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第 21 讲 极值点偏移
知识梳理
1、极值点偏移的相关概念
所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得
函数图像没有对称性。若函数f (x)在 x=x 处取得极值，且函数y=f (x)与直线y=b
0
x +x x +x
交于 两点，则 的中点为M( 1 2,b)，而往往x ≠ 1 2 。如下
A(x ,b),B(x ,b) AB 2 0 2
1 2
图所示。
图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移
极值点偏移的定义：对于函数y=f (x)在区间(a,b)内只有一个极值点 x ，方程
0
x +x
f (x) 的解分别为x 、x ，且a<x <x <b，（1）若 1 2 2 ≠x 0 ，则称函数 y=f (x)
1 2 1 2
x +x
在区间
(x 1 ,x 2 )
上极值点x
0
偏移；（2）若 1
2
2 >x
0
，则函数
y=f (x)
在区间
(x 1 ,x 2 )
x +x
上极值点x 左偏，简称极值点x 左偏；（3）若 1
2
2 <x
0
，则函数
y=f (x)
在区间
0 0
(x ,x )上极值点 x 右偏，简称极值点 x 右偏。
1 2 0 02、对称变换
主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)
定函数(极值点为 )，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点
x.
0
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数 ，若证
，则令 .
(3)判断单调性，即利用导数讨论 的单调性．
(4)比较大小，即判断函数 在某段区间上的正负，并得出 与 的
大小关系．
(5)转化，即利用函数 的单调性，将 与 的大小关系转化为 与
之间的关系，进而得到所证或所求．
【注意】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与x 的大小，得
0
出 所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，
它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无
关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化
难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技
巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行
解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，
有着非凡的功效3、应用对数平均不等式 证明极值点偏移：
①由题中等式中产生对数；
②将所得含对数的等式进行变形得到 ；
③利用对数平均不等式来证明相应的问题.
4、比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数
的单调性证明题中的不等式即可.
必考题型全归纳
题型一：极值点偏移:加法型
例1．（2024·河南周口·高二校联考阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ， 是方程 的两个实数根，证明： ．
【解析】（1）由题可知 的定义域为 ，
.
令 ，则 的两根分别为 ， ．
当 或 时， ；
当 时， ；
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ．
（2）原方程可化为 ，
设 ，则 ， ．令 ，得 ．∵在 上， ，在 上， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ ，且当 ， 趋向于0时， 趋向于 ，
当 趋向于 时， 趋向于 ．
则 在 和 上分别有一个零点 ， ，
不妨设 ，∵ ，∴ ，
设 ，则
，
．
当 时， ，
∴ 在 上单调递增，而 ，
∴当 时， ， ，即 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 在 上单调递减，
∴ ，即 ．
例2．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；(2)若函数 有两个零点 、 ，证明 .
【解析】（1）因为 的定义域为 ，
则 ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
（2）证明：不妨设 ，由（1）知：必有 .
要证 ，即证 ，即证 ，
又 ，即证 .
令 ，其中 ，
则 ，
令 ，则
在 时恒成立，
所以 在 上单调递减，即 在 上单调递减，所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 ；
接下来证明 ，
令 ，则 ，又 ，即 ，所以 ，
要证 ，即证 ，有 ，
不等式 两边取对数，即证 ，
即证 ，即证 ，
令 ， ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以， 在 上单调递增，则当 时， ，
故当 时，
可得函数 单调递增，可得 ，即 ，所以 ，
综上， .
例3．（2024·广东深圳·高三红岭中学校考期末）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)①证明函数 （ 为自然对数的底数）在区间 内有唯一的零点；
②设①中函数 的零点为 ，记 （其中 表示 中的较小值），若 在区间 内有两个不相等的实数根 ，证明：
.
【解析】（1）由已知 ，
函数 的定义域为 ，导函数
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增；
当 时，令 有 ，
∴当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述：
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）① 的定义域为 ，导函数 ，
当 时， ，即 在区间 内单调递增，
又 ， ，且 在区间 内的图像连续不断，
∴根据零点存在性定理，有 在区间 内有且仅有唯一零点.
②当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ，∴当 时， ，故 ，即 ；
当 时， ，故 ，即 ，
∴可得 ，
当 时， ，由 得 单调递增；
当 时， ，由 得 单调递减：
若 在区间 内有两个不相等的实数根 ， ，
则 ，
∴要证 ，需证 ，又 ，
而 在 内递减，
故需证 ，又 ，
即证 ，即
下证 ：
记 ， ，
由 知： ，
记 ，则 ：
当 时， ；
当 时， ，
故 ，而 ，所以 ，由 ，可知 .
∴ ，即 单调递增，
∴当 时， ，即 ，故 ，得证.
变式1．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知函数
为其极小值点．
(1)求实数 的值；
(2)若存在 ，使得 ，求证： ．
【解析】（1） 的定义域为 ，
，依题意得 ，得 ，
此时 ，
当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调
递减，
当 时， ， ， ，故 ， 在 内单调递增，
故 在 处取得极小值，符合题意.
综上所述： .
（2）由（1）知， ，
不妨设 ，当 时，不等式 显然成立；
当 ， 时，不等式 显然成立；
当 ， 时，由（1）知 在 内单调递减，因为存在 ，使得
，所以 ，
要证 ，只要证 ，
因为 ，所以 ，又 在 内单调递减，
所以只要证 ，又 ，所以只要证 ，
设 ，
则
，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ， 在 上为减函数，所以 ，
即 ，
所以 在 上为减函数，
所以 ，即 .
综上所述： .
变式2．（2024·湖北武汉·高二武汉市第六中学校考阶段练习）已知函数，a为实数．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若函数 在 处取得极值， 是函数 的导函数，且 ，
，证明：
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
令 ，所以 ，得 ，
当 ， ，当 ， ，
故函数 递减区间为 ，递增区间为 .
