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第18讲 函数的综合应用
知识梳理
1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函数
与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着重掌
握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题的突破
口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换形式(如
对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等)；了解反函数的概念与性质；掌握指数、对数式
大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、求导公式与求
导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的
几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等．
2、函数fx
n
= x-a i
i=1
的图象与性质
分奇、偶两种情况考虑：
比如图(1)函数fx =x +x-1 +x-3 ，图(2)函数gx =x +x-1 +x-2 +x+1
(1)当n为奇数时，函数fx
n
= x-a i
i=1
的图象是一个“∨”型，且在“最中间的点”取最小值；
(2)当n为偶数时，函数fx
n
= x-a i
i=1
的图象是一个平底型，且在“最中间水平线段”取最
小值；
若ai∈N*
i
为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=a 对称，偶数的图象关于直线x=
中
第 页 共 页
325 3427x +x
左中 右中 对称．
2
3、若fx 为m,n 上的连续单峰函数，且fm =fn ,x 为极值点，则当k,b变化时， 0
gx = fx -kx-b fn 的最大值的最小值为 -fx 0 fn ，当且仅当k=0,b=
2
+fx 0
2
时取得．
必考题型全归纳
1 题型一：函数与数列的综合
605 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{x }，满足x =1，2x =ln(1+x )(n∈N*)，设数
n 1 n+1 n
列{x }的前n项和为S ，则以下结论正确的是 ( )
n n
A.x >x B.x -2x x +1 D.S >2
n+2 n+1 n+5
【答案】B
【解析】∵2x =ln(1+x )(n∈N*)，把x =1代入递推可得：x >0，
n+1 n 1 n
x
令f(x)=x-ln(x+1)，x>0，则f′(x)= >0，f(x)在(0,+∞)单调递增，
x+1
∴f(x)>f(0)，即当x>0时，恒有ln(1+x)0，∴2x =ln(1+x )2x >x ，故选项A错误；
n n+1 n n n n+1 n+1
又∵2 x <2 x ≤x +1，∴选项C错误；
n+2 n+1 n+1
x ln(1+x ) 2x -(2+x )ln(1+x )
∵(x -2x )-x x =x -ln(1+x )- n n = n n n =
n n+1 n n+1 n n 2 2
2+x 2x
n n -ln(1+x )
2 2+x n
n
，02x 可得x < n，∵x =1，∴x ≤ (当且仅当n=1时取“= “)，可得
n n+1 n+1 2 1 n 2n-1
1 1 1
S ≤1+ +⋯+ =2-
n 2 2n-1 2
n-1
<2，
∴S <2，故选项D错误，
n+5
故选B．
606 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)=ex-x-1，数列{a }的前n项和为S ，且满
n n
1
足a = ,a =f(a )，则下列有关数列{a }的叙述正确的是 ( )
1 2 n+1 n n
A.a <|4a -3a| B.a ≤a
5 2 1 7 8
C.a >1 D.S >26
10 100
【答案】A
【解析】由f(x)=ex-x-1=x，解得x=0或x=x ，
0
由零点存在性定理得x=x ∈(1,2)，
0
∴当a |3×0.5-4×0.2|=0.7，
2 1
而a B.a |4a -3a|
2 4 6 7 100 5 2 1
【答案】C
1 1 1 3 7
【解析】对于A选项，a =e2- -1=e2- <
2 2 2 4
2 3 1
- = ，故A错误；
2 4
对于B选项，由ex≥x+1 知，a =f(a )=ea_n-a -1≥0，
n+1 n n
故{a } 为非负数列，又a -a =ea_n-2a -1，
n n+1 n n
设g(x)=ex-2x-1(x>0)，则g′(x)=ex-2，
易知g(x) 在[0，ln2)单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，
1
所以- <1-2ln2=g(x) 2 时，有a ，故D错误．故选C．
5 4 2 1 2 2 2
608 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }满足：a >0，且a2=3a2 -2a (n∈N*)，下
n n n n+1 n+1
列说法正确的是 ( )
1 3
A.若a = ，则a >a B.若a =2，则a ≥1+
1 2 n n+1 1 n 7
n-1
C.a 1 +a 5 ≤2a 3 D. a n+2 -a n+1
3
≥ 3 a n+1 -a n
【答案】B
【解析】a2=3a2 -2a (n∈N*)，故a2-1=3a 2-2a -1，(a +1)(a -1)=
n n+1 n+1 n n+1 n+1 n n
(3a +1)(a -1)．
n+1 n+1
a >0，故a +1>0且3a +1>0，于是(a -1)与(a -1)同号，
n n n+1 n n+1
即(a -1)(a -1)>0．
n n+1
1 1
对选项A：若a = ，则a -1=- <0，则a -1<0，
1 2 1 2 n
a2-a2 =2a (a -1)<0，所以a 0，则a -1>0，即a >1，
1 1 n n
于是a2-a2 =2a (a -1)>0，即a >a ，数列{a }单调递减，a ，fx
3
3x-1
= >0，
3x2-2x
函数单调递增，结合y=x的图像，如图所示：
由图可知当a >0 时，数列{a -a }递减，
n n n+1
a -a +a -a >a -a +a -a ，所以a -a >a -a ，即a +a >2a ，不正确；
1 2 2 3 3 4 4 5 1 3 3 5 1 5 3
1+ 1+3x2
对选项D：设a =x，则a = 3x2-2x，a = ，
n+1 n n+2 3
a n+2 -a n+1
3
≥ 3 a n+1 -a n
1+ 1+3x2
，即 -x 3
3
≥ x- 3x2-2x 3 ，
等价于2+2 3x 9x2-6x≥2 1+3x2 3x-1 ，化简得x2-2x+1≤0，
而x2-2x+1≤0显然不恒成立，不正确；
故选：B．
609 (2024·陕西渭南·统考二模)已知函数fx =sinx+lnx，将fx 的所有极值点按照由小
到大的顺序排列，得到数列x
n
，对于∀n∈N ，则下列说法中正确的是 ( )
+
A.nπ0.
