文档内容
第 05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：一元二次不等式..........................................................................................................................................4
知识点2：分式不等式..................................................................................................................................................5
知识点3：绝对值不等式..............................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：不含参数一元二次不等式的解法................................................................................................................7
题型二：含参数一元二次不等式的解法....................................................................................................................8
题型三：三个二次之间的关系...................................................................................................................................11
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法..........................................................................................................13
题型五：绝对值不等式的解法..................................................................................................................................16
题型六：二次函数根的分布问题..............................................................................................................................17
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题..........................................................................................................20
题型八：解含参型绝对值不等式..............................................................................................................................25
题型九：解不等式组型求参数问题..........................................................................................................................27
题型十：不等式组整数解求参数问题......................................................................................................................29
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................32
05课本典例·高考素材........................................................................................................................33
06易错分析·答题模板........................................................................................................................35
易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当..........................................................................................................35
答题模板：一元二次不等式恒成立问题..................................................................................................................36考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出
一元二次不等式．
（2）结合二次函数图象，会 从近几年高考命题来看，三个 “二
判断一元二次方程的根的个 次” 的关系是必考内容，单独考查的频
2020年I卷第1题，5分
数，以及解一元二次不等 率很低，偶尔作为已知条件的一部分出
式． 现在其他考点的题目中．
（3）了解简单的分式、绝对
值不等式的解法．
复习目标：
1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.知识点1：一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的
两个根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上．
（2）①若 ，解集为 ．
②若 ，解集为 ．
③若 ，解集为 ．
（2） 当 时，二次函数图象开口向下．
①若 ，解集为
②若 ，解集为
【诊断自测】不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为不等式 的解集是 ，
所以 ， 和 是方程 的根，
所以 ，即 ， ，则 ．
故选：D．知识点2：分式不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
【诊断自测】不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式 ，等价于 或 ，
解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选：A
知识点3：绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式 的解集是 ．
【答案】【解析】原不等式可变形为 或 ，
由 ，解得 ；由 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为： .
解题方法总结
1、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 +bx+a≤0
．
1 1 1 1
a( ) 2 +b +c≤0 (−∞， ]∪[ ，+∞)
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 n m 即关于x的
1 1
(−∞， ]∪[ ，+∞)
不等式 cx2 +bx+a≤0 的解集为 n m ．
2、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
（其中
mn>0），解关于x的不等式
cx2 +bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 +b +c>0 ( ， )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 n m ，即关于x的不等式
1 1
( ， )
cx2 +bx+a>0 的解集为 n m ．
3、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 −bx+a≤0
．
1 1 1 1
a( ) 2 −b +c≤0 (−∞，− ]∪[− ，+∞)
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 m n 即关于x
1 1
(−∞，− ]∪[− ，+∞)
的不等式 cx2 −bx+a≤0 的解集为 m n ，以此类推．
4、已知关于x的不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) （其中n>m>0），解关于x的不等式
cx2 −bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 −b +c>0 (− ，− )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 m n 即关于x的不等式
1 1
(− ，− )
cx2 −bx+a>0 的解集为 m n ．
{a>0¿¿¿¿
5、已知关于x的一元二次不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为R，则一定满足 ；{a<0¿¿¿¿
6、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
φ
，则一定满足 ；
{a<0¿¿¿¿
7、已知关于x的一元二次不等式 ax2 +bx+c<0 的解集为R，则一定满足 ；
{a>0¿¿¿¿
8、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c<0
的解集为
φ
，则一定满足 ．
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】由不等式 ，可得 ，解得 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为： .
【典例1-2】不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（用集合表示）
．
【答案】
【解析】不等式 的解集为 ，
∴ ，且1，2是方程 的两个实数根，
∴ ，解得 ， ，其中 ；
∴不等式 化为 ，
即 ，解得 ，
因此所求不等式的解集为 .
故答案为： ．
【方法技巧】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图象，写出其解集.
【变式1-1】不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】由题意 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为： .
