文档内容
第 06 讲 抛物线方程及其性质
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
切线长
2023年新Ⅱ卷，第10题,6分 根据抛物线方程求焦点或准线
直线与抛物线交点相关问题
由导数求函数的最值
抛物线标准方程 (不含参)
2023年新I卷，第22题,12分
求直线与抛物线相交所得弦的弦长 基本(均值)不等式的应用
求平面轨迹方程
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
2023年新Ⅱ卷，第10题,5分 无
求直线与抛物线的交点坐标与地物线焦
点弦有关的几何性质
根据抛物线方程求焦点或准线 求直线与抛物线相交所得弦
2022年新I卷，第11题,5分
判断直线与抛物线的位置关系 的弦长
抛物线定义的理解 数量积的坐标表示
2022年新Ⅱ卷，第10题,5分
求直线与抛物线的交点坐标 已知两点求斜率
根据抛物线方程求焦点或准线
2021年新I卷，第14题,5分 无
根据抛物线上的点求标准方程
2021年新Ⅱ卷，第3题,5分 根据抛物线方程求焦点或准线 已知点到直线距离求参教
2020年新I卷，第13题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算
3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用
5.会求抛物线的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解，
需重点强化训练
知识讲解
1. 抛物线的定义
平面上一动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的点的轨迹叫做抛物线
2. 抛物线的图形
3. 数学表达式
4. 标准方程的推导
设 ， 由 定 义 可 知 ：
，等式两边同时平方得：5. 抛物线的标准方程及其几何性质
焦点
x x y y
轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴
位置
图形
标准
y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py
方程
焦点 p p p p
( ,0) ( ,0) (0, ) (0, )
坐标 2 2 2 2
准线 p p p p
x x y y
方程 2 2 2 2
6. 通径
，半通径长：
通径长：
7. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
8. 焦点弦的性质
考点一、 抛物线的定义1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么点 到 轴的距离为
．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知 ，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由 知抛物线的准线方程为x=−1，设点P(x ,y )，由题意得 ，解得 ，
0 0
代入抛物线方程 ，得 ，解得 ，
则点 到 轴的距离为 ．
故答案为： ．
2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为
5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，
又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 .
故选：D.
1．（2023高三·全国·专题练习）动点P到直线 的距离减去它到点 的距离等于2，则点P的
轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】根据题意可知，动点P到直线的距离与到定点的距离相等，由抛物线的定义可知，点P的轨迹为
抛物线.
【详解】如图所示，由于动点P到直线 的距离减去它到点 的距离等于2，
于是动点P在直线 的右边，且动点P到直线 的距离大于2，
因此动点P到直线 的距离等于它到点 的距离，进而根据抛物线的定义，可知点P的轨迹是抛物线．
故选：D
2．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点 的距离比M到 轴的距离大3，则动点M满足的
方程为 .
【答案】 或
【分析】考虑 和 两种情况， 时确定轨迹为抛物线，根据题意得到 ，得到答案.
【详解】动点M到定点 的距离比M到 轴的距离大3，
当 时，动点M到定点 的距离等于到 的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为 ，则 ，即 ，所以 ；
当 时， 满足条件.
综上所述：动点M的轨迹方程为： 时， ； 时， .
故答案为： 或
考点二、 抛物线的标准方程
1．（2024高三下·江西新余·专题练习）请写出一个以 为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方程：
.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】举例 ，再验证即可.
【详解】不妨取顶点为原点，设 ，则 ，解得 ，则 .
故可举例 .
故答案为： .
2．（2024·贵州毕节·三模）已知点 在抛物线 上，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将点 代入抛物线方程求出 ，再将抛物线方程化为标准方程，即可得出准线方程.
【详解】因为点 在抛物线 上，所以 ，解得 ，
所以抛物线 的标准方程为 ，
所以抛物线C的准线方程为 .
故选：D.
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线 的焦点F的直线 交抛物线于两点A、B，交
其准线于C， 与准线垂直且垂足为 ，若 ，则此抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】过点 作准线的垂线，设 ，得到 ，结合抛物线的定义，求得 ，再由
，列出方程求得 的值，即可求解.