据此可将两函数图像画在同一坐标系中，如下图所示.
π
A选项，注意到k∈N时，f +2kπ
2
1
= >0，fπ+2kπ
π
+2kπ
2
1
=-1+ <0，
π+2kπ
第 页 共 页
328 34273π
f +2kπ
2
1
= >0.
3π
+2kπ
2
1
结合图像可知当n=2k-1，k∈N∗，x ∈ n- n 2 π,nπ ⊆ n-1 π,nπ .
当n=2k，k∈N∗，x n ∈ n-1
1
π,n- 2 π ⊆ n-1 π,nπ .故A错误；
5 3
B选项，由图像可知x > π，x < π，则x -x >π，故B错误；
3 2 2 2 3 2
(2n-1)π
C选项，x - n 2 表示两点x n ,0
1
与 n- 2 π,0 间距离，由图像可知，
(2n-1)π
随着n的增大，两点间距离越来越近，即 x - n 2 为递减数列，故C错误；
D选项，由A选项分析可知，x 2n ∈ 2n-1
4n-1
π, π 2 ，n∈N∗，
4n-1
又结合图像可知，当x∈ x , 2n
π 2
1
时，cosx>- ，即此时fx x >0，
得fx
4n-1
在 x , 2n
π 2 上单调递增，
则fx 2n
(4n-1)π
n 3
【答案】D
【解析】因为ean+1=3-a n ean>0，所以3-a >0，所以a <3， n n
由ean+1=3-a n ean可得ean+1-an=3-a n ，则a n+1 -a n =ln3-a n ，
则有a n+1 =a n +ln3-a n ，
设函数f(x)=x+ln(3-x),00，当2a ，故A错误；
n+1 n n n n
因为a >a ，所以数列a
n+1 n n
中不存在某一项为最大项，C错误；
因为0ln3>1，
1 2 1 1 1
3 4
a =f(a )=a +ln(3-a )>1+ln2> > ，
3 2 2 2 2 3
4
所以存在正整数n，使得a > ，D正确.
n 3
2 题型二：函数与不等式的综合
611 (2024·全国·高三专题练习)关于x的不等式x-1 9999-29999⋅x9999≤x+1，解集为
.
【答案】-1,+∞
【解析】由题设，(x-1)9999-(2x)9999≤x+1，而y=x9999在R上递增，
当x-1>2x即x<-1时，(x-1)9999-(2x)9999>0>x+1，原不等式不成立；
当x-1≤2x即x≥-1时，(x-1)9999-(2x)9999≤0≤x+1，原不等式恒成立.
综上，解集为-1,+∞ .
故答案为：-1,+∞
612 (2024·全国·高三专题练习)意大利数学家斐波那契(1175年~1250年)以兔子繁殖数量为
例，引人数列：1,1,2,3,5,8,⋯，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即a =
n+2
a +a n∈N*
n+1 n
，故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为a =
n
1 1+ 5
5 2
n 1- 5 -
2
n
．设n是不等式log 2(1+ 5)n-(1- 5)n >n+5的正整
数解，则n的最小值为 ．
【答案】8
【解析】由log 2(1+ 5)n-(1- 5)n >n+5，得log 2(1+ 5)n-(1- 5)n -n>5，
得log 2(1+ 5)n-(1- 5)n
1+ 5
-log 2n>5，得log 2 2
n-1- 5 n
>5， 2n
1+ 5 得log
2 2
n 1- 5 -
2
n
1+ 5 >5，∴
2
n 1- 5 -
2
n >25，
1 1+ 5 所以
5 2
n 1- 5 -
2
n
25 > ，
5
1 1+ 5 令a =
n 5 2
n 1- 5 -
2
n
，则数列a
n
即为斐波那契数列，
25 210
∴a > ，则a2> ，显然数列a
n 5 n 5 n
为递增数列且a >0，所以数列a2
n n
亦为递增数
列，
由a =a =1，得a =a +a =2，a =a +a =3，a =a +a =5，a =a +a =8，
1 2 3 1 2 4 2 3 5 3 4 6 4 5
a =a +a =13，a =a +a =21，
7 5 6 8 6 7
210 210
因为a2=132=169< =204.8，a2=212=441> =204.8，
7 5 8 5
所以
210
使得a2> 成立的n的最小值为8．
n 5
故答案为：8.
1
613 (2024·辽宁·高三校考阶段练习)已知函数f(x)= +x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+
2x+1
第 页 共 页
330 3427f(m-2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为 .
2-1
【答案】
2
1 1
【解析】因为f(x)+f(-x)= +x+2+ -x+2=5，
2x+1 2-x+1
5
所以f(x)图象关于点0,
2
对称，
2xln2
又f(x)=1-
2x+1
4x+2-ln2
=
2
2x+1
2x+1
>0，
2
所以f(x)在R上单调递增，
f(m⋅4x+1)+f(m-2x)≥5等价于f(m⋅4x+1)+f(m-2x)≥f(m-2x)+f(2x-m)，
即f(m⋅4x+1)≥f(2x-m)恒成立，
2x-1
所以m⋅4x+1≥2x-m，即m≥ (x>0)恒成立，
4x+1
t t
令2x-1=t(t>0)，可得m≥ = ，
(t+1)2+1 t2+2t+2
t 1 1 2-1
而 = ≤ = ，当且仅当t= 2时取等号，
t2+2t+2 2 2 2+2 2
t+ +2
t
2-1 2-1
所以m≥ ，即实数m的最小值为 .
2 2
2-1
故答案为： .
2
614 (2024·全国·模拟预测)已知函数fx 是定义域为R的函数，f2+x +f-x =0，对任
意x 1 ，x 2 ∈1,+∞ x 1 0，已知a，ba≠b 为关于x的方程x2
-2x+t2-3=0的两个解，则关于t的不等式fa +fb +ft >0的解集为 ( )
A. -2,2 B. -2,0 C. 0,1 D. 1,2
【答案】D
【解析】由f2+x +f-x =0，得f1 =0且函数fx 关于点1,0 对称．
由对任意x 1 ，x 2 ∈1,+∞ x 1 0，
可知函数fx 在1,+∞ 上单调递增．
又因为函数fx 的定义域为R，
所以函数fx 在R上单调递增．
因为a，ba≠b 为关于x的方程x2-2x+t2-3=0的两个解，
所以Δ=4-4t2-3 >0，解得-20，得ft >0=f1 ，
所以t>1．
综上，t 的取值范围是1,2 .
