文档内容
第 07 讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难
度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和
线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融
合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学
的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo相似
而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解
1. 奔驰定理
如图，已知P为 内一点，则有 .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2. 奔驰定理的证明
如图：延长 与 边相交于点
则
3. 奔驰定理的推论及四心问题
推论 是 内的一点,且 ,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点 在 内部，有以下四个推论：
①若 为 的重心，则 ；
②若 为 的外心，则 ；或
③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则
也对.
④若 为 的垂心，则 ，或
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用
平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数
形结合的数学思想.
考点一、 奔驰定理与四心问题综合
1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且
，则点O，N，P依次是 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
【答案】C
【详解】试题分析：因为 ，所以 到定点 的距离相等，所以 为 的外心，由
，则 ，取 的中点 ，则 ，所以 ，所
以 是 的重心；由 ，得 ，即 ，所以 ，
同理 ，所以点 为 的垂心，故选C.
考点：向量在几何中的应用.2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】根据 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，可知
点轨迹，据此可求解.
【详解】 ，
令 ，
则 是以 为始点，向量 与 为邻边的菱形的对角线对应的向量，
即 在 的平分线上，
， 共线，
故点P的轨迹一定通过△ABC的内心，
故选：B
3．设 是 所在平面内的一点,若 且 .则点 是 的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【详解】由 ，得 ，
即 ，
所以 ，
设D为AB的中点，则 ，故 ；
因为 ，
所以 ，
所以 ，
设BC的中点为E，同上可知 ，
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点．所以P是 的外心．选A．
【点睛】三角形“四心”的向量表示
①在 中，若 或 ，则点 是 的外心；
②在 中，若 ，则点 是 的重心；
③在 中，若 ，则直线 过 的重心；
④在 中，若 ，则点 是 的垂心；
⑤在 中，若 ，则直线 通过 的内心．
4．已知点 是 所在平面内一点，且满足 ，则直线 必经过
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【解析】两边同乘以向量 ，利用向量的数量积运算可求得 从而得到结论．
【详解】
两边同乘以向量 ,得
即点P在BC边的高线上，所以P的轨迹过 ABC的垂心，
故选D.
△
【点睛】本题考查平面向量数量积的运算、向量的线性运算性质及其几何意义，属中档题．
5．设 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足
， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【详解】试题分析： , ,, ,
则动点 的轨迹一定通过 的垂心．故C正确．
考点：1向量的加减法;2数量积;3向量垂直．
1．若 是 内一点，且 ，则 为 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
【答案】A
【分析】根据条件，可得 ，即 ， ，从而可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
即 ，
则 ， ，
即 是三条高线的交点，为 的垂心.
故选：A.
2．已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 ，则点 是
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，以 ， 为邻边作平行四边形
，即可得到四边形 是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到 ， ， 三点共
线，即可得到 在 的平分线上，同理说明可得 在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在 ， 上分别取点 ， ，使得 ， ，则 ．
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图，则四边形 是菱形，且 ．
为 的平分线．
，
即 ，
．
， ， 三点共线，即 在 的平分线上．
同理可得 在其它两角的平分线上，
是 的内心．
故选：B．
3．已知点O为 所在平面内一点，在 中，满足 ， ，则点O为
该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【答案】B
【分析】由 ，利用数量积的定义得到 ，从而得到点O在边AB的
中垂线上，同理得到点O在边AC的中垂线上判断.
【详解】解：根据题意， ，即 ，
所以 ，则向量 在向量 上的投影为 的一半，
所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，
所以点O为该三角形的外心．
故选：B．
4．已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面 内一动点，若 ，
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
【答案】B
【分析】设出 的中点 ，利用向量的运算法则化简 ； 据向量共线的充要条件得到
在三角形的中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ，则 ．又 ，
，即 ．
又 ，
点在射线 上．
故 的轨迹过 的重心．
故选：B．
5．在平面上有 及内一点O满足关系式： 即称为经典的“奔驰
定理”，若 的三边为a，b，c，现有 则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】利用三角形面积公式，推出点O到三边距离相等。
【详解】记点O到AB、BC、CA的距离分别为 ， ， ， ，
因为 ，则 ，即
，又因为 ，所以 ，所以点P是△ABC的内
心.