【详解】如图所示，分别过点 作准线的垂线，垂足为 ，
设 ，则 ，
由抛物线的定义得 ，
在直角 中，可得 ，所以 ，
在直角 中，因为 ，可得 ，
由 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以抛物线方程为 .
故选：C..
1．（2024·北京·高考真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如 的抛物线的焦点坐标为 ，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为 ，所以其焦点坐标为 .
故答案为： .
2．（2024·陕西安康·模拟预测）过点 ，且焦点在 轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【详解】设抛物线的标准方程为 ，
将点点 代入，得 ，解得 ，
所以抛物线的标准方程是 .
故选：B
3．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线 的顶点在原点，焦点 在坐标轴上，点 关于其准线的
对称点为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设抛物线的方程为 ，设焦点 关于准线 的对称点为 ，求得 ，得到 ，进而得抛物线的方程.
【详解】由题意，设抛物线的方程为 ，
可得焦点坐标 ，准线方程为 ，
设焦点 关于准线 的对称点为 ，可得 ，解得 ，
因为点 关于其准线的对称点为 ，可得 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 .
故选：A.
考点三、 抛物线的几何性质
1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距
离为 .
【答案】
【分析】利用给定条件求出抛物线方程，进而求出准线方程，计算距离即可.
【详解】因为点 在抛物线 上，
代入抛物线中得 ，解得 ，所以
故抛物线的准线方程为 ，
所以 到 的准线的距离为 .
故答案为：
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，若抛物线上一点 满足
， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【分析】根据抛物线定义及焦点与准线距离列方程求参数即可.
【详解】过 分别向 轴和准线做垂线,垂足分别为 ，
根据抛物线定义，有 ，
所以 .
故选：A
3．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点 在抛物线 上，则C的焦
点与点 之间的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据 在抛物线上可求 的值，求出焦点坐标后结合距离公式可得正确的选项.
【详解】因为 在抛物线上，故 ，
整理得到： 即 ，
解得 或 （舍），故焦点坐标为 ，
故所求距离为 ，
故选：D.
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线 （ ）的焦点为F，P为抛物线上一点，且满足
，设直线PF的倾斜角为 ，若 ，则点P的坐标为 .
【答案】
【分析】活用抛物线定义，将 转化成到准线距离，由 得出 ，将倾斜角 和 结合焦
点坐标用几何图形表示出来即可找到关系式求解 的值，进而得 和抛物线的方程，从而得 得解.
【详解】由题可知 ，准线方程为 ，
如图，过P作 交 于点 ，则 ，过F作 交 于点 ，则 ， ， 或 ，
又由 以及倾斜角范围 得 ，
所以有 或 ，
又 ，故 ，此时 ， ，
将 代入 得 （舍去）或 ，故 .
故答案为： .
1．（2024·江西·一模）已知点 是抛物线 上一点，且点P到C的焦点距离为2，
则 ．
【答案】2
【分析】求出准线方程，由抛物线定义列方程求解即可.
【详解】抛物线准线方程为 ，则点P到C的焦点距离为 ，所以 ．
故答案为：2.
2．（2024·山东聊城·二模）点 在抛物线 上，若点 到点 的距离为6，则点 到 轴的距离为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由抛物线的定义知，点 到焦点的距离等于点 到准线的距离，结合点 和准线的位置，求点
到 轴的距离.
【详解】抛物线 开口向右，准线方程为 ，
点 到焦点的距离为6，则点 到准线的距离为6，
点 在y轴右边，所以点 到y轴的距离为4．
故选：A．
3．（23-24高三下·全国·开学考试）抛物线 的焦点为 上的点到 的距离等于到直线的距离，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可.
【详解】因为抛物线上的点到 的距离等于到直线 的距离，
所以 是抛物线的准线，故 ，解得 ，故A正确.
故选：A
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知M是抛物线 上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原
点．若 ，则线段MF的长为 .
【答案】8
【分析】设出线段MF的长度，再由已知条件表达出M的坐标，代入抛物线即可得出结果.
【详解】如图所示：
设 ，易求 ，作 轴于点E，
因为 ，所以 ，
所以在 ， ，
所以 ，
又因为M是抛物线 上一点，所以 ，即 ，
解得 或 (舍去
所以线段MF的长为8.
