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第 40 讲 数列的基本知识与概念
知识梳理
知识点一、数列的概念
（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个
数列的项．
（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集 （或它的有限
子集 ）为定义域的函数 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所
对应的一列函数值．
（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．
知识点二、数列的分类
（1）按照项数有限和无限分：
（2）按单调性来分：
知识点三、数列的两种常用的表示方法
（1）通项公式：如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个式子来表示，
那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
（2）递推公式：如果已知数列 的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）
开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式
就叫做这个数列的递推公式．
【解题方法总结】
的 前 项 和 为 ， 通 项 公 式 为 ， 则
（ 1 ） 若 数 列
注意：根据 求 时，不要忽视对 的验证．
（2）在数列 中，若 最大，则 若 最小，则
必考题型全归纳
题型一：数列的周期性例1．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中，已知 ， ， ，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
由于 ，解得 ，从而 ， ，
可知 ，
因为 ，所以 ．
故选：C．
例2．（2024·全国·高三专题练习）在数列 中， ，对所有的正整数 都有
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 得 ，
两式相加得 ，
，是以6为周期的数列，
而 ，
.
故选：B.
例3．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）斐波那契数列 可以用如下方法定义：
，且 ，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，则数
列 的第100项为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】由题意有 ，且 ，
若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列 ，
则 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
则数列 是以6为周期的周期数列，
则 ，
则数列 的第100项为3，
故选： ．
变式1．（2024·全国·高三对口高考）已知数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A【解析】数列 中， ，
可知 ， ， ，
故数列 是以3为最小正周期的周期数列，
所以 .
故选：A
变式2．（2024·全国·高三对口高考）设函数 定义如下，数列 满足 ，且对任意
自然数均有 ，则 的值为（ ）
x 1 2 3 4 5
4 1 3 5 2
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由对任意自然数均有 ，且 ，
可得 ， ， ，
， ， ，
所以数列 是 项为周期的周期数列，且前四项分别为 ，
所以 .
故选：B.
变式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列 中，已知
，当 时， 是 的个位数，则 （ ）A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为 ，当 时， 是 的个位数，
所以 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
可知数列 中，从第3项开始有 ，
即当 时， 的值以6为周期呈周期性变化，
又 ，
故 .
故选：C.
变式4．（2024·北京通州·统考三模）数列 中， ，则
（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】因为 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ，令 ，则 ，求得 ，
令 ，则 ，求得 ， ，
所以数列 的周期为 ，则 .
故选：C
【解题方法总结】
解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．题型二：数列的单调性
例4．（2024·北京密云·统考三模）设数列 的前n项和为 ，则“对任意 ，
”是“数列 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也不是
必要条件
【答案】A
【解析】数列 中，对任意 ， ，
则 ，
所以数列 为递增数列，充分性成立；
当数列 为递增数列时， ，
即 ，所以 ， ，
如数列 不满足题意，必要性不成立；
所以“对任意 ， ”是“数列 为递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若
存在实数 ，使 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 单调递增，得 ，
由 ，得 ，∴ .
时，得 ①，
时，得 ，即 ②，
若 ，②式不成立，不合题意；
若 ，②式等价为 ，与①式矛盾，不合题意.
综上，排除B，C，D.
故选：A
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足
，若数列 为单调递增数列，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，
两式相减可得 ，则 ，
当 时， 可得 满足上式，故 ，
所以 ，
因数列 为单调递增数列，即 ，
则
整理得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，于是得 是数列 的最大项，即当 时， 取得最大值 ，从而得 ，
所以 的取值范围为 ．
故选：A
变式5．（2024·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列 的通项
公式为 ，则“ ”是“ 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【解析】由题意得数列 为递增数列等价于对任意
恒成立，
即 对任意 恒成立，
因为 ，且可以无限接近于0，所以 ，
所以“ ”是“ 为递增数列”的必要不充分条件，
故选：B
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则“
”是“数列 为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若数列 为递增数列，
则，
即
由 ，所以有 ，
反之，当 时， ，则数列 为递增数列，
所以“ ”是“数列 为递增数列”的充要条件，
故选：C.
