文档内容
第 07 讲 立体几何中的轨迹、截面、动点、范围问题
（9 类核心考点精讲精练）
立体几何中的动点轨迹问题，是一个备受关注的重要专题，它在各级各类考试中占据一席之地，特别
是在高考中亦常有所见。此类题型不仅是检验学生空间想象能力、思维能力和创新意识的有效手段，也是
培养学生数学核心素养的重要途径。
在高考复习备考过程中，其试题常以选择、多选、填空等形式呈现，设计巧妙，注重知识间的交汇与
融合，题型新颖灵活，旨在全面考查学生的综合素质。通过此类题型，不仅能够检验学生对各部分知识间
的纵向和横向联系的掌握程度，还能够激发学生的创新意识和创新能力，渗透数学思想方法，充分体现新
课程标准的要求和数学核心素养的培育目标。
然而，由于这类问题通常涉及较为复杂的空间几何体结构特征，对于许多学生而言，确实存在一定的
挑战和难度。
知识讲解
方法点睛1：对于立体几何的综合问题的解答方法：
1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题；
2、解答方法：一般是根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；
3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定
理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；
4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否
有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
方法点睛2：立体几何中的轨迹问题：
1、由动点保持平行性求轨迹.
（1）线面平行转化为面面平行得轨迹；（2）平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.
2、动点保持垂直求轨迹.
（1）可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹；（2）利用空间坐标运算求轨迹；（3）利
用垂直关系转化为平行关系求轨迹.
3、由动点保持等距（或者定距）求轨迹.
（1）距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线的定义或者球和圆的定义等知识求解轨
迹；（2）利用空间坐标计算求轨迹.
4、由动点保持等角（或定角）求轨迹.
（1）直线与面成定角，可能是圆锥侧面；（2）直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面；（3）利用空间
坐标系计算求轨迹.
5、投影求轨迹.
（1）球的非正投影，可能是椭圆面；（2）多面体的投影，多为多边形.
6、翻折与动点求轨迹.
（1）翻折过程中寻求不变的垂直关系求轨迹；（2）翻折过程中寻求不变的长度关系求轨迹；（3）利用
空间坐标运算求轨迹.
考点一、 轨迹形状
1．（浙江·高考真题）如图，斜线段 与平面 所成的角为 ， 为斜足，平面 上的动点 满足
，则点 的轨迹是
A．直线 B．抛物线C．椭圆 D．双曲线的一支
2．（北京·高考真题）平面 的斜线 交 于点 ，过定点 的动直线 与 垂直，且交 于点 ，则
动点 的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一个圆 C．一个椭圆 D．曲线的一支
3．（北京·高考真题）如图，在正方体 中， 是侧面 内一动点，若 到直线 与
直线 的距离相等，则动点 的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆
C．双曲线 D．抛物线
4．（天津·高考真题）如图，定点A，B都在平面 内，定点 ，C是 内异于A和B的动点，
且 ，则动点C在平面 内的轨迹是（ ）
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一段弧，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
5．（重庆·高考真题）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线
的平面内的轨迹是（ ）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
6．（浙江·高考真题）如图，AB是平面 的斜线段，A为斜足，若点P在平面 内运动，使得△ABP的面
积为定值，则动点P的轨迹是
A．圆 B．椭圆
C．一条直线 D．两条平行直线7．（重庆·高考真题）若三棱锥 的侧面 内一动点P到底面 的距离与到棱 的距离相等，
则动点P的轨迹与 组成图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（北京·高考真题）如图，动点 在正方体 的对角线 上，过点 作垂直于平面
的直线，与正方体表面相交于M，N．设 ， ，则函数 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·浙江·一模）已知线段 垂直于定圆所在的平面， 是圆上的两点， 是点 在 上的射
影，当 运动，点 运动的轨迹（ ）A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形
2．（2023·云南保山·二模）已知正方体 ，Q为上底面 所在平面内的动点，当直线
与 的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
3．（2024·广东梅州·一模）如图，正四棱柱 中， ，点 是面 上的动
点，若点 到点 的距离是点 到直线 的距离的2倍，则动点 的轨迹是（ ）的一部分
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
