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第 3 讲 等式与不等式的性质
知识梳理
1、比较大小基本方法
方法
关系 做差法 做商法
与0比较 与1比较
a>b a−b>0 a a
>1(a，b>0) <1(a，b<0)
b b
或
a=b a−b=0 a
=1(b≠0)
b
a0) >1(a，b<0)
b b
或
2、不等式的性质
（1）基本性质
性质 性质内容
对称性 a>b⇔ba
传递性 a>b，b>c⇒a>c；ab⇔a+c>b>c
可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acc，c>d⇒a+c>b+d
可加性
同向同正 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd
可乘性
可乘方性
【解题方法总结】
1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特
别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．
2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、
利用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利
于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，
且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．
必考题型全归纳
题型一：不等式性质的应用
【解题方法总结】
1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．
2、充分利用基本初等函数性质进行判断．
3、小题可以用特殊值法做快速判断．
例1．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）已知 ， ，则下列关系式一定成
立的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（多选题）（2024·山东·校联考二模）已知实数 满足 ，且 ，
则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
例3．（多选题）（2024·全国·校联考模拟预测）若 ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式
【解题方法总结】
比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利
用函数的单调性．
比较法又分为作差比较法和作商比较法．
作差法比较大小的步骤是：
（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．
作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：
（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利
于0或1比较大小．
作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，
且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法，作商法比较大小的原理是：
若 ，则 ； ； ；
若 ，则 ； ； ．
例4．（2024·全国·高三专题练习）若 ,则将 从小到大排
列为______.
例5．（2024·全国·高三专题练习）如果a>b，给出下列不等式：
① ；②a3>b3；③ ；④2ac2>2bc2；⑤ >1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
例6．（2024·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证： ；
（2）设x， ，比较 与 的大小.
例7．（2024·全国·高三专题练习）（1）试比较 与 的大小；
（2）已知 ， ，求证： ．
题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围
【解题方法总结】
在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每
个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系．
例8．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足
则（ ）
A． 的取值范围为 B． 的取值范围为
C． 的取值范围为 D． 的取值范围为
例9．（2024·广东·高三校联考期末）已知1≤a−b≤3， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知三个实数a、b、c，当 时， 且
，则 的取值范围是____________．
题型四：不等式的综合问题
【解题方法总结】
综合利用等式与不等式的性质
例12．（多选题）（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知 ， ，
且满足 ， ．则 的取值可以为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．20
例13．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
例14．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最小值为1
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，a2+b2+c2＝1，则a
的最大值是__．
题型五：糖水不等式
【解题方法总结】b+m b a+m a
> <
糖水不等式：若a>b>0，m>0，则一定有 a+m a ，或者 b+m b ．
例16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知 糖水中含有 糖( )，若再
添加 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，
下列不等式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
例17．（2024·山西·统考一模）我们都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水会更甜．这句
话用数学符号可表示为： ，其中 ，且a，b， ．据此可以判断两个分
数的大小关系，比如 _________ （填“＞”“＜”）．
例18．（2024·福建·高三校联考阶段练习）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分
数为 ，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我
们糖水会变甜，从而可抽象出不等式 ( ， )数学中常称其为糖水不
等式.依据糖水不等式可得出 ___________ (用“ ”或“ ”填空)；并写出上
述结论所对应的一个糖水不等式___________.
