文档内容
第 08 讲 圆锥曲线中的焦点弦、焦半径及定比分点问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
抛物线定义的理解
2023年新Ⅱ卷，第10题,5分 抛物线焦点弦有关的几何性质 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
求直线与抛物线的交点坐标
2020年新I卷，第13题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的焦点弦及其相关计算
2.理解、掌握圆锥曲线的焦半径及其相关计算
3.理解、掌握圆锥曲线的定比分点及其相关计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习知识讲解
1. 椭圆的斜率式焦点弦长公式
(1) 为椭圆 的左、右焦点，过 (或 )斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，则
(2) 为椭圆 的下、上焦点，过 (或 斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，则
2. 双曲线的斜率式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F 斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两
1 2 a2 b2 1
点，则
2ab2(1+k2)
(1)A，B在同支弦，|AB|=
a2k2−b2
2ab2(1+k2)
(2)A，B在异支弦，|AB|=
b2−a2k22ab2(1+k2)
综合(1)(2)可统一为:|AB|=
|a2k2−b2|
y2 x2
(2)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的上、下焦点，过F 斜率为k的直线l与双曲线交于A,B两
1 2 a2 b2 1
点，则
2ab2(1+k2)
(1)A，B在同支弦，|AB|=
a2−b2k2
2ab2(1+k2)
(2)A，B在异支弦，|AB|=
b2k2−a2
2ab2(1+k2)
综合(1)(2)可统一为:|AB|=
|a2−b2k2|
3. 椭圆的倾斜角式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ,F 为椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
则|AB|= =
a2−c2cos2θ 1−e2cos2θ
|a2 | b2
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p= −c =
c c
y2 x2
(2)F ,F 为椭圆C: + =1(a>b>0)的上、下焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与椭圆C交于A,B两点，
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
则|AB|= =
a2−c2sin2θ 1−e2sin2θ
|a2 | b2
其中，焦准距（焦点到相应准线的距离）为p= −c =
c c
2b2
特殊情形，对于焦点在x轴上的椭圆，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB|=2ep= .
a
4. 双曲线的倾斜角式焦点弦长公式
x2 y2
(1)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B
1 2 a2 b2 1
2ab2 2ep
两点，则|AB|= =
|a2−c2cos2θ| |1−e2cos2θ|
|a2 | b2
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p= −c =
c c
y2 x2
(2)F ，F 为双曲线C: − =1(a>0,b>0)的上、下焦点，过F 倾斜角为θ的直线l与双曲线交于A,B
1 2 a2 b2 12ab2 2ep
两点，则|AB|= =
|a2−c2sin2θ| |1−e2sin2θ|
|a2 | b2
其中，焦准距(焦点到相应准线的距离)为p= −c =
c c
2b2
特殊情形，对于焦点在x轴上的双曲线，当倾斜角为θ=90∘时，即为椭圆的通径，通径长|AB|=2ep= .
a
5. 抛物线的的倾斜角式焦点弦长公式
2|p|
(1) 焦点在 x 轴上, |AB|=
sin2θ
2|p|
(2) 焦点在 y 轴上, |AB|=
cos2θ
6. 椭圆的角度式焦半径公式
x2 y2 b2
设P是椭圆 + =1上任意一点，F为它的一个焦点，∠PFO=θ，则|PF|=
a2 b2 a−ccosθ
注:上述公式定义∠PFO=θ,P为圆锥曲线上的点,F为焦点
7. 双曲线的角度式焦半径公式
x2 y2
设 P 是双曲线 − =1(a>0,b>0) 上任意一点， F为它的一个焦点， ∠PFO=θ ，则
a2 b2
b2
|PF|=
ccosθ±a
式中“ 的记忆规律: 同正异负.即当 P 与 F 位于 y 轴的同侧时取正，否则取负.
取 ∠PFO=θ ，无需讨论焦点位置
8. 抛物线的角度式焦半径公式
已知 A 是抛物线 C:y2=2px(p>0) 上任意一点， F 为它的一个焦点， ∠AFO=θ ，则
p
|AF|=
1+cosθ
9. 定比分点的定义
若 ⃗AP=λ⃗PB, 则称点 P 为线段 AB 的定比分点, λ 为点 P 分 ⃗AB 的比.
(x +λx y +λ y )
一般地, 设点 A(x ,y ),B(x ,y ), 且 ⃗AP=λ⃗PB, 则点 P 的坐标为 1 2, 1 2 .
