文档内容
第 06 讲 向量法求空间角（含探索性问
题） (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：异面直线所成的角
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
角度2：求平面与平面所成角(最值问题）
角度3：已知二面角求其他参数（探索性问题）
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：异面直线所成角设异面直线 和 所成角为 ，其方向向量分别为 ， ；则异面直线所成角向量求法：
①
②
知识点二：直线和平面所成角
设直线 的方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则①
；
② .
知识点三：平面与平面所成角（二面角）
（1）如图①， ， 是二面角 的两个面内与棱 垂直的直线，则二面角的大小
．
（2）如图②③， ， 分别是二面角 的两个半平面 的法向量，则二面角的大小 满足：
① ；
②
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是
钝二面角.）
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广西南宁·一模（理））在正方体 中O为面 的中心， 为面A B C D 的
1 1 1 1
中心.若E为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 分别是
棱 ， ， 的中点， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高二）点A，B分别在空间直角坐标系O-xyz的x，y正半轴上，点C（0，0，2），平面
ABC的法向量为 ，设二面角C—AB—O的大小为θ，则cosθ的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ， ， 平面 ，点
M，N分别为 ， 的中点， ，Q为线段 上的点（不包括端点A，B），若使异面直线
与 所成角的余弦值为 ，则 （ ）
A． 或4 B． C． D．
5．（2022·全国·高二）在三棱锥 中， ， ， 两两垂直， 为棱 上一动点，
， .当 与平面 所成角最大时， 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：异面直线所成的角
典型例题例题1．（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体 中， ， ， ，
，则 与 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·安徽·高二期末）直角梯形 中， 是边
的中点，将三角形 沿 折叠到 位置，使得二面角 的大小为 ，则异面直线
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·广西·高三阶段练习（文））某圆锥的正视图如图所示， 为该圆锥的顶点， 分别是圆
锥底面和侧面上两定点， 为其底面上动点. 四点在其正视图中分别对应点 .若 ，
， ，则异面直线 与 所成角最大时， 的长为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·吉林长春·模拟预测（理））现有四棱锥 （如图），底面 是矩形，
平面 . ， ，点 ， 分别在棱 ， 上.当空间四边形 的周长最小时，
异面直线 与 所成角的余弦值为___________.
题型归类练
1．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱 中，底面 为正方形，侧棱
底面 .若 ， ， 是线段 的中点， ，则异面直线 与 所成角的余
弦值为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥 中， 平面ABC， ， 是正三角形，
M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖
臑，在鳖臑 中， 平面BCD， ，且 ，M为AD的中点，则异面直线
BM与CD夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
4．（2022·重庆八中模拟预测）如图所示， 是棱长为 的正方体， 、 分别是下底面
的棱 、 的中点， 是上底面的棱 上的一点， ，过 、 、 的平面交上底面于 ，
在 上，则异面直线 与 所成角的余弦值为___________．
5．（2022·陕西·长安一中高二期末（理））空间四边形 中， ， ， ， ，
， ，则 与 所成角的余弦值等于___________．
6．（2022·山西太原·一模（理））已知在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
若三棱锥的外接球体积为 ，则异面直线 与 所成角的余弦值为__________.
题型二：直线与平面所成的角
角度1：求直线与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·江苏·南京师大附中高二期末）已知正方体 的棱长为4， 在棱 上，
且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为___________．
1例题2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在正方体 中， 分别为棱 ， 的中点，
则 与平面 所成角的正弦值为___________.
例题3．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）已知 是圆柱底面圆的一条直径， 是圆柱的一条母线，
为底面圆上一点，且 ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为________．
例题4．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥 中， ､ ､ 两两垂直， ， ，
， 是 的中点，则 与平面 所成的角的正切值为___________.
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）在正方体ABCD-ABC D 中，E是对角线BD 上的点，且
1 1 1 1 1
BE∶ED=1∶3，则AE与平面BCC B 所成的角的正弦值是___________.
1 1 1
2．（2022·全国·高二单元测试）在菱形ABCD中， ，将 沿BD折叠，使平面ABD⊥平
面BCD，则AD与平面ABC所成角的正弦值为___________.
3．（2022·海南·模拟预测）在空间直角坐标系Oxyz中，已知点 ， ， ，若平面
轴，且 ，则直线 与平面 所成的角的正弦值为___________.