故选：D．
3 题型三：函数中的创新题
615 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明
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331 3427的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数f(x)在x=0处的
a +ax+⋯+a xm
[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)= 0 1 m ，且满足：f(0)=R(0)，f(0)=R
1+bx+⋯+b xn
1 n
(0)，f(0)=R(0)⋯，f(m+n)(0)=R(m+n)(0)．已知f(x)=ln(x+1)在x=0处的[1,1]阶
ax
帕德近似为R(x)= ．注：f(x)=f(x)
1+bx
,f(x)=f(x) ,f(4)(x)=f(x) ,f(5)
(x)=f(4)(x) ,⋯
(1)求实数a，b的值；
1
(2)求证：(x+b)f
x
>1；
1
(3)求不等式1+
x
x 1
1，
1
令t=1+ ，则t>0且t≠1，
x
即证t∈0,1 ∪1,+∞
t+1
时
2t-1
⋅lnt>1，
记φt
2t-1
=lnt-
，t∈0,1
t+1
∪1,+∞ ，
则φt
1 4
= -
t t+1
t-1
=
2
2
tt+1
>0，
2
所以φt 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递增，
当t∈0,1 时φt <φ1
2t-1
=0，即lnt<
t+1
，即
t+1 2t-1
⋅lnt>1成立，
当t∈1,+∞ 时φt >φ1
2t-1
=0，即lnt>
t+1
，即
t+1 2t-1
⋅lnt>1成立，
综上可得t∈0,1 ∪1,+∞
t+1
时
2t-1
⋅lnt>1，
1
所以x+
2
1
ln1+
x
1
>1成立，即(x+b)f
x
>1成立.
1
(3)由题意知，欲使得不等式1+
x
x 1
0，即x>0或x<-1，
x
1
首先考虑e<1+
x
x+1 1
2，该不等式等价于ln1+
x
x+1 1
2>1，即x+
2
1
ln1+
x
>1，
1
又由(2)知x+
2
1
ln1+
x
>1成立，
1
所以使得e<1+
x
x+1
2成立的x的取值范围是-∞,-1 ∪0,+∞ ，
1
再考虑1+
x
x 1
0，x>1时hx <0，
所以hx 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，
所以hx 0， 1
2
所以fx +gx =log 8x2 2 +log x=log 8+log x2-log x=log x+3， 1 2 2 2 2
2
令fx +gx
1
=0，即log x+3=0，解得x= ， 2 8
所以fx 与gx 具有C关系.
(2)令φx =fx +gx ，
因为fx =a x-1，gx =-x-1，所以φx =a x-1-x-1x≥1 ，
令t= x-1t≥0 ，则x=t2+1，故y=φx =at-t2+1 -1=-t2+at-2，
因为fx 与gx 不具有C关系，所以φx 在0,+∞ 上恒为负或恒为正，
又因为y=-t2+at-2开口向下，所以y=-t2+at-2在0,+∞
上恒为负，即-t2+at
-2<0在0,+∞ 上恒成立，
当t=0时，-t2+at-2=-2<0显然成立；
2
当t>0时，a1,|mcosx|<|m|≤1，所以h(x)>0，
所以hx 在0,π 上单调递增，则hx >h0 =0，
此时hx 在0,π 上不存在零点，不满足题意；
π
当m<-1时，显然当x∈ ,π
2
时，h(x)>0，
π
当x∈0,
2
π
时，因为h(x)在0,
2
π
上单调递增，且h(0)=1+m<0,h
2
=
π
+1
2
π
e2>0，
π
故h(x)在0,
2
上存在唯一零点，设为α，则h(α)=0，
π
所以当x∈(0,α),h(x)<0；当x∈α,
2
π
,h(x)>0；又当x∈ ,π
2
时，h(x)>0，
所以hx 在0,α 上单调递减，在α,π 上单调递增，hx 在0,π 上存在唯一极小值
点α，
因为h0 =0，所以h(α)<0，
又因为h(π)=πeπ>0，所以hx 在0,π 上存在唯一零点β，
所以函数fx 与gx 在0,π 上具有C关系，
综上：m<-1，即m∈-∞,-1 .
617 (2024·重庆·高三统考阶段练习)悬索桥(如图)的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中
c x x
的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为y= ec+ec
2
，其中c为参
数.当c=1时，该方程就是双曲余弦函数coshx
ex+e-x
= ，类似的我们有双曲正弦函
2
数sinhx
ex-e-x
= .
2
(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y=cosh2x +sinhx 的最小值；
① coshx 2- sinhx 2=1；
②sinh2x =2sinhx coshx ；
③cosh2x = coshx 2+ sinhx 2.
π
(2)求证：∀x∈ -π,
4
，coshcosx >sinhsinx .
【解析】(1)证明：选①，coshx 2- sinhx
ex+e-x
2=
2
2 ex-e-x
-
2
2
=
e2x+e-2x+2 e2x+e-2x-2
- =1；
4 4
第 页 共 页
334 3427选②，sinh2x
e2x-e-2x ex-e-x
= =2×
2
ex+e-x
=2sinhx
2×2
coshx ；
选③，cosh2x
e2x+e-2x ex+e-x
= =
2 2
2 ex-e-x
+
2
2
= coshx 2+ sinhx 2.
y=cosh2x +sinhx
e2x+e-2x ex-e-x
= + ，令t=sinhx
2 2
ex-e-x
= ，
2
ex e-x
因为函数y= 、y=- 均为R上的增函数，故函数y=sinhx
2 2
也为R上的增函数，
故t=sinhx
ex-e-x e2x+e-2x-2
= ∈R，则t2= ，所以cosh2x
2 4
=2t2+1，
1 所以y=2t2+t+1=2t+
4
2 7 7 1 + ≥ ，当且仅当t=- 时取“=”，
8 8 4
所以y=cosh2x +sinhx
7
的最小值为 .