故选：B
6．已知G，O，H在 所在平面内，满足 ， ，
，则点G，O，H依次为 的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
【答案】C
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
设AB的中点D，则 ，所以 ，
所以C，G，D三点共线，即G为 的中线CD上的点，且 ，
所以G为 的重心．
因为 ，所以 ，所以O为 的外心；
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，同理可得： ， ，所以H为 的垂心.
故选：C.
考点二、 奔驰定理与其他问题综合
1．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若 是锐角 内的一
点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 ，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C【分析】利用已知条件得到 为垂心，再根据四边形内角为 及对顶角相等，得到 ，再根
据数量积的定义、投影的定义、比例关系得到 ，进而求出 的
值，最后再结合“奔驰定理”得到答案.
【详解】如图，因为 ，
所以 ，同理 ， ，
所以 为 的垂心。
因为四边形 的对角互补，所以 ，
．
同理， ，
，
．
，
．
又
．
由奔驰定理得 .
故选C．
【点睛】本题考查平面向量新定义，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解过程中要注意连比式子的变
形运用，属于难题.
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰
定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是 内一点，的面积分别为 ，且 ．以下命题正确的有
（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
【答案】ABC
【分析】对于A，根据已知条件及奔驰定理，结合三角形重心的性质即可求解；
对于B，根据三角形内心的性质及三角形的面积公式，结合奔驰定理即可求解；
对于C，利用三角形外心的定义及向量的线性运算即可求解；
对于D，利用三角形的垂心的定义及三角形的面积公式，结合奔驰定理及锐角三角函数即可求解.
【详解】对于A，取 的中点 ，连接 ,如图所示
由 ，则 ，
所以 ，
所以 三点共线，且 ，
设 分别为 得中点，同理可得 ，
所以 为 的重心，故A正确；
对于B， 由 为 的内心，则可设内切圆半径为 ，如图所示则 ，
所以 ，
即 ，故B正确；
对于C ，如图所示
因为 为 的外心，
所以 ,
所以 ，即 ，即 ,
所以 ,
同理可得，
所以 ，故C正确；
对于D，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，延长 交 于点 ，如图所示，
由 为 的垂心， ，则 ，
又 ，则 ，
设 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：根据奔驰定理及三角形的面积公式，结合三角形的四心的定义及性质即可.
1．奔驰定理：已知点O是 内的一点，若 的面积分别记为 ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是 的垂心，且
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延长 交 于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得
，再利用 和 可得
，不妨设 ，利用
可求出 的值，从而可求出 的值.
【详解】延长 交 于点P，
是 的垂心， ，
．
同理可得 ， ．
又 ，．
又 ，
．
不妨设 ，其中 ．
，
，解得 ．
当 时，此时 ，则A，B，C都是钝角，不合题意，舍掉．
故 ，则 ，故C为锐角，
∴ ，解得 ，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用
垂心的性质得 ，再结合已知条件得 ，设
，再利用两角和的正切公式可得 ，从而可求得结果，考查计算能力和转化
思想，属于较难题.
2．（多选）如图. 为 内任意一点，角 的对边分别为 ，总有优美等式
成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（ ）
A．若 是 的重心，则有
B．若 成立，则 是 的内心C．若 ，则
D．若 是 的外心， ， ，则
【答案】AB
【分析】对于A：利用重心的性质 ，代入 即可；
对于B：利用三角形的面积公式结合 与 可知点 到
的距离相等.
对于C：利用 将 表示出来，代入 ，化简即可表示出
的关系式，用 将 表示出来即可得处其比值.
对于D：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将 两边平方，化简可得 ，结
合 的取值范围可得出答案.
【详解】对于A：如图所示：因为 分别为 的中点，
所以 ， ，
同理可得 、 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .正确；
对于B：记点 到 的距离分别为 ， ，
因为 ，
则 ，
即 ，
又因为 ，所以 ，所以点 是 的内心，正确；对于C：因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简得： ，
又因为 不共线，
所以 ，所以 ，
所以 ，错误；
对于D：因为 是 的外心， ，所以 , ，
所以 ，
因为 ，则 ，
化简得： ，由题意知 同时为负，
记 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，错误.