4．（2023·全国·模拟预测）已知空间中两条直线 、 异面且垂直，平面 且 ，若点 到 、
距离相等，则点 在平面 内的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．（2023·云南文山·模拟预测）用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交
线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角 不同时，可以得到不同的截
口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．
记圆锥轴截面半顶角为 ，截口曲线形状与 ， 有如下关系：当 时，截口曲线为椭圆；当 时，
截口曲线为抛物线：当 时，截口曲线为双曲线．其中 ， ，现有一定线段AB，其与平面
所成角 （如图），B为斜足， 上一动点P满足 ，设P点在 的运动轨迹是 ，则（ ）A．当 ， 时， 是椭圆 B．当 ， 时， 是双曲线
C．当 ， 时， 是抛物线 D．当 ， 时， 是圆
6．（2024·浙江温州·一模）如图，所有棱长都为1的正三棱柱 ， ，点 是侧棱
上的动点，且 ， 为线段 上的动点，直线 平面 ，则点 的轨迹为（ ）
A．三角形（含内部） B．矩形（含内部）
C．圆柱面的一部分 D．球面的一部分
7．（2023·贵州黔西·一模）在正方体 中，点 为平面 内的一动点， 是点 到平面 的
距离， 是点 到直线 的距离，且 （ 为常数），则点 的轨迹不可能是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
考点二、 轨迹长度
1．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，M为棱 的中点，
N为底面正方形ABCD上一动点，且直线MN与底面ABCD所成的角为 ，则动点N的轨迹的长度为
．
2．（2024·四川南充·二模）三棱锥 中， ， ， 为 内部
及边界上的动点， ，则点 的轨迹长度为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）已知正四棱锥 的体积为 ，底面 的四个顶点在经过球心的
截面圆上，顶点 在球 的球面上，点 为底面 上一动点， 与 所成角为 ，则点 的轨迹长
度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖北襄阳·模拟预测）如图，二面角 的大小为 ，已知A、B是l上的两个定点，且
， ， ，AB与平面BCD所成的角为 ，若点A在平面BCD内的射影H在 的内部
（包括边界），则点H的轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西·二模）已知正方体 的棱长为4，点 满足 ，若在正方形
内有一动点 满足 平面 ，则动点 的轨迹长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
6．（2023·江西赣州·二模）在棱长为4的正方体 中，点 满足 ， ， 分别为
棱 ， 的中点，点 在正方体 的表面上运动，满足 面 ，则点 的轨迹所
构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·广西南宁·一模）在边长为4的菱形 中， ．将菱形沿对角线 折叠成大小
为 的二面角 ．若点 为 的中点， 为三棱锥 表面上的动点，且总满足
，则点 轨迹的长度为（ ）A． B． C． D．
8．（22-23高三下·江苏南京·阶段练习）如图，在矩形 中， ， ， ， ， 分别
为 ， ， ， 的中点， 与 交于点 ，现将 ， ， ， 分别沿
， ， ， 把这个矩形折成一个空间图形，使 与 重合， 与 重合，重合后的点分别记为
， ， 为 的中点，则多面体 的体积为 ；若点 是该多面体表面上的动点，满足
时，点 的轨迹长度为 ．
1．（2024·江苏·一模）在棱长为 的正方体 中，点 分别为棱 ， 的中
点．已知动点 在该正方体的表面上，且 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
2（2023·河北·模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正
四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为 ，动点Q在正方形ABCD内运动，且
满足 ，则动点Q形成轨迹的周长为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·四川成都·三模）在棱长为5的正方体 中， 是 中点，点 在正方体的内
切球的球面上运动，且 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 ， ， 分别是棱
， ， 的中点， 为平面 上的动点，且直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长
度为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·浙江绍兴·期末）已知点 是边长为1的正方体 表面上的动点，若直线
与平面 所成的角大小为 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西铜川·模拟预测）在正四棱台 中， ， ， 是四
边形 内的动点，且 ，则动点 运动轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥 中，底面 是等边三角形，侧面 是等腰直角三角形，
， 是平面 内一点，且 ，若 ，则点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·青海·模拟预测）在正四棱台 中， ，点 在底面
内，且 ，则 的轨迹长度是 .