（2）因为函数 在 处取得极值，
所以 ，得 ，
所以 ，得 ，
令 ，
因为 ，当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 单调递增，
且当 时, ,当 时, ,
故 .
先证 ，需证 .因为 ，下面证明 .
设 ,
则 ,
故 在 上为增函数,故 ,
所以 ,则 ,
所以 ,即得 ，
下面证明：
令 ，当 时 ，所以 成立,
所以 ，所以 .
当 时，记 ,
所以 时 ，所以 为减函数得 ,
所以 ,即得 .
所以 得证，
综上， .
变式3．（2024·江西景德镇·统考模拟预测）已知函数
(1)若函数 在定义域上单调递增，求 的最大值；
(2)若函数 在定义域上有两个极值点 和 ，若 ， ，求 的最
小值．【解析】（1）因为 ，其中 ，
则 ，
因为函数 在 上单调递增，对任意的 ， ，即 ，
令 ，其中 ，则 ， ，
由 可得 ，由 可得 ，
所以，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，
所以， ，故 ，所以， 的最大值为 .
（2）由题意可知， ，设 ，
由 可得 ，则 ，
可得 ， ，所以， ，令 ，其中 ，
所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
因为 ，由 ，可得 ，由 可得 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
又因为 且 ，
所以，当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以， .
变式4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论函数 的极值点的个数；
(2)若函数 恰有三个极值点 、 、 ，且 ，求 的最
大值．
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
且 ．
① ， ，由 ，可得 ；由 ，可得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因此 在 处取得极大值，故当 时， 有一个极值点；
② ，令 ，其中 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 ，
因此 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，故 ，
由 可得 ，由 可得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因此 在 处取得极小值，故当 时， 有一个极值点；
③当 时， ，
令 得 或 ，令 ，由②知 ，
而 ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，因此 ，故 ，
所以函数 在 和 上各存在唯一的零点，分别为 、 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
故函数 在 和 处取得极小值，在 处取得极大值，
所以当 时， 有三个极值点．
综上所述，当 或 时， 有一个极值点；当 时， 有三个极值点．
（2）因为函数 恰有三个极值点 、 、 ，
所以由（1）知 ， ， ，
由 ，两式相除得到 ．令 ，则 ，则 ， ，得 ， ，
因此 ，所以 ，则 ．
令 ，其中 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，则当 时， ，
即 ，故 在 上单调递增，
所以当 时， ，故 的最大值为 ．
变式5．（2024·广西玉林·高二广西壮族自治区北流市高级中学校联考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)当 时，若 ，求证：
【解析】（1） 的定义域为 ，
因为 ，
当 时， ，
所以 在 上单调递增；
当 时，令 得 ，令 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减；
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．（2）当 时 ， ，定义域为 ，
，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，
设 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 ， 即 ，
又因为 ， ，所以 ，
又因为 在 上单调递减，
所以 ，即 ．
变式6．（2024·安徽·高二安徽师范大学附属中学校考阶段练习）已知函数
．
(1)若 为定义域上的增函数，求a的取值范围；
(2)令 ，设函数 ，且 ，求证：
．
【解析】（1） 的定义域为 ，
由 为定义域上的增函数可得 恒成立.
则由 得 ，令 ，
所以当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
故 ,
则有 解得 .
故a的取值范围为
（2）
由 有
有
即
即 .
令
由 可得当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；则 ，
即 ，
解得 或 (负值舍去)，
故 .
变式7．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 （ ）．(1)试讨论函数 的单调性；
(2)若函数 有两个零点 ， （ ），求证： ．
【解析】（1）由已知， 的定义域为 ， ，
①当 时， ， 恒成立，
∴此时 在区间 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
综上所述，当 时， 在区间 上单调递增；
当 时， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）若函数 有两个零点 ， （ ），
则由（1）知， ， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
且 ， ， ，
当 时， ，当 时， ，（*）
∵ ，∴ ，∴ ，
又∵ ，∴ ，∴只需证明 ，即有 .
下面证明 ，
设
， ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 单调递减，
当 时， ， 在区间 单调递增，
∴ ， 在区间 上单调递增，
又∵ ，∴ ，
即 ，
∴由（*）知， ，∴ ，即 .
又∵ ， ，
∴ ，原命题得证.
变式8．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 .(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
时， 恒成立，所以 在 上单调递减；
时，令 得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）证明： 时，由（1）知 至多有一个零点.
时，由（1）知当 时， 取得最小值，最小值为 .
①当 时，由于 ，故 只有一个零点；
②当 时， 即 ，故 没有零点；
③当 时， 即 ，
又 ，
由（1）知 在 上有一个零点.又 ，
由（1）知 在 有一个零点，
所以 在 上有两个零点， 的取值范围为
不妨设 ，则 ，且 ，
令
，
则 ，
由于
（且仅当 等号成立 ，
所以当 时， 在 单调递减，又 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
又由于 ，且 在 上单调递增，
所以 即 .
变式9．（2024·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)若 对 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)已知方程 有两个不同的根 、 ，求证： ，其中
为自然对数的底数.
【解析】（1）由 ，得 .
令 ， ，则 ，
令 ，则 .
所以，函数 在 上单增，故 .
①当 时，则 ，所以 在 上单增， ，
此时 对 恒成立，符合题意；
②当 时， ， ，
故存在 使得 ，
当 时， ，则 单调递减，此时 ，不符合题意.综上，实数 的取值范围 .
（2）证明：由（1）中结论，取 ，有 ，即
.
不妨设 ， ，则 ，整理得 .
于是 ，
即 .
