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第 9 讲 指数与指数函数
知识梳理
1、指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根，其中 ， ，记为 ，
称为根指数， 称为根底数．
(2)根式的性质：
当 为奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数.
当 为偶数时，正数的 次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 中的一个参数， 为底数， 为指数，指数位
于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂 ；②零指数幂 ；
③负整数指数幂 ， ；④ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指
数幂没有意义．
(5)有理数指数幂的性质
① ， ， ；② ， ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．
2、指数函数
图
y y
象
a (1,a)
1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
性 ①定义域 ，值域
质
② ，即时 ， ，图象都经过 点
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③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时， 时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【解题方法总结】
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
必考题型全归纳
题型一：指数运算及指数方程、指数不等式
【例1】（2024·海南省直辖县级单位·统考模拟预测） （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .
故选：B.
【对点训练1】（2024·全国·高三专题练习）下列结论中，正确的是（ ）
A．设 则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．
【答案】B
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得 ，选项A错误；
对于B， ，故 ，选项B正确；
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对于 C， ， ，因为 ，所以 ，选
项C错误；
对于D， ，选项D错误.
故选：B．
【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 .
故选：B
【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）甲､乙两人解关于x的方程 ，
甲写错了常数b，得到的根为 或x= ，乙写错了常数c，得到的根为 或
，则原方程的根是（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】令 ，则方程 可化为 ，甲写错了常数b，
所以 和 是方程 的两根，所以 ，
乙写错了常数c，所以1和2是方程 的两根，所以 ，
则可得方程 ，解得 ，
所以原方程的根是 或
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故选：D
【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）若关于 的方程 有解，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程 有解，
有解，
令 ，
则可化为 有正根，
则 在 有解，又当 时，
所以 ，
故选： ．
【对点训练5】（2024·上海青浦·统考一模）不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】函数 在R上单调递增，则
，
即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
【对点训练6】（2024·全国·高三专题练习）不等式 的解集为___________.
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【答案】
【解析】由 ，可得 .
令 ，
因为 均为 上单调递减函数
则 在 上单调逆减，且 ，
，
故不等式 的解集为 .
故答案为： .
【解题总结】
利用指数的运算性质解题.对于形如 ， ， 的形式常用“化同
底”转化，再利用指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解 .形如
或 的形式，可借助换元法转化二次方程或二次不等式
求解.
题型二：指数函数的图像及性质
【例2】（多选题）（2024·全国·高三专题练习）函数 的图象可能为
（ ）
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A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给 赋值，判断选项.当 时，
，图象A满足；
当 时， ， ，且 ，此时函数是偶函数，关于 轴
对称，图象B满足；
当 时， ， ，且 ，此时函数是奇函数，关于原
点对称，图象D满足；
图象C过点 ，此时 ，故C不成立.
故选：ABD
【对点训练7】（2024·全国·高三专题练习）已知 的定义域为R，则
实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】∵ 的定义域为R，
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∴ 0对任意x∈R恒成立，
即 恒成立，
即 对任意 恒成立，
，则 ．
故答案为 ．
【对点训练8】（2024·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ， ，则
其值域为_______．
【答案】
【解析】令 ，∵ ，∴ ，
∴ ，
又 关于 对称，开口向上， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
时，函数取得最小值，即 ， 时，函数取得最大值，即 ，
.
故答案为： .
【对点训练9】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 内的最
大值是最小值的两倍，且 ，则 ______
【答案】 或
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【解析】当 时，函数 在 内单调递增，
此时函数 的最大值为 ，最小值为 ，
由题意得 ，解得 ，则 ，
此时 ；
当 时，函数 在 内单调递减，
此时函数 的最大值为 ，最小值为 ，
由题意得 ，解得 ，则 ，
此时 ．
故答案为： 或 .
【对点训练10】（2024·全国·高三专题练习）函数 是指数函数，则（ ）
A． 或 B． C． D． 且
【答案】C
【解析】由指数函数定义知 ，同时 ，且 ，所以解得 .
故选：C
【对点训练11】（2024·全国·高三专题练习）函数 的大致图像如图，则实
数a，b的取值只可能是（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若 ， 为增函数，
且 ，与图象不符，
若 ， 为减函数，
且 ，与图象相符，所以 ，
当 时， ，
结合图象可知，此时 ，所 ，则 ，所以 ，
故选:C.
【对点训练12】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 （ 且 ）的
图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程 ，则 的
最小值为（ ）
A．8 B．24 C．4 D．6
【答案】C
【解析】因为函数 图象恒过定点
又点A的坐标满足关于 ， 的方程 ，
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所以 ，
即
所以 ，
当且仅当 即 时取等号；
所以 的最小值为4．
故选：C．
【对点训练13】（多选题）（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）预测人口的变化趋势有多种
方法，“直接推算法”使用的公式是 ，其中 为预测期人口数， 为
初期人口数， 为预测期内人口年增长率， 为预测期间隔年数，则（ ）
A．当 ，则这期间人口数呈下降趋势
B．当 ，则这期间人口数呈摆动变化
C．当 时， 的最小值为3
D．当 时， 的最小值为3
【答案】AC
【解析】 ，由指数函数的性质可知： 是关于n的单
调递减函数，
即人口数呈下降趋势，故A正确，B不正确；
，所以 ，所以 ，
，所以 的最小值为3，故C正确；
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，所以 ，所以 ，
，所以 的最小值为2，故D不正确；
故选：AC.