考点三、 轨迹区域面积1．（2023·四川成都·三模）如图， 为圆柱下底面圆 的直径， 是下底面圆周上一点，已知
，圆柱的高为5．若点 在圆柱表面上运动，且满足 ，则点 的轨迹所围成图
形的面积为 ．
2．（2024·四川成都·二模）在所有棱长均相等的直四棱柱 中， ，点 在四边
形 内（含边界）运动．当 时，点 的轨迹长度为 ，则该四棱柱的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东潍坊·三模）已知正方体 的棱长为1，空间一动点 满足 ，且
，则 ，点 的轨迹围成的封闭图形的面积为 ．
4．（2023·上海·模拟预测）正方体 的边长为1，点 分别为 边的中点， 是侧
面 上动点，若直线 与面 的交点位于 内（包括边界），则所有满足要求的点 构成
的图形面积为 .
5．（2023·广西·一模）如图，在正方体 中， ，P是正方形ABCD内部（含边界）的
一个动点，则（ ）A．有且仅有一个点P，使得 B． 平面
C．若 ，则三棱锥 外接球的表面积为 D．M为 的中点，若MP与平面ABCD
所成的角为 ，则点P的轨迹长为
1．（2024·四川成都·二模）在正方体 中，点 在四边形 内（含边界）运动.当
时，点 的轨迹长度为 ，则该正方体的表面积为（ ）
A．6 B．8 C．24 D．54
2．（23-24高二上·北京平谷·期末）已知四棱锥 中，侧面 底面 ， ，
底面 是边长为 的正方形， 是四边形 及其内部的动点，且满足 ，则动点 构成的区
域面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建三明·模拟预测）已知正方体 中， ，点E为平面 内的动点，
设直线 与平面 所成的角为 ，若 ，则点E的轨迹所围成的面积为 ．
4．（2024·北京延庆·一模）已知在正方体 中， ， 是正方形 内的动点，
，则满足条件的点 构成的图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三上·江西抚州·期中）已知菱形 的各边长为 .如图所示，将 沿 折
起，使得点 到达点 的位置，连接 ，得到三棱锥 ，此时 .若 是线段 的中点，点
在三棱锥 的外接球上运动，且始终保持 则点 的轨迹的面积为 .6．（2024·四川绵阳·三模）如图，正方体 的棱长为3，点 是侧面 上的一个动点
（含边界），点 在棱 上，且 ．则下列结论不正确的是（ ）
A．若保持 ．则点 的运动轨迹长度为
B．保持 与 垂直时，点 的运动轨迹长度为
C．沿正方体的表面从点 到点 的最短路程为
D．当 在 点时，三棱锥 的外接球表面积为
考点 四 、 轨迹中长度的最值及范围
1．（2022·青海西宁·二模）在棱长为3的正方体 中，P为 内一点，若 的面积
为 ，则AP的最大值为 ．
2．（17-18高二下·山西大同·阶段练习）已知正方体的 棱长为2，点M，N分别是棱 ，
的中点，点P在平面 内，点Q在线段 上，若 ，则 长度的最小值为
.3．（23-24高三上·河北承德·期中）如图，在直三棱柱 中， ，
若 为空间一动点，且 ，则满足条件的所有点 围成的几何体的体积为 ；若动点
在侧面 内运动，且 ，则线段 长的最小值为 ．
1．（2024·江西宜春·模拟预测）如图，在四面体 中， 和 均是边长为6的等边三角形，
，则四面体 外接球的表面积为 ；点E是线段AD的中点，点F在四面体 的
外接球上运动，且始终保持EF⊥AC，则点F的轨迹的长度为 .