故答案为：8
考点 四 、 抛物线中的最值问题1．（2024·陕西·二模）已知抛物线 上的点 到定点 的最小距离为2，则
.
【答案】 /
【分析】设出点 的坐标，利用两点间距离公式建立关系，再借助二次函数求出最小值即可得解.
【详解】依题意，设 ，于是 ，
则当 时， ，所以 .
故答案为：
2．（2024·福建莆田·二模）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上．若点 在圆
上，则 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】画出图形结合抛物线定义、三角形三边关系以及圆上点到定值线距离的最值即可求解.
【详解】如图所示：
由题意抛物线 的准线为 ，它与 轴的交点为 ，焦点为F(1,0)，
过点 向抛物线的准线引垂线，垂足为点 ，
设圆 的圆心为 ，已知圆与 轴的交点为点 ，
，
且 成立的条件是 重合且 重合，
综上所述， 的最小值为3.
故选：C.
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上的动点，过点 作直线的垂线，垂足为 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】先分析得 的轨迹，再利用抛物线的定义，结合圆的性质数形结合即可得解.
【详解】如图所示，易知 ，直线 过定点 ，
因为 ，所以Q在以 为直径的圆上，
不妨设其圆心为 ，显然半径 ，
分别过 作准线 的垂线 ，垂足为 ，
结合抛物线定义有 ，
当且仅当 均在线段 上时取得等号.
故答案为： .
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 是抛物线 上的点， 是圆 上的点，则 的
最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】将问题转化为求 的最小值，根据两点之间的距离公式，求得 的最小值再减去半径即可.
【详解】如图，抛物线上点P(x,y)到圆心 的距离为 ，
因此 ，当 最小时， 最小，
而 ，当 时， ，因此|PQ|的最小值是 ．
故选：A.
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知抛物线 ，P为C上一点， ， ，当 最小
时，点P到坐标原点的距离为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】设 ，由抛物线的定义可得 ， ，设 化简
可得当 时， 取得最小值，求出 的坐标，即可求解
【详解】因为抛物线 ，则焦点为 ，准线为 ，
又 ， ，则点 为抛物线的焦点，
过 作准线的垂线，垂足为 ，
设 ，则 ，故 ，
由抛物线的定义可得 ，
，
又 ，则设 故 ，
则
，
当 时， 取得最小值为 ，则 ， ，
将 代入抛物线可得 ，所以
故选：A1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为 ，点 ，点 在抛物线上，则
的最小值为 .
【答案】3
【分析】利用抛物线定义将所求距离转化为 ，然后利用三点共线求解最小值即可.
【详解】由题知点 为焦点，由抛物线定义知 就是点 到准线 的距离，如图，
设点 在准线 的射影为D，则 ，
此时 三点共线，即当 点纵坐标为 时， 的值最小，
最小值为 .
故答案为：3
2．（2024·全国·二模）已知点P为抛物线 上一点，过点P作圆C： 的两条切线，切
点分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 ，根据给定条件，结合切线长定理及二倍角的余弦公式将 的函数，再求出
函数的最小值即得.
【详解】设点 ，则 ，
由 切圆 于点 ，得 ，且 ，
因此 ，
而 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：D3．（2024·四川成都·三模）已知点 分别是抛物线 和直线 上的动点，若抛物线 的焦
点为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】按点 在直线 上及右侧、左侧分类，借助对称的思想及两点间线段最短列式求出并判断得解.
【详解】设 的坐标为 ，则 ，抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
当点 在直线 上及右侧，即 时， ，当且仅当 是 与直线 的交点时取等号，
此时 ，当且仅 时取等号，
当点 在直线 左侧，即 时，点 关于 的对称点是 ，则 ，
，
当且仅当 是 与直线 的交点，且 时取等号，而 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
4．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段
PF上的点，且 ，则直线OM的斜率的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，确定 ，根据向量之间的关系得到 ，得到 ，
，利用均值不等式计算得到答案.
【详解】 ，设 ，显然当 时， ，当 时， ，
要想求解直线OM的斜率的最大值，此时 ．
设 ， ， ，则 ，即 ，
解得 ．
，故 ，即 ，
，故 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为 ．
故选：B.
