文档内容
第 07 讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：离散型随机变量....................................................................................................................2
题型二：求离散型随机变量的分布列................................................................................................2
题型三：离散型随机变量的分布列的性质........................................................................................3
题型四：离散型随机变量的均值........................................................................................................3
题型五：离散型随机变量的方差........................................................................................................4
题型六：决策问题................................................................................................................................4
02 重难创新练......................................................................................................................................6
03 真题实战练....................................................................................................................................10题型一：离散型随机变量
1．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ）
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用 表示甲的得分，则
表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢两局
C．甲、乙平局两次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( )
A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品
D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品
4．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数 ；
②一个沿直线 进行随机运动的质点离坐标原点的距离 ；
③某同学射击3次，命中的次数 ；
④某电子元件的寿命 ；
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
题型二：求离散型随机变量的分布列
5．从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有 个红球，则随机变量 的概率分布为：
．
0 1 26．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行
时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列为 ．
题型三：离散型随机变量的分布列的性质
7．（2023·全国·高三专题练习）设随机变量 的分布列 ，则 .
8．已知随机变量X的可能取值是 ，已知 （其中 ），又 ，则
．
9．（2024·高三·上海·单元测试）设随机变量 可能的取值为 ， ．又
的期望 ，则 ．
题型四：离散型随机变量的均值
10．在 维空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .定义：在 维空间中两点 与 的曼哈顿
距离为 .在 维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记随机变量 为所
取两点间的曼哈顿距离，则 .
11．在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”
线性相关.根据统计得下表：
月份 1 2 3 4 5 6
销量 4
10 19 31 55 68
5
(1)根据往年的统计得，当年的月份 与销量 满足回归方程 .请预测当年7月份该品牌的空调可
以销售多少台？
(2)该销售商从当年的前6个月中随机选取2个月，记 为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求
的分布列和数学期望12．袋中有大小完全相同的7个白球，3个黑球.
(1)若甲一次性抽取4个球，求甲至少抽到2个黑球的概率；
(2)若乙共抽取4次，每次抽取1个球，记录好球的颜色后再放回袋子中，等待下次抽取，且规定抽到白球
得10分，抽到黑球得20分，求乙总得分X的分布列和数学期望.
题型五：离散型随机变量的方差
13．（2024·高三·上海·开学考试）已知随机变量 的方差 ，则随机变量 的方差
14．（2024·吉林·模拟预测）已知随机变量 ，满足 ，则 .
15．（2024·湖南长沙·三模）开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难
的重要举措 是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程. 某校为 确保
学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支 持情况，对学生进行
简单随机抽样，获得数据如表:
男 女
支持方案
24 16
一
支持方案
25 35
二
假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支 持相互独立.
(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设 为抽出两人中女生的个数，求 的分
布列与数学期望;
(2)在(1)中 表示抽出两人中男生的个数，试判断方差 与 的大小.
题型六：决策问题
16．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，在购买机器时，可以一次性额外购买几次
维修服务，每次维修服务费用300元，另外，实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次60元．在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修费用720元，无
需支付小费．现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，根据大数据统计显示，每台机器在
三年使用期内的维修次数可能是4次，5次或6次，其概率分别是 ， ， ．记X表示2台机器在三年使
用期内的维修次数，n表示购买2台机器时，一次性购买的维修服务次数．
(1)求X的分布列；
(2)以机器维修所需费用的期望值为决策依据，在 和 之中选取其一，应选用哪个？
17．（2024·四川泸州·二模）强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环
节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲
大学，每门科目通过的概率均为 ；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为 ， ，m，其中
．
(1)若 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，
当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m的取值范围．
18．（2024·河南郑州·三模）据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进
入面试环节．已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立．若
某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为 ，若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依
次为 ， ， ，其中 ．
(1)若 ，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好有一门科目达到优秀的概率；
(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中达到优秀科目个数的期望为依据作出决
策，该考生更希望进入甲大学的面试环节，求 的范围．1．（2024·高三·山东济南·开学考试）设 ，随机变量 取值 的概率均为
，随机变量 取值 的概率也均为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布 ，质量指标大于或等于20的产品为优等
品，且优等品出现的概率为 ，现从该批产品中随机抽取6件，用 表示这6件产品的质量指标不在区
间 的产品件数，则 （ ）
A．0.96 B．0.48 C．1.2 D．2.4
3．为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球
和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值 百元代金券；摸到两白球，
可获得价值 百元代金券；摸到两红球，可获得价值 百元代金券（ 均为整数）.已知每位员工平均可
得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（ ）百元代金券
A．5.4 B．9 C．12 D．18
4．（2024·高三·江苏苏州·开学考试）在备战巴黎奥运会期间，教练组举办羽毛球训练比赛，派出甲、乙
两名单打主力，为了提高两名主力的能力，教练安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人
每轮分别与陪练打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关．已知甲、乙
两人每局获胜的概率分别为 ， ，且满足 ，每局之间相互独立．记甲、乙在 轮训练中训练过
关的轮数为 ，若 ，则从期望的角度来看，甲、乙两人训练的轮数至少为 （ ）
A．32 B．31 C．28 D．27
5．若随机变量X的分布列如下表所示，且 ，则表中a的值为（ ）
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A． B．7 C．5.61 D．6.61
