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第 5 讲 一元二次不等式与其它不等式解
法
知识梳理
1、一元二次不等式
一 元 二 次 不 等 式 ， 其 中 ， 是 方 程
的两个根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上．
（2）①若 ，解集为 ．
②若 ，解集为 ．
③若 ，解集为 ．
（2） 当 时，二次函数图象开口向下．
①若 ，解集为
②若 ，解集为
2、分式不等式
（1）
（2）
（3）（4）
3、绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【解题方法总结】
1、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
（其中
mn>0），解关于x的
不等式
cx2 +bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 +b +c>0 ( ， )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 n m ，即关
1 1
( ， )
于x的不等式 cx2 +bx+a>0 的解集为 n m ．
已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 +bx+a≤0
．
1 1
a( ) 2 +b +c≤0
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为
1 1 1 1
(−∞， ]∪[ ，+∞) (−∞， ]∪[ ，+∞)
n m 即关于x的不等式 cx2 +bx+a≤0 的解集为 n m ．
2、已知关于x的不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) （其中n>m>0），解关于x
的不等式
cx2 −bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 −b +c>0 (− ，− )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 m n 即关
1 1
(− ，− )
于x的不等式 cx2 −bx+a>0 的解集为 m n ．
3、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 −bx+a≤0
．1 1
a( ) 2 −b +c≤0
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为
1 1 1 1
(−∞，− ]∪[− ，+∞) (−∞，− ]∪[− ，+∞)
m n 即关于x的不等式 cx2 −bx+a≤0 的解集为 m n ，
以此类推．
{a>0¿¿¿¿
4、已知关于x的一元二次不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为R，则一定满足 ；
{a<0¿¿¿¿
5、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
φ
，则一定满足 ；
{a<0¿¿¿¿
6、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c<0
的解集为R，则一定满足 ；
{a>0¿¿¿¿
7、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c<0
的解集为
φ
，则一定满足 ．
必考题型全归纳
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图
象，写出其解集
例1．（2024·上海金山·统考二模）若实数 满足不等式 ，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】不等式 ，即 ，解得 ，则 的取值范围是
.
故答案为： .
例2．（2024·高三课时练习）不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】解:由题知不等式为 ,即 ,
即 ,
解得 ,
所以解集为 .
故答案为:
例3．（2024·高三课时练习）函数 的定义域为______．
【答案】
【解析】要使函数有意义，则 ，解得 .
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
例4．（2024·高三课时练习）不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】不等式 即 ，
的根为 ，
故 的解集为 ，即不等式 的解集为 ，
故答案为：
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
例5．（2024·全国·高三专题练习）已知集合 ，集合
，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取
值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ， ，解得： ，
；
由 得： ；
“ ”是“ ”的充分不必要条件， ，
当 时， ，不满足 ；当 时， ，不满足 ；
当 时， ，若 ，则需 ；综上所述：实数 的取值范围为 .
故选：A.
例6．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 的解集中恰有4
个整数，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不等式 即 ，
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故 ，
当 时，不等式解集为 ，此时不符合题意；
当 时，不等式解集为 ，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是 ，故 ，，
故实数m的取值范围为 ，
故选：C
例7．（2024·全国·高三专题练习）解下列关于 的不等式 ．
【解析】方程： 且
解得方程两根： ；
当 时，原不等式的解集为：当 时，原不等式的解集为：
综上所述, 当 时，原不等式的解集为：
当 时，原不等式的解集为：
例8．（2024·全国·高三专题练习）不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为： ，
当 时，可知 ，对应的方程的两根为1， ，
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为： .
故选：A.
题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知关于 的不等式 的解集为
或 ，则下列说法正确的是（ ）A． B．不等式 的解集为
C． D．不等式 的解集为
【答案】B
【解析】因为关于 的不等式 的解集为 或 ，所以 ，所以
选项A错误；
由题得 ，所以 为
.所以选项B正确；
设 ，则 ，所以选项C错误；
不等式 为 ，所以选项D错误.
故选：B
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知实数 ，关于 的不等式
的解集为 ，则实数a、b、 、 从小到大的排列是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题可得： ， .由 ， ，设 ，则
.所以 ，所以 ，.又 ，所以 ，所以 .故 ， .又 ，故
.