考点 五 、 抛物线的简单应用
1．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分
的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，
使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）A．3m B．4m C．5m D．6m
【答案】B
【分析】建立适当的的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数 ，进
一步即可得解.
【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于 轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．
设抛物线的方程为 ．
易知抛物线过点 ，则 ，得 ，
所以 ，所以 ．
故选：B．
2．（2023·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清
新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为 ，碗盖口直径为 ，碗
体口直径为 ，碗体深 ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚
度忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为 （ ），将点 代入求出 ，
即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，则两抛物线在第一象
限的交点为 ，代入方程计算可得.【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为 轴，建立直角坐标系，如图所示．
设碗体的抛物线方程为 （ ），将点 代入，得 ，
解得 ，则 ，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为 ，
则两抛物线在第一象限的交点为 ，代入到 ，解得 ，解得 ．
故选：C
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽
为 ，渠深 为 ，水面 距 为 ，则截面图中水面宽 的长度约为（ ）（ ，
， ）
A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m
【答案】D
【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果.
【详解】以 为原点， 为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的标准方程为 （ ），
由题意可得 ，代入 得 ，得 ，故抛物线的标准方程为 ，
设 （ ， ），则 ，则 ，即可得 ，
所以截面图中水面宽 的长度约为 ，
故选：D.
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨
迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一
部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为
30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为
米．
【答案】60
【分析】建立平面直角坐标系，确定抛物线方程形式，确定点的坐标，代入方程求解，即得答案.
【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x轴，
和地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为 ，由题意可知 ，
代入 可得 ，
即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60米，
故答案为：60
2．（2023·河北张家口·二模）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物
镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､
手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口
直径是 ，灯深 ，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据已知条件及设出抛物线的标准方程，结合点在抛物线上即可求解.
【详解】在纵断面内，以反射镜的顶点（即抛物线的顶点）为坐标原点，过顶点垂直于灯口直径的直线为
轴，建立直角坐标系，如图所示，
由题意可得 .
设抛物线的标准方程为 ，于是 ，解得 .
所以抛物线的焦点到顶点的距离为 ，即光源到反射镜顶点的距离为 .
故选：B.
3．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至
滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设
该抛物线的焦点到准线的距离为 米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻
两根吊索之间的距离均为 米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点 到桥面的
距离）为 米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点 到桥面的距离）为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
【答案】A
【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解.
【详解】以 为坐标原点，抛物线的对称轴为 轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的
单位均为米），
依题意可得抛物线的方程为 ．
因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为 米，则点 的横坐标为 ，
则 ，所以点 到桥面的距离为 米．故选：A.
一、单选题
1．（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线 的准线经过双曲线 的右焦点，则 的值为
（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为双曲线 的右焦点为 ，
又抛物线 的准线方程为 ，则 ，即 .
故选：C
2．（2024·山东济宁·三模）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 交抛物线
于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】设 ， ， ，联立抛物线方程，利用韦达定理和抛物线的定义建立
关于 的方程，解之即可求解.
【详解】由题意知， ，设 ，
联立直线与抛物线得 ，消去 ，得 ，
所以 .由抛物线的定义知 .
而 ，故 ，解得 .
故选：D.
3．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线 上的点 到原点的距离为 ，焦点为F，
准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据点 到原点的距离为 求出抛物线方程，再设点 坐标，利用抛物线的定义和等腰三
角形的性质列出方程即可求解.
【详解】因为点 到原点的距离为 ，
所以 ，解得 ，（负值舍），
将点 代入抛物线方程y2=2px(p>0)，得 ，所以 ，
所以 .
由于抛物线关于 轴对称，不妨设 ，因为 ， ，
所以 为等腰三角形， ，
所以 ，
所以 ，
解得 或 (舍)，
所以 .
故选：D.
4．（2024·四川南充·一模）已知抛物线 的焦点为F，抛物线上一点 满足 ，则
抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线的焦半径公式可得 ，即可求得 ，从而求解.
【详解】由题意，得 ，即 ，
所以抛物线方程为 .
故选：D.
5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知 为抛物线 上的一点，点 到抛物线 焦
点的距离为2，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义求解即可.
【详解】因为 到抛物线 焦点的距离为2，
所以由抛物线定义知， ，解得 .
故选：A.
