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第 8 节 不等式的性质、一元二次不等式与基本不等式
基础知识要夯实
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
⇔
(3)ab，c<0 acb>0，m>0，则 ； (b－m>0).(2)若ab>0，且a>b .
2.对于不等式ax2＋b⇔x＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
4.基本不等式： ≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.
(3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数.
5.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
6.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最
小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是 (简记：和定积最大).
[微点提醒]
1. ≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤ ≤ .3. (a>0，b>0).
典型例题剖析
考点一 不等式的性质
角度1 比较大小及不等式性质的简单应用
【例1－1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，
b，c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)(一题多解)若 ＜0，给出下列不等式：① ；②|a|＋b＞0；③a－ ＞b
－ ；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
【答案】(1)A (2)C
【解析】(1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.
又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，
∴b－a＝a2－a＋1＝ ＋ >0，
∴b>a，∴c≥b>a.
(2)法一 因为 ＜0，故可取a＝－1，b＝－2.
显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝0，ln b2＝ln(－2)2＝ln4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.
法二 由 ＜0，可知b＜a＜0.①中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以 ＜0， ＞
0.故有 ，即①正确；
②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；
③中，因为b＜a＜0，又 ＜0，则－ ＞－ ＞0，
所以a－ ＞b－ ，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x
在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确.
角度2 利用不等式变形求范围
【例1－2】 (一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取
值范围是________.
【答案】[5，10]
【解析】法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a
＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
于是得解得
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4.
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，
故5≤f(－2)≤10.
法二 由
得
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).
又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
法三 由 确定的平面区域如图阴影部分所示，
当f(－2)＝4a－2b过点A 时，
取得最小值4× －2× ＝5，
当f(－2)＝4a－2b过点B(3，1)时，
取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.
规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法
2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断 p q和q p是否正确，要注意特
⇒ ⇒
殊值法的应用.
3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用
特殊值验证的方法.
4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会
导致范围扩大.
【训练1】 (1)(2022·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2022·天一测试)已知实数a∈(1，3)，b∈ ，则 的取值范围是________.
【答案】(1)A (2)(4，24)
【解析】(1)a>|b|能推出a>b，进而得a3>b3；当a3>b3时，有a>b，但若b|b|
不成立，所以“a>|b|”是“a3>b3”的充分不必要条件.(2)依题意可得4< <8，又10时，
f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－ 0，
因为f(x)是奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x).
又f(0)＝0.
于是不等式f(x)>x等价于 或
解得x>3或－30的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】关于x的不等式ax－b<0即ax0可化为(x＋1)(x－3)<0，解得－10，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直
线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则 的最小值为________.
【答案】4
【解析】∵曲线y＝a1－x恒过定点A，x＝1时，y＝1，∴A(1，1).
将A点代入直线方程mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)，可得m＋n＝1，
∴ ＝ ·(m＋n)＝2＋ ≥2＋2 ＝4，
当且仅当 且m＋n＝1(m>0，n>0)，即m＝n＝ 时，取得等号.【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、
和为常数的形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、
变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
【训练4】 (1)(2022·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
(2)已知x< ，则f(x)＝4x－2＋ 的最大值为______.
【答案】(1)B (2)1
【解析】(1)因为a>0，b>0，故2a＋b≥2 (当且仅当2a＝b时取等号).
又因为2a＋b＝4，
∴2 ≤4 00，
则f(x)＝4x－2＋ ＝－ ＋3≤－2 ＋3＝－2＋3＝1.
当且仅当5－4x＝ ，即x＝1时，等号成立.
故f(x)＝4x－2＋ 的最大值为1.
考点五 基本不等式在实际问题中的应用
【例 5】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制
50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油
升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
【解析】(1)设所用时间为t＝ (h)，
y＝ ×2× ＋14× ，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝ ，x∈[50，100]
(2)y＝ ≥26 ，
当且仅当 ，
即x＝18 时等号成立.
故当x＝18 千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26 元.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
【训练5】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一
个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体
店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x万件与投入实体店
体验安装的费用t万元之间满足函数关系式 x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用
支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的
150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利
润是________万元.
【答案】37.5
【解析】由题意知t＝ －1(10得32x－(k＋1)3x＋2>0，解得k＋1<3x＋ .
又3x＋ ≥2 (当且仅当3x＝ ，即x＝log 时，等号成立).
3
所以k＋1<2 ，即k<2 －1.
[思维升华]1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，
常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特
点，选择好利用基本不等式的切入点.
2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆
用等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋ (m>0)的单调性.
[易错防范]
1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
达标检测要扎实
一、单选题
1．关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 的解集是 ， ，得 ，
则不等式 ，即 ，解得： ，所以不等式的解集是 .故选：D
2．若01>m，故原不等式的解集为 ，故选：D．
3．若不等式 对一切实数 都成立，则 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， 对一切实数 都成立，故 符合题意；
当 时，要使不等式 对一切实数 都成立，
则 ，综上： 故选：B.
4．下列不等式中成立的是（ ）
A．若 则
B．若 则
C．若 则D．若 则
【答案】C
【解析】对于A，若 ，则 ，所以 ，所以
，所以 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ， ，所以 ，故B错误；
对于C，若 ，则 ， ，所以 ，故C正确；
对于D，若 ，则 ，故D错误.故选：C
5．不等式 的解集是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 或 ，选C.