变式10．（2024·江西宜春·高三校考开学考试）已知函数 ， .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ， 是 的两个不同零点，证明： .
【解析】（1）当 时， ，
， ， ，
曲线 在 处的切线方程为 ，即 ；
（2）令 ，可得 ，
令 ， ，设函数 与 相切于 ，由 、 、 可得 ， ， ，
， 的大致图象如下，
当 时， 与 有两个不同的交点，
即 有两个零点，所以 的取值范围为 ，
，当 时， ， 在 上递增，
当 时， ， 在 上递减，
要证 ，只要证 ，
不妨设 ，由 ，则 ，
构造函数 ，
，
∵ ，∴ ，∴ 在 是递增，又 ，∴ ，∴ ，
∴ ，又 ，∴ ，
而 ， ， 在 上递减，∴ ，即 ，
∴ .
变式11．（2024·海南·海南华侨中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在 ，且 ，使得 ，求证：
.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
，
令 ，得 或 ，
在 上， ，在 上， ，在 上， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）可知 ，
设 ， ，
则 ，因为 ，所以 ， 在 上单调递增.
又 ，所以当 时， ，即 .
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以 ，即 .①
设 ， ，
则 .
因为 ，所以 ， 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
因为 在 上单调递增，且 ， ，
所以 ，即 .②
由①得 ，由②得 ，所以 .
题型二：极值点偏移:减法型
例4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间与极值．(2)若 ，求证： ．
【解析】（1） 定义域为 ， ，
令 ，解得： 或 ，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
的极大值为 ，极小值为 .
（2）由（1）知： ， ， ．
令 ， ，
则
；
令 ，则 ；
令 ，则 ，
在 上恒成立， 在 上单调递增，
，
在 上恒成立， 在 上单调递增， ，
在 上恒成立， 在 上单调递增， ，
对任意 恒成立．
， ，又 ， ，在 上单调递增， ， ，即 ；
令 ， ，
则 ；
在 上单调递增， ，
在 上恒成立， 在 上单调递增，
， 对任意 恒成立．
， ．又 ， ，
在 上单调递增，且 ， ， ；
由 得： ， ， .
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
（其中 是自然对数的底数）
(1)试讨论函数 的零点个数；
(2)当 时，设函数 的两个极值点为 、 且 ，求证：
.
【解析】（1）由 可得 ，令 ，其中 ，
则函数 的零点个数等于直线 与函数 图象的公共点个数，
，令 可得 ，列表如下：极小值
减 增
如下图所示：
当 时，函数 无零点；
当 时，函数 只有一个零点；
当 时，函数 有两个零点.
（2）证明： ，其中 ，
所以， ，由已知可得 ，
上述两个等式作差得 ，
要证 ，即证 ，
因为 ，设函数 的图象交 轴的正半轴于点 ，则 ，
因为函数 在 上单调递增， ， ， ，
设函数 的图象在 处的切线交直线 于点 ，
函数 的图象在 处的切线交直线 于点 ，因为 ，所以，函数 的图象在 处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即点 ，
构造函数 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，所以， ，
所以，对任意的 ， ，当且仅当 时等号成立，
由图可知 ，则 ，所以， ，
因为 ，可得 ，
函数 在 处的切线方程为 ，
联立 ，解得 ，即点 ，
因为 ，
所以， ，
构造函数 ，其中 ，则 ， ，当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，则 ，
所以，对任意的 ， ，当且仅当 时，等号成立，
所以， ，可得 ，
因此， ，故原不等式成立.
例6．（2024·四川成都·高二川大附中校考期中）已知函数 .
（1）若 在定义域上不单调，求 的取值范围；
（2）设 分别是 的极大值和极小值，且 ，求 的取值范围.
【解析】分析：（1）利用导数法求出函数 单调递增或单调递减时，参数 的取值
范围为 ，则可知函数 在定义域上不单调时， 的取值范围为 ；（2）易
知 ，设 的两个根为 ，并表示出 ，则
，令 ，则 ，再利用导数法求 的取值范围.
详由已知 ，
（1）①若 在定义域上单调递增，则 ，即 在 上恒成立，
而 ，所以 ；
②若 在定义域上单调递减，则 ，即 在 上恒成立，
而 ，所以 .
因为 在定义域上不单调，所以 ，即 .（2）由（1）知，欲使 在 有极大值和极小值，必须 .
又 ，所以 .
令 的两根分别为 ， ，
即 的两根分别为 ， ，于是 .
不妨设 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
所以
.
令 ，于是 ，
，
由 ，得 ，
又 ，所以 .
因为 ，所以 在 上为减函数，
所以 .
题型三：极值点偏移:乘积型
例7．（2024·全国·高三统考阶段练习）已知函数
．
(1)当 ， 和 有相同的最小值，求 的值；
(2)若 有两个零点 ，求证： ．
【解析】（1）问题转化为 有两个零点，证明 ，进而只需要证明只需要证明
，也即是 ，从而令 ，构造函数
求出最值即可证出结论．
【详解】（1）由 ．
所以 ．
所以 ．
令 ，则 为 上的增函数，且 ．
所以 在 上单调递减， 上单调递增．
所以 ．又 ．
所以 ．令 ，则
所以 为 上的增函数．
又 ．
令 ，因为 在 上单调递增，且 ，而
，因此函数 与直线 有唯一交点，
故方程 在 上有唯一解，
所以存在唯一 ，使得 ．
即 ，故 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ．
所以 ．
故而 ．
（2）由题意 有两个零点 ．
所以 ，即 ．
所以等价于： 有两个零点，证明 .
不妨令 ．由 ．
要证 ，只需要证明 ．
即只需证明： ．
只需证明： ，即 ．
令 ．
只需证明： ．
令 ．
则 ，即 在 上为增函数．
又 ．
所以 ．
综上所述，原不等式成立．
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若函数 ，若存在 使 ，证明： .