8
π
(2)证明：∀x∈ -π,
4
，coshcosx >sinhsinx
ecosx+e-cosx esinx-e-sinx
⇔ >
2 2
⇔ecosx+e-cosx>esinx-e-sinx，
当x∈-π,0 时，ecosx+e-cosx>0，sinx≤0≤-sinx，所以esinx≤e-sinx，
所以esinx-e-sinx≤0，所以ecosx+e-cosx>esinx-e-sinx成立；
π
当x∈0,
4
π π π
时，则0esinx-e-sinx成立，
π
综上，∀x∈ -π,
4
，coshcosx >sinhsinx .
618 (2024·广东深圳·高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习)布劳威尔不动点定理是拓
扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就
是对于满足一定条件的连续实函数fx ，存在一个点x 0 ，使得fx 0 =x ，那么我们称该函 0
数为“不动点"函数，而称x 0 为该函数的一个不动点．现新定义：若x 0 满足fx 0 =-x ， 0
则称x 0 为fx 的次不动点．
(1)判断函数fx =x2-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理
由
(2)已知函数gx
1
= x+1
2
，若a是gx 的次不动点，求实数a的值：
(3)若函数hx =log 4x-b⋅2x
1
2
在0,1 上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b
的取值范围．
【解析】(1)依题意，设x 0 为fx 的不动点，即fx 0 =x ，于是得x2-2=x ，解得x =2 0 0 0 0
或x =-1，
0
所以fx =x2-2 是“不动点”函数，不动点是2和-1.
(2)因gx
1
= x+1
2
是“次不动点”函数，依题意有ga
1
=-a，即 a+1
2
=-a，显然a
2
≤0，解得a=- ，
3
2
所以实数a的值是- .
3
(3)设m,n分别是函数hx =log 4x-b⋅2x
1
2
在0,1 上的不动点和次不动点，且m,n唯
一，
第 页 共 页
335 3427由hm =m得：log 4m-b⋅2m
1
2
1 =m，即4m-b⋅2m=
2
m ，整理得：b=2m- 1 ，
4m
令φm
1
=2m- ，显然函数φm 4m 在0,1 上单调递增，则φm =φ(0)=0， min
φm
7 7
=φ(1)= ，则0≤b≤ ，
max 4 4
由hn =-n得：log 4n-b⋅2n
1
2
=-n，即4n-b⋅2n=2n，整理得：b=2n-1，
令un =2n-1，显然函数un 在0,1 上单调递增，u(n) =u(0)=0，u(n) = min max
u(1)=1，则0≤b≤1，
综上得：0≤b≤1，
所以实数b的取值范围0,1 .
4 题型四：最大值的最小值问题(平口单峰函数、铅锤距离)
619 (2024·浙江绍兴·高三浙江省柯桥中学校考开学考试)已知函数fx =x3-6x2+ax+b ，
对于任意的实数a，b，总存在x 0 ∈0,3 ，使得fx 0 ≥m成立，则当m取最大值时，a+b
= ( )
A.7 B.4 C.-4 D.-7
【答案】A
【解析】由fx =x3-6x2+ax+b ，得fx =x3-6x2+9x-[(9-a)x-b] ，
设g(x)=x3-6x2+9x，则g(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3)，
g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，
g(0)=g(3)=0，
设h(x)=(9-a)x-b，
画出函数的图像如图
对任意的实数a，b，总存在x 0 ∈0,3 ，使得fx 0 ≥m成立，
等价于求f(x)最大值中的最小值，
由图像可知当a=9,b=-2时，m取得最大值2，此时a+b=7，
故选：A
620 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)设函数fx
4
=x+ -ax-b
x
，若对任意的实数a，b，
总存在x 0 ∈1,3 使得fx 0 ≥m成立，则实数m的最大值为 ( )
第 页 共 页
336 34278-4 3
A.-1 B.0 C. D.1
3
【答案】C
【解析】由已知得m≤ fx min max
设构造函数gx
4
= +λx满足g1
x
=g3
4 4
，即4+λ= +3λ，解得λ= ，
3 3
则fx
4 4x 1
= + - +a
x 3 3
x-b ，令hx
1
= +a
3
x+b，
则函数fx 可以理解为函数gx
4 4
= + x与函数hx
x 3
1
= +a
3
x+b在横坐标相等
时，纵坐标的竖直距离，
∵g1 =g3
16
= ，且gx
3
4 4 4 4x 8 3
= + x=2 ⋅ = (当且仅当x= 3时取等
x 3 x 3 3
号)，
16 8 3 1
∴若设直线l 的方程为y= ，直线l 的方程为y= ，由此可知当a+ =0，直线
1 3 2 3 3
hx =b位于直线l 和直线l 中间时，纵坐标的竖直距离取得最大值中的最小值，故 1 2
fx min
16 8 3
-
3 3 8-4 3
= = ， max 2 3
8-4 3
所以实数m的最大值为 .
3
故选：C.
