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第3讲 等式与不等式的性质
知识梳理
1、比较大小基本方法
关系 方法
做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a-b>0 a >1(a，b>0)或 a <1(a，b<0)
b b
a=b a-b=0 a =1(b≠0)
b
a0)或 a >1(a，b<0)
b b
2、不等式的性质
(1)基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
可加性
同向同正 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘性
可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的
是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数
的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与0的大小；(4)下结论．
作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1
比较大小．
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31 1043作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数(式)均为正数，且是幂或者
因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
必考题型全归纳
1 题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
41 (多选题)(2024·重庆·统考模拟预测)已知a>b>c，ac>0，则下列关系式一定成立的是
( )
A.c2>bc B.bca-c
c b
>0 C.a+b>c D. + >2
b c
42 (多选题)(2024·山东·校联考二模)已知实数a,b,c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列
说法正确的是 ( )
1 1
A. > B.a-c>2b C.a2>b2 D.ab+bc>0
a-c b-c
43 (多选题)(2024·全国·校联考模拟预测)若a>0>b>c，则下列结论正确的是 ( )
a a
A. > B.b2a>c2a
c b
a-b b
C. > D.a-c≥2 a-b
a-c c
b-c
2 题型二：比较数(式)的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的
单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与0的大小；(4)下结论．
作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1
比较大小．
作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数(式)均为正数，且是幂或者
因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
b b b
若a>0,b>0，则 >1⇔b>a； <1⇔b1⇔ba； =1⇔b=a．
a a a
1
44 (2024·全国·高三专题练习)若0b，给出下列不等式：
1 1 a
① < ；②a3>b3；③ a2> b2；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2+b2+1>ab+a+b.
a b b
其中一定成立的不等式的序号是 ．
b a
46 (2024·高三课时练习)(1)已知a>b>0，cb， < ，求证：ab>0．
a b
3 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量
的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
48 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知实数x，y满足-30时，b≤2a+3c且bc=a2，则
a-2c
的取值范围是 ．
b
4 题型四：不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
52 (多选题)(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知a>0，b>0，且满足a
4 1 5 1
≥ + ，b≥ + ．则a2+b2的取值可以为 ( )
a b b a
A.10 B.11 C.12 D.20
53 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知x2 y2+1 =1，则 ( )
1 5
A.xy<1 B.x2y≥- C.x+xy≤1 D.x2+xy≤
2 4
1 1
54 (多选题)(2024·全国·模拟预测)已知实数a，b满足 > ，则 ( )
a b
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33 1043A.log a D.ab+ 的最小值为1
a a+1 ab+1
55 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最
大值是 ．
5 题型五：糖水不等式
【解题方法总结】
b+m b a+m a
糖水不等式：若a>b>0，m>0，则一定有 > ，或者 < ．
a+m a b+m b
56 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0)，若再添加mg
糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不
等式中一定成立的有 ( )
a a+m a+m a+2m
A. < B. <
b b+m b+m b+2m
C. a+2m b+m <a+m b+2m
2 1
D. <
3b-1 3a-1
57 (2024·山西·统考一模)我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学
b b+m
符号可表示为： < ，其中a>b，且a，b，m∈R+．据此可以判断两个分数的大小
a a+m
854366239 854366236
关系，比如 (填“>”“<”)．
998763421 998763418
58 (2024·福建·高三校联考阶段练习)若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为
b
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们
a
b+m b
糖水会变甜，从而可抽象出不等式 > (a>b>0，m>0)数学中常称其为糖水不
a+m a
等式.依据糖水不等式可得出log 2 log 10(用“<”或“>”填空)；并写出上述结论
3 15
所对应的一个糖水不等式 .
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