文档内容
第3讲 等式与不等式的性质
知识梳理
1、比较大小基本方法
关系 方法
做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a-b>0 a >1(a，b>0)或 a <1(a，b<0)
b b
a=b a-b=0 a =1(b≠0)
b
a0)或 a >1(a，b<0)
b b
2、不等式的性质
(1)基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
可加性
同向同正 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘性
可乘方性 a>b>0，n∈N*⇒an>bn
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的
是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数
的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与0的大小；(4)下结论．
作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1
比较大小．
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39 3427作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数(式)均为正数，且是幂或者
因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
必考题型全归纳
1 题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
41 (多选题)(2024·重庆·统考模拟预测)已知a>b>c，ac>0，则下列关系式一定成立的是
( )
A.c2>bc B.bca-c
c b
>0 C.a+b>c D. + >2
b c
【答案】BD
【解析】因为ac>0，所以a>b>c>0或0>a>b>c，
当a>b>c>0时，bc>c2，A不成立，bca-c >0，a+b>c，
c b c b c b c b
由 >0, >0，故 + ≥2 ⋅ =2，当且仅当 = ，即b=c时，等号成立，
b c b c b c b c
c b
因为b>c，故等号不成立，故 + >2；
b c
当0>a>b>c时，bc0，
不妨设0>-1>-2>-3，则a+b=c，故此时C不成立，
c b c b c b c b
由 >0, >0，故 + ≥2 ⋅ =2，当且仅当 = ，即b=c时，等号成立，
b c b c b c b c
c b
因为b>c，故等号不成立，故 + >2；
b c
综上：BD一定成立.
故选：BD
42 (多选题)(2024·山东·校联考二模)已知实数a,b,c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列
说法正确的是 ( )
1 1
A. > B.a-c>2b C.a2>b2 D.ab+bc>0
a-c b-c
【答案】BC
1 1
【解析】对于A，∵a>b>c，∴a-c>b-c>0，∴ < ，A错误；
a-c b-c
对于B，∵a>b>c，a+b+c=0，∴a>0，c<0，∴b+c=-a<0，a-b>0，
∴a-b>b+c，即a-c>2b，B正确；
对于C，∵a-b>0，a+b=-c>0，∴a2-b2=a+b a-b >0，即a2>b2，C正确；
对于D，ab+bc=ba+c =-b2≤0，D错误.
故选：BC.
43 (多选题)(2024·全国·校联考模拟预测)若a>0>b>c，则下列结论正确的是 ( )
a a
A. > B.b2a>c2a
c b
a-b b
C. > D.a-c≥2 a-b
a-c c
b-c
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40 3427【答案】ACD
a a a(b-c) a a
【解析】∵a>0>b>c，则b-c>0，bc>0，∴ - = >0，即 > ，A正
c b bc c b
确；
例如a=1，b=-2，c=-3，b2a=(-2)2=4，c2a=(-3)2=9，显然4<9，B错误；
a-b b a(c-b) a-b b
由a>0>b>c得c-b<0，a-c>0，∴ - = >0，即 > ，C
a-c c c(a-c) a-c c
正确；
易知a-c>0，a-b>0，b-c>0，
a-c-2 (a-b)(b-c)=(a-b)+(b-c)-2 (a-b)(b-c)=( a-b- b-c)2≥0，
∴a-c≥2 a-b b-c ，D正确；
故选：ACD．
2 题型二：比较数(式)的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数(式)的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的
单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差式与0的大小；(4)下结论．
作商比较大小(一般用来比较两个正数的大小)的步骤是：
(1)作商；(2)变形；(3)判断商式与1的大小；(4)下结论．
其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1
比较大小．
作差法是比较两数(式)大小最为常用的方法，如果要比较的两数(式)均为正数，且是幂或者
因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
b b b
若a>0,b>0，则 >1⇔b>a； <1⇔b1⇔ba； =1⇔b=a．
a a a
1
44 (2024·全国·高三专题练习)若0a2+b2> >2ab>a，
2
1
即a<2ab< b，给出下列不等式：
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41 34271 1 a
① < ；②a3>b3；③ a2> b2；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2+b2+1>ab+a+b.