2．（2023·山东枣庄·二模）如图，在棱长为1的正方体 中，M是 的中点，点P是侧
面 上的动点，且． 平面 ，则线段MP长度的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
3．（2023·陕西西安·模拟预测）已知正方体 的棱长为 是正方形 （含边界）
内的动点，点 到平面 的距离等于 ，则 两点间距离的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．
考点 五 、 轨迹中体积的最值及范围
1．（2024·重庆·三模）已知棱长为1的正方体 内有一个动点M，满足 ，且
，则四棱锥 体积的最小值为 .
2．（2023·福建龙岩·二模）正方体 的棱长为2，若点M在线段 上运动，当 的周
长最小时，三棱锥 的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·山东·模拟预测）如图，正方形 和矩形 所在的平面互相垂直，点 在正方形
及其内部运动，点 在矩形 及其内部运动．设 ， ，若 ，当四面体 体积
最大时，则该四面体的内切球半径为 ．
2．（2024·山东青岛·三模）已知长方体 中， ，点 为矩形
内一动点，记二面角 的平面角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，若 ，
则三棱锥 体积的最小值为 .考点 六 、 轨迹中空间角的最值及范围
1．（2021·山东滨州·二模）在正方体 中， 是棱 的中点， 是底面 内（包括
边界）的一个动点，若 平面 ，则异面直线 与 所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江苏盐城·三模）动点 在正方体 从点 开始沿表面运动，且与平面 的
距离保持不变，则动直线 与平面 所成角正弦值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（17-18高三上·江西鹰潭·阶段练习）如图，已知平面 ， ，A、B是直线l上的两点，C、
D是平面 内的两点，且 ， ， ， ， ．P是平面 上的一动点，且直线
PD，PC与平面 所成角相等，则二面角 的余弦值的最小值是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知正方形 的边长为2， 是平面 外一点，设直线 与平面
的夹角为 ，若 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．1．（2021·湖南永州·模拟预测）已知正四面体 内接于半径为 的球 中，在平面 内有一
动点 ，且满足 ，则 的最小值是 ；直线 与直线 所成角的取值范围为 .
2．（2023·河南·模拟预测）正方体 的棱长为 ， 为 中点， 为平面 内一动
点，若平面 与平面 和平面 所成锐二面角相等，则点 到 的最短距离是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·青海西宁·开学考试）如图，正四面体 的棱长为2，点E在四面体 外侧，且
是以E为直角顶点的等腰直角三角形．现以 为轴，点E绕 旋转一周，当三棱锥E−BCD的
体积最小时，直线 与平面 所成角的正弦值的平方为（ ）
A． B． C． D．
考点 七 、 截面问题
1．（2024·江苏南京·模拟预测）已知 ，底面半径 的圆锥内接于球 ，则经过 和 中点的
平面截球 所得截面面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）在正方体 中，E，F分别为棱 ， 的中点，过直线EF
的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为 ，最大值为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东广州·二模）用两个平行平面去截球体，把球体夹在两截面之间的部分称为球台．根据祖暅原理（“幂势既同，则积不容异”），推导出球台的体积 ，其中 分别是两个
平行平面截球所得截面圆的半径， 是两个平行平面之间的距离．已知圆台 的上、下底面的圆周都在
球 的球面上，圆台 的母线与底面所成的角为 ，若圆台 上、下底面截球 所得的球台的体积
比圆台 的体积大 ，则球O的表面积 与圆台 的侧面积 的比值 的取值范围为 ．
4．（22-23高三下·湖北武汉·期中）在正四棱台 中， ，A A =2√3，M为棱
1
的中点，当正四棱台的体积最大时，平面MBD截该正四棱台的截面面积是（ ）．
A． B． C． D．
5．（2024·北京丰台·二模）“用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，
可以得到不同的截口曲线”．利用这个原理，小明在家里用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在墙上投影
出两个相同的椭圆（图1），光锥的一条母线恰好与墙面垂直．图2是一个射灯投影的直观图，圆锥 的
轴截面 是等边三角形，椭圆 所在平面为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·四川泸州·三模）已知正方体 的棱长为2，P为 的中点，过A，B，P三点作
平面 ，则该正方体的外接球被平面 截得的截面圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·云南曲靖·模拟预测）正方体 外接球的体积为 ， 、 、 分别为棱
的中点，则平面 截球的截面面积为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·广西·模拟预测）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
点 为棱 上一点，过点 作三棱锥 的截面，使截面平行于直线 和 ，当该截面面积取得
最大值时， （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知正三棱锥 的外接球是球 ，正三棱锥底边 ，
侧棱 ，点 在线段 上，且 ，过点 作球 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·重庆·三模）在三棱锥 中， 为正三角形， 为等腰直角三角形，
且 ， ，则三棱锥 的外接球 的体积为 ；若点 满足 ，过点 作球
的截面，当截面圆面积最小时，其半径为 .
