案】C【解析】根据条件分别令 ，解得 ，
又 ，所以 ， ，
所以集合B中所有元素之和是 ，
故选：C．
例2．（2024·江苏·高三统考学业考试）对于两个非空实数集合 和 ，我们把集合
记作 .若集合 ，则 中元素的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 ，则 ，则 中元素的个数为
故选：C
例3．（2024·全国·高三专题练习）定义集合 且 .已知集合
， ，则 中元素的个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．7
【答案】C
【解析】根据题意，因为 ， ，
所以 .
故选：C.
【解题总结】
1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.
2、描述法，注意代表元素.
题型二：集合元素的三大特征
例4．（2024·北京海淀·校考模拟预测）设集合 ，若 ，则实数m=
（ ）A．0 B． C．0或 D．0或1
【答案】C
【解析】设集合 ，若 ，
， 或 ，
当 时， ，此时 ；
当 时， ，此时 ；
所以 或 .
故选：C
例5．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合 ， ，若
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】由题意 可知，两集合元素全部相等，得到 或 ，又根据集
合互异性，可知 ，解得 (舍)， 和 (舍)，所以 ， ，则
，
故选：A
例6．（2024·北京东城·统考一模）已知集合 ，且 ，则a可以为
（ ）
A．－2 B．－1 C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，可知 ，故A、C、D错误； ，故B正确.
故选：B
【解题方法总结】
1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。
2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的
关系。
题型三：元素与集合间的关系
例7．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知 ，若 ，且
，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意， 且 ，
解得 ，
故选：B
例8．（2024·吉林延边·统考二模）已知集合 的元素只有一个，则实数a
的值为（ ）
A． B．0 C． 或0 D．无解
【答案】C
【解析】集合 有一个元素，即方程 有一解，
当 时， ，符合题意，
当 时， 有一解，则 ，解得： ，
综上可得： 或 ，
故选：C.
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知集合 ，则A中元
素的个数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】由椭圆的性质得 ，
又 ,
所以集合
共有11个元素.
故选：C
【解题方法总结】
1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别．
2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数，是 还是 ．
题型四：集合与集合之间的关系
例10．（多选题）（2024·山东潍坊·统考一模）若非空集合 满足：
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由 可得： ，由 ，可得 ，则推不出，故选项 错误；
由 可得 ，故选项 正确；
因为 且 ，所以 ，则 ，故选项 正确；
由 可得： 不一定为空集，故选项 错误；
故选： .
例11．（2024·江苏·统考一模）设 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，因为 ，
所以集合 是由所有奇数的一半组成，
而集合 是由所有整数的一半组成，故 .
故选：B
例12．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知集合 ，
，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意集合 ，
，若 ，则 ，此时 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 ,
故 ；
若 ，则 ，此时 ，
因为“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 ,
故 ；
若 ，则 ，此时 ，满足 ,
综合以上可得 ，
故选：C
例13．（2024·广东茂名·统考二模）已知集合 ， ，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】集合 ， .
要使 ，只需 ，解得： .
故选：A
【解题方法总结】
1、注意子集和真子集的联系与区别.
2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断
（2）数形结合法进行判断
题型五：集合的交、并、补运算
例14．（2024·广东广州·统考二模）已知集合 ， ，
则集合 的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，则 ，
故集合 的元素个数为 .
故选：B.
例15．（2024·河北张家口·统考二模）已知集合 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ， ，
即 ， ，
所以， ， ，
所以， .
故选：C.
例16．（2024·广东·统考一模）已知集合 ，则下列
Venn图中阴影部分可以表示集合 的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，
选项A中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项B中Venn图中阴影部分表示 ，符合题意；
选项C中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意；
选项D中Venn图中阴影部分表示 ，不符合题意，
故选：B
例17．（2024·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出
“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群
体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有
50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大
典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟
业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短
视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
【答案】3
【解析】把大学社团50人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》
《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有
(人)，
因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有 (人)，
因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有 (人)，
因此，至少看了一支短视频的有 (人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为 .
故答案为：3
【解题方法总结】
1、注意交集与并集之间的关系
2、全集和补集是不可分离的两个概念
题型六：集合与排列组合的密切结合
例18．（2024·全国·高三专题练习）设集合 ，定义：集合
，集合 ，集合
，分别用 ， 表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成
立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设 ，则 的值为
，显然， ，所以集合Y中至少有以上5个元素，
不妨设 ，
则显然 ，则集合S中至少有7个元素，
所以 不可能，故排除A选项；
其次，若 ，则集合Y中至多有6个元素，则 ，故排
除B项；
对于集合T，取 ，则 ，此时
， ，故D项正确；
对于C选项而言， ，则 与 一定成对出现， ，所
以 一定是偶数，故C项错误.
故选：D.
例19．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足 ，若 ，且 ，
表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（ ）
A．9 B．4 C．27 D．8
【答案】C
【解析】当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 ；
当 时，集合B可以为 .
故满足题意的“AB互衬对”个数为27.
故选：C
例20．（2024·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合 满足：① ，
② ，必有 ，③集合 中所有元素之和为 ，则集合 中元素个
数最多为（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【解析】对于条件① ，② ，必有 ，
若集合中所有的元素是由公差为 的等差数列构成，例如 ，
集合中有 个元素，
又
则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合 中元素个数最多不能超过
10个，
故若要集合 满足：① ，② ，必有 ，③集合 中所有
元素之和为 ，最多有10个元素，
例如 .
故选：B.【解题方法总结】
利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思
想方法
题型七：集合的创新定义
例21．（2024·全国·校联考模拟预测）对于集合 ，定义 ，且 ．
若 ， ，将集合 中的元素从小到大排列
得到数列 ，则 （ ）
A．55 B．76 C．110 D．113
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，所以 ． 相当于集合 中除去
形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以 ．
则 ，
故选：C.
例22．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一
直延续到19世纪 直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分
割”来定义无理数 史称戴德金分割 ，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了
无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机 所谓
戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足 ，
，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称 为戴德金分割 试
判断下列选项中，可能成立的是（ ）A． 是一个戴德金分割
B．M没有最大元素，N有一个最小元素
C．M有一个最大元素，N有一个最小元素
D．M没有最大元素，N也没有最小元素
【答案】BD
【解析】对于A，因为 ， ，故A错
误；
对于B，若 ，则满足戴德金分割，
此时M没有最大元素，N有一个最小元素0，故B正确；
对于C，若M有一个最大元素，设为a，N有一个最小元素，设为b，则 ，
则 ，而 内也有有理数，
则 ，故C错误；
对于D，若 ， ，
则满足戴德金分割，此时M没有最大元素，N也没有最小元素，故D正确，
故选：BD
例23．（2024·湖北·统考二模）已知X为包含v个元素的集合（ ， ）．设A为
由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元
素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称 组成一个v阶的Steiner三元系．
若 为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为_____________．
【答案】7
【解析】由题设，令集合 ，共有7个元素，
所以 的三元子集，如下共有35个：
、 、 、 、 、 、 、 、、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 、 、 、 、 ，
因为 中集合满足X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子
集，所以 中元素满足要求的有：
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
、 、 、 、 、 、 ，共有7个；、 、 、 、 、 、 ，共有7个；
共有15种满足要求的集合A，但都只有7个元素.
故答案为：7
【解题方法总结】
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到
的知识和方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，
新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法
进行理解。