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，若点 在C上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，将 点坐标代入抛物线方程，求得 ，求出 ，即可求得 的面
积.
【详解】
将 代入C的方程，得 ，故 ，
所以 ，则 的面积 .
故选：A.
7．（2024·重庆·模拟预测） 是抛物线 上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且
的重心恰为F，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据重心可得 ，结合对称性可得 ，再根据抛物线的定义运算求解.
【详解】设 ，
因为 的重心恰为F，则 ，解得 ，
由 可知 关于x轴对称，即 ，
则 ，即 ，又因为 ，解得 .
故选：D.
8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知点 是抛物线 上一点，若 到抛物线焦点
的距离为5，且 到 轴的距离为4，则 （ ）
A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8
【答案】C
【分析】由题意得到 ， ，结合 得到方程，求出 的值.
【详解】由题意得 ， ，
其中 ，故 ，解得 或8，
故选：C
二、填空题
9．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线 上，且 ，
则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析可知 且 轴，设设 ， ，结合抛物线方程分析求解.
【详解】由题意可知， 且 轴，
设 ， ，则 ，可知 ，
所以原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
故答案为： .10．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆 经过原点，且与直线 相切，记圆心 的轨迹为 ，直
线 与 交于 两点，则 .
【答案】6
【分析】设点M(x,y)，由题意得到 ，化简得圆心 的轨迹方程为 ，将其
与直线 联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算即得.
【详解】
如图，设动圆 的圆心M(x,y)，由题意得 ，
两边取平方， ，化简得 ，故圆心 的轨迹方程为 .
联立方程 ，消去 整理得，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
故 .
故答案为：6.
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，点 与点 关于直
线 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对称性可得 ，即点 为 的准线与 轴的交点，作 垂直于 的准线于点 ，结
合抛物线的定义可知 ( )，结合图象可得当直线 与 相切时， 最小，求出切线的斜率即可得答案.
【详解】依题意， ， ，设 ，则 ，解得 ，
即 ，点 为 的准线与 轴的交点，
由抛物线的对称性，不妨设点M位于第一象限，作 垂直于 的准线于点 ，
设 ，由抛物线的定义得 ，于是 ，
当直线 与 相切时， 最大， 最小， 取得最小值，此时直线 的斜率为正，
设切线 的方程为 ，由 消去x得 ，
则 ，得 ，直线 的斜率为 ，倾斜角为 ，
于是 ， ，所以 的最小值为 .
故选：A
2．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线E的焦点为F，点P在E上，M为PF的中点，则 的最小值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】设抛物线E的方程为 ，作 ，垂足为 ，连接 后可得 ，当
与抛物线相切时 取得最小值，设出切线方程，利用切线过点 ，可求得切线的斜率，即可求得最
小值.
【详解】设抛物线E的方程为 ，则点 ，准线方程 为 ，作 ，垂足为 ，
设直线 与 轴的交点为 ，连接 ,
当 与 不重合时，有 ,
由抛物线的定义知 ,
易知，当 与抛物线相切时， 取的最小值，
从而 取得最小值，即 取得最小值，
设P(x ,y )，则抛物线在点 的切线方程为 ，
0 0
由切线过点 ，故 ，
则 ，故 的最小值为 ，
故 ，
当 与 重合时，易得 ，
故 的最小值为 ，
故选：B.
3．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足线段
PE的中点在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将 的最小值转化为M到
直线l的距离，即可求得答案.【详解】设P(x,y)，则PE的中点坐标为 ，代入 ，可得 ，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l： 为准线的抛物线，
由于 ，故 在抛物线 内部，
过点P作 ，垂足为Q，则 ，（抛物线的定义），
故当且仅当M，P，Q三点共线时， 最小，即 最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以 ，
故选：B．
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）设F为抛物线 的焦点，点 在C上，过点 的
直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线C的方程为 B．抛物线C的焦点为
C．直线 与C不相切 D．
【答案】BD
【分析】根据抛物线过点 代入可求出抛物线C的方程和焦点坐标可判断A、B；直线与抛物线联
立，利用判别式等于0判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和两点间的距离公式分别求出
，然后利用重要不等式，再比较大小即可
【详解】因为点 在抛物线 上，
所以 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 ，焦点坐标为(1,0)，故A错误， B正确．
可求得直线 ，又直线与对称轴不平行，
由 得 ，所以 ，故C错误．
设过点B的直线方程为 ，与抛物线在第一象限交于 两点，
联立
消去y并整理可得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，故D正确．
故选：BD．
5．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点，动点 在 上，
若定点 满足 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B． 周长的最小值为5
C．四边形 可能是平行四边形 D． 的最小值为
【答案】BD
【分析】首先表示出抛物线的焦点坐标与准线方程，由距离公式得到方程，即可求出 ，求出抛物线方程，
即可判断A；根据抛物线的定义判断B，求出 点坐标，即可判断C；设 ，结合数量积的坐标运
算分析求解.
