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第 20 讲 三次函数的图象和性质
知识梳理
1、基本性质
设三次函数为： ( 、 、 、 且 )，其基本性质有：
性质1：①定义域为 ．②值域为 ，函数在整个定义域上没有最大值、最小值．③
单调性和图像：
图像
性质2：三次方程 的实根个数
由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数
来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数
其导函数为二次函数: ，
判别式为：△= ，设 的两根为 、 ，结合函数草图
易得：
(1) 若 ，则 恰有一个实根；
(2) 若 ,且 ，则 恰有一个实根；
(3) 若 ,且 ，则 有两个不相等的实根；
(4) 若 ,且 ，则 有三个不相等的实根.
说明:(1)(2) 含有一个实根的充要条件是曲线 与 轴只相交一次，即
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在 R 上为单调函数（或两极值同号），所以 （或 ，且
）;
(5) 有两个相异实根的充要条件是曲线 与 轴有两个公共点且其中之
一为切点，所以 ，且 ;
(6) 有三个不相等的实根的充要条件是曲线 与 轴有三个公共点，即
有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以 且 .
性质3：对称性
（1）三次函数是中心对称曲线，且对称中心是； ；
（2）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
2、常用技巧
（1）其导函数为 对称轴为 ，所以对称中心的横坐标
也就是导函数的对称轴，可见， 图象的对称中心在导函数 的对称轴上，
且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点；
（2） 是可导函数，若 的图象关于点 对称，则 图象关
于直线
对称.
（3）若 图象关于直线 对称，则 图象关于点 对称.
（4）已知三次函数 的对称中心横坐标为 ，若 存在两
个极值点 ， ，则有 .
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必考题型全归纳
题型一：三次函数的零点问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）函数 存在3个零点，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·江苏扬州·高三校考阶段练习）设 为实数，函数 ．
（1）求 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得方程 恰好有两个实数根?若存在，求出实数 的值；
若不存在，请说明理由．
例3．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
，且 在 和 处取得极值.
(1)求函数 的解析式；
(2)设函数 ，若 有且仅有一个零点，求实数 的取值范围.
变式1．（2024·天津河西·高三天津实验中学校考阶段练习）已知 ，
.
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（1）当 ，求 的极值；
（2）当 ， ，设 ，求不等式 的解集；
（3）当 时，若函数 恰有两个零点，求 的值.
变式2．（2024·河北保定·高三统考阶段练习）已知函数 .
（1）求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）若 在 上有解，求 的取值范围；
（3）设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若函数 的零点
为 ，则点 恰好就是该函数 的对称中心.试求
的值.
变式3．（2024·山西太原·高三太原市外国语学校校考阶段练习）已知三次函数
过点 ，且函数 在点 处的切线恰好是直线
.
(1)求函数 的解析式；
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(2)设函数 ，若函数 在区间 上有两个零点，求实数 的
取值范围.
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递增，求 的最小值；
(2)若函数 的图象与 轴有且只有一个交点，求 的取值范围．
题型二：三次函数的最值、极值问题
例4．（2024·云南·高三统考期末）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 的零点.
例5．（2024·高三课时练习）已知函数 ， .
（1）若函数 在 上存在单调递增区间，求实数 的取值范围；
（2）设 .若 ， 在 上的最小值为 ，求 在 上
取得最大值时，对应的 值.
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例6．（2024·江苏常州·高三常州市北郊高级中学校考期中）已知函数f(x)=
，其中a>0.
(1)当a=1时，求f(x)的单调增区间；
(2)若曲线y=f(x)在点 处的切线与y轴的交点为（0，b），求b+ 的最小值.
变式5．（2024·广东珠海·高三校联考期中）已知函数 （a，
），其图象在点 处的切线方程为 ．
(1)求a，b的值；
(2)求函数 的单调区间和极值；
(3)求函数 在区间 上的最大值．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，且 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值．
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变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 在 上是增函
数，在 上是减函数，且 的一个根为
（1）求 的值；
（2）求证： 还有不同于 的实根 、 ，且 、 、 成等差数列；
（3）若函数 的极大值小于 ，求 的取值范围
变式8．（2024·浙江宁波·高三效实中学校考期中）已知函数
(其中 ).
（1）求函数 的单调区间；
（2）若 有两个不同的极值点 ， ，求 的取值范围.
题型三：三次函数的单调性问题
例7．（2024·陕西商洛·高三校考阶段练习）已知三次函数
在R上是增函数，则m的取值范围是( )
A．m<2或m>4 B．－4