故选：A.
例11．（2024·全国·高三专题练习）关于 的不等式 的解集为 ，则不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的解集是 ， ，得 ，
则不等式 ，
即 ，解得： ，
所以不等式的解集是 .
故选：D
例12．（2024·北京海淀·101中学校考模拟预测）已知关于x的不等式 的
解集是 ，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．
B．C．若关于x的不等式 的解集为 ，则
D．若关于x的不等式 的解集为 ，且 ，则
【答案】C
【解析】由题意 ，所以 正确;
对于 : ，当且仅当 ，即 时成立,
所以 正确;
对于 ,由韦达定理，可知 ，所以 错误;
对于 ,由韦达定理，可知 ，
则 ，解得 ，
所以 正确,
故选： .
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，
其中 ，则 的最小值为（ ）
A．－2 B．1 C．2 D．8
【答案】C
【解析】由题意可知，方程 的两个根为m， ，则 ，解得： ，
故 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，则 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值为2.
故选：C.
题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
例14．（2024·北京海淀·统考一模）不等式 的解集为_________．
【答案】 或
【解析】根据分式不等式解法可知 等价于 ，
由一元二次不等式解法可得 或 ；
所以不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或
例15．（2024·全国·高三专题练习）不等式的 的解集是______
【答案】：
【解析】 则 或
【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法
例16．（2024·上海·高三专题练习）若不等式 ，则x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】∵ ，则 ，解得 ，
∴x的取值范围是 .故答案为： .
例17．（2024·上海浦东新·统考三模）不等式 的解集是__________．
【答案】
【解析】当 时， ，解得 ，此时解集为空集，
当 时， ，即 ，符合要求，此时解集为 ，
当 时， ，解得 ，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为 .
故答案为：
例18．（2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知集合
，则 ___________．
【答案】
【解析】 ，
.
故 .
故答案为：
题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的
正负，所对应的二次函数图象的开口方向．
例19．（2024·全国·高三专题练习）方程 在区间 内有两个不同的
根， 的取值范围为__．
【答案】【解析】令 ，图象恒过点 ，
方程 0在区间 内有两个不同的根，
，解得 .
故答案为：
例20．（2024·全国·高三专题练习）已知方程 的两根分别在区间
， 之内，则实数 的取值范围为______．
【答案】 .
【解析】方程
方程两根为 ，
若要满足题意，则 ，解得 ，
故答案为： .
例21．（2024·全国·高三专题练习）若方程 有两个不相等的实根，则
可取的最大整数值是______.
【答案】1
【解析】方程化为 ，
由 ， 解得 ，
所以 最大整数值是 .
故答案为：1.例22．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值
范围为________.
【答案】
【解析】 ，故 ，
， ，
将 看成方程 的两根，则 ，
即 ，故 ，解得 .
故答案为：
题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式 ，一元二次不等式在给定区间上
恒成立，不能用判别式 ，一般分离参数求最值或分类讨论．
例23．（2024·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【解析】原不等式可化为 对 恒成立．
（1）当 时，若不等式对 恒成立，
只需 ，解得 ；
（2）当 时，若该二次不等式恒成立，只需 ，解得 ，
所以 ；
综上： .
故答案为：
例24．（2024·全国·高三专题练习）若不等式 对 恒成立，则a的
取值范围是____________．
【答案】
【解析】由不等式 对 恒成立，
可转化为 对 恒成立，即 ，
而 ，
当 时， 有最大值 ，所以 ，
故答案为： ．
例25．（2024·全国·高三专题练习）若关于x的不等式 在区间 上有解，
则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为 ，所以由 得 ，
因为关于 的不等式 在区间 上有解，所以只需 小于等于 的最大值，
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
故 的最大值为1，
所以 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
例26．（2024·全国·高三专题练习）若 使关于 的不等式 成立，则
实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】 ，使关于 的不等式 成立，
则 ，即 ， ，
令 ， ，则对勾函数 在 上单调递增，
所以 ，
故
故答案为：
例27．（2024·全国·高三专题练习）若不等式 对任意 恒成立，实
数x的取值范围是_____.
【答案】【解析】 可转化为 .
设 ，则 是关于m的一次型函数.
要使 恒成立，只需 ，
解得 .
故答案为：