4．（2022·全国·高三专题练习）如图， 和 所在平面垂直，且 ，
，则直线 与平面 所成角的正弦值为___________.角度2：求直线与平面所成角(最值问题）
典型例题
例题1．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体 中， ， ，
， 当直线 与平面 所成的角最大时， （ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·浙江·慈溪市三山高级中学高二学业考试）在三棱锥 中， 所有棱的长均为 ，点
在棱 上， 满足 ， 点 在棱 上运动， 设直线 与平面 所成角为 ， 则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·湖南·长沙一中高三开学考试）如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为
线段 ， ， 的中点， 为线段 上的动点， ， ， ， .
试确定动点 的位置，使线段 与平面 所成角的正弦值最大.
例题4．（2022·湖南·模拟预测）已知，如图四棱锥 中，底面 为菱形， ，
， 平面 ， ， 分别是 ， 中点，点 是棱 上的动点．(1)证明： 平面 ；
(2)请确定 点的位置，使得直线 与平面 所成的角取最大值．
题型归类练
1．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知圆锥 的高 是底面上圆 的直径， ， 是圆
上的动点， 是 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2022·安徽·高二开学考试）已知正方体 的棱长为3，点E在上底面A B C D 内(不包
1 1 1 1
含边界)，若 ，则AE与平面 所成角的正弦值的最大值为( )A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为3的正方体 中，点 是平面 内一动
点，且满足 ，则直线 与直线 所成角的余弦值的最大值为_______
4．（2022·江苏淮安·高二期末）已知四棱锥 的底面为正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，
，平面 平面ABCD，平面 平面 ．
(1)求证： 平面PAD；
(2)设M为l上一点，求PC与平面MAD所成角正弦值的最小值．5．（2022·重庆八中模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ，M为 的中点．
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 是正三角形，P为线段 上的动点，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
角度3：已知线面角求其他参数（探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·湖南·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， ，点
为棱 的中点，点 为线段 上的一动点.
(1)求证：当点 为线段 的中点时， 平面 ；
(2)当点 位于线段 的什么位置时， 与平面 所成角的正弦值为 ，请说明理由.例题2．（2022·江苏·泰兴市第一高级中学高二阶段练习）如图，已知三棱柱 中，侧棱与底面
垂直，且 ， ， 、 、 分别是 、 、 的中点.
(1)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(2)点 在线段 上，若直线 与平面 所成角的正弦值为 时，求线段 的长.
例题3．（2022·江苏苏州·高一期末）如图，四棱锥 中， 平面 ， 与底而所成
的角为 ，底面 为直角梯形，
(1)求证：平面 平面 ：
(2)在线段 上是否存在点 ，使 与平面 所成的角为 ？若存在，求出有 的值：若不存在，
说明理由.题型归类练
1．（2022·陕西省安康中学高二期末（理））已知梯形 如图甲所示，其中 ， ，
，四边形 是边长为1的正方形，沿 将四边形 折起，使得平面 平面 ，
得到如图乙所示的几何体．
(1)求证： 平面 ；
(2)若点 在线段 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长度.
2．（2022·浙江·湖州市菱湖中学模拟预测）如图，三棱柱 所有的棱长为2，
，M是棱BC的中点.
（Ⅰ）求证： 平面ABC;
（Ⅱ）在线段BC是否存在一点P，使直线BP与平面ABC 所成角的正弦值为 ? 若存在，求出CP
1 1
的值; 若不存在，请说明理由.3．（2022·湖南·长郡中学高一期末）如图所示的几何体中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面
，F为PA的中点， ， ，四边形PDCE为矩形，线段PC
交DE于点N.
(1)求证： 平面DEF；
(2)在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为 ？若存在，求出FQ的长；若不存
在，请说明理由.