【解析】（1）令 ， ， ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ，
∴ 在 递增，在 递减，则 ，∴ 恒成立，即 .
（2）∵ ， ，∴ ，
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
∴ 在 递增，在 递减.
又∵ ， ， ， ，且 ， .
要证 ，即证 .
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴只证 即可.
令 ， ，
恒成立，
∴ 在 单调递增.
又∵ ，∴ ，∴ ，
即 ，∴ .
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， .(1)求证： ， ；
(2)若存在 、 ，且当 时，使得 成立，求证： .
【解析】（1）证明：构造函数 ，其中 ，
则
，
因为 ，则 ， ，
即当 时， ，所以，函数 在 上单调递减，
故当 时， ，即 .
（2）证明：先证明对数平均不等式 ，其中 ，
即证 ，
令 ，即证 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 在 上为减函数，当 时， ，
所以，当 时， ，
本题中，若 ，则 ，此时函数 在 上单调递减，不合乎题意，所以， ，
由（1）可知，函数 在 上单调递减，不妨设 ，则 ，
则 ，即 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以， ，
所以， ，
所以， ，所以， ，
由对数平均不等式可得 ，可得 ，所以， .
变式12．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 ．
(1)证明：若 ，则 ；
(2)证明：若 有两个零点 ， ，则 ．
【解析】（1）因为 定义域为 ，所以 等价于 ．
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 单调递减， 在 单调递增，故 ．
因为 ，所以 ，于是 ．
（2）不妨设 ，由（1）可知 ， 也是 的两个零点，且 ， ，于
是 ，由于 在 单调递减，故 等价于 ．
而 ，故 等价于 ．①
设 ，则①式为 ．
因为 ．
设 ，
当 时， ，故 在 单调递增，
所以 ，从而 ，因此 在 单调递增．
又 ，故 ，故 ，于是 ．
变式13．（2024·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）已知函数 ，
．
(1)当 时， 恒成立，求a的取值范围．
(2)若 的两个相异零点为 ， ，求证： ．【解析】（1）当 时， 恒成立，
即当 时， 恒成立，
设 ，
所以 ，即 ，
，
设 ，
则 ，
所以，当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，
所以当 时， ，即 在 上单调递增，
所以 ，
若 恒成立，则 ．
所以 时， 恒成立，a的取值范围为 .
（2）由题意知， ，
不妨设 ，由 得 ，
则 ，
令 ，则 ，即： ．
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
即证 ，
即证 （ ），
令 （ ），
因为 ，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，
所以 成立，
故 ．
变式14．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，
故 在 上单调递增，不存在极值点；
当 时，令 ，则 总成立，故函数 即 在 上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；
故在 上存在唯一极值点，
综上，当 时，函数 的极值点有且仅有一个．
（2）由 知 ，
整理得， （*），
不妨令 ，则 ，故 在 上单调递增，
当 时，有 ，即 ，
那么 ，
因此，（*）即转化为 ，
接下来证明 ，等价于证明 ，
不妨令 （ ），
建构新函数 ， ，则 在 上单调递减，
所以 ，故 即 得证，
由不等式的传递性知 ，即 ．变式15．（2024·北京通州·统考三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
【解析】（1）因为 ，所以 .
所以 ，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，
所以 ，解得 ..
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数，
所以 在（0，+∞）上恒成立.
即 恒成立. ，即 ，
令 ，所以 ，
时 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 .
（3）
定义域为
当 时， ，所以 在（0，+∞）上单调递减，不合题意.
当 时，
在（0， ）上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为 ，
函数 存在两个零点的必要条件是 ，
即 ，又 ，
所以 在（1， ）上存在一个零点（ ）.
当 时， ，所以 在（ ，+∞）上存在一个零点，
综上函数 有两个零点，实数a的取值范围是 .
不妨设两个零点
由 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
由 ，
只需证 ，
只需证 ，只需证 ，
令 ，只需证 ，
令 ，
，
∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴ ，
即 成立，
所以 成立.
题型四：极值点偏移:商型
例10．（2024·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知函数 ，
其中 为自然对数的底数.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，且 ，证明： .
【解析】（1） ， 是减函数， 是增函数，
所以 在 单调递减，
∵ ，
∴ 时， ， 单调递增； 时， ，
单调递减.（2）由题意得， ，即
， ，
设 ， ，则由 得， ，且 .
不妨设 ，则即证 ，
由 及 的单调性知， .
令 ， ，则
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，取 ，则 ，
又 ，则 ，
又 ， ，且 在 单调递减，∴ ， .
下证： .
（i）当 时，由 得， ；
（ii）当 时，令 ， ，则
，
记 ， ，则 ，又 在 为减函数，∴ ，
在 单调递减， 在 单调递增，∴ 单调
递减，从而， 在 单调递增，
又 ， ，
∴ ，
又 ，
从而，由零点存在定理得，存在唯一 ，使得 ，
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
所以， ，
又 ，
，
所以， ，
显然， ，
所以， ，即 ，
取 ，则 ，
又 ，则 ，
结合 ， ，以及 在 单调递增，得到 ，
从而 .例11．（2024·全国·统考高考真题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【解析】(1) 的定义域为 ．
由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由 得 ，即 ．
由 ，得 ．
由（1）不妨设 ，则 ，从而 ，得 ，
①令 ，
则 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数， ，
从而 ，所以 ，
由（1）得 即 ．①
令 ，则 ，
当 时， ， 在区间 内为增函数， ，
从而 ，所以 ．又由 ，可得 ，
所以 ．②
由①②得 ．
[方法二]【最优解】： 变形为 ，所以 ．
令 ．则上式变为 ，
于是命题转换为证明： ．
令 ，则有 ，不妨设 ．
由（1）知 ，先证 ．
要证：
．
令 ，
则 ，
在区间 内单调递增，所以 ，即 ．
再证 ．
因为 ，所以需证 ．
令 ，
所以 ，故 在区间 内单调递增．
所以 ．故 ，即 ．
综合可知 ．
[方法三]：比值代换证明 同证法2．以下证明 ．
不妨设 ，则 ，
由 得 ， ，
要证 ，只需证 ，两边取对数得 ，
即 ，
即证 ．
记 ，则 .