故答案为：AB.
6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是 ABC内一点，
BOC， AOC， AOB的面积分别为 ， ， ，且 ．设△O是锐角 ABC
△内的一点△，∠BAC△，∠ABC，∠ACB分别是的 ABC三个内角，以下命题正确的有（ ） △
△A．若 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若O为 ABC的内心， ，则
△
D．若O为 ABC的垂心， ，则
△
【答案】ACD
【分析】对A，由奔驰定理即可判断；
对B，由面积公式求出 ，结合奔驰定理即可求；
对C，由奔驰定理，结合内心性质可得 ，即可得 ；
对D，由垂心性质及向量数量积的垂直表示可得 ，
结合奔驰定理结合三角形面积公式，可得 ，
如图所示 分别为垂足，可设 ， ，即可由几何关系列式
解出 ，最后由正切求出余弦值 ，则由 可求
【详解】对A，由奔驰定理可得， ，又 不共线，
故 ，A对；
对B， ，由 得 ，故 ，B
错；
对C，若O为 ABC的内心， ，则 ，又
△
（ 为内切圆半径），三边满足勾股定律，故 ，C对；
对D，若O为 ABC的垂心，则 ， ，
△
又 ，
同理 ，∴ ，∵ ，则 ，
且
如图， 分别为垂足，
设 ， ，则 ，
又 ，故 ，
由 ，解得 ，
由 ，故 ，D对故选：ACD
一、单选题
1．在 中，动点P满足 ，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【分析】由 变形得 ，设 的中点为 ，推出 ，点P在线
段AB的中垂线上，再根据外心的性质可得答案.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，设 的中点为 ，则 ，则 ，
所以 ，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过 的外心.
故选：A
2．若O，M，N在 所在平面内，满足 ，且
，则点O，M，N依次为 的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
【答案】D
【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即可判断出答案．
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以O为 的外心；
因为 ，
所以 （ ）＝0，
即 ＝0，所以MB⊥AC，
同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB，
所以M为 的垂心；
因为 ，
所以 ，设AB的中点D，则 ，
所以 ，
所以C，N，D三点共线，即N为 的中线CD上的点，且 ，
所以N为△ABC的重心．
故选：D．
3．已知O为 内一点，若分别满足① ；② ；③
；④ (其中 为 中，角 所对的边).则O依次是
的
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
【答案】B
【解析】对①，易得点O到点 的距离相等即可判断.
对②，根据向量的数量积运算可求得 ， ， 即可判断.
对③，根据重心的性质与数量积的运算判断即可.
对④，根据平面向量的线性运算可得 ，进而可知 在 三个角的角平分线
上即可证明.
【详解】对于①，因为① ，
所以点O到点 的距离相等，
即点O为 的外心;
对于②，因为 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，同理 ，
即点O为 的垂心;
对于③，因为 ，
所以 ，
设D为 的中点，则 ，
即点O为 的重心;
对于④，因为 ，
故 ，整理得 .又 ，
所以 .因为 分别为 ， 方向的单位向量，故 与 的角平
分线共线.同理 与 的角平分线共线， 与 的角平分线共线.故点O为 的内心.
故选：B
【点睛】本题主要考查了根据根据平面向量的关系分析三角形四心的问题，需要根据题意结合四心的性质，
利用平面向量的运算以及性质求证.属于中档题.
4．给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】A
【分析】设 为△ABC的重心， 是平面上的任一点，则得到
，即可得到结论.
【详解】设 为△ABC的重心， 是平面上的任一点，
则
当且仅当 即 与 重合时， 到A，B，C三点距离的平方和最小，
∴平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的重心.
故选：A.
5．若 为 所在平面内一点，且 则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】D
【分析】由 得到 ，从而得到 ，
同理证明即可.
【详解】 ，
得 ，即 ；，
得 ，即 ；
，
，即 ，所以 为 的垂心.
故选：D.
6．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足 ，其
中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【分析】取线段 的中点 ，则 ，依题可得 ，即可得答案.
【详解】取线段 的中点 ，则 .
动点 满足： ， ，
则 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 三点共线，即点 的轨迹是直线 ，
一定通过 的重心.