4．（2022·广东广州·高二期末）如图，四棱锥 的底面为矩形， 底面ABCD．过AD的平面
分别与线段 相交于点E，F．
(1)证明： ；
(2)若 ，试问是否存在平面 ，使得直线PB与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，
求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．
5．（2022·江苏泰州·高二期末）如图，在正四棱锥P－ABCD中，AC，BD交于点O， ， ．(1)求二面角 的大小；
(2)在线段AD上是否存在一点Q，使得PQ与平面APB所成角的正弦值为 ？若存在，指出点Q的位置；
若不存在，说明理由．
题型三：二面角
角度1：求平面与平面所成角(定值问题）
典型例题
例题1．（2022·广东·兴宁市第一中学高一阶段练习）若在正方体 中，点E是 的中点，
则二面角 的平面角的正切值为（ ）．
A． B．2 C． D．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）在正方体 中，点 为 的中点，则平面
与平面 所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
例题3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一
千多年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，四面体 为鳖臑， 平面 ，
，且 ， ，则二面角 的正弦值为______.题型归类练
1．（2022·江苏·高二课时练习）在四棱锥 中， 平面 ， 是矩形，且 ，
， ，则平面 与平面 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆长寿·高二期末）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多
年，书中将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如下图，四面体P-ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，
AB⊥BC，且 ，则二面角A-PC-B的余弦值为__________．
3．（2022·全国·高二单元测试）在长方体 中，AB＝2，AD＝1， ，点E为 的
中点，则二面角 的余弦值为______.角度2：求平面与平面所成角(定值探索性问题）
典型例题
例题1．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））如图1，在等边 中，点 ， 分别为边 ，
上的动点且满足 ，记 .将 沿 翻折到 的位置并使得平面 平面
，连接 ， 得到图2，点 为 的中点．
(1)当 平面 时，求 的值；
(2)试探究：随着 值的变化，二面角 的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，
请求出二面角 的正弦值大小．
例题2．（2022·云南·弥勒市一中高二阶段练习）如图，在四棱锥 中， ，底面 为
直角梯形， ， ， ， ， ， 为棱 上异于 ， 的点．
(1)若 为棱 的中点，求证：直线 平面 ；
(2)若存在点 为棱 上异于 ， 的点，使得直线 与 所成角的正弦值为 ，求二面角
的余弦值．
题型归类练1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））如图，在四棱锥 中， ， ， ，
， ， ， 都在平面 的上方.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积.
2．（2022·江苏常州·高二期末）如图，在三棱柱ABC－ABC 中，四边形ABBA 为正方形，四边形
1 1 1 1 1
AAC C为菱形，且∠AAC＝60°，平面AAC C⊥平面ABBA，点D为棱BB 的中点．
1 1 1 1 1 1 1 1
(1)求证：AA⊥CD；
1
(2)棱BC （除两端点外）上是否存在点M，使得二面角B－AM－B 的余弦值为 ？若存在，请指出点
1 1 1 1
M的位置；若不存在，请说明理由．
3．（2022·福建·莆田一中高二期末）如图，在三棱锥 中， ．(1)证明：平面 平面 ．
(2)若点Q在棱 上，且 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的平面角的余弦值．
4．（2022·海南中学高三阶段练习）如图1，在平面四边形PDCB中， ， ，
， .将 沿BA翻折到 的位置，使得平面 平面ABCD，如图2所
示.
(1)设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
(2)点Q在线段SC上（点Q不与端点重合），平面QBD与平面BCD夹角的余弦值为 ，求线段BQ的长.
角度3：已知二面角求其他参数（最值探索性问题）典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）长方体 ， ， ，点 在长方体的侧
面 上运动， ，则二面角 的平面角正切值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例题2．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，正三棱柱 的所有棱长均为2， 为
棱 不包括端点 上一动点， 是 的中点.
(1)若 ，求 的长;
(2)当 在棱 不包括端点 上运动时，求平面 与平面 的夹角的余弦值的最大值.
题型归类练
1．（2022·重庆市长寿中学校高一阶段练习）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，点A在
平面 上的投影是线段BC的中点E，AB=AD=AC，点 是 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 BC=2BD，点 是线段 上的动点，问：点 运动到何处时，平面 与平面 所成的锐二
面角最小.
2．（2022·山西运城·模拟预测（理））如图，在 中， ， ， 为 的外心， 平面 ，且 ．
（1）求证： 平面 ；并计算 与平面 之间的距离．
（2）设平面 平面 ，若点 在线段 上运动，当直线 与平面 所成角取最大值时，求
二面角 的正弦值．
3．（2022·山东·烟台市教育科学研究院二模）如图，在平行六面体 中， 底面
， ．
(1)证明： ；
(2)设点 为线段 上一点（异于D， ），当 为何值时，平面 与平面 夹角的余弦值最大？第四部分：高考真题感悟
1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体 中， ，E为
的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．
2．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥 中， 底面
．
(1)证明： ；
(2)求PD与平面 所成的角的正弦值．
3．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．(1)求A到平面 的距离；
(2)设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
4．（2022·浙江·高考真题）如图，已知 和 都是直角梯形， ， ， ，
， ， ，二面角 的平面角为 ．设M，N分别为 的
中点．
(1)证明： ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．5．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱 中，侧面 为正方形，平面 平面
， ，M，N分别为 ，AC的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