a b b
其中一定成立的不等式的序号是 ．
【答案】②⑥
1 1 a
【解析】令a=1,b=-1， > ，排除①， a2= b2，排除③选项， =-1<1，排除⑤.
a b b
当c=0时，排除④.由于幂函数y=x3为R上的递增函数，故a3>b3，②是一定成立的.由
于a2+b2+1-ab+a+b
1
= a-b
2
2+a-1 2+b-1 2 >0，故a2+b2+1>ab+a
+b.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
b a
46 (2024·高三课时练习)(1)已知a>b>0，cb>0，c-d>0，a-c>b-d>0，从而得0<
a-c
1
< .
b-d
b a
又a>b>0，所以 < .
a-c b-d
(2)因为x2-y2
2-xy(x-y)2=x4+y4-x3y-xy3=x3(x-y)+y3(y-x)=(x-y)
x3-y3 =(x-y)2 x2+xy+y2 y =(x-y)2 x+
2
2 + 3 y2
4
≥0，当且仅当x=y时等号
成立，
所以当x=y时，x2-y2
2=xy(x-y)2；
当x≠y时，x2-y2
2>xy(x-y)2.
47 (2024·全国·高三专题练习)(1)试比较x+1 x+5 与x+3 2的大小；
1 1
(2)已知a>b， < ，求证：ab>0．
a b
【解析】(1)由题意，x+1 x+5 -x+3 2
=x2+6x+5-x2-6x-9=-4<0，
所以x+1 x+5 <x+3 2．
1 1 1 1 b-a
(2)证明：因为 < ，所以 - <0，即 <0，
a b a b ab
而a>b，所以b-a<0，则ab>0．得证．
3 题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量
的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
48 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知实数x，y满足-30时，b≤2a+3c且bc=a2，则
a-2c
的取值范围是 ．
b
1
【答案】-∞,
9
【解析】当c>0时满足：b≤2a+3c且bc=a2，
a2 a ∴ ≤2a+3c，即a2-2ac-3c2≤0，进而
c c
2 a a -2⋅ -3≤0，解得-1≤ ≤3．
c c
c 1 c
所以 ≥ 或 ≤-1，
a 3 a
a-2c ac-2c2 c c
= = -2
b a2 a a
2 c
=f
a
，
c 1
令 =t,t∈ ,+∞ a 3 ∪-∞-1 ，
∴ft 1 =-2t2+t=-2t-
4
2 1 + ，
8
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43 34271
由于t∈ ,+∞ 3 ∪-∞-1
所以ft 在t∈-∞，-1
1
单调递增，在t∈ ,+∞
3
单调递减，
1 1
当t= 时，f
3 3
1
= ，当t=-1时，f-1
9
=-3，
所以ft
1
≤
9
1
故答案为：-∞，
9
．
4 题型四：不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
52 (多选题)(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知a>0，b>0，且满足a
4 1 5 1
≥ + ，b≥ + ．则a2+b2的取值可以为 ( )
a b b a
A.10 B.11 C.12 D.20
【答案】CD
4 1 5 1
【解析】因为a≥ + ，b≥ + ，
a b b a
a b
所以a2≥4+ ，b2≥5+ ，
b a
a b a b
故a2+b2≥4+ +5+ ≥9+2 ⋅ =11，
b a b a
a b a b
当a2=4+ ，b2=5+ 且 = ，而a=b时a2≠b2，即等号不能同时成立，
b a b a
所以a2+b2>11，故AB错误，CD正确.
故选：CD.