故选：A.
7．平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ， ， 的面积分别记作 ，
， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车的 很相似，常把上述结论称为“奔
驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 ，则O为
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B【分析】根据平面向量基本定理可得 ， ，延长 交 于 ，延长 交 于 ，根据面
积比推出 ，结合角平分线定理推出 为 的平分线，同理推出 是 的平分线，
根据内心的定义可得答案.
【详解】由 得 ，
由 得 ，
根据平面向量基本定理可得 ， ，
所以 ， ，
延长 交 于 ，延长 交 于 ，
则 ，又 ，所以 ，
所以 为 的平分线，
同理可得 是 的平分线，
所以 为 的内心.
故选：B
8．已知点 在平面 中，且 ，则
点 是 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
【答案】D
【分析】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.由题意得， ，
， .根据数量积的定义，化简这3个等式，即得点 的位置.【详解】由数量积的定义可知，两向量的数量积是一个实数.
，
， ， .
当 时，
如图所示
即 ，
，
点 在 的内角 的角平分线上.
同理，点 在 的内角 的角平分线上，点 在 的内角 的角平分线上.
点 是 的内心.
故选： .
【点睛】本题考查向量的数量积，属于中档题.
9．奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积分别记为 、 、 ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且
，则 ( )A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由O是垂心，可得 ，结合 可得
，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解.
【详解】∵ 是 的垂心，延长 交 与点 ，
∴
，
同理可得 ，∴ ： ，
又 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
不妨设 ，其中 ，
∵ ，
∴ ，解得 或 ，
当 时，此时 ，则 都是钝角，则 ，矛盾.
故 ，则 ，∴ 是锐角， ，
于是 ，解得 .
故选：A.
10．已知O是 所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若 （其中P是 所在平面内任意一点），则O点是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】B
【分析】将所给向量表达式进行变形,表示成 与 方向上的单位向量的形式,由向量加法运算的性质即
可知O在角平分线上,即可得解.
【详解】因为
则 ,即
移项可得
即
则
因为
所以
化简可得 ,即
设 为 方向上的单位向量, 为 方向上的单位向量
所以 ,
则
所以
则 在 的角平分线上
同理可知 在 的角平分线上
因而 为 的内心
故选:B
【点睛】本题考查了向量线性运算的化简及应用,三角形内心的向量表示形式,化简过程较为复杂,属于中档
题.
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车
标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是 ABC内的一点， BOC， AOC，
AOB的面积分别为 、 、 ，则有 △，设O是锐角 A△BC内的一△点，
△∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是 ABC的三个内角，以下命题错误的是（ ） △
△A．若 ，则O为 ABC的重心
B．若 ，则 △
C．则O为 ABC（不为直角三角形）的垂心，则
△
D．若 ， ， ，则
【答案】D
【分析】对于A，假设 为 的中点，连接 ，由已知得 在中线 上，同理可得 在其它中线上，
即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，由垂心的性质、向量数量积的运算律
，得到 ，结合三角形面积
公式及角的互补关系得结论，可判断C正确；选项D，根据奔驰定理可得 ，再利用三角
形面积公式可求得 ，即可计算出 ，可得D错误；
【详解】对于A：如下图所示，
假设 为 的中点，连接 ，则 ，故 共线，即 在中线 上，
同理可得 在另外两边 的中线上，故O为 的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是 内的一点， 的面积分别为 ，
则有 可知，
若 ，可得 ，即B正确；
对于C：由四边形内角和可知， ，则 ，
同理， ，因为O为 的垂心，则 ，
所以 ，同理得 ，
，
则 ，
令 ，
由 ，则 ，
同理： ，
，
综上， ，
根据奔驰定理得 ，即C正确.
对于D：由 可知， ，
又 ，所以
由 可得， ；
所以 ，即D错误；
故选：D.
【点睛】关键点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和
奔驰定理判断结论即可.
二、多选题
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是 内的一点，
， ， 的面积分别为 ， ， ，则 .若O是锐角 内
的一点，A，B，C是 的三个内角，且点O满足 .则（ ）A．O为 的外心 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】由 确定出点O是三角形的垂心，判断A；利用直角三角形角的关系、
边角关系计算判断B，C；由直角三角形边角关系计算判断D作答.