记 ，则 ，
所以， 在区间 内单调递减． ，则 ，
所以 在区间 内单调递减．
由 得 ，所以 ，
即 ．
[方法四]：构造函数法
由已知得 ，令 ，
不妨设 ，所以 ．
由（Ⅰ）知， ，只需证 ．
证明 同证法2．
再证明 ．令 ．令 ，则 ．
所以 ， 在区间 内单调递增．
因为 ，所以 ，即
又因为 ，所以 ，
即 ．
因为 ，所以 ，即 ．
综上，有 结论得证．
【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，
构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理
策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函
数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于 的式子，这是本方法证明不等式的关
键思想所在.
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设 ， 为两个不相等的正数，且 ，证明： .
【解析】（1）函数的定义域为 ，又 ，
当 时， ，当 时， ，故 的递增区间为 ，递减区间为
（2）因为 ，故 ，
即 ，故 ，
设 ，则 ，
不妨设 ，由（1）可知原命题等价于：已知 ，证明： .
证明如下：
若 ， 恒成立；
若 ， 即 时，
要证： ，即证 ，而 ，即证 ，
即证： ，其中
设 ， ，
则 ，
因为 ，故 ，故 ，
所以 ，故 在 为增函数，所以 ，
故 ，即 成立，
所以 成立，
综上， 成立.
变式16．（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知函数 ，
．(1)讨论函数 的单调性；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根 、 ，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证： ．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，其中 .
①当 时， ，所以函数 的减区间为 ，无增区间；
②当 时，由 得 ，由 可得 .
所以函数 的增区间为 ，减区间为 ．
综上：当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的增区间为 ，减区间为 ．
（2）（i）方程 可化为 ，即 ．
令 ，因为函数 在 上单调递增，
易知函数 的值域为 ，
结合题意，关于 的方程 （*）有两个不等的实根．
又因为 不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为 ．令 ，其中 ，则 ．
由 可得 或 ，由 可得 ，
所以，函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增．
所以，函数 的极小值为 ，
且当 时， ；当 时，则 .
作出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 时，函数 与 的图象有两个交点，
所以，实数 的取值范围是 .
（ii）要证 ，只需证 ，即证 ．
因为 ，所以只需证 ．
由（ⅰ）知，不妨设 ．因为 ，所以 ，即 ，作差可得 ．
所以只需证 ，即只需证 ．
令 ，只需证 ．
令 ，其中 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 在 上恒成立．
所以原不等式得证．
题型五：极值点偏移:平方型
例13．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；
【解析】（1）由題意得，函数 的定义域为 .
由 得： ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）因为 是方程 的两不等实根， ，
即 是方程 的两不等实根，令 ，则 ，即 是方程 的两不等实根.
令 ，则 ，所以 在 上递增，在 上递减， ，
当 时， ；当 时， 且 .
所以0 ，即0 .
令 ，要证 ，只需证 ，
解法1（对称化构造）：令 ，
则 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上递增， ，
所以h ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 ，所以 .
解法2（对数均值不等式）：先证 ，令 ，
只需证 ，只需证 ，
令 ，
所以 在 上单调递减，所以 .因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 .
例14．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 .
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 有2个不同的零点 （ ），求证： .
【解析】（1）因为函数 的定义域为 ，所以 成立，等价于
成立.
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以 在 内单调递减，
又因为 ，所以当 时， ， 单调递增；当 时，
， 单调递减，
所以 在 处取极大值也是最大值.
因此 ，即实数 的取值范围为 .
（2） 有2个不同的零点等价于 有2个不同的实数根.
令 ，则 ，当 时，解得 .
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取极大值为 .又因为 ，当 时， ，当 时， .
且 时， .
所以 ，且 .
因为 是方程 的2个不同实数根，即 .
将两式相除得 ，
令 ，则 ， ，变形得 ， .
又因为 ， ，因此要证 ，只需证 .
因为 ，所以只需证 ，即证 .
因为 ，即证 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， ，
即当 时， 成立，命题得证.
例15．（2024·全国·高二专题练习）已知函数 ， ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)证明：若存在 ， ，使得 ，则 ．【解析】（1） ， ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，
所以 ，要使 ，则有 ，而 ，故 ，
所以 的取值范围为 ．
（2）证明：当 时，由（1）知，当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减，
设 ，所以 ， ，
①若 ，则 ，成立；
②若 ，先证 ，此时 ，
要证 ，即证 ，即 ， ，
令 ， ，
，
所以 在(1,2)上单调递增，所以 ，
即 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，
即 ．
变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知函数(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若 ，且 ，证明: .
【解析】（1）
当 时， ， ， 所以 单调递增； ， ， 所以
单调递减；
当 时， ， 所以 单调递减； ， 所以
单调递增；
（2）证明：
， ∴ ，
即当 时，
由（1）可知，此时 是 的极大值点，因此不妨令
要证 ，即证：
①当 时， 成立；
②当 时
先证
此时
要证 ，即证： ，即 ，即
即： ①
令 ，∴
∴ 在区间 上单调递增
∴ ，∴①式得证.
∴
∵ ，
∴ ∴ ∴
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ， ，求证： .