621 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx
4
= -ax x ，若对任意的正实数a，总存在x ∈ 0
1,4 ，使得fx 0 ≥m，则实数m的取值范围为 ( )
A. -∞,0 B. -∞,1 C. -∞,2 D. -∞,3
【答案】D
【解析】对任意的正实数a，总存在x ∈[1，4]，使得f(x )≥m⇔m≤f(x) ，x∈[1，
0 0 max
4]．
4
令u(x)= -ax，∵a>0，∴函数u(x)在x∈[1，4]单调递减，
x
∴u(x) =u(1)=4-a，u(x) =u(4)=1-4a．
max min
①a≥4时，0≥4-a>1-4a，则f(x) =4a-1≥15．
max
②4>a>1时，4-a>0>1-4a，4-a+1-4a=5-5a<0，则f(x) =4a-1>3．
max
1
③ 0>1-4a，4-a+1-4a=5-5a≥0，则f(x) =4-a≥3．
4 max
1 15
④01-4a>0，则f(x) =4-a> ．
4 max 4
综上①②③④可得：f(x) ≥3，即 m≤3．
max
∴实数m的取值范围为(-∞，3]．
故选：D．
x-2
622 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)= -ax-b
x+2
，若对任意的实数a，b，总存
在x 0 ∈[-1,2]，使得fx 0 ≥m成立，则实数m的取值范围是 ( )
1
A. -∞,
4
1
B. -∞,
2
2
C. -∞,
3
D.(-∞,1]
【答案】B
【解析】由存在x 0 ∈[-1,2]，使得fx 0 ≥m成立，故m≤f(x) ， max
第 页 共 页
337 3427又对任意的实数a，b，m≤f(x) ，则m≤[f(x) ] ，
max max min
x-2
-ax-b
x+2
x-2
= -(ax+b)
x+2
x-2
可看作横坐标相同时，函数g(x)=
x+2
与函数h(x)=ax+b图象上的纵向距离的最大值中的最小值，
又g(-1)=-3,g(2)=0，作示意图如图所示：
设A(-1,-3),B(2,0)，则直线AB的方程l:y=x-2，设l :y=x+m与g(x)相切，
1 2
x-2
则 =x+m，得x2+(m+1)x+2(m+1)=0，有Δ=(m+1)2-8(m+1)=0，
x+2
得m=-1或m=7，由图知，切点C(0,-1)，则l :y=x-1，
2
当直线h(x)与l ，l 平行且两直线距离相等时，即恰好处于正中间时，
1 2
函数g(x)与h(x)图象上的纵向距离能取到最大值中的最小值，
3 3
此时h(x)=x- ，[f(x) ] = -1--
2 max min 2
1 1
= ，故m≤ .
2 2
故选：B
623 (2024·高一课时练习)已知函数fx
1
=ax+ +b
x
a,b∈R
1
，当x∈ ,2
2
时，设fx 的
最大值为Ma,b ，则Ma,b 的最小值为 ( )
1 1 1
A. B. C. D.1
8 4 2
【答案】B
【解析】函数fx
1
=ax+ +b
x
a,b∈R
1
，当x∈ ,2
2
时，f(x)的最大值为M(a,b)，
1 1
可得M(a,b)≥f(2)=2a+b+ ，M(a,b)≥f
2 2
1
= a+b+2，M(a,b)≥f(1)=|a+
2
b+1|，
1 2 2 1 1
可得 M(a,b)+ M(a,b)+M(a,b)≥ a+ b+ +
3 3 3 3 6
1 2 4
a+ b+ +
3 3 3
a+b+1
2 1 1 1 2 4
≥ a+ b+ + a+ b+ -a-b-1
3 3 6 3 3 3
1
= ，
2
即2Ma,b
1
≥ ，即有Ma,b
2
1 1
≥ ，则M(a,b)的最小值为 ，
4 4
故选：B
624 (2024·江西宜春·校联考模拟预测)已知函数fx
1
=lnx+ -ax-b x a,b∈R ，且x ∈ 0
1,e2
1 1
，满足lnx + =e-1，当x∈ ,x 0 x e 0
0
时，设函数fx 的最大值为Ma,b ，则
Ma,b 的最小值为 ( )
3-e 1 e-1 e-2
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】D
第 页 共 页
338 3427【解析】设gx
1
=lnx+ x>0
x
，则gx
1 1 x-1
= - = x>0
x x2 x2
，
当01时，gx >0，gx 为增函数，所以gx =g1
min
=1，
作出gx 的图象如下，
令gx =e-1，即gx
1 1
=lnx+ x =e-1，得x 1 = e ,x 2 =x 0 x 0 ∈1,+∞ ，
1
且lnx + =e-1，显然x 时，Ma,b
2
e-2
=b-1> ，所以Ma,b
2
e-2
= ，
min 2
1
此时点 ,e-1 e ,1,1 ,x 0 ,e-1
e-2
到直线y=b的距离都是 ， 2
1
当a≠0时，三点中 ,e-1 e ,1,1 ,x 0 ,e-1 中至少有一个点满足
1
lnx+ -ax-b
x
e-2
> ，所以Ma,b
2
e-2
> ，综上所述，Ma,b
2
e-2
= ，
min 2
故选：D.
625 (2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中)若a、b∈R，且对于0≤x≤1时，不
等式 1-x2-ax-b
2-1
≤ 均成立，则实数对a,b
2
= ．
2+1
【答案】-1,
2
【解析】对于0≤x≤1时，不等式 1-x2-ax-b
2-1
≤ 均成立，
2
1- 2 2-1
即 1-x2+ ≤ax+b≤ 1-x2+ 恒成立.
2 2
令fx
1- 2
= 1-x2+ ，gx
2
2-1
= 1-x2+ ,x∈0,1
2
，
则fx
1- 2
表示圆心为O 0, 1 2 ，半径为1的圆在x∈0,1 上的圆弧；
gx
2-1
表示圆心为O 0, 2 2 ，半径为1的圆在x∈0,1 上的圆弧，如下所示：
第 页 共 页
339 3427根据题意，y=ax+b要满足题意，其图象需在圆弧CD以及圆弧AB之间，
数形结合可知：连接AB后所形成的直线恰好满足题意，且唯一.
2-1 2+1 2+1
其斜率为 - =-1，故其方程为y=-x+ ，
2 2 2
故实数对a,b
2+1
=-1,
2
.
为严谨，下证直线AB与圆O 相切，
1
1- 2
圆心O 0,
1 2
1- 2 2+1
-
2+1 2 2
到直线y=-x+ 的距离d=
2
=1，
2
其与半径1相等，故圆O 与直线AB相切，即证.
1
2+1
故答案为：-1,
2
.