【详解】对于选项A：因为抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
又点 满足 ，则 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），即抛物线 ，
所以准线方程为 ，焦点为F(1,0)，故A错误；
对于选项B：过点 作准线 的垂线，垂足为 ，
由抛物线的定义可知 ，
则 周长
，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号，
所以 周长的最小值为 ，故B正确；
对于选项C：过点 作 的平行线，交抛物线于点 ，
即 ，解得 ，即 ，
则 ，
所以四边形 不是平行四边形，故C错误；
对于选项D：设 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 ，故D正确；
故选：BD
三、填空题
6．（23-24高二下·四川德阳·期中）已知抛物线 为 上一点， ，当 最小
时，点 到坐标原点的距离为 .
【答案】【分析】由点 在抛物线上得到 符合抛物线的方程即 ，表示出 ，把 用 表示，
当 得到 ，当 时利用均值不等式得到 的最小值及等号成立条件得到此时点 的坐标
进而得到此时点 到原点的距离.
【详解】设 ，则 ，所以
，
当 时， ；
当 时， ，当且仅当 即 时取等号，所以 ，
由上可知， 取最小值时， ，所以 .
故答案为： .
7．（2024·福建福州·模拟预测）倾斜角为 的直线经过抛物线 ： 的焦点 ，且与 交于 ， 两
点， 为线段 的中点， 为 上一点，则 的最小值为 ．
【答案】8
【分析】由题意，根据给定条件，求出点 的横坐标，再借助抛物线的定义求解作答．
【详解】易知抛物线 的焦点 ，准线 ，直线 的方程为 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
不妨设 , ， , ，
由韦达定理得 ，
此时线段 的中点 的横坐标 ，
过 作准线 的垂线，垂足为 ，过 作准线 的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义可得
取得的最小值为8．
故答案为：8．
8．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线 的焦点为 , ， 是抛物线 上关于其对称轴对称的两点，
若 ， 为坐标原点，则点 的横坐标为 .
【答案】 /
【分析】由题可知， ，故 ，写出对应的坐标计算即可求解点 的横坐标.
【详解】
因为抛物线 的焦点为 ，则 ，
又因为 ， 是抛物线 上关于其对称轴对称的两点，
设 ，因为 ，
则 ，
所以 ，
解得 （舍）或 .即点 的横坐标为 ，
故答案为：9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 为坐标原点，矩形 的顶点A，C在抛物线 上，则顶点
B的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设A(x ,y )， ，则 ，再由 ，可得 ，进而可得答案．
1 1
【详解】如图，
设A(x ,y )， ，则 ，
1 1
依题意，四边形 为矩形，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，
则 ，
所以顶点 的轨迹方程为 ，
故答案为: ．
10．（2024·河北·模拟预测）抛物线 上的动点 到直线 的距离最短时， 到 的焦点距
离为 .
【答案】2
【分析】设 ，求出P到直线距离，结合绝对值变形后配方可得最小值,最后求出P到C的焦点距
离即可．
【详解】设 ，则点 到直线 的距离为
,
当 ，即当 时，抛物线 上一点到直线 的距离最短，P到C的焦点距离为 .
故答案为：2．
1．（2024·天津·高考真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲线
的交点，则原点到直线 的距离为 ．
4
【答案】 /0.8
5
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求 及 的方程，从而可求原点
到直线 的距离.
【详解】圆 的圆心为 ，故 即 ，
由 可得 ，故 或 （舍），
故 ，故直线 即 或 ，
故原点到直线 的距离为 ，
故答案为：
2．（2023·全国·高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为 .