【变式1-2】一元二次不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】由 可得 ，
即 ，
解得 或 ，
所以不等式的解集为 .
故答案为：
题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于 的不等式： ．
【解析】（1） 对一切实数x恒成立，等价于 恒成立.
当 时，不等式可化为 ，不满足题意.
当 ，有 ，即 ，解得
所以 的取值范围是 ．
（2）依题意， 等价于 ，
当 时，不等式可化为 ，所以不等式的解集为 .
当 时，不等式化为 ，此时 ，所以不等式的解集为 .
当 时，不等式化为 ，
①当 时， ，不等式的解集为 ；
②当 时， ，不等式的解集为 ；③当 时， ，不等式的解集为 ；
综上，当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【典例2-2】已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
(1)求 和 的值；
(2)求不等式 的解集．
【解析】（1）由题意知 和 是方程 的两个根且 ，
由根与系数的关系得 ，解得 ；
（2）由 、 ，不等式可化为 ，
即 ，则该不等式对应方程的实数根为 和 ．
当 时， ，解得 ，即不等式的解集为 ，
当 时， ，不等式的解集为空集，
当 时， ，解得 ，即不等式的解集为 ，
综上：当 时，解集为 ，
当 时，解集为空集，
当 时，解集为 ．
【方法技巧】
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理．
(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．
【变式2-1】已知函数 ．
(1)若关于x的不等式 的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 ．【解析】（1）若不等式 的解集为R，
则 ，
解得 ，
即实数 的取值范围 , ；
（2）不等式 ，
①当 时，即 时，不等式的解集为 ，
②当 时，即 或 时，
由 ，解得 或 ，
所以不等式的解集为 ，
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 或 时，不等式的解集为 ．
【变式2-2】解关于实数 的不等式： ．
【解析】对方程 ，
当 时，
即 时,不等式的解集为
当 时，
即 或 时,
的根为 ，
不等式的解集为 ；
综上可得， 时,不等式的解集为 ，
或 时，不等式的解集为 .
【变式2-3】设函数 ，其中 ．解不等式 ；
【解析】因为 ，不等式 等价于 ，
又 ，所以 ，即 ，其中 ，所以 ，
所以原不等式等价于 ，即 ，
所以当 时，不等式组 的解集为 ；
当 时，不等式组 的解集为 .
综上，当 时，不等式 的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ；
题型三：三个二次之间的关系
【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，方程 的两根为2和3，
则 ，
则 为 ，其解集为 .
故选：D.
【典例3-2】已知 的解集为 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【解析】已知 的解集为 ，
则 的两根为 和2，所以 ，即 ，
代入不等式， 化简整理得 ，
因为 ，故 ，
不等式的解集为 或 .
故选：C
【方法技巧】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【变式3-1】若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为不等式 的解集是： ，
所以 和 是方程 的两个实数根，
由 ，解得： ，
故不等式 ，即为 ，
解不等式 ，得： ，
所求不等式的解集是： .
故选：C．
【变式3-2】（多选题）不等式 的解集为 ，且 .以下结
论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC【解析】因为不等式 的解集为 ，
则 是方程 的两个实数根， ，又 ,
不妨令 ， ，则 ， ，但 ，故A不成立，符合题意；
令 ， ，则 ，但 ，故B不成立，符合题意；
令 ， ，则 ， ，但 ，故C不成立，符合题意；
，故D成立，不符合题意．
故选：ABC.
【变式3-3】（多选题）已知关于 的不等式 的解集是 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式 的解集是 或
【答案】ABD
【解析】由题意可知，1，3是方程 的两个根，且 ， ，
A：由以上可知 ，故A正确；
B：当 时，代入方程可得 ，故B正确；
C：因为 ，不等式 的解集是 ，故将 代入不等式左边为
，故C错误；
D：原不等式可变为 ，且 ，约分可得 ，解集为 或 ，
故D正确；
故选：ABD
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【典例4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于x的不等式 的解集是 .