5 题型五：倍值函数
626 (2024·全国·高三专题练习)函数fx 的定义域为D，若满足：①fx 在D内是单调函数；
②存在a,b ⊆D使得fx 在a,b
a b
上的值域为 ,
2 2
，则称函数fx 为“成功函数”．
若函数fx =log mmx+2t (其中m>0，且m≠1)是“成功函数”，则实数t的取值范围
为 ( )
A. 0,+∞
1
B. -∞,
8
1 1
C. ,
8 4
1
D. 0,
8
【答案】D
【解析】因为y=mx+2t、y=log x的单调性相同，
m
所以fx =log mmx+2t 为定义域上的增函数，
因为存在a,b ⊆D使得fx 在a,b
a b
上的值域为 ,
2 2
，
fa
所以{
a
=
2
fb
，即fx
b
=
2
=log mmx+2t
x
= 有两解，
2
即mx+2t=m2
1x
在R上有两个不相等的实数根，
令λ=m2
1x
(λ>0)，则λ2-λ+2t=0在0,+∞ 上有两个不同的解，
所以
2t>0 ，解得00 8
故选：D．
第 页 共 页
340 3427627 (2024·上海金山·高三上海市金山中学校考期末)设函数f(x)的定义域为D，若存在闭区
间a,b ⊆D，使得f(x)函数满足：(1)f(x)在a,b 上是单调函数；(2)f(x)在a,b 上的值
域是2a,2b ，则称区间a,b 是函数f(x)的“和谐区间”，下列结论错误的是
A.函数f(x)=x2(x≥0)存在“和谐区间”
B.函数f(x)=ex(x∈R)不存在“和谐区间”
4x
C.函数f(x)= (x≥0)存在“和谐区间”
x2+1
1
D.函数f(x)=log ax-
a 8
(a>0，a≠1)不存在“和谐区间”
【答案】D
【解析】函数中存在“和谐区间”,则①fx 在a,b
fa
内是单调函数；②{
=2a
fb
或
=2b
fa
{
=2b
fb
,若fx
=2a
=x2 x≥0 ,若存在“和谐区间”a,b ,则此时函数单调递增,则由
fa
{
=2a
fb
a2=2a a=0
,得{ ,∴{ ,∴fx
=2b b2=2b b=2
=x2 x≥0 存在“和谐区间”0,2 ,∴A正确.若
fx =e2 x∈R ,若存在“和谐区间”a,b
fa
,则此时函数单调递增,则由{
=2a
fb
,得
=2b
ea=2a
{ ,即a,b是方程ex=2x的两个不等的实根,构建函数gx
eb=2b
=ex-2x,∴g'x =ex
-2,所以函数在-∞,ln2 上单调减,在ln2,+∞ 上单调增,∴函数在x=ln2处取得极
小值，且为最小值,∵gln2 =2-ln2>0,∴gx >0,∴ex-2x=0,无解,故函数不存在
“和谐区间”,∴B正确.若函数fx
4x
= x≥0
x2+1
,f'x
4x2+1
=
-4x·2x
x2+1
=
2
4x+1 1-x
x2+1
,若存在“和谐区间”a,b
2
⊆0,1
fa
,则由{
=2a
fb
4a
=2a
a2+1
,得{ ,∴a
=2b 4b =2b
b2+1
=0,b=1,即存在“和谐区间”0,1 ,∴C正确.若函数fx
1
=log ax- a 8 a>0,a≠1 ,
不妨设a>1,则函数定义域内为单调增函数,若存在“和谐区间”m,n , 则由
fm
{
=2m
fn
1
,得 ,即m,n是方程log ax-
=2n a 8
=2x的两个根,即
1
m,n是方程a2x-ax+ =0的两个根,由于该方程有两个不等的正根，故存在“和谐区
8
间”m,n ,∴D结论错误,故选D.
628 (2024·安徽·高三统考期末)函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数
f(x)满足：①f(x)在[a,b]内是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[2a,2b]，则称区间
[a,b]为y=f(x)的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有
① ；②f(x)=ex(x∈R)；
第 页 共 页
341 3427③ ；④
A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①③
【答案】C
【解析】函数存在“倍值区间”，即函数的图像与直线y=2x有交点，
与直线y=2x有交点是(0，0)，(2,4)；对于f(x)=ex(x∈R)，构造函数g(x)=ex-2x,
g(x) =g(ln2)=2-2ln2>0；所以g(x)=ex-2x没有零点，即f(x)=ex(x∈R)与直线
min
y=2x没有交点；
1
与直线y=2x的交点是(0，0)，(1,2).解方程log ax-
a 8
1
=2x,即a2x-ax+ =0,ax
8
2
1±
2
= <1，当a>1,无解；00，所以f(x)在(0,1)
x2+1 (x2+1)2
上为增函数，假设存在a,b
fa
Ü(0,1)，使得f(x)∈[3a,3b]，则有
=3a
fb
，即
=3b
4a
a2+1
=3a
4x 3 3
，由 =3x，得x=0或x= ，所以当a=0,b= 时，满足条件，即
4b
=3b
x2+1 3 3
b2+1
区间为 0, 3
3
，所以C正确；
第 页 共 页
342 3427π π
D中，若存在“4级理想区间”[m,n]，则m,n是方程tanx=4x,x∈- ,
2 2
的两个根，
π π
由y=tanx和y=4x在- ,
2 2
内有3个交点，如图所示，所以该方程tanx=4x,x∈
π π
- ,
2 2
存在两个不等的根，故存在“4级理想区间”[m,n]，所以D错误，
故选：D
630 (2024·全国·高三专题练习)设函数的定义域为D，若满足条件：存在a,b ⊆D，使fx 在
a,b
a b
上的值域为 ,
2 2
，则称fx 为“倍缩函数”.若函数fx =ex+t为“倍缩函数”，
则实数t的取值范围是
1+ln2
A. -∞,-
2
1+ln2
B. -∞,-
2
1+ln2
C. ,+∞
2
1+ln2
D. ,+∞
2
【答案】B
【解析】因为函数fx =ex+t为“倍缩函数”，且为递增函数
所以存在a,b ⊆D，使fx 在a,b
a b
上的值域为 ,
2 2
a
ea+t=
2 x
则 ，由此可知等价于ex- +t=0 有两个不等实数根
b 2
eb+t=
2
x
令g(x)=ex- +t
2
1 1
则g'(x)=ex- ，令g'(x)=ex- =0
2 2
1
解得x=ln =-ln2
2
1
代入方程得e-ln2+ ln2+t=0
2
ln2+1
解得t=- ，因为有两个不等的实数根
2
第 页 共 页
343 34271+ln2
所以t的取值范围为-∞,-
2
所以选B
6 题型六：函数不动点问题
631 (2024·广西柳州·统考模拟预测)设函数f(x)= ex+e-1 x-a(a∈R，e为自然对数的
底数)，若曲线y=sinx上存在点x 0 ,y 0 使fy 0 =y 成立，则a的取值范围是 ( ) 0
A. 1,2e-2 B. e-1-e,1 C. 1,e D. e-1-e,2e-2
【答案】A
【解析】f(x)= ex+e-1 x-a