变式7．（2024·江苏南通·高三期末）已知数列 是递增数列，且 ，
则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ， 是递增数列，
所以 ，解得 ，
所以实数t的取值范围为 ，
故选：C
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 是递增
数列，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为 是递增数列，所以 ，即 ．
如图所示，作出函数 和 的图象，
由图可知，当 时， ，且 ．
故当 时， ，且 ，
依此类推可得 ，
满足 是递增数列，即 的取值范围是 ．
故选:A.
变式9．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列 为递减数列，其前
n项和 ，则实数m的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以数列 为递减数列，
当 时， ，
故可知当 时， 单调递减，
故 为递减数列，只需满足 ，即 ．
故选：A【解题方法总结】
解决数列的单调性问题的3种方法
作差比较法
根据 的符号判断数列 是递增数列、递减数列或是常数列
作商比较法
根据 与1的大小关系进行判断
数形结合法 结合相应函数的图象直观判断
题型三：数列的最大（小）项
例7．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列 和数列 的公共
项从小到大构成一个新数列 ，数列 满足： ，则数列 的最大项等于
______.
【答案】 /1.75
【解析】数列 和数列 的公共项从小到大构成一个新数列为：
，该数列为首项为1，公差为 的等差数列，
所以 ，
所以
因为
所以当 时， ，即 ，
又 ，
所以数列 的最大项为第二项，其值为 .
故答案为： .例8．（2024·全国·高三专题练习）记 为数列 的前n项和，若 ，则
的最小值为______．
【答案】
【解析】依题意，数列 是首项为1，公比为2的等比数列，则 ，
于是 ，令 ，
则有 ，
显然当 时， ，即 ，因此当 时，数列 是递增的，
又 ，所以 的最小值为 .
故答案为：
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则 的最小
值为_________
【答案】9
【解析】由已知可得， ，
所以当 时，有 .
则有
，
，
，
，
两边分别相加可得，，
所以 .
当 时， 满足条件.
所以， ，
所以 .
设 ，
根据对勾函数的性质可知，当 时， 单调递减；当 时， 单调递
增.
又 ， ，
所以，当 或 时， 有最小值为9.
故答案为：9.
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列 满足 ， ，
，若 是 唯一的最大项，则k的取值范围为______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，又 ， ，
所以 是首项为64，公比为k的等比数列，则 ，
则 ，因为 是 唯一的最大项，所以 ，即 ，解得 ，
即k的取值范围为 .
故答案为： .
变式11．（2024·高三课时练习）数列 的通项公式为 若 是
中的最大项，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】当 时， 单调递增，
因此 时，取得最大值为 ，
当 时， ，
因为 是 中的最大项，
所以 解得 ，
故答案为: .
变式12．（2024·北京·高三北京八中校考阶段练习）数列 中， ，
则此数列最大项的值是__________．
【答案】
【解析】设 ，则该数列当 时， 取最大值，
又因为 ，而 ，故当 或 时，此数列取最大项，其值为 ， ，
故此数列最大项的值是：
故答案为：
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，若数列
中最小项为第3项，则 ______．
【答案】
【解析】因为 开口向上，对称轴为 ，
则由题意知 ，
所以 ．
故答案为： .
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则
的最小值为___________.
【答案】 /
【解析】因为 ，
易知数列 为递增数列，
所以数列 的最小项为 ，即最小值为 .