【解析】（1）当 时， ，导数为 ，
可得切线的斜率为 ，且 ，
所以切线的方程为 ，
即为 ；
（2）证明：由题意可得 ，
若 ，则 ，所以 在 递增，
因此不存在 ，使得 ，所以 ；
设 ， ，则 ，
令 ， ，
所以 在 递减，又 ，所以 在 恒成立，从而 在 递减，从而 .①
又由 ，可得 ，
所以 .②
由①②可得 .
又因为 ，所以 ，
因此要证 ，
只需证明 ，
即证 ，③
设 ， ，则 ，
所以 在 上为增函数，
又因为 ，所以 ，即③式成立.
所以 获证.
题型六：极值点偏移:混合型
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 （ 为自然对数的底数，
）．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)若存在 ，满足 ，求证： ．【解析】（1） .
当 时， ，所以 在 上单调增，无极值；
当 时，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递减，在 单调递增．
所以函数 的极小值为 ，无极大值.
（2）由题（1）可知，当 时才存在 ，满足 ，
不妨设 ，
设 ，则
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，即
故 ，
因为 ，又 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，
下面证明： ；因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，得证.
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)若f（1）=2，求a的值；
(2)若存在两个不相等的正实数 ，满足 ，证明：
① ；
② .
【解析】（1）由 ，化简得： ，两边平方，解得： .
（2）不妨令 ，
①当 时， 在 上单调递增，故不能使得存在两个不相
等的正实数 ，满足 ，舍去；
当 时， 为定值，不合题意；
当 时， ，由对勾函数知识可知：当 时， 在
上单调递增， 在 上单调递增，两个分段函数在 处函数值相同，
故函数 在 上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数 ，满足，舍去；
当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，且
，即分段函数在 处函数值相等，要想存在两个不相等的正
实数 ，满足 ，则 有三种类型，第一种： ，显然
，令 ，则 ，当 时，
，即
在 单调递增，所以 ，即 ，由于 ，所以
，又因为 ，所以 ，因为 ，而
在 上单调递减，所以 ，即 ，综上： ；第二
种情况： ，显然满足 ，
接下来证明 ，令 ，则 ，当 时，
，即 在
单调递增，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ，因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，即 ，综上： ；第三种情况：
，由第一种情况可知满足 ，由第二种情况可知： ，则
，
综上： ，证毕.
②由①可知：当 时，由 得： ，整理
得： ，即 ；
当 时， ，整理得： ，整理得：
，因为 ，
所以 ，综上： ，证毕.
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，在其定义
域内有两个不同的极值点.
(1)求 的取值范围；
(2)记两个极值点为 ， ，且 ，当 时，求证：不等式 恒成立.
【解析】（1）由题意知，函数 的定义域为 ，
方程 在 有两个不同根，即方程 在 有两个不同根，
即方程 在 有两个不同根；
令 ，则 ，
则当 时， ， 时， ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
又因为 ，当 时， ，当 时， ，
所以 的取值范围为 ；
（2）证明：欲证 两边取对数等价于要证 ，
由（1）可知 ， 分别是方程 的两个根，
即 ，
所以原式等价于 ，因为 ， ，
所以原式等价于要证明 .
又由 ， 作差得， ，即 .
所以原式等价于 ，令 ， ，
则不等式 在 上恒成立.
令 ，又 ，
当 时，可见 时， ，
所以 在 上单调增，
又 ， ,
所以 在 恒成立，所以原不等式恒成立.
变式19．（2024·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知 ．
（1）求 的单调区间；
（2）当 时，若关于x的方程 存在两个正实数根 ，证明：
且 ．
【解析】（1） 的定义域为 ，
又 由 得 ，
当 时， ，
当 时， ，
的减区间为： ，增区间为： ，
（2）证明：方法一：由 存在两个正实数根 ，
整理得方程 存在两个正实数根 ．
由 ，知 ，令 ，则 ，
当 时， 减函数；当 时， 增函数．
所以 ．
因为 ．所以 的值域为 ，
问题等价于直线 和 有两个不同的交点．
，且 ，
所以 ，从而 ．
令 ，则 ，解得 ，
，而 ，
下面证明 时， ，
令 ，
则 ，
令 ，则 ，
在 为减函数， ，
在 为减函数， ，
在 为减函数， ，即 ．方法二：由 存在两个正实数根 ，
整理得方程 存在两个正实数根 ．
由 ，知 ，
令 ，则 ，
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减．
所以 ．
因为 有两个零点，即 ，得 ．
因为实数 是 的两个根，
所以 ，从而 ．
令 ，则 ，变形整理 ，
要证 ，则只需证 ，即只要证 ，
结合对数函数 的图象可知，只需要证 两点连线的斜率要比
两点连线的斜率小即可．
因为 ，所以只要证 ，整理得 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，即 ，
所以 成立，故 成立．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）判断函数 的单调性；
（2）若方程 有两个不同的根，求实数 的取值范围；
（3）如果 ，且 ，求证： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，令 ，解得 ，令
，解得 ，
即函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由（1）可得函数 在 处取得最大值， ，
所以函数 的图象大致如下：
．
易知函数 的值域为 ．因为方程 有两个不同的根，
所以 ，即 ， ，解得 ．
即实数 的取值范围为 ．
（3）证明：由 ， ，不妨设 ，
构造函数 ， ， ，
则 ，
所以 在 ， 上单调递增， ，
也即 对 ， 恒成立．
由 ，则 ， ，
所以 ，
即 ，又因为 ， ，且 在 上单调递减，所以
，
即证 ．
即 ．
变式21．（2024·天津河西·统考二模）设 ，函数 ．
（1）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 无零点，求实数 的取值范围；
（3）若 有两个相异零点 ，求证： ．
【解析】（1）函数的定义域为 ， ，
当 时， ，则切线方程为 ，即 ．（2）①若 时，则 ， 是区间 上的增函数，
∵ ， ，
∴ ，函数 在区间 有唯一零点；
②若 ， 有唯一零点 ；
③若 ，令 ，得 ，
在区间 上， ，函数 是增函数；
在区间 上， ，函数 是减函数；
故在区间 上， 的极大值为 ，
由于 无零点，须使 ，解得 ，
故所求实数 的取值范围是 ．
（3）证明：设 的两个相异零点为 ， ，设 ，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，故 ，故 ，
即 ，即 ，
设 上式转化为 （ ），
设 ，
∴ ，∴ 在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
∴ ．
变式22．（2024·四川成都·高二四川省成都列五中学校考阶段练习）已知函数
， .