【答案】
【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为 ，最后利
用点的坐标和准线方程计算点 到 的准线的距离即可.
【详解】由题意可得： ，则 ，抛物线的方程为 ，
准线方程为 ，点 到 的准线的距离为 .
故答案为： .
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且
与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得 ，根据弦长公式求得 ，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答
案.
【详解】A选项：直线 过点 ，所以抛物线 的焦点 ，
所以 ，则A选项正确，且抛物线 的方程为 .
B选项：设 ，
由 消去 并化简得 ，
解得 ，所以 ，B选项错误.
C选项：设 的中点为 ， 到直线 的距离分别为 ，
因为 ，
即 到直线 的距离等于 的一半，所以以 为直径的圆与直线 相切，C选项正确.
D选项：直线 ，即 ，
到直线 的距离为 ，
所以三角形 的面积为 ，
由上述分析可知 ，
所以 ，
所以三角形 不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.4．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点 的横坐标，进而求得点 坐标，即可
得到答案.
【详解】由题意得， ，则 ，
即点 到准线 的距离为2，所以点 的横坐标为 ，
不妨设点 在 轴上方，代入得， ，
所以 .
故选：B
5．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得 的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为 ，
其到直线 的距离： ，
解得： ( 舍去).
故选：B.6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的
直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
【答案】BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可
判断C、D.
【详解】将点 的代入抛物线方程得 ，所以抛物线方程为 ，故准线方程为 ，A错误；
，所以直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故B正确；
设过 的直线为 ，若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，
所以，直线 的斜率存在，设其方程为 ， ，
联立 ，得 ，
所以 ，所以 或 ， ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，
所以 ，而 ，故D正确.
故选：BCD
7．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B
两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．
【答案】ACD
3p √6p
【分析】由 及抛物线方程求得A( , )，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线
4 2p √6p
的方程，联立抛物线求得B( ,− )，即可求出 判断B选项；由抛物线的定义求出 即可
3 3
判断C选项；由⃑OA⋅⃑OB<0，⃑MA⋅⃑MB<0求得 ， 为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得 ，由 可得点 在 的垂直平分线上，则 点横坐标为
，
3p √6p
代入抛物线可得 ，则A( , )，则直线 的斜率为 ，A正确；
4 2
1 p
对于B，由斜率为 可得直线 的方程为x= y+ ，联立抛物线方程得 ，
2 √6 2
设 ，则 ，则 ，代入抛物线得 ，解得 ，则
p √6p
B( ,− )，
3 3
则 ，B错误；
对于C，由抛物线定义知： ，C正确；
3p √6p p √6p 3p p √6p ( √6p) 3p2
对于D，⃑OA⋅⃑OB=( , )⋅( ,− )= ⋅ + ⋅ − =− <0，则 为钝
4 2 3 3 4 3 2 3 4
角，
p √6p 2p √6p p ( 2p) √6p ( √6p) 5p2
又⃑MA⋅⃑MB=(− , )⋅(− ,− )=− ⋅ − + ⋅ − =− <0，则
4 2 3 3 4 3 2 3 6
为钝角，
又 ，则 ，D正确.
故选：ACD.8．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 .若
，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
【答案】 5
【分析】根据焦半径公式可求 的横坐标，求出纵坐标后可求 .
【详解】因为抛物线的方程为 ，故 且 .
因为 ， ，解得 ，故 ，
所以 ，
故答案为：5； .
9．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
【答案】
【分析】先用坐标表示 ，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得 ，即得结果.
【详解】抛物线 ： ( )的焦点 ,
∵P为 上一点， 与 轴垂直，
所以P的横坐标为 ，代入抛物线方程求得P的纵坐标为 ,
不妨设 ,
因为Q为 轴上一点，且 ，所以Q在F的右侧，
又 ，因为 ，所以 ,
，
所以 的准线方程为
故答案为： .
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
10．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y
轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解得 .
故选：C.
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.
11．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过
作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
【答案】B
【分析】依据题意不妨作出焦点在 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可
知，线段 的垂直平分线经过点 ，即求解.
【详解】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到F,Q的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知， ，
所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