故答案为：
【解题方法总结】
求数列的最大项与最小项的常用方法
（1）将数列视为函数 当x∈N*时所对应的一列函数值，根据f（x）的类型作出相
应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 的最值，进而求出数列的最大（小）
项．（2）通过通项公式 研究数列的单调性，利用 确定最大项，利用
确定最小项．
（3）比较法：若有 或 时 ，则 ，则
数 列 是 递 增 数 列 ， 所 以 数 列 的 最 小 项 为 ； 若 有
或 时 ，则 ，则数列 是递减数列，
所以数列 的最大项为 ．
题型四：数列中的规律问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几
何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”．按照如图
1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图．若记图2中第n行黑圈的个数为 ，则
（ ）
A．110 B．128 C．144 D．89
【解析】已知 表示第n行中的黑圈个数，设 表示第n行中的白圈个数，
则由于每个白圈产生下一行的一个白圈和一个黑圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈和2
个黑圈，
所以 ， ，
又因为 ， ，
所以 ， ；， ；
， ；
， ；
， ；
．
故选：C.
例11．（2024·云南保山·统考二模）我国南宋数学家杨辉126l年所著的《详解九章算法》
一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.杨辉三角也可以
看做是二项式系数在三角形中的一种几何排列，若去除所有为1的项，其余各项依次构成
数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的第56项为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
【解析】由题意可知：若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，
4，...，
可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则 ，
可得当 ，所有项的个数和为55，第56项为12，
故选：B.
例12．（2024·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.
如三角形数1，3，6，10，第n个三角形数为 .记第n个k边形数为
，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数：；正方形数： ；五边形数： ；六边形数：
，可以推测 的表达式，由此计算 （ ）
A．4020 B．4010 C．4210 D．4120
【解析】由题意可得： ， ，
， .
由此可归纳 ，
所以 ，
故选：B.
变式15．（2024·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的
研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为
三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三
角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列 类似地，数1，4，
9，16，…叫做正方形数，则在三角数列 中，第二个正方形数是（ ）
A．28 B．36 C．45 D．55
【解析】由题意可得，三角数列 的通项为 ，
则三角数列的前若干项为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，….，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为 ，则 ，
其前若干项为1，4，9，16，25，36，49，…，
∴在三角数列 中，第二个正方形数是36.
故选：B.
变式16．（2024·全国·高三专题练习）早在3000年前，中华民族的祖先就已经开始用数字
来表达这个世界．在《乾坤谱》中，作者对易传“大衍之数五十”进行了一系列推论，用来解释中国传统文化中的太极衍生原理，如图．该数列从第一项起依次是0，2，4，8，
12，18，24，32，40，50，60，72，…，若记该数列为 ，则 （ ）
A．2018 B．2020 C．2022 D．2024
【解析】由题设中的数据可知数列 满足： ， ，
故 ，
故选：B．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）观察下列各式：
；
；
；
；
；
则 （ ）
A．28 B．76 C．123 D．10【解析】设 则
通过观察不难发现： 从而
故 ，
故选：C.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）古希腊科学家毕达哥拉斯对“形数”进行了深入的
研究，若一定数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形，则这样的数称为
三角形数，如1，3，6，10，15，21，…这些数量的点都可以排成等边三角形，∴都是三
角形数，把三角形数按照由小到大的顺序排成的数列叫做三角数列 ．类似地，数1，
4，9，16，…叫做正方形数，则在三角数列 中，第二个正方形数是（ ）
A．36 B．25 C．49 D．64
【解析】由题意可得，三角数列 的通项为 ，则三角数列的前若干项为1，
3，6，10，15，21，28，36，45，55，…，
设正方形数按由小到大的顺序排成的数列为 ，则 ，其前若干项为1，4，9，
16，25，36，49，…，
∴在三角数列 中，第二个正方形数是36．
故选：A．
【解题方法总结】
特殊值法、列举法找规律
题型五：数列的恒成立问题例13．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式 ，前n项和是 ，
对于 ，都有 ，则k＝______．
【答案】5
【解析】
如图，为 和 的图象，设两个交点为 ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
结合图象可得，当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，所以当 时， 取得最大值，即 .
故答案为：5.
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，若 恒
成立，则实数k的最小值为______．
【答案】 /1.5
【解析】∵ ，
∴数列 为单调递减数列， ．从而 ，
即k的最小值为 ．故答案为：
例15．（2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）数列 满足 ( ，且
)， ，对于任意 有 恒成立，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
从而可得
即 ， 因为 ，所以 .