【对点训练14】（多选题）（2024·山东聊城·统考二模）已知函数 ，则
（ ）
A．函数 是增函数
B．曲线 关于 对称
C．函数 的值域为
D．曲线 有且仅有两条斜率为 的切线
【答案】AB
【解析】根据题意可得 ，易知 是减函数，
所以 是增函数，即A正确；
由题意可得 ，所以 ，
即对于任意 ，满足 ，所以 关于 对称，即B正确；
由指数函数值域可得 ，所以 ，即 ，
所以函数 的值域为 ，所以C错误；
易知 ，令 ，整理可得 ，
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令 ，即 ，
易知 ，又因为 ，即 ，
所以 ，即 ，因此 ；
即关于 的一元二次方程 无实数根；
所以 无解，即曲线 不存在斜率为 的切线，即D错误；
故选：AB
【解题总结】
解决指数函数有关问题，思路是从它们的图像与性质考虑，按照数形结合的思路分析，
从图像与性质找到解题的突破口，但要注意底数对问题的影响.
题型三：指数函数中的恒成立问题
【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若不等式
在R上恒成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】 ．
【解析】令
因为 在区间 上是增函数，
所以
因此要使 在区间 上恒成立，应有 ，即所求实数m的取值范围为
．
故答案为： .
【对点训练15】（2024·全国·高三专题练习）设 ，当 时，
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恒成立，则实数m的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由函数 ，
均为在 上的增函数，故函数 是在 上的单调递增函数，
且满足 ，所以函数 为奇函数，
因为 ，即 ，
可得 恒成立，即 在 上恒成立，
则满足 ，即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【对点训练16】（2024·全国·高三专题练习）已知不等式 ，对于
恒成立，则实数 的取值范围是_________．
【答案】 ， ，
【解析】设 ， ，
则 ，对于 ， 恒成立，
即 ，对于 ， 恒成立，
∴ ，
即 ，
解得 或 ，
即 或 ，
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解得 或 ，
综上， 的取值范围为 ， ， ．
故答案为： ， ， ﹒
【对点训练17】（2024·全国·高三专题练习）若 ，不等式 恒成
立，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】令 ，∵ ，∴ ，
∵ 恒成立，∴ 恒成立，
∵ ，当且仅当 时，即 时，表达式取得最小值，
∴ ，
故答案为 ．
【对点训练18】（2024·上海徐汇·高三位育中学校考开学考试）已知函数 是
定义域为 的奇函数.
(1)求实数 的值，并证明 在 上单调递增；
(2)已知 且 ，若对于任意的 、 ，都有 恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）因为函数 是定义域为 的奇函数，
则 ，解得 ，此时 ，
对任意的 ， ，即函数 的定义域为 ，
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，即函数 为奇函数，合乎题意，
任取 、 且 ，则 ，
所以， ，则 ，
所以，函数 在 上单调递增.
（2）由（1）可知，函数 在 上为增函数，
对于任意的 、 ，都有 ，则 ，
，
因为 ，则 .
当 时，则有 ，解得 ；
当 时，则有 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
【解题总结】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系
中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
题型四：指数函数的综合问题
【例4】（2024·全国·合肥一中校联考模拟预测）已知函数 ，
则不等式 的解集为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意， ， ，
故 ，
故函数 的图象关于 中心对称，
当 时， ， ， 单调递减，
故 在 上单调递减，且 ，
函数 的图象关于 中心对称， 在 上单调递减， ，
而 ，故 或 或 ，
解得 或 ，故所求不等式的解集为 ，
故选：B.
【对点训练19】（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设 .
若函数 的定义域为 ，则关于 的不等式 的解集为
__________.
【答案】
【解析】若 ，对任意的 ， ，则函数 的定义域为 ，不合乎题意，
所以， ，由 可得 ，
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因为函数 的定义域为 ，所以， ，解得 ，
所以， ，则 ，
由 可得 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故答案为： .
【对点训练20】（2024·河南安阳·统考三模）已知函数 的图象关于
坐标原点对称，则 __________.
【答案】 /1.5
【解析】依题意函数 是一个奇函数，
又 ，所以 ，
所以 定义域为 ，
因为 的图象关于坐标原点对称，所以 ，解得 .
又 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 .
故答案为： .
【对点训练21】（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知 是定义在 上的偶函数，且
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当 时， ，则满足 的x的取值范围是______________．
【答案】
【解析】由函数性质知 ，
，
∴ ，
即 ，解得 ，∴ ，
故答案为： .
【对点训练22】（2024·河南信阳·校联考模拟预测）已知实数 ， 满足 ，
，则 __________．
【答案】1
【解析】因为 ，化简得 ．
所以 ，又 ，
构造函数 ，
因为函数 ， 在 上都为增函数，
所以函数 在 上为单调递增函数，
由 ，∴ ，
解得 ， ，
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∴ ．
故答案为： .
【对点训练23】（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考二模）点 在函
数 的图象上，当 ，则 可能等于（ ）
A．-1 B． C． D．0
【答案】BC
【解析】由 表示 与点 所成直线的斜率 ，
又 是 在 部分图象上的动点，图象如下：
如上图， ，则 ，只有B、C满足.
故选：BC
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