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第 5 讲 一元二次不等式与其它不等式解
法
知识梳理
1、一元二次不等式
一 元 二 次 不 等 式 ， 其 中 ， 是 方 程
的两个根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上．
（2）①若 ，解集为 ．
②若 ，解集为 ．
③若 ，解集为 ．
（2） 当 时，二次函数图象开口向下．
①若 ，解集为
②若 ，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【解题方法总结】
1、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
（其中
mn>0），解关于x的
不等式
cx2 +bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 +b +c>0 ( ， )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 n m ，即关
1 1
( ， )
于x的不等式 cx2 +bx+a>0 的解集为 n m ．
已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 +bx+a≤0
．
1 1
a( ) 2 +b +c≤0
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为
1 1 1 1
(−∞， ]∪[ ，+∞) (−∞， ]∪[ ，+∞)
n m 即关于x的不等式 cx2 +bx+a≤0 的解集为 n m ．
2、已知关于x的不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) （其中n>m>0），解关于x
的不等式
cx2 −bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 −b +c>0 (− ，− )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 m n 即关
1 1
(− ，− )
于x的不等式 cx2 −bx+a>0 的解集为 m n ．
3、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 −bx+a≤0
．1 1
a( ) 2 −b +c≤0
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为
1 1 1 1
(−∞，− ]∪[− ，+∞) (−∞，− ]∪[− ，+∞)
m n 即关于x的不等式 cx2 −bx+a≤0 的解集为 m n ，
以此类推．
{a>0¿¿¿¿
4、已知关于x的一元二次不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为R，则一定满足 ；
{a<0¿¿¿¿
5、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
φ
，则一定满足 ；
{a<0¿¿¿¿
6、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c<0
的解集为R，则一定满足 ；
{a>0¿¿¿¿
7、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c<0
的解集为
φ
，则一定满足 ．
必考题型全归纳
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图
象，写出其解集
例1．（2024·上海金山·统考二模）若实数 满足不等式 ，则 的取值范围是
__________.
例2．（2024·高三课时练习）不等式 的解集为______．
例3．（2024·高三课时练习）函数 的定义域为______．
例4．（2024·高三课时练习）不等式 的解集为______．
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．2、含参时注意分类讨论．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知集合 ，集合
，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 的解集中恰有4
个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例7．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 的解集为
或 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式 的解集为
C． D．不等式 的解集为
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知实数 ，关于 的不等式
的解集为 ，则实数a、b、 、 从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
例11．（2024·全国·高三专题练习）关于 的不等式 的解集为 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式 的
解集是 ，则下列四个结论中错误的是（ ）A．
B．
C．若关于x的不等式 的解集为 ，则
D．若关于x的不等式 的解集为 ，且 ，则
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，
其中 ，则 的最小值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
例14．（2024·北京海淀·统考一模）不等式 的解集为_________．
例15．（2024·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
例16．（2024·上海·高三专题练习）若不等式 ，则x的取值范围是____________．
例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式 的解集是__________．
例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合，则 ___________．
题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的
正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2024·全国·高三专题练习）方程 在区间 内有两个不同的
根， 的取值范围为__．
例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程 的两根分别在区间
， 之内，则实数 的取值范围为______．
例21．（2024·全国·高三专题练习）若方程 有两个不相等的实根，则
可取的最大整数值是______.
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值
范围为________.
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式 ，一元二次不等式在给定区间上
恒成立，不能用判别式 ，一般分离参数求最值或分类讨论．
例23．（2024·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数的取值范围是________．
例24．（2024·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则a的
取值范围是____________．
例25．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 在区间 上有解，
则实数a的取值范围是______.
例26．（2024·全国·高三专题练习）若 使关于 的不等式 成立，则
实数 的取值范围是______．
例27．（2024·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 恒成立，实
数x的取值范围是_____.