(1)讨论f（x）的单调性；
(2)若 时，都有 ，求实数a的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数 ， 满足 ，证明： .
【解析】（1）因为 ，定义域为 ， .
①当 时，令 ，解得
即当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
②当 时 ， 在 单调递增；
③当 时令 ，解得 ，
即当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增；
综上：当 时， 在 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 单调递增；当 时， 在 单调递减，在 单调递增.
（2）若 时，都有 ，
即 ， 恒成立.
令 ，则 ， ，
令 ，所以 ，
当 时，
， 单调递增， ，
所以 ， 在 单调递减，
所以 = ，所以
（3）原式 可整理为 ，
令 ，原式为 ，
由（1）知， 在 单调递增，在 单调递减，
则 为 两根，其中 ，不妨令 ，
要证 ，
即证 ， ，只需证 ，
令 ， ， ，
令 ，则 ， ， 单调递增，
， ， 单调递减.
又 ，
故
，所以 恒成立，
即 成立，
所以 ，原式 得证.
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，其中a，b为常数，
为自然对数底数， ．
(1)当 时，若函数 ，求实数b的取值范围；
(2)当 时，若函数 有两个极值点 ， ，现有如下三个命题：
① ；② ；③ ；
请从①②③中任选一个进行证明．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【解析】（1）当 时， ，
当 时，因为 ，所以此时不合题意；
当 时，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，
要 ，只需 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 ，则由 得 ，
所以 ，故实数b的取值范围为 ．
（2）当 时， ， ，
令 ，则 ，
因为函数 有两个极值点 ， ，所以 有两个零点，
若 ，则 ， 单调递增，不可能有两个零点，所以 ，
令 得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，
因为 有两个零点，所以 ，则 ，
设 ，因为 ， ，则 ，因为 ，所以 ， ，
则 ，取对数得 ，
令 ， ，则 ，即
①令 ，则 ，因为 ，所以 在 上单调递
减，在 上单调递增，
令 ，
则 ， 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
亦即 ，
因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
则 ，整理得 ，
所以 ，故①成立
②令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
令 ，则 ， 在 上单调递增，
又 ，所以当 时， ，即 ，因为 ， ， 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
即 ，故②成立．
③令 ， ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，则 ，
∴ ，则 ，
两边约去 后化简整理得 ，即 ，
故③成立．
变式24．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数
.
(1)讨论 的单调性和最值；
(2)若关于 的方程 有两个不等的实数根 ，求证： .
【解析】（1） ，其中
若 ，则 在 上恒成立，故 在 上为减函数，故 无最值.
若 ，当 时， ；
当 时， ；
故 在 上为增函数，在 上为减函数，
故 ， 无最小值.
（2）方程 即为 ，
故 ，
因为 为 上的增函数，所以
所以关于 的方程 有两个不等的实数根 即为：
有两个不同的实数根 .
所以 ，所以 ，
不妨设 ， ，故 ，
要证： 即证 ，
即证 ，即证 ，
即证 ，
设 ，则 ，
故 ，所以 在 上为增函数，
故 ，所以 在 上为增函数，所以 ，故 成立.
变式25．（2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知函数 .
(1)若 有两个零点， 的取值范围；
(2)若方程 有两个实根 、 ，且 ，证明： .
【解析】（1）函数 的定义域为 .
当 时，函数 无零点，不合乎题意，所以， ，
由 可得 ，
构造函数 ，其中 ，所以，直线 与函数 的图象有两个交点，
，由 可得 ，列表如下：
极大值
增 减
所以，函数 的极大值为 ，如下图所示：
且当 时， ，由图可知，当 时，即当 时，直线 与函数 的图象有两个交点，
故实数 的取值范围是 .
（2）证明：因为 ，则 ，
令 ，其中 ，则有 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
因为方程 有两个实根 、 ，令 ， ，
则关于 的方程 也有两个实根 、 ，且 ，
要证 ，即证 ，即证 ，即证 ，
由已知 ，所以， ，整理可得 ，
不妨设 ，即证 ，即证 ，
令 ，即证 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
当 时， ，故原不等式成立.
变式26．（2024·广东佛山·高二统考期末）已知函数 ，其中 ．(1)若 ，求 的极值：
(2)令函数 ，若存在 ， 使得 ，证明： ．
【解析】（1）当 时 ， ，
所以 ，
当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 的极小值为 ，无极大值.
（2）证明： ，
令 ，则上述函数变形为 ，
对于 ， ，则 ，即 在 上单调递增，
所以若存在 ， 使得 ，则存在对应的 、 ，
使得 ，
对于 ，则 ，因为 ，所以当 时 ，当 时
，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为函数 的唯一极小值点，
所以 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，
又 的单调性可知 ，即有 成立，
所以 .
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 时，都有 ，求实数 的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数 满足 ，求证： .
【解析】（1）函数 的定义域为 ， .
①当 时，令 ，即 ，解得： .