6．已知关于 的方程 有两个实数根，则 的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D．
【答案】C
【解析】由题意知： ，解之得 或 ，故选：C
7．已知x＞0、y＞0，且 1，若 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．( 1,9) B．( 9,1)
C．[ 9,1] D．( ∞, 1)∪(9,+∞)
【答案】B【解析】由题设， ，当且仅当 时等号
成立，∴要使 恒成立，只需 ，故 ，∴
.故选：B.
8．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，所以 ，
，所以 ，
故 .故选：D.
9．已知 ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 .设 ，
所以 ，解得： ， ，
因为 ， ，所以 ，
因为 单调递增，所以 .故选：C
10．已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，则不等式 的解集
为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】一元二次不等式 的解集为 ，
所以 ， 是方程 的两个根，
所以 ， ，
即 ， ，则 ，
可知其解集为 ，故选：C．
11．若 ， ，且 ， ，则 ， ， ， 的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 或 ，而 ， ，所以 ．
所以 ．故选：A．
12．不等式 的解集为 ，那么不等式 的解集为
（ ）
A． B． 或
C． D． 或【答案】C
【解析】不等式 的解集为 ，
故可得 并且 则 ，
将其代入不等式
化为 ，解得 ，故选： ．
二、填空题
13．已知a＞0，b＞0，则p＝ ﹣a与q＝b﹣ 的大小关系是_____．
【答案】
【解析】因为 ， ， 与 ，
所以 ， 时取等号，
所以 ．故答案为： ．
14．若关于 的不等式 的解集不是空集，则 的取值范围是________.
【答案】 或
【解析】若 ，则原不等式等价为 ，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即 .若
，要使不等式 的解集不是空集，
则①若 ，有 ，解得 .
②若 ，则满足条件.
综上所述，满足条件的 的取值范围是 或 .故答案为： 或 .
15．若命题“ ， ”为真命题，则实数m的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题意可知，不等式 有解， ，即 ，
∴实数m的取值范围为 ，故答案为： .
16．某地每年销售木材约20万 ，每立方米的价格为2400元．为了减少木材消耗，决定按销售
收入的 征收木材税，这样每年的木材销售量减少 万 ，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．
【答案】
【解析】按销售收入的 征收木材税时，税金收入为y万元，
则 ．
令 ，即 ，解得 ．故答案为： .
三、解答题
17．已知集合 .
（1）若 中有两个元素，求实数 的取值范围；
（2）若 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由于 中有两个元素，
∴关于 的方程 有两个不等的实数根，
∴ ，且 ，即 ，且 .
故实数 的取值范围是 且 .
（2）当 时，方程为 ， ，集合 ；
当 时，若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 中只有一个元素，此时
，若关于 的方程 没有实数根，则 中没有元素，此时 .综上可知，
实数 的取值范围是 或 .
18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且p
是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【解析】由题意，命题p，得x2－4ax＋3a2 =(x－3a)(x－a)<0，
当a<0时，3a0，则－2≤x≤3或x<－4或x>2，即
x<－4或x≥－2.
设p：A＝(3a，a)，q：B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)，又由p是q的充分不必要条件，可知A是B的真子集，
∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或 ，又∵a<0，∴a≤－4或－ ≤a<0，
即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪ .
19．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求当 时， 的解析式；
（2）请问是否存在这样的正数 ， ，当 时， ，且 的值域为 ？若
存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）当 时， ，于是 .
因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 .
（2）假设存在正实数 ，当 时， 且 的值域为 ，
根据题意， ，
因为 ，
则 ，得 .
又函数 在 上是减函数，所以 ，
由此得到： 是方程 的两个根，
解方程求得所以，存在正实数 ，当 时， 且 的值域为
20．已知函数 .
（1）若 ，关于 的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ，解关于 的不等式 .
【解析】（1） ，不等式化为 ， ，
所以 在 恒成立，
即求 在 上的最小值为 ，
所以 .
（2） ，不等式为 ，
①当 时， ， 不等式解集为 ；
当 时不等式转化为 ，
②当 时，不等式 解集为 ；
③当 时，不等式 化为 ，
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 ；
若 ，不等式解集为 .
综上所述：①当 时，不等式解集为 ；
②当 时，不等式解集为 ；③当 时，不等式解集为 ；
④当 时，不等式解集为 ；
⑤当 时，不等式解集为 .
21．解关于x的不等式 .
【解析】当 时，不等式 的解为 ；
当 时，不等式对应方程的根为 或2，
①当 时，不等式 即 的解集为 ；
②当 时，不等式 的解集为 ；
③当 时，不等式 的解集为 ；
④当 时，不等式 的解集为 .
综上所述，当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
22．已知关于 一元二次不等式 的解集为 .
(1)求函数 的最小值；(2)求关于 的一元二次不等式 的解集.
【解析】(1)因为关于 一元二次不等式 的解集为 ，
所以 ，化简可得： ，解得： ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 ， 的最小值为 .
(2)不等式 ，可化为 ，
因为 ，所以 ，
所以该不等式的解集为 .