【答案】 或【解析】因为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
【典例4-2】已知关于x的不等式 的解集是 ，则实数 的
取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 ，解得 或 ，
由条件知 与 同解，
当 时，显然不符合条件；
所以 ，或 ，即 ，或 ，
解得 或 ，即 .
所以 的取值范围为 .
故答案为： .
【方法技巧】
分式不等式化为二次或高次不等式处理．
【变式4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】 ，即 ，即 ，
则 ，根据穿根法解得 ，
故答案为： .【变式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数 的图像如图所示，则不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】根据函数 的图像可知：
，即 ，
不等式 可化为 ，
即 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
【变式4-3】不等式 的解集是 ．
【答案】
【解析】原不等式可以化为 ，
因为 ，所以 .
所以不等式的解集为 .
故答案为：
题型五：绝对值不等式的解法
【典例5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】当 时， ，所以 .
当 时， ，
或 .
综上：解集为
故答案为：
【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式 的解集为 ．
【答案】 ；
【解析】 或 ，
即 或 ，所以不等式 的解集为 或 ，
故答案为： .
【方法技巧】
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】 ，当 时， ，解得 ，故解集为 ，
当 时， ，解集为 ，
当 时， ，解得 ，故解集为 ，
综上：不等式的解集为 .
故答案为：
【变式5-2】不等式 的解集是 ．
【答案】 或
【解析】因为 ，所以 或 ，
即 或 ，
由 解得 或 ，由 可得 ，所以 ，
故不等式 的解集为 或 .
故答案为： 或 .
题型六：二次函数根的分布问题
【典例6-1】已知函数 ，关于 的方程 有三个不等的实根，则实数 的取
值范围是 .
【答案】
【解析】由题意得 ，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减，
且 ；可知函数 的图象如图所示，
令 ，则方程 有三个不等的实根，
即为 有两个不等的实根，
令 ，则 有两个不等的实根，
则 ，所以不妨令 ，
则 ，解得 ，
故答案为：
【典例6-2】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根 ，且 ．
则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】令函数 ，依题意， 的两个不等实根 满足 ，而函数 图象开口向上，因此 ，则 ，解得 ，
所以实数a的取值范围为 .
故答案为：
【方法技巧】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处
函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式6-1】已知一元二次方程 的两根都在 内，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，由题意可得 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【变式6-2】已知函数 ，若关于 的方程 恰有4个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，
当 时， （ 时取等号）， ，
当 时， ，即 在 上为增函数，
当 时， ，即 在 上为减函数，
在 处取得极大值 .
当 时， ，即 在 上为减函数，
作出函数 的图象如图所示：设 ，
当 时，方程 有1个解，
当 时，方程 有2个解，
当 时，方程 有3个解，
当 时，方程 有1个解，
当 时，方程 有0个解，
方程 等价为 ，
要使关于 的方程 恰有4个不相等的实数根，
等价为方程 有两个不同的根 ，且 ， ，
设 ，
则 ，解得 ，
故选：D．
【变式6-3】已知关于 的方程 在区间 内有实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为关于 的方程 在区间 内有实根，
所以 在区间 内有实根，
令 ， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，依题意 与 在 内有交点，
所以 .
故选：B
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【典例7-1】已知关于 的不等式 .
(1)是否存在实数 ，使不等式对任意 恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若不等式对 有解，求 的取值范围.
【解析】（1）
原不等式等价于 ，
当 时， ，即 ，不恒成立；
当 时，若不等式对于任意实数 恒成立，
则 且 ，无解；
综上，不存在实数 ，使不等式恒成立.
（2）设 ，
当 时， 恒成立，
当且仅当 ，即 ，
解得 即 ，
所以 的取值范围是 .
（3）若不等式对 有解，
等价于 时， 有解.
令 ，
当 时， 即 ，此时显然在 有解；
当 时， 时，结合一元二次函数图象， 显然有解；当 时， 对称轴为 ， ，
时， 有解，
结合一元二次函数图象，易得： 或 ，
解得 或 （无解），
又∵ ，
;
综上所述， 的取值范围为 .