由题意，存在y 0 ∈0,1 ，使fy 0 =y 成立， 0
即存在x∈0,1 ，使f(x)=x成立，
所以 ex+e-1 x-a=x，即ex+e-1 x-a=x2，
所以a=ex+e-1
x-x2
所以存在x∈0,1 ，使y=a与y=ex+e-1 x-x2有交点，
对y=ex+e-1
x-x2，x∈0,1
，求导得y=ex+e-1-2x，
设gx =ex+e-1-2x，则gx =ex-2，
令gx >0，即x>ln2；令gx <0，即xy =2+e-1-2ln2=21-ln2
x=ln2
+e-1>0，
所以y=ex+e-1 x-x2在x∈0,1 上单调递增，
又y =e0+e-1
x=0
×0-02=1，
y =e1+e-1
x=1
×1-1=2e-2，
要使y=a与y=ex+e-1
x-x2有交点，则1≤a≤2e-2，
所以a的取值范围是1,2e-2 .
故选：A.
632 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx
lnx
= +x-aa∈R
x
2ex+1
，若曲线y= (e是自
e2x+1
然对数的底数)上存在点x 0 ,y 0 使得f fy 0 =y ，则a的取值范围是 0
A. -∞,0 B. 0,e
1
C. -∞,
e
D. 0,+∞
【答案】C
2ex0+1 2ex0+1 2ex0-1
【解析】因为y = ≤ =e,y = >0 ,所以f(f(x))=x 在(0,e] 上有
0 e2x0+1 2ex0 0 e2x0+1
解
1
1-lnx 1-(x-1)+x2 x- 2
因为f(x)= +1≥ =
x2 x2
2 7
+ 4
>0 ,( 易证x≥lnx+1 ) ,
x2
所以函数f(x) 在(0,+∞) 上单调递增,因此由f(f(x))=x得f(x)=x 在(0,e] 上有解，
lnx 1-lnx 1
即a= ,x∈(0,e] ,因为a= ≥0⇒a∈-∞,
x x2 e
，选C.
633 (2024·江苏·高二专题练习)若存在一个实数t，使得Ft =t成立，则称t为函数Fx 的
第 页 共 页
344 3427一个不动点.设函数gx =ex+1- e x-a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上
的连续函数fx 满足f-x +fx =x2，且当x≤0时，f'x 0，t∈[0,1]，
所以，函数g(t)在[0,1]上是增函数，于是有1=g(0)≤g(t)≤g(1)=e，
即a∈[1,e]，应选D．
635 (2024·全国·高三专题练习)设函数fx =ex+2x-a(a∈R)，e为自然对数的底数，若曲
线y=sinx上存在点x 0 ,y 0 ，使得f fy 0 =y ，则a的取值范围是 ( ) 0
A. -1+e-1,1+e B. 1,1+e
C. e,e+1 D. 1,e
【答案】A
【解析】∵曲线y=sinx上存在点x 0 ,y 0
∴ y =sinx ∈[-1,1]
0 0
函数fx =ex+2x-a(a∈R)在[-1,1]上是增函数，根据单调性可证f(y )=y 0 0
即fx =ex+2x-a=x在[-1,1]上有解，分离参数，a=ex+x，x∈[-1,1]，根据y=
1
ex+x是增函数可知，只需a∈ -1,e+1
e
故选A.
7 题型七：函数的旋转问题
636 (2024·江苏苏州·高三苏州中学校考阶段练习)将函数f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图象绕
坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0，α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都
仍然是一个函数的图象，则α的最大值为 ( )
π π π
A.π B. C. D.
2 3 4
【答案】D
【解析】函数fx =lnx+1 x≥0 的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，
当且仅当其任意切线都不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像.
因为fx
1
= 在0，+∞
x+1
是减函数且0a
1 2 3 3
x-a -a +a ,a b
1 2 3 3
x-b -b +b ,b -b
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1
-b -b ，
2 3
两个函数图象射线部分端点上下位置不同，即若左边f(x)=|x-a|+|x-a |+|x-a |
1 2 3
的射线端点在上，右边射线端点一定在下，反之亦有可能．
不妨认为左边f(x)=|x-a|+|x-a |+|x-a |的射线端点在上，右边射线端点一定在
1 2 3
下，且射线互相平行，中间线段也对应平行，图象只能如图：
故两函数图象只能有一个交点，即方程的解集是有限集时，最多有一个元素，
故答案为：1．
645 (浙江省衢州市2024学年高三数学试题)已知等差数列a n 满足：a 1 +a 2 +⋯+a n =
1
a -
1 2
1
+a -
2 2
1
+⋯+a -
n 2
3
=a +
1 2
3
+a +
2 2
3
+⋯+a +
n 2
=72，则n的最大值
为 ( )
A.18 B.16 C.12 D.8
【答案】C
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351 3427【解析】∵a 1 +a 2 +⋯+a n
1
=a - 1 2
1
+a - 2 2
1
+⋯+a - n 2 =72
∴a
n
不为常数列，且数列的项数为偶数，设为2kk∈N*
则，一定存在正整数k使得a >0，a <0或 a <0，a >0
k k+1 k k+1
不妨设a 0，a k k+1 0，即， a k <0 ∴ a 1 +k-1 a >0
k+1
d<0 d>0 ∴ a +kd>0 a <0
1 1
从而得，数列a
n
为单调递增数列，
1 1
∵a <0，∴a - <0，且，a -
k k 2 1 2
1
+a -
2 2
1
+⋯+a -
n 2
3
=a +
1 2
3
+a +
2 2
+⋯
3
+a +
n 2
3 3 1
∴a + ≤0∴a ≤- ，同理a - ≥0
k 2 k 2 k+1 2
3
a k ≤- 2 a 1 +k-1
即， ∴
1
a ≥
k+1 2
3
d≤- 2
∴d≥2
1
a +kd≥
1 2
根据等差数列的性质，a -a =a -a =......=a -a =kd
k+1 1 k+2 2 2k k
∴a 1 +a 2 +......+a n =a 1 +a 2 +......+a 2k =a +a +......+a -a -a -... k+1 k+2 2k 1 2
...-a =k2d=72
k
72 72
∴k2= ≤ =36∴n=2k≤2×6=12
d 2
所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误
故选：C.
