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第 20 讲 三次函数的图象和性质
知识梳理
1、基本性质
设三次函数为： ( 、 、 、 且 )，其基本性质有：
性质1：①定义域为 ．②值域为 ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③
单调性和图像：
图像
性质2：三次方程 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数
来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数: ，
判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图
易得：
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即
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在 R 上为单调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且
）;
(5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之
一为切点，所以 ，且 ;
(6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标
也就是导函数的对称轴，可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，
且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（2） 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关
于直线
对称.
（3）若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
（4）已知三次函数 的对称中心横坐标为 ，若 存在两
个极值点 ， ，则有 .
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必考题型全归纳
题型一：三次函数的零点问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）函数 存在3个零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）设 为实数，函数 ．
（1）求 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得方程 恰好有两个实数根?若存在，求出实数 的值；
若不存在，请说明理由．
例3．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
，且 在 和 处取得极值.
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
变式1．（2024·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知 ，
.
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（1）当 ，求 的极值；
（2）当 ， ，设 ，求不等式 的解集；
（3）当 时，若函数 恰有两个零点，求 的值.
变式2．（2024·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）若 在 上有解，求 的取值范围；
（3）设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若函数 的零点
为 ，则点 恰好就是该函数 的对称中心.试求
的值.
变式3．（2024·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数
过点 ，且函数 在点 处的切线恰好是直线
.
(1)求函数 的解析式；
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(2)设函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的
取值范围.
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例4．（2024·云南·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 的零点.
例5．（2024·高三课时练习）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 在 上
取得最大值时，对应的 值.
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例6．（2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=
，其中a>0.
(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；
(2)若曲线y=f(x)在点 处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+ 的最小值.
变式5．（2024·广东珠海·高三校联考期中）已知函数 （a，
），其图象在点 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求函数 的单调区间和极值；
(3)求函数 在区间 上的最大值．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，且 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值．
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变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是增函
数，在 上是减函数，且 的一个根为
（1）求 的值；
（2）求证： 还有不同于 的实根 、 ，且 、 、 成等差数列；
（3）若函数 的极大值小于 ，求 的取值范围
变式8．（2024·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数
(其中 ).
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 有两个不同的极值点 ， ，求 的取值范围.
题型三：三次函数的单调性问题
例7．（2024·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数
在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4 B．－4<m<－2 C．2<m<4 D．2≤m≤4
例8．（2024·全国·高三专题练习）三次函数 在 上是减函数，则
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的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9．（2024·江西宜春·高三校考阶段练习）已知函数 ， ，
m是实数.
（1）若 在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；
（2）在（1）的条件下,函数 有三个零点，求m的取值范围.
变式9．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知三次函数 在
处取得极值，且在 点处的切线与直线 平行.
（1）求 的解析式；
（2）若函数 在区间(1，2)上单调递增，求 的取值范围.
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调递增，
则 的取值范围为______．
题型四：三次函数的切线问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 ， 处的切线方程；
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(2)设常数 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，求 的取值范围．
例11．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，若过点 可作曲线 的三条切线，证明: .
例12．（2024·江苏·高三专题练习）已知函数 ，
满足 ，已知点 是曲线 上任意一点，曲线在 处的切线为 .
(1)求切线 的倾斜角 的取值范围；
(2)若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围.
变式11．（2024·安徽·高三校联考期末）已知函数 在 处取
得极值．
（1）求m的值；
（2）若过 可作曲线 的三条切线，求t的取值范围．
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变式12．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）已知函数 在点 处的
切线方程为 ．
（1）求实数 ， 的值；
（2）若过点 可作曲线 的三条切线，求实数 的取值范围．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）设函数 在 处取得极
值 ．
(1)设点 ，求证：过点 的切线有且只有一条，并求出该切线方程；
(2)若过点 可作曲线 的三条切线，求 的取值范围；
(3)设曲线 在点 、 处的切线都过点 ，证明：
．
题型五：三次函数的对称问题
例13．（2024·全国·高三专题练习）给出定义：设 是函数 的导函数，
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是函数 的导函数.若方程 有实数解 ，则称 为函数
的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 都有“拐
点”，且该“拐点”也是函数 的图象的对称中心.若函数 ，则
（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图象 上存在一定点 满足：
若过点 的直线 与曲线 交于不同于 的两点 ，就恒有 的定值
为 ，则 的值为______.
例15．（2024·新疆·统考二模）对于三次函数 ，给出定义：
设 是 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称
点 为曲线 的“拐点”，可以发现，任何一个三次函数都有“拐点”.设
函数 ，则 _____________.