【典例7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】 .
【解析】当 时，不等式 恒成立，
所以当 时， 恒成立，则 ，
令 ，则 在 单调递增，
所以 ，所以 .
故答案为： .
【方法技巧】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量与参数．
（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判别式 ，一元二次不等式在给定的某个区间上恒
（能）成立，不能用判别式 ，一般分离参数求最值或分类讨论处理．
【变式7-1】当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时，不等式 恒成立，当 时，满足不等式恒成立；
当 时，令 ，则 在 上恒成立，
函数 的图像抛物线对称轴为 ，
时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
则有 ，解得 ；
时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则有 ，解得 .
综上可知， 的取值范围是 .
故选：D.
【变式7-2】已知函数 ， ，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ， ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
所以 ，所以 ，所以 的解集为 .
（2）若对任意 ，都有 成立，即 在 恒成立，
解法一：设 ， ，对称轴 ，由题意，只须 ，
①当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，符合题意，所以 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递城，在 单调递增，
所以 ，解得 且 ，所以 .
综上， .
解法二：不等式可化为 ，即 ，设 ， ，
由题意，只须 ， ，
当且仅当 即 时等号成立，则 ，
所以 ，即 .
（3）若对任意 ，存在 ，使得不等式 成立，
即只需满足 ， ，
，对称轴 ， 在 递减，在 递增，
， ， ，对称轴 ，
① 即 时， 在 递增， 恒成立；
② 即 时， 在 递减，在 递增，
， ，所以 ，故 ；
③ 即 时， 在 递减， ， ，
所以 ，解得 ，综上： .
【变式7-3】若存在实数 ，对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数m的取
值范围是 .
【答案】
【解析】如图所示，若存在实数 ，对任意实数 ，不等式 恒成立，则直线 在 时位于 上方（可重合），且位于 下方（可重合），
又因为 在 时为凹函数，所以当直线经过 时符合题意，
由 ，得 ，此时直线为 ，则 ，即 对 恒成立，
则 ，则 ，即实数m的取值范围是 .
故答案为：
【变式7-4】已知函数 ，若对任意 ，则所有满足条件的有序数对
是 ．
【答案】
【解析】因为 对任意 ，
所以必须满足 ，
即 ，
由 ，得 ，
解得 ，①，
再由 ，得 ，
解得 ，②，
由①②得 ，所以 ，即 ，解得 ，
经检验，当 ， 时， ，则
的最大值为 ， 的最小值为 ，
满足任意 ，
所以满足条件的有序数对 只有一对 ，
故答案为： .
题型八：解含参型绝对值不等式
【典例8-1】已知关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为关于 的不等式 有实数解，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，即 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
【典例8-2】若存在实数 使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，当且仅当 时，等号成立，
由题意可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【方法技巧】
含参型绝对值不等式 ，可用零点分段法和图象法求解.【变式8-1】若关于x的不等式 的解集为 ，则实数m的取值范围是
【答案】
【解析】不等式 的解集为 ，即不等式 的解集为 ，
所以 恒成立；
而 表示数轴上的x对应点到 对应点的距离之和，它的最小值为 ，
故有 ，所以 或 ，即 或 ，
故答案为： .
【变式8-2】（2024·上海长宁·二模）若对任意 ，均有 ，则实数a的取值
范围为 ．
【答案】
【解析】因为在绝对值三角不等式 中，当 同号时有 ，
又因为 ，
所以 在 恒成立，
所以 或 在 恒成立，
即有 或 在 恒成立，
由 ，解得 ，
由 ，解得 ，
综上所述实数a的取值范围为 .
故答案为：
题型九：解不等式组型求参数问题
【典例9-1】设集合 ，集合 为关于 的不等式组 的解集，
若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】因为不等式组 的解集 ， ， ，
所以不等式 在 上恒成立，
且不等式 的解集包含集合 ，
又不等式 可化为 ，
所以不等式 的解集为 ，
所以 ，所以 ，且 ，所以 .