令 ，解得： ；令 ，解得： ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
②当 时，则 ，所以函数 在 上单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
当 时，函数 在 上单调递增.（2）当 时，都有 ，即 ，
亦即 对 恒成立.
令 ，只需 .
.
令 ，则 ，所以当 时， ，
所以 在 上单增，所以 ，
所以当 时， .
所以 ，所以 在 上单减，
所以 .
所以 .
综上所述：实数 的取值范围为 .
（3） 可化为： .
令 ，上式即为 .由（1）可知： 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 为 的两根，其中 .
不妨设 ，要证 ，只需 ，即 ，
只需证 .
令 .
则
当 时， ；当 时， .
由零点存在定理可得：存在 ，使得 .
当 时， ， 单增；当 时， ， 单减；
又 ，所以 .
.
因为 ， ，
所以 .
所以 恒成立.
所以 .
所以 .所以
即证.
题型七：拐点偏移问题
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程.
（2）若正实数 满足 ，求证： .
【解析】（1） ，切点为 .
， .
切线为： ，即 .
（2）
.
令 ， ， ，
，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
，所以 .
即 .
得： ，
得到 ，即： .例20．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，当
时， 恒成立．
(1)求实数 的取值范围；
(2)若正实数 、 满足 ，证明： ．
【解析】（1）根据题意，可知 的定义域为 ，
而 ，
当 时， ， ，
为单调递增函数，
当 时， 成立；
当 时，存在大于1的实数 ，使得 ，
当 时， 成立，
在区间 上单调递减，
当 时， ；
不可能成立，
所以 ，即 的取值范围为 .
（2）证明：不妨设 ，
正实数 、 满足 ，
有（1）可知， ，
又 为单调递增函数，
所以 ，
又 ，所以只要证明： ，
设 ，则 ，
可得 ，
当 时， 成立，
在区间 上单调增函数，
又 ，
当 时， 成立，即 ，
所以不等式 成立，
所以 .
例21．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程;
(2)（ⅰ）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围;
（ⅱ）设 ，且 ，求证: .
【解析】（1）由已知得 ，切点 ，
则切线斜率 ，
所以切线方程为 .
（2）（ⅰ）依题意知，只要 ， ，
因为 ，
， ，
所以 在 递减，在 递增，所以 ， ，
所以 ，
解得： .
（ⅱ）证明：因为 ，定义域为 ，
由 得 ，
即 ，
令
令 ， ，则 ，
， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以
即 ，
又因为 ，
所以 ，即 .
变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 时，设 ，若正实数 ， ，满足 ，求证：【解析】试题分析： 求出函数的导数，通过讨论 的范围求出函数的单调区间即可；
结合已知条件构造函数，然后结合函数单调性得到要证的结论．
解析：（1）① 时， ，即 ，则 在 和 上单增，
在 上单减；② 时， ， ，则 在 上单增
③ 时， 即 ，则 在 和 上单增，在 上单减.
（2）由 得： ；
；设函数 .因为
，所以在区间 上 ， 单调递减，在区间 上
， 单调递增；因而函数 的最小值为 .
由函数 知 ，即 ，又
，故 .
变式29．（2024·江苏盐城·江苏省东台中学校考一模）已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)设 ，试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若存在正实数 满足 ，求证： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
验证：当 时， ，
令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ；
在 上单调递增， 上单调递减，
所以 在 处取得极大值．
（2）因为 ，
所以 ．
①若 ， ， ，
所以当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ，所以函数 在 上单调递减．
②若 ， ，
(i)当 时， ，
令 ，即 ，解得 或 ，
令 ，即 ，解得 ，所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
(ii)当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
(iii)当 时， ，
令 ，即 ，解得 或 ，
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减．
（3）证明：当 时， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ．
所以 ，即 ，所以 或 ．
因为 为正实数，所以 ．
当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以 ．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)设 ，试讨论函数 的单调性；
(3)当 时，若存在实数 ， 满足 ，求证： ．
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得： ．
验证：当 时， ，
易得 在 处取得极大值．
（2）因为 ，
所以 ，
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减；
②若 ， ，
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；当 时，易得函数 在 和 上单调递增，在 上单调递
减.
（3）证明：当 时，因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为1，
所以 ，
即 ，所以 ，
当 时， 此时不存在 ， 满足等号成立条件，
所以 ．
变式31．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知函数
， .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）对实数 ，令 ，正实数 ， 满足 ，求
的最小值.【解析】（1） .
若 ，当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减.
若 ，当 时， ，即 在（ ， 上均单调
递增；
当 时， ，即 在 上单调递减.
若 ，则 ，即 在 上单调递增.
若 ，当 时， ，即 在 ， 上均单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减.
（2）当实数 时， ，
，
，
，
令 ， ，
由于 ，知当 时， ，即 单调递减；
当 时， ，即 单调递增.
从而， ，于是， ，即 ，
而 ，所以 ，
而当 ， 时， 取最小值6.
变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， .
（1）若 在 处取得极值，求 的值；
（2）设 ，试讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若存在正实数 满足 ，求证：
.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
验证：当 时， 在 处取得极大值．
（2）因为
所以 ．
①若 ，则当 时， ，所以函数 在 上单调递增；
当 时， ， 函数 在 上单调递减．
②若 ， ，当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减；
当 时， 恒成立，所以函数 在 上单调递增；
当 时，易得函数 在 和 上单调递增，
在 上单调递减．
（3）证明：当 时， ，
因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ．
令 ， ，
则 ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减；
当 时， ，所以函数 在 上单调递增．
所以函数 在 时，取得最小值，最小值为 ．
所以 ，
即 ，所以 或 ．因为 为正实数，所以 ．
当 时， ，此时不存在 满足条件，
所以