考点 八 、 轨迹、截面、动点、范围多选题综合
1．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，M为 的中点，N为ABCD（包含
边界）上一动点， 为平面 上一点，且 平面ABCD，那么（ ）
A．若 ，则N的轨迹为圆的一部分
B．若三棱柱 的侧面积为定值，则N的轨迹为椭圆的一部分
C．若点N到直线 与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线的一部分
D．若 与AB所成的角为 ，则N的轨迹为双曲线的一部分
2．（2024·广东广州·模拟预测）在棱长为1的正方体 中，若点 为四边形 内（包括
边界）的动点， 为平面 内的动点，则下列说法正确的是（ ）A．若 ，则平面 截正方体所得截面的面积为
B．若直线 与 所成的角为 ，则点 的轨迹为双曲线
C．若 ，则点 的轨迹长度为
D．若正方体 以直线 为轴，旋转 后与其自身重合，则 的最小值是120
3．（2024·辽宁大连·二模）在棱长为2的正方体 中，M为 中点，N为四边形
内一点（含边界），若 平面BMD，则下列结论正确的是（ ）
A． B．三棱锥 的体积为
C．点N的轨迹长度为 D． 的取值范围为
4．（2024·重庆·模拟预测）已知正方体 的棱长为1，空间中一动点 满足
， 分别为 的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．存在点 ，使得 平面
B．设 与平面 交于点 ，则
C．若 ，则点 的轨迹为抛物线
D．三棱锥 的外接球半径最小值为
5．（23-24高二上·广东清远·期末）如图，在正方体 中，点 为线段 上的动点，则下
列结论正确的是（ ）A．当 时， 的值最小
B．当 时，
C．若平面 上的动点 满足 ，则点 的轨迹是椭圆
D．直线 与平面 所成角的正弦值是
6．（23-24高二上·湖北·期末）如图，点 是棱长为2的正方体 的表面上一个动点， 是
线段 的中点，则（ ）
A．当 在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当 在线段 上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．当直线 与平面 所成的角为 时，点 的轨迹长度为
D．当 在底面 上运动，且满足 平面 时，线段 长度的取值范围是
7．（2024·湖南长沙·二模）在正方体 中， 为 的中点， 是正方形 内
部一点（不含边界），则（ ）
A．平面 平面
B．平面 内存在一条直线与直线 成 角
C．若 到 边距离为 ，且 ，则点 的轨迹为抛物线的一部分D．以 的边 所在直线为旋转轴将 旋转一周，则在旋转过程中， 到平面 的距离
的取值范围是
8．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）用平面 截圆柱面，圆柱的轴与平面 所成角记为 ，当 为锐角
时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家 创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个
大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于 的上方和下方，并且与圆柱面和 均相切．下列结论中正确
的有（ ）
A．椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等
B．椭圆的长轴长与嵌入圆柱的两球的球心距 相等
C．所得椭圆的离心率
D．其中 为椭圆长轴， 为球 半径，有
9．（2024·浙江台州·二模）已知正方体 的棱长为1， 为平面 内一动点，且直线
与平面 所成角为 ，E为正方形 的中心，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的轨迹为抛物线
B．正方体 的内切球被平面 所截得的截面面积为
C．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为
D．点 为直线 上一动点，则 的最小值为
1．（2024·辽宁大连·一模）正四棱柱 中， ，动点 满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，直线 平面
B．当 时， 的最小值为
C．若直线 与 所成角为 ，则动点P的轨迹长为
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是
2．（2024·河北保定·二模）已知正三棱柱 的所有棱长均为 为 的中点，平面 过点 与