6．（2024·高三·浙江·开学考试）已知随机变量 的分布列如下表所示，则 （ ）1 2 3
A． B． C． D．
7．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里有5个白
球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出 个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出一个
球，记取到的白球的个数为 ，则当 变大时（ ）
A． 变小 B． 先变小再变大
C． 变大 D． 先变大再变小
8．已知随机变量 的分布列为
a b
P b a
则下列说法不正确的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
9．（多选题）离散型随机变量 的分布列如下表所示， 是非零实数，则下列说法正确的是（ ）
2024 2025
A． B． 服从两点分布
C． D．
10．（多选题）（2024·海南·模拟预测）某电子展厅为了吸引流量，举办了一场电子竞技比赛，甲、乙两
人入围决赛，决赛采用 局 胜的赛制，其中 ，即先赢 局者获得最终冠军，比赛结束.已
知甲每局比赛获胜的概率为 ，且各局比赛结果相互独立，则（ ）
A．若 ， ，则甲最终获胜的概率为
B．若 ， ，记决赛进行了 局，则
C．若 ， ，记决赛进行了 局，则D．若 比 时对甲更有利，则
11．（多选题）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3
名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（多选题）已知随机变量X，Y，其中 ，已知随机变量X的分布列如下表
X 1 2 3 4 5
p m n
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知随机变量 的分布列为
0 1
若 ，且 ，则 ．
14．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给
出下列各项：① ；② ；③ ;④ ．其中正确的
是 ．（填上所有正确结论的序号）
15．已知随机变量X的分布为
1 2 3
则 的最大值为 ．
16．抛掷一颗质地均匀的骰子，设 表示掷出的点数，则 .
17．一个袋子里装有除颜色以外完全相同的白球和黑球共10个，其中白球有4个，黑球有6个.
(1)若有放回地从袋中随机摸出3个球，求恰好摸到2个黑球的概率；
(2)若不放回地从袋中随机摸出2个球，用 表示摸出的黑球个数，求 的分布列和期望与方差.18．（2024·甘肃张掖·三模）春节期间电影院上映5部影片：贺岁片有《第20条》，《飞驰人生》和《热
辣滚烫》，往期电影《满江红》，《流浪地球2》.妈妈有4张电影票给了姐姐和弟弟每人2张，让他们自
己选择看哪2部电影.
(1)求姐姐恰好看了2部贺岁片的概率；
(2)求姐弟两人观看贺岁片的部数的分布列和数学期望.
19．北京冬奥会过后，迎来了一股滑雪运动的热潮，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：
滑雪时间不超过 免费，超过 的部分每小时收费标准为40元（不足 的部分按 计算）．有甲、乙两
人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过 离开的概率分别为 ， ； 以上且不超过 离开的
概率分别为 ， ；两人滑雪时间都不会超过3h．设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量 ，求
的分布列与均值 、方差 ．
20．某市 ， 两所中学的学生组队参加信息联赛， 中学推荐了3名男生、2名女生. 中学推荐了3名
男生、4名女生.两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取
3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.
(1)求 中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)设 表示 中学参赛的男生人数，求 的分布列和数学期望；
(3)已知3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，3名女生的比赛成绩分别为77， ，81，若3名
男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出 的取值范围（不要求过程）.1．（2019年浙江省高考数学试卷）设 ，则随机变量 的分布列是：
则当 在 内增大时（ ）
A． 增大 B． 减小
C． 先增大后减小 D． 先减小后增大
2．（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））设 ，随机变量 的分布列如图，则
当 在 内增大时，（ ）
A． 减小 B． 增大
C． 先减小后增大 D． 先增大后减小
3．（2020年浙江省高考数学试卷）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取
球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为 ，则 ；
．
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（上海卷））赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：
赌客先在标记有 ， ， ， ， 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随
后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金（单位：元）．若
随机变量 和 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元）．
5．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷））随机变量 的取值为0,1,2，若
， ，则 .
6．（2024年北京高考数学真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届
满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数 0 1 2 3 4
单数
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记 为一份保单的毛利润，估计 的数学期望 ；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少 ，有索赔的保单的保费增加 ，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中 估计值的大小．（结论不要求证明）
7．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具
体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；
若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未
投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概
率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若 ， ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设 ，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项
目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在
三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．9．（2022年新高考北京数学高考真题）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成
绩达到 以上（含 ）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、
乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微
生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是
相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数， ．
（1）已知 ，求 ；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：
的一个最小正实根，求证：当 时， ，当 时， ；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
11．（2021年北京市高考数学试题）在核酸检测中, “k合1” 混采核酸检测是指：先将k个人的样本混合在
一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的检测结果都为阴性，
检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，此时需对每人再进行1次检测,得到每人
的检测结果，检测结束.
现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.
（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.
(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组，求检测的总次数;
(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为 .设X是检测的总次数，求X的
分布列与数学期望E(X).
(II）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设Y是检测的总次数，试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)
12．（2021年全国新高考I卷数学试题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参
加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若
回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的
每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明
能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次
序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记 为小明的累计得分，求 的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