【详解】依题意， ，
同理OA⊥CB，OC⊥AB，则O为 的垂心，A错误；
如图，直线 分别交AB，AC于P，Q，由选项A知， ，
， ，则 ，
又 ，即有 ，又 ，
因此 ，B正确；
由选项B知， ，同理 ，
，
同理可得 ，因此 ，C正确；
，
同理可得 ，所以 ，D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：涉及直角三角形锐角的三角函数，合理利用直角三角形中边的比表示是解题的关键.
13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面
积分别为 ，则有 .设 是锐角 内的一点， ， ，
分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 为 的垂心，则
【答案】ABD
【分析】对于A，假设 为 的中点，连接 ，由已知得 在中线 上，同理可得 在其它中线上，
即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B正确；对于C，根据奔驰定理可得 ，
再利用三角形面积公式可求得 ，即可计算出 ，可得C错误；选项D，由垂心的性质、向量
数量积的运算律 ，得到 ，
结合三角形面积公式及角的互补关系得结论.
【详解】对于A：如下图所示，
假设 为 的中点，连接 ，则 ，故 共线，即 在中线 上，
同理可得 在另外两边 的中线上，故O为 的重心，即A正确；
对于B：由奔驰定理O是 内的一点， 的面积分别为 ，
则有 可知，
若 ，可得 ，即B正确；
对于C：由 ， 可知 ，
又 ，所以 ，由 可得 ；
所以 ，即C错误；
对于D：由四边形内角和可知， ，
则 ，
同理 ，
因为O为 的垂心，则 ，
所以 ，
同理得 ， ，
则 ，
令 ，
由 ，
则 ，
同理： ，
，
综上， ，
根据奔驰定理得 ，即D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式
和奔驰定理判断结论即可.
14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三
角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 内一点，
， ， 的面积分别为 ， ， ，且 ．以下命题正确的
是（ ）A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若 ， ，M为 的外心，则
D．若M为 的垂心， ，则
【答案】ABD
【分析】A选项，作出辅助线，得到 ，故 ，同理得到 ，
，所以M为 的重心，故A项正确；B选项，设内切圆半径为r，得到 ，
， ，代入公式得到 ；C选项，设 的外接圆半
径为R，表达出 ， ， ，从而得到答案；D选项，求出 ，设
， ，由面积比得到 ， ，由三角函数值得到方程，得到 ，
同理得到 ，利用 求出答案.
【详解】对于A，取BC的中点Q，连接MQ，
由 ，则 ，
所以 ，
所以A，M，Q三点共线，且 ，
设R，T分别为AB，AC的中点，同理可得 ， ，
所以M为 的重心，故A项正确；
对于B，由M为 的内心，设内切圆半径为r，则有 ， ， ，
所以 ，
即 ，故B项正确；
对于C，由M为 的外心，设 的外接圆半径为R，
又因为 ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
，
，
所以 ，故C错误；
对于D，延长AM交BC于点D，延长BO交AC于点F，延长CO交AB于点E，
由M为 的垂心， ，则 ，又 ，则 ， ，
设 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，同理 ，
故 ， ，
∴
，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】结论点睛：点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的重心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的垂心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的外心，
点 为 所在平面内的点，且 ，则点 为 的内心，
15．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若 、 是锐角 内的
点， 、 、 是 的三个内角，且满足 ， ，则
（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】ABCD
【分析】 变形后表示为 ，再由奔驰定理得出向量 的关系，
利用平面向量基本定理判断A，利用数量积的运算，变形后证明 是 的重心，由平面几何知识判断
B，利用数量积的定义表示已知数量积的等式，结合选项B的结论可证明C，求出 的
面积，利用选项B的结论转化，再利用选项C的结论可得面积比，然后结合奔驰定理可判断D．
【详解】因为 ，所以 ，即 ，所以
，
又由奔驰定理 得 ，
因为 不共线，所以 ，
所以 ，A正确；
延长 分别与对边交于点 ，如图，
由 得 ，所以 ，同理 ，所以 是
的垂心，
所以四边形 中 ， ，所以 ，B正确；
由 得 ，
所以 ，
由选项B得 ， ， ，
所以 ，C正确；
由上讨论知，
，，
所以 ，
又由选项C： ，
得 ，
由奔驰定理： 得 ，D正确．
故选：ABCD．
【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查学生的创新能力，理
解新知识、应用新知识的能力．解题关键一是利用平面向量基本定理知用基底表示平面上任一向量的方法
是唯一的，由此可得等量关系，二是利用数量积的运算得出 是三角形的垂心，由此利用平面几何知识得
出角的关系，再利用三角函数知识进行推导得出相应结论．
三、填空题
16．在面上有 及内一点 满足关系式： 即称为经典的“奔驰定
理”，若 的三边为 ， ， ，现有 ，则 为 的 心.