直线 垂直，与直线 分别交于点 是 内一点，且 ，则（ ）
A． 为 的中点
B．
C． 为 的中点
D． 的最小值为
3．（2024·浙江·三模）在棱长为 1 的正方体 中，已知 分别为线段 的中点，
点 满足 ，则（ ）
A．当 时，三棱锥 的体积为定值
B．当 ，四棱锥 的外接球的表面积是
C． 周长的最小值为
D．若 ，则点 的轨迹长为
4．（2024·河北石家庄·三模）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，则下列
说法正确的有（ ）A．若点 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为
B．若点 为线段 上的动点（包含端点），则 的最小值为
C．若点 为 的中点，则平面 与四边形 的交线长为
D．若点 在侧面正方形 内（包含边界）且 ，则点 的轨迹长度为
5．（2024·湖南益阳·三模）如图，点P是棱长为2的正方体 的表面上的一个动点，则下列
结论正确的是（ ）
A．当点P在平面 上运动时，四棱锥 的体积不变
B．当点P在线段AC上运动时， 与 所成角的取值范围为
C．使直线AP与平面ABCD所成角为 的动点P的轨迹长度为
D．若F是 的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足 平面 时，PF长度的最小值为
6．（2024·贵州贵阳·模拟预测）在正三棱柱 中， ，点P满足 ，
其中 ，则（ ）
A．当 时， 最小值为
B．当 时，三棱锥 的体积为定值
C．当 时，平面AB P⊥平面
1
D．若 ，则P的轨迹长度为
7．（2024·河北衡水·三模）已知在正方体 中， ，点 为 的中点，点 为正方
形 内一点（包含边界），且 平面 ，球 为正方体 的内切球，下列说
法正确的是（ ）
A．球 的体积为 B．点 的轨迹长度为C．异面直线 与BP所成角的余弦值取值范围为 D．三棱锥 外接球与球 内
切
8．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）如图，点P是棱长为2的正方体 的表面上一个动点，则
（ ）
A．当P在平面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B．当P在线段AC上运动时， 与 所成角的取值范围是
C．若F是 的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足 时， 长度的最小值是
D．使直线AP与平面ABCD所成的角为 的点P的轨迹长度为
9．（23-24高三下·山东·开学考试）如图，在棱长为1的正方体 中，M为平面 所在
平面内一动点，则（ ）
A．若M在线段 上，则 的最小值为
B．过M点在平面 内一定可以作无数条直线与 垂直
C．若平面 ，则平面 截正方体的截面的形状可能是正六边形
D．若 与 所成的角为 ，则点M的轨迹为双曲线
考点 九 、 轨迹、截面、动点、范围大题综合1．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD为底面直径，A为弧BD
中点． 是边长为2的等边三角形，弦AD上点E使得二面角 的大小为30°，且 ．
(1)求t的值；
(2)对于平面ACD内的动点P总有 平面BEC，请指出P的轨迹，并说明该轨迹上任意点P都使得
平面BEC的理由．
2．（2024·重庆·一模）如图，四棱锥 中， 底面 ，四边形 中， ，
．
(1)若 为 的中点，求证：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成的角的余弦值为 ．
（ⅰ）求线段 的长；
（ⅱ）设 为 内（含边界）的一点，且 ，求满足条件的所有点 组成的轨迹的长度．
3．（22-23高二上·北京石景山·期末）如图1，在 中， 是直角， ， 是斜边
的中点， 分别是 的中点．沿中线 将 折起，连接 ，点 是线段 上的动点，如
图2所示．(1)求证： 平面 ；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角 的余弦值为 时．求
的值．
条件①： ；条件②： ．
4．（2024·全国·模拟预测）如图，已知四边形 是直角梯形， ，
平面 是 的中点，E是 的中点， 的面积为 ，四棱锥 的体积为 ．
(1)求证： 平面 ;
(2)若P是线段 上一动点，当二面角 的大小为 时，求 的值．
5．（2024·江西新余·二模）如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形， ，
，且 ， .