变式14．（多选题）（2024·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期末）对于三次函
数 ，给出定义： 是函数 的导数， 是函
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数 的导数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐
点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中
心，且“拐点”就是对称中心.若函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的极大值为
B． 有且仅有2个零点
C．点 是 的对称中心
D．
变式15．（多选题）（2024·广东佛山·高三南海中学校考期中）定义：设 是 的
导函数， 是函数 的导数.若方程 有实数解 ，则称点 为函
数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三
次函数图像的对称中心，已知函数 的对称中心为 ，则下列
说法中正确的有（ ）
A． ，
B．函数 有三个零点
C．过 可以作两条直线与 图像相切
D．若函数 在区间 上有最大值，则
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变式16．（多选题）（2024·安徽阜阳·高三安徽省太和中学校考竞赛）定义：设 是
的导函数， 是函数 的导数，若方程 有实数解 ，则称点
为函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且
“拐点”就是三次函数图像的对称中心.已知函数 的对称中心为
，则下列说法中正确的有（ ）
A． ，
B． 的值是199.
C．函数 有三个零点
D．过 可以作三条直线与 图像相切
题型六：三次函数的综合问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是增函数，
在 上是减函数，且方程 有3个实数根，它们分别是 ， ，2，则 的
最小值是（ ）
A．5 B．6 C．1 D．8
例17．（2024·陕西西安·高三西安中学校考期中）已知函数 ，
，给出下列四个结论，分别是：① ；② 在 上单调；③ 有唯
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一零点；④存在 ，使得 ．其中有且只有一个是错误的，则错误的一定不可能是
（ ）
A．① B．② C．③ D．④
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，且
，现给出如下结论：
① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ．
其中正确结论的序号是__．
变式17．（2024·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知
，现给出如下结论：
① ； ② ； ③ ； ④ .
其中正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①③
变式18．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）函数 的图象关于坐标原点成中心对
称图形的充要条件是函数 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数
的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数.已知函数
.
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(1)若函数 的对称中心为 ，求函数 的解析式.
(2)由代数基本定理可以得到：任何一元 次复系数多项式 在复数集中可以分解
为n个一次因式的乘积.进而，一元n次多项式方程有n个复数根（重根按重数计）.如设实
系数一元二次方程 ，在复数集内的根为 ， ，则方程
可变形为 ，展开得： 则有
，即 ，
类比上述推理方法可得实系数一元三次方程根与系数的关系，
①若 ，方程 在复数集内的根为 、 、 ，当 时，求 的
最大值；
②若 ，函数 的零点分别为 、 、 ，求 的值.
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上为增函
数，在 上为减函数，且方程 的三个根分别为 ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）求 的取值范围．
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变式20．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）给出定义：设 是函数
的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有实数解 ，则称
为函数 的.“固点”.经研究发现所有的三次函数
都有“固点”，且该“固点”也是函数 的图象的对称中心.根据以上信息和
相关知识回答下列问题：已知函数 .
(1)当 时，试求 的对称中心.
(2)讨论 的单调性；
(3)当 时， 有三个不相等的实数根 ，当 取得最大值时，求
的值.
题型七：三次函数恒成立问题
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知三次函数 的导函数 且
， ．
（1）求 的极值；
（2）求证：对任意 ，都有 ．
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例20．（2024·全国·高三专题练习）设 为实数，函数 ， .
(1)求 的极值；
(2)对于 ， ，都有 ，试求实数 的取值范围.
例21．（2024·四川泸州·高三泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知三次函数
．
（1）若函数 在点 处的切线方程是 ，求函数 的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间 上任意两个自变量的值 ， ，都有
，求出实数 的取值范围．
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
为函数 的导函数
(1)若 为函数 的极值点，求实数 的值；
(2) 的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数 的取值范围；
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(3)对任意 时，任意实数 ，都有 恒成立，
求实数 的最大值.
变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，
．
(1)对任意 ，使得 是函数 在区间 上的最大值，试求最大的实数 ．
(2)若 ，对于区间 的任意两个不相等的实数 、 ，且 ，都有
成立，求 的取值范围．
变式23．（2024·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考期中）已知函数 ，
是 上的奇函数，当 时， 取得极值 ．
(1)求函数 的单调区间和极大值；
(2)若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若对任意 ， ，都有 成立，求实数 的取值范围．
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变式24．（2024·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知函数
，其中 ， .
（1）当 时，讨论函数 的单调性；
（2）当 ，且 时，
（i）若 有两个极值点 ， ，求证： ；
（ii）若对任意的 ，都有 成立，求正实数 的最大值.
变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 处取得极值，
．
（1）求 的值与 的单调区间；
（2）设 ，已知函数 ，若对于任意 、 ， ，都有
，求实数 的取值范围
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