1 1 2 2 1+λ 1+λ
考点一、 椭圆、双曲线、抛物线的通径问题1．（23-24高三·阶段练习）椭圆 的通径长为 ．
2．（24-25高三上·浙江·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆上一点 满足
，则线段 ．
3．（2024·贵州黔东南·一模）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲
线的通径，其长等于 ( 、 分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线 （ ）
的左、右焦点分别为 、 ，若点 是双曲线 上位于第四象限的任意一点，直线 是双曲线的经过第二、
四象限的渐近线， 于点 ，且 的最小值为3，则双曲线 的通径为 .
1．（23-24高三·阶段练习）抛物线 的通径长为
2．（23-24高三·阶段练习）已知椭圆 ： 的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线
： 的通径重合，则椭圆的离心率为 .
3．（24-25高三·阶段练习）过椭圆 的焦点 的弦中最短弦长是（ ）
A． B． C． D．
考点二、 椭圆中的焦点弦及焦半径问题
1．（23-24高二上·江苏·课前预习）椭圆的焦半径公式
若椭圆的方程为 ，半焦距为 ，其左右焦点分别为 ， 为椭圆上的动点，
则 ， .
2．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 ， 两点，且 ，
两点的横坐标之和是 ，求 ．3．（22-23高三上·浙江·期末）已知 为坐标原点，椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为
第一象限内 上一点．若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·全国·专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，长轴
长为 ，过点 且斜率为 的直线与椭圆 交于点 ，且 ，则 = ．
1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆 ，若过左焦点的直线交椭圆于 两点，
求 ．
2．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）（多选）在平面直角坐标系中，已知 ，过点 可作直线
与曲线 交于 ， 两点，使 ，则曲线 可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·浙江·模拟预测）已知椭圆C的离心率 ，左右焦点分别为 ，P为椭圆C上一动点，则
的取值范围为 .
4．（21-22高二上·上海青浦·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为 ，
且 ，若第一象限的点 、 在 上， ， ， ，则直线 的斜率为
.
考点三、 双曲线中的焦点弦及焦半径问题
1．（2022高三·全国·专题练习）过双曲线 的右焦点F作倾斜角为 的直线，交双曲线于 、两点，求弦长|AB|．
2．（20-21高二下·四川内江·阶段练习）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的
直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，且满足 （ 是坐标原点），则直线 的斜率为 .
3．（21-22高二上·山西运城·期中）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，
A是C的左顶点，点P在过点 且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则双曲线
的离心率为 .
1．（2022高三·全国·专题练习）过双曲线 的右焦点 作倾斜角为 直线，交双曲线于 两
点，求弦长|AB|．
2．（2022高三·全国·专题练习）若 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左支上过点
的弦，且 ， 的周长是20，则m= ．
3．（22-23高二下·四川凉山·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过点
作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且 ，则双曲线C的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
考点 四 、 抛物线中的焦点弦及焦半径问题
1．（全国·高考真题）已知直线 与抛物线 相交于A、B两点，F为C的焦点，若
,则k=
A． B． C． D．
2．（2023·全国·统考高考真题）（多选）设O为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
3．（山东·统考高考真题）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =
．
4．（重庆·高考真题）过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 两点，若 则
= ．
1．（安徽·高考真题）过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则
=______
2．（全国·高考真题）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ，
两点．若 ，则 ．
3．（江西·高考真题）过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于 、 两
点（ 在 轴左侧），则 ．
考点 五 、 定比分点问题
x2 y2
1 已知过定点 P(0,3) 的直线与椭圆 + =1 交于两个不同的点 A,B, 且满足 ⃗AP=λ⃗PB, 求 λ
9 4
的取值范围.
(x +λx y +λ y )
解: 设点 A(x ,y ),B(x ,y ), 则由 ⃗AP=λ⃗PB知点 P 1 2, 1 2 ,
1 1 2 2 1+λ 1+λ
又已知点 P(0,3), 所以 x +λx =0,y +λ y =3(1+λ) (1).
1 2 1 2
x2 y2 λ2x2 λ2y2
由点 A,B 在脒圆上得 1+ 1=1, 2+ 2=λ2,
9 4 9 4
(x +λx )(x −λx ) (y +λ y )(y −λ y )
两式作差得 1 2 1 2 + 1 2 1 2 =1− λ2(2).
9 4
4
于是, 将(1) 代入 (2) 化简得 y −λ y = (1− λ).
1 2 33 2 13 5
由 y +λ y =3(1+λ) 可得 y = (1+ λ)+ (1−λ)= + λ∈[−2,2],
1 2 1 2 3 6 6
[ 1]
解得 λ∈ −5,− .