(1)若 为 的中点，证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，线段 上的点 满足 ，且平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求实数 的值.
1．（2023·湖南·模拟预测）如图，四棱锥 内， 平面 ，四边形 为正方形，
， ．过 的直线 交平面 于正方形 内的点 ，且满足平面PAM⊥平面 .
(1)当 时，求点 的轨迹长度；
(2)当二面角 的余弦值为 时，求二面角 的余弦值.
2．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）如图①所示，长方形 中， ， ，点 是边 靠
近点 的三等分点，将△ 沿 翻折到△PAM，连接 ， ，得到图②的四棱锥 .
(1)求四棱锥 的体积的最大值；
(2)设 的大小为 ，若 ，求平面PAM和平面 夹角余弦值的最小值.
3．（22-23高三上·浙江宁波·期末）在菱形 中，G是对角线 上异于端点的一动点（如图1），现
将 沿 向上翻折，得三棱锥 （如图2）.(1)在三棱锥 中，证明： ；
(2)若菱形 的边长为 ， ，且 ，在三棱锥 中，当 时，求直线
与平面 所成角的正弦值.
4．（23-24高二上·上海·期末）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”．如图，椭圆柱
中底面长轴 ，短轴长 为下底面椭圆的左右焦点， 为上底面椭圆的右焦点，
为 上的动点， 为 上的动点， 为过点 的下底面的一条动弦（不与 重合）．
(1)求证：当 为 的中点时， 平面
(2)若点 是下底面椭圆上的动点， 是点 在上底面的投影，且 与下底面所成的角分别为 ，
试求出 的取值范围．
(3)求三棱锥 的体积的最大值．
5．（2024·湖北·模拟预测）如图，在梯形 中， ， ， .将
沿对角线 折到 的位置，点P在平面 内的射影H恰好落在直线 上.
(1)求二面角 的正切值；
(2)点F为棱 上一点，满足 ，在棱 上是否存在一点Q，使得直线 与平面 所成的角
为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
6．（2024·湖南长沙·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，底面 为直角
梯形， ， ， ， 是 的中点，点 ， 分别在线段 与 上，且
， .(1)若平面 平面 ，求 、 的值；
(2)若 平面 ，求 的最小值.
1．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）在长方体 中，点 是底面 上的一个动点，当三角形
的面积为定值时，满足条件的点 所形成的图形为（ ）
A．圆的一部分 B．直线的一部分
C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
2．（2021·河北保定·一模）已知长方体 ，动点 到直线 的距离与到平面 的距
离相等，则 在平面 上的轨迹是（ ）
A．线段 B．椭圆一部分 C．抛物线一部分 D．双曲线一部分
3．（2021·安徽合肥·模拟预测）已知正四棱柱 ，底面边长为4，侧棱长为 ，平面 为
经过 且与平面 平行的平面，平面 内一动点P满足到点 的距离与到直线BD的距离相等，则动
点P的轨迹为（ ）
A．圆 B．双曲线 C．两条直线 D．抛物线
4．（陕西西安·阶段练习）如图，正方体 中，P为底面 上的动点， 于E，
且 则点P的轨迹是（ ）A．线段 B．圆 C．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
5．（2021·广东韶关·一模）设正方体 的棱长为1， 为底面正方形 内的一动点，若
三角形 的面积 ，则动点 的轨迹是（ ）
A．圆的一部分 B．双曲线的一部分
C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分
6．（2021·福建龙岩·一模）正方体 的棱长为a，P是正方体表面上的动点，若 ，
则动点P的轨迹长度为 .