53 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知x2 y2+1 =1，则 ( )
1 5
A.xy<1 B.x2y≥- C.x+xy≤1 D.x2+xy≤
2 4
【答案】ABD
【解析】由x2 y2+1
1
=1得x2= ，x2=1-x2y2，由于y2≥0，所以0 ≥- ，当y≥0时，x2y≥0，所以x2y≥- ，故B正确，
1 2 2
y+
y
x2 1+y 2=x2 1+2y+y2 =x2 y2+1 +2x2y=1+2x2y≤1+x2 1+y2 =2，当且仅当
1
2y=1+y2⇒y=1,x2= 时取等号，故- 2≤x1+y
2
=x+xy≤ 2，所以C错误，
1 x2+xy=1-x2y2+xy=-xy-
2
2 + 5 ≤ 5 ，当且仅当xy= 1 取等号，又x2 y2+1
4 4 2
3 3 3 3
=1，所以x= ,y= 或者x=- ,y=- 等号成立，
2 3 2 3
故选：ABD
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44 34271 1
54 (多选题)(2024·全国·模拟预测)已知实数a，b满足 > ，则 ( )
a b
A.log a D.ab+ 的最小值为1
a a+1 ab+1
【答案】BC
1 1 1 1
【解析】由 > 可知a>0，b>0，由不等式的性质可知 > ，则0log b，故A
0.2023 0.2023 0.2023
错误；
选项B：由函数y=x3的单调性可知a30，所以 > ，故C正
a a+1
确；
1
选项D：ab+ =ab+1
ab+1
1
+ -1≥2 ab+1
ab+1
1
× -1=1，
ab+1
1
当且仅当ab+1= ，即ab=0时取得等号，显然等号不成立，故D错误．
ab+1
故选：BC.
55 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最
大值是 ．
6
【答案】
3
【解析】∵a+b+c=0，a2+b2+c2=1，
∴b+c=-a，b2+c2=1-a2，
1 1 1
∴bc= ⋅(2bc)= [(b+c)2-(b2+c2)]=a2-
2 2 2
1
∴b、c是方程：x2+ax+a2- =0的两个实数根，
2
∴Δ≥0
1
∴a2-4a2-
2
≥0
2
即a2≤
3
6 6
∴- ≤a≤
3 3
6
即a的最大值为
3
6
故答案为： ．
3
5 题型五：糖水不等式
【解题方法总结】
b+m b a+m a
糖水不等式：若a>b>0，m>0，则一定有 > ，或者 < ．
a+m a b+m b
56 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知bg糖水中含有ag糖(b>a>0)，若再添加mg
糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不
等式中一定成立的有 ( )
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45 3427a a+m a+m a+2m
A. < B. <
b b+m b+m b+2m
C. a+2m b+m <a+m b+2m
2 1
D. <
3b-1 3a-1
【答案】ABD
a a+m
【解析】对于A，由题意可知 < ，正确；
b b+m
a+m a+m+2m-m a+2m
对于B，因为m<2m，所以 < = ，正确；
b+m b+m+2m-m b+2m
a+m a+m+m a+2m
对于C， < = 即a+m
b+m b+m+m b+2m
b+2m <a+2m b+m ，错误；
2 2+1 3 1 1
对于D， < = = < ，正确.
3b-1 3b-1+1 3b 3b-1 3a-1
故选：ABD
57 (2024·山西·统考一模)我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句话用数学
b b+m
符号可表示为： < ，其中a>b，且a，b，m∈R+．据此可以判断两个分数的大小
a a+m
854366239 854366236
关系，比如 (填“>”“<”)．
998763421 998763418
【答案】>
【解析】令a=854366236，则a+3=854366239，
令b=998763418，则b+3=998763421，
854366239 a+3 854366236 a
所以 = ， = ，
998763421 b+3 998763418 b
854366236 a a+3 854366239
根据题设知： = < = .
998763418 b b+3 998763421
故答案为：>
58 (2024·福建·高三校联考阶段练习)若a克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为
b
，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活经验告诉我们
a
b+m b
糖水会变甜，从而可抽象出不等式 > (a>b>0，m>0)数学中常称其为糖水不
a+m a
等式.依据糖水不等式可得出log 2 log 10(用“<”或“>”填空)；并写出上述结论
3 15
所对应的一个糖水不等式 .
ln2+ln5 ln2
【答案】<； >
ln3+ln5 ln3
【解析】空1：因为0 .
3 15 ln3 ln15 ln3+ln5 ln3+ln5 ln3
ln2+ln5 ln2
故答案为：<； >
ln3+ln5 ln3
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46 3427