【答案】内
【分析】利用平面向量的线性运算得到 ，再利用三角形内心的性质求解即可．
【详解】 ， ，
，
，
， 分别是 ， 方向上的单位向量，向量 平分 ，即 平分 ，同理 平分 ，
为 的内心，
故答案为：内
17．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定经过 的 ．(从“重
心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
【答案】外心
【分析】 为 中点，连接 ，计算 ， ，得到
，得到答案.
【详解】如图所示： 为 中点，连接 ，
，
，故 ，
即 ，故 的轨迹一定经过 的外心.
故答案为：外心
18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是 的重心，则有 ；
②若 成立，则P是 的内心；
③若 ，则 ；
④若P是 的外心， ， ，则 ；
⑤若 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，O为 内的一点且为内心.若
，则 的最大值为 .则正确的命题有 .（填序号）
【答案】①②④⑤
【分析】根据已知可推得 ，根据“奔驰定理”即可得出①；记点P到AB，BC，CA的
距离分别为 ， ， ，根据“奔驰定理”得出 ，进而结合已知即可得出
②；根据平面向量基本定理表示出 ，根据“奔驰定理”化简，结合 ， 不共线，即可推得
③错误；根据已知得出 ，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得
.然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围.
【详解】对于①：如图所示，因为D，E，F分别为CA，AB，BC的中点，
所以 ， ， ，
同理可得 ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，故①正确；
对于②：记点P到AB，BC，CA的距离分别为 ， ， ，
则 ， ， ，
因为 ，则 ，
即 .
又因为 ，
所以 ，所以点P是 的内心，故②正确；
对于③：因为 ，
所以 ， ， ，
所以，
化简得 ，
又因为 ， 不共线，
所以 ，即 ，
所以， ，故③错误；
对于④：因为P是 的外心， ，
所以 ， ， .
因为 ，
则 ，
化简得 .
由题意知m，n不同时为正.记 ， ，
则 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故④正确；
对于⑤：∵O为 的内心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ， ，
∴ .
∵ (当且仅当
时取等号)，
∴ ，∴ ，
∴ (当且仅当 时取等号)，
∴ 的最大值为 ，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
19． 年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，
而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知 为
内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则有 ，我们
称之为“奔驰定理”（图二）.已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， 为 内
的一点且为内心.若 ，则 的最大值为 .
【答案】 / .
【分析】根据内心特点可知 ，利用向量线性运算进行转化可求得 ，
，则 ；利用余弦定理和基本不等式可求得 ，由此可得 的最大值.
【详解】 为 的内心， ， ，
，， ，
即 ， ， ；
（当且仅当
时取等号），
， ， （当且仅当 时取等号），
的最大值为 .
故答案为： .
20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与
三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 是 内一点，
的面积分别为 ，则有 .已知 为 的内心，且
，若 ，则 的最大值为 .
【答案】
【分析】利用 为 的内心，再结合奔驰定理可得 ，再由已知条件转化可得
，利用平面向量基本定理可知 ，从而得到
，再由 ，可得 ，利用均值不等式可得
，最后可得 .【详解】因为 的内心 到该三角形三边的距离相等，则 ，
由 可得 ，所以 ，
又 ，
则 ，所以 ，
两式相加可得 ，化简可得 ，
又 ，由余弦定理可得 ，
由基本不等式可得 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用奔驰定理得到 ，再结合余弦定理和基本不等式即
可得到 ，最后即可得到 的最大值.