7．（2023·上海松江·一模）动点 的棱长为1的正方体 表面上运动，且与点 的距离是
，点 的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为
8．（2021·浙江温州·模拟预测）已知过平面 外一点A的斜线l与平面 所成角为 ，斜线l交平面 于点
B，若点A与平面 的距离为1，则斜线段 在平面 上的射影所形成的图形面积是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·河南许昌·三模）如图，在体积为3的三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直， ，若点
M是侧面CBP内一动点，且满足 ，则点M的轨迹长度的最大值为（ ）
A．3 B．6 C． D．10．（2023·河南·三模）如图，在棱长为1的正方体 中， 是截面 上的一个动点
（不包含边界），若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2021·北京海淀·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 是侧面 内的一
个动点（不包含端点），则下列说法中正确的是（ ）
A．三角形 的面积无最大值、无最小值
B．存在点 ，满足
C．存在有限个点 ，使得三角形 是等腰三角形
D．三棱锥 的体积有最大值、无最小值
12．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正四面体 的棱长为6，点P在 内(不含边界)，若
，则 面积的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·山东潍坊·一模）如图所示，在棱长为1的正方体 中，点 为截面 上的动
点，若 ，则点 的轨迹长度是（ ）A． B． C． D．1
2．（23-24高三上·江西抚州·阶段练习）设A、B是半径为 的球体O表面上的两定点，且 ，球
体O表面上动点M满足 ，则点M的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2023·湖北武汉·三模）如图，已知正方体 的棱长为 ， 为底面 内（包括边
界）的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．三棱锥 的体积为定值
B．存在点 ，使得
C．若 ，则 点在正方形底面 内的运动轨迹长为
D．若点 是 的中点，点 是 的中点，过 ， 作平面 平面 ，则平面 截正方体
的截面面积为
4．（2023·河南·模拟预测）如图，设正方体 的棱长为 ，点 是 的中点，点 为空
间内两点，且 ，则（ ）A．若 平面 ，则点 与点 重合
B．设 ，则动点 的轨迹长度为
C．平面 与平面 的夹角的余弦值为
D．若 ，则平面 截正方体所得截面的面积为
5．（2024·江西九江·三模）如图，正方体 的棱长为1，点 在截面 内，且 ，
则（ ）
A．三棱锥 的体积为 B．线段 的长为
C．点 的轨迹长为 D． 的最大值为
6．（2023·湖南·模拟预测）在棱长为1的正方体 中， 为正方体表面上的动点， 为线
段 上的动点，若直线 与 的夹角为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 的轨迹确定的图形是平面图形
B．点 的轨迹长度为
C． 的最小值为D．当点 在侧面 上时， 的最小值为1
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知正方体 棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界
上的动点，点M是棱 上的动点（包括点 ），已知 ，P为MN中点，则下列结论正确的是
（ ）
A．无论M，N在何位置， 为异面直线 B．若M是棱 中点，则点P的轨迹长度为
C．M，N存在唯一的位置，使 平面 D．AP与平面 所成角的正弦最大值为
8．（2024·广西南宁·一模）在边长为2的正方体 中，动点 满足
， 且 ，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 的最小值为
B．当 时，异面直线 与 所成角的余弦值为
C．当 ，且 时，则 的轨迹长度为
D．当 时， 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
9．（2024·上海奉贤·二模）点 是棱长为1的正方体 棱上一点，则满足 的
点 的个数为 ．
10．（2024·全国·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中，已知 分别是棱
的中点，则平面 截正方体所得的截面面积为 ，若 为平面 上的动点，且
直线 与直线 的夹角为 ，则点 的轨迹长度为 ．11．（2024·山西晋城·模拟预测）如图所示，正方形 是圆柱 的轴截面，且 ，已知 为圆
柱侧面上的点，则集合 平面 平面 表示椭圆的离心率为 .
12．（2023·江西九江·三模）如图，棱长为2的正方体 中，P，Q为四边形 内的点
（包括边界），且点P到AB的距离等于到平面 的距离，点Q到 的距离等于到平面ABCD的
距离，则 的最小值为 .