5
1．（浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足 ，则当m=
时，点B横坐标的绝对值最大．
一、单选题
1．（2022高三·全国·专题练习）过双曲线的一个焦点且与双曲线的实轴垂直的弦叫做双曲线的通径，则双
曲线 的通径长是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川内江·期末）椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则
到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
3．（23-24高二上·广东茂名·期末）过抛物线 的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段 的
中点横坐标为2，则 （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（23-24高三下·黑龙江·阶段练习）已知 为抛物线 的焦点，过 且斜率为1的直线
交 于 两点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（20-21高二上·陕西西安·期中）如图，把椭圆， 的长轴 分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于 ， ， ， ， ， ， 七个点，F是椭圆的一个焦点，则
（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
6．（24-25高三上·四川·开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与抛物线交于
点 、 ，与直线 交于点 ，若 且 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．（22-23高二上·辽宁·阶段练习）已知椭圆 为 的左焦点，直线 与 交于 两点
（点 在第一象限），直线 与椭圆 的另一个交点为 ，则（ ）
A． B．当 时， 的面积为
C． D． 的周长的最大值为
三、填空题
8．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）过点 作倾斜角为 的直线与 交于 ，则
．
9．（23-24高二上·安徽马鞍山·期末）过点 作直线与 交于A，B两点，若 ，则直线
的倾斜角为 .
10．（2023·广东广州·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，点M在C上， 轴，若
（O为坐标原点）的面积为2，则 .
11．（2022高三·全国·专题练习）已知 、 是双曲线 的两个焦点，过 作垂直于 轴的直线
与双曲线相交，其中一个交点为 ，则 .
12．（2022高三·全国·专题练习）如果椭圆的一个焦点坐标为 ，过此焦点且垂直于 轴的弦的长等于，则这个椭圆的标准方程为 .
13．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）已知抛物线 ，过焦点的直线与抛物线交于 、 两点，若
，则此直线的斜率= .
14．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知椭圆 的焦距为 ，过椭圆的一个焦点，作
垂直于长轴的直线交椭圆于 两点，则 ．
15．（2019高三·全国·专题练习）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过点 的直
线交椭圆E于A，B两点．若 ， 轴，则椭圆E的方程为 ．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C： 的焦点F(1,0)，直线l： ，点 ，线段
AF交C于点B，若 ，则 等于（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 ．倾斜角为
的直线与 交于 两点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）抛物线 ： 的焦点为 ，直线 经过点 ，
交 于 两点，交 轴于点 ，若 ，则错误的是（ ）
A． B．弦 的中点到 轴的距离为C． D．点 的坐标为
4．（23-24高二下·江西景德镇·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与双曲线
的右支交于 两点，若 ，则错误的是（ ）
A． B．双曲线的离心率
C．双曲线的渐近线方程为 D．原点 在以 为圆心， 为半径的圆上
5．（2024·河北秦皇岛·二模）已知A，B为椭圆 ： 上两个不同的点（直线 与y轴不平行），
F为C的右焦点，且 ，若线段 的垂直平分线交x轴于点P，则 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
6．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）设椭圆C： 的焦点为 ， ，P是C上的动点，则下列结论
正确的是（ ）
A．离心率 B． 的最大值为3
C． 面积的最大值为 D． 的最小值为2
7．（2024·广西来宾·模拟预测）已知抛物线 ，过 的焦点 作直线 ，若 与
交于 两点， ，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C． 或
D．线段 中点的横坐标为
8．（22-23高二上·广东深圳·期末）已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，
为双曲线 上的动点， ， ，点 到双曲线 一条渐近线的距离为 ，则下列选项正
确的有（ ）A．双曲线 的实轴长为 B．双曲线 的离心率为
C． 的最小值为 D．
9．（2024·河南·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ， ，过 的直
线 与 的右支交于点 ，若 ，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．
C．直线 的斜率为 D． 的坐标为 或
三、填空题
10．（2024·四川南充·二模）已知直线l过圆 的圆心，且与圆相交于A，B两点，P为椭圆
上一个动点，则 的最大值为 .
11．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的焦点为 ， ，若点 在椭圆上，
则满足 （其中 为坐标原点）的点 的个数为 ．
12．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ，
两点，则 的最小值是 .
13．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线 ： 焦距为 ，左、右焦点分别
为 ，点 在 上且 轴， 的面积为 ，点 为双曲线右支上的任意一点，则
的取值范围是
14．（24-25高三上·上海·阶段练习）设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，直线l经过
点 ，且与Γ交于P、Q两点．若 ，且 ，则Γ的长轴长的最小值为 ．
15．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的离心率为 ．设l为过椭圆右焦点F的
直线，交椭圆于M，N两点，且l的倾斜角为 ．则 ．