故答案为：
变式19．（2024·全国·高三专题练习）数列 满足 ，若不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
∵不等式 恒成立，∴ ，
解得 ，
故选：B．
变式20．（2024·河北唐山·高三唐山一中校考阶段练习）数列 满足 ，
，若不等式 ，对任何正整数 恒成立，则实数 的最
小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，由此可知 ，所以
，所以
， 对任何正整数 恒成立，即 ．
考点：数列与不等式．
【解题方法总结】
分离参数，转化为最值问题．
题型六：递推数列问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）设数列 满足 ，且
，则数列的前2009项之和为______.
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，则，
，
∴数列 是以4为周期的数列， .
由 可得 ， ，
.
故答案为： .
例17．（2024·全国·高三专题练习）正项数列 中， ， ，猜想通项公
式为 _________．
【答案】
【解析】方法一:由 得 ，所以 为等差数列，且公差为
3，首项为1，故 ，故 ，
方法二：由 得 ， ，
由此可猜想
故答案为：例18．（2024·广东佛山·统考模拟预测）数列 满足 ， ，写出一个
符合上述条件的数列 的通项公式______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】由 得： ，
则当 时， ， ，故 满足递推关系，
又 ，满足 ，
满足条件的数列 的一个通项公式为： .
故答案为： （答案不唯一）.
变式21．（2024·全国·模拟预测）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例
引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，
233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数
列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列
满足： ， ，则 是斐波那契数列
中的第______项．
【答案】
【解析】由 可得
.
故答案为： .
变式22．（2024·全国·高三专题练习）将一个2021边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互不相同．问：有多少种满足条件的染色方法？
【解析】记一个n边形的每个顶点染为红、蓝、绿三种颜色之一，使得相邻顶点的颜色互
不相同的方法数为 ．易知 ， ．
对于任意一个n（ ）边形，记 顺次为这个n边形的顶点，则对它按题设要
求染色，有两种情况：
① ， 异色，共有 种方法；
② ， 同色，共有 种方法．
因此 ．
所以
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 . 适合
因此 ，∴ ．
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上有n条直线，其中任意两条不平行，任何三条不共线．问：这些直线把平面分成多少个部分？其中有多少个部分是无界的？
【解析】设k条直线把平面分成的部分为 个．显然 ．
第 条直线与前k条直线共有k个互不相同的交点，它被这k个交点分成 段，每段
都将它所在的部分一分为二．
因此有 ．即 .
由此递推公式，累加即得
．该式适合 .
故这些直线把平面分成 部分．
注意到n条直线中的每条都被另外的 条截成n段，其中恰有两端的两条射线是无界的，
因此共有2n条射线．被n条直线分成的诸部分中，围成每个无界区域的边界折线恰有两条
是射线，
而且每条射线恰是两个无界区域的公共边界．所以共有2n个无界部分．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）（1）学生甲手里有一枚质地均匀的硬币，他投掷
10次，不连续出现正面的可能情形有多少种？
（2）用1，2，3，4四个数字组成一个6位数，要求不允许两个1紧挨在一起，那么可以
组成多少个不同的6位数？
【解析】（1）设甲投掷 次，不连续出现正面的可能情形有 种，考虑最后一次投
掷：若最后一次呈现反面，则前 次有 种方法；若最后一次呈现正面，则倒数第二
次必是反面，前 次有 种不同的方法.由加法原理得： ，易知其
初值 ， ，
则∴甲投掷 次，不连续出现正面的可能情形有 种.
（2）设用1，2，3，4四个数字组成符合条件的一个 位数，有 种方法.
若末位是1，则倒数第二位只能是2，3或4，符合条件的有 个；
若末位是2，3或4，则符合条件的有 个；
由加法原理得： ，又
∴
故用1，2，3，4四个数字可以组成符合条件的不同的6位数有3105个