不等式 在 上恒成立，故 ，其中 ，
设 ， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
所以当 时，函数 ， 取最大值，最大值为 ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值，最小值为 .
故选：C.
【典例9-2】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组 的解集是关于 的不等式
的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【答案】A
【解析】 ，解得： ，因为 是不等式 的解集的子集，故
要满足： ，解得： ，
故选：A
【方法技巧】
求不等式(组)参数的问题，往往要利用不等式的性质、不等式(组)的解集，建立对应关系后求解.【变式9-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）若不等式组 的解集是空集，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 得 ，即不等式 的解集为 ；
又不等式组 的解集是空集，
所以不等式 的解集为集合 或 的子集，
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，符合题意；
当 ，即 时，不等式 的解集为 ，也符合题意；
当 ，即 ，设函数 ，则该函数的图象开口向上，且对称轴方程为
，且 ，
为使不等式 的解集为集合 或 的子集，
所以必有 ，即 ；
综上实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【变式9-2】若不等式组 的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，不等式 ，解得 ，所以不等式的解集为 ，
假设不等式组 的解集为空集，
则不等式 的解集为集合 或 的子集，
因为函数 的图象的对称轴方程为 ，
则必有 ，解得 ，
所以使得不等式组 的解集不为空集时，则满足 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：B.题型十：不等式组整数解求参数问题
【典例10-1】已知关于 的不等式组 的解集中存在整数解且只有一个整数解，
则 的取值范围为 .
【答案】
【解析】由 ，得 或 ，
所以 的解集与 或 的交集中存在整数解，且只有
一个整数解.
当 时， 的解集为 ，此时 ，即 ，满足
要求；
当 时， 的解集为 ，此时不满足题设；
当 时， 的解集为 ，此时 ，即 ，满足
要求.
综上， 的取值范围为 .
故答案为：
【典例10-2】关于x的不等式 恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由 恰有2个整数解，即 恰有2个整数解，
所以 ，解得 或 ，
①当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为1和2，
则 ，即 ，解得 ；
②当 时，不等式解集为 ，因为 ，故2个整数解为 ， ，则 ，即 ，解得 ，
综上所述，实数 的取值范围为 或 .
故选：B.
【方法技巧】
不等式组整数解求参数问题通常使用分类讨论与数形结合处理.
【变式10-1】已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的取值范围为
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】 ，解得 或 ，
变形为 ，
当 ，即 时，不等式解集为空集，不合要求，舍去，
当 ，即 时，解集为 ，
要想不等式组仅有一个整数解，则 ，解得 ，
与 求交集得 ；
当 ，即 时，解决为 ，
要想不等式组仅有一个整数解，则 ，解得 ，
与 求交集得 ，
综上， 的取值范围是 或 .
故选：B
【变式10-2】若关于 的不等式组 的整数解共有36个，则正数 的取值范围是
.
【答案】
【解析】由 ，得 ，因为 为正数，所 或 .当 时， ，
，
此时不等式组的整数解的个数为32；
当 时， ，
，
此时不等式组的整数解的个数为36；
当 时， ，
，
此时不等式组的整数解的个数为40.
越大，则 越小， 越大，
从而不等式组 的整数解的个数不会增加；
越小，则 越大， 越小，
从而不等式组 的整数解的个数不会减少.
要使得不等式组的整数解的个数为36，则需满足 ，解得 .
故答案为： ．
【变式10-3】设集合 ，集合 若 中恰有一个整
数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知可得集合 或 ,
由 解得， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，且小于0，
由 中恰有一个整数，所以 ，即 ，也即 ，解得 ，
故选：B．
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数 ，若对于任
意的 都有 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为函数 的图象开口向上的抛物线，
所以要使对于任意的 都有 成立，
，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
2．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））已知集合 ，
．若 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】(2，3)
【解析】集合 ={x| a－1≤x≤a+1}， ={x| x≥4或x≤1 }．又
，∴ ，解得2