646 (上海市川沙中学2024学年高三第二学期数学试题)等差数列a,a ,⋅⋅⋅,
1 2
a n≥3,n∈N*
n
，满足|a|+|a |+⋅⋅⋅+|a | = |a +1|+|a +1|+⋅⋅⋅+|a +1|= |a -2|
1 2 n 1 2 n 1
+|a -2|+⋅⋅⋅+|a -2| =2019，则 ( )
2 n
A.n的最大值为50 B.n的最小值为50
C.n的最大值为51 D.n的最小值为51
【答案】A
【解析】a n 为等差数列，则使 a 1+ a 2+⋅⋅⋅+ a n | = a 1 +1+ a 2 +1+⋅⋅⋅+ a n +1= a - 1
2+ a 2 -2+⋅⋅⋅+ a -2| =2019，所以数列a n n 中的项一定有正有负，不妨设a <0,d> 1
0，因为 a 1+ a 2+⋅⋅⋅+ a n | = a 1 +1+ a 2 +1+⋅⋅⋅+ a n +1= a 1 -2+ a 2 -2+⋅⋅⋅+ a - n
a ≥0 a -2≥0
2| =2019为定值，故设 a k+ < 1 0 ，且 a k+ + 1 1<0 ，解得d>3.若a i <0且a i +1<0，则
k k
a i -a i +1 =1，同理若a i ≥0，则a i +1 -a i
k
=1.所以 a i
i=1
k
- a i +1
i=1
n
= a i +1
i=k+1
n
- a i
i=k+1
=k，所以数列a n 的项数为2k，所以 a 1+ a 2+⋅⋅⋅+ a n =-a 1 -a 2 -⋯-a k +
a k+1 +a k+2 +⋯+a 2k =-2a 1 +a 2 +⋯+a k +a 1 +a 2 +⋯+a 2k
kk-1
=-2 ka + 1
d 2
+
2k2k+1
2ka +
1
d
2
=k2d=2019，由于d>3，所以k2d=2019>3k2，解得k2<673，故k
≤25,n≤50，故选A.
647 (上海市青浦区2024届高三二模数学试题)等差数列a,a ⋯,a n∈N* 1 2 n ，满足a 1 +a 2
+⋯+a n =a 1 +1 +a 2 +1 +⋯+a n +1 =a 1 +2 +a 2 +2 +⋯+a n +2 =a 1 +3 +
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352 3427a 2 +3 +⋯+a n +3 =2010，则 ( )
A.n的最大值是50 B.n的最小值是50
C.n的最大值是51 D.n的最小值是51
【答案】A
【解析】a =-1005,a =1005时，满足条件，所以n=2满足条件，即n最小值为2，舍去B,
1 2
D.
要使得n取最大值，则项数n为偶数，
a >0
设n=2k，k∈N*，等差数列的公差为d，首项为a ，不妨设{ k+1 ，
1
a <0
k
a >0
则a <0,d>0，且a +3<0，由{ k+1 可得d>3，
1 k a +3<0
k
所以a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a n =-a -a -⋯-a +a +a +⋯+a 1 2 k k+1 k+2 2k
=-2a 1 +a 2 +⋯+a k +a 1 +a 2 +⋯+a k +a k+1 +a k+2 +⋯+a 2k
kk+1
=-2 ka +
1
d
2
2k2k+1
+2ka +
1
d=k2d=2010,
2
因为d>3，所以k2d=2010>3k2，所以k2<670，而k∈N*，
所以k≤25，故n=2k≤50.
故选A
648 (浙江省金丽衢十二校2024学年高三第一次联考数学试题)设等差数列a ，a ，⋯，a (n
1 2 n
≥3，n∈N*)的公差为d，满足a 1 +a 2 +⋅⋅⋅+a n =a 1 -1 +a 2 -1 +⋅⋅⋅+a n -1 =
a 1 +2 +a 2 +2 +⋅⋅⋅+a n +2 =m，则下列说法正确的是
A. d ≥3 B.n的值可能为奇数
C.存在i∈N*，满足-20时，由(∗)得f(x)为平底型，故n为偶数(n≥4) ．
f(x)的大致图像为：
n n
则- d≤a -10
由于f(x) 的图像与f(-x)的图像关于y轴对称，故只需研究f(-x)
故令g(x)=f(-x)=-x +-x+d +-x+2d +⋯+-x+(n-1)d ,n≥3
=x +x+d +x+2d +⋯+x+(n-1)d ,n≥3
因为f(a)=f(a -1)=f(a +2)=m
1 1 1
所以g(-a)=g(-a -1)=g(-a +2)=m
1 1 1
由②知g(x)为平底型，故n为偶数(n≥4)，故B错
令a=-a -1,a=a+(i-1)d=a -1
1 1 i 1 i
所以g(a)=g(a-1)=g(a+2)=m⇒d=-d≥3 ，故A正确
i i i
由②知，不存在i∈N*，满足-2
