文档内容
第 07 讲 圆锥曲线中的离心率问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第12题,5分 求双曲线的离心率 无
根据椭圆过的点求标准方程
2024年新I卷，第16题,15分 求椭圆的离心率 椭圆中三角形(四边形)的面积
根据韦达走理求参数
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
2023年新I卷，第5题,5分 无
由椭圆的离心率求参数的取值范围
利用定义解决双曲线中集点三角形问题
2023年新I卷，第16题,5分 无
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
2022年全国甲卷（文科）， 根据a、b、c求椭圆标准方
根据离心率求椭圆的标准方程
第11题,5分 程
2022年全国甲卷（理科），
求椭圆的离心率或离心率的取值范围 已知两点求斜率
第10题,5分
用和、差角的正弦公式化
2022年全国乙卷（理科），
求双曲线的离心率或离心率的取值范围 简、求值
第11题,5分
正弦定理解三角形
椭圆中焦点三角形的周长问
2022年新I卷，第16题,5分 根据离心率求楠圆的标准方程
题
2021年全国乙卷（理科）， 根据二次函数的最值或值域
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
第11题,5分 求参数
2021年全国甲卷（理科），
求双曲线的离心率或离心率的取值范围 无
第5题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5分
【备考策略】1.理解离心率的定义及对曲线的影响2.能用定义法求离心率
3.能用文中其他方法快速求解离心率
4.能求解离心率的相关最值问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大
题中命题，需重点强化练习
知识讲解
一、椭圆离心率求解的5种常用方法
公式1:
公式2: 变形
证明:
公式3:已知棚圆方程为 ,两焦点分别为 ,
设焦点三角形 , ,则椭圆的离心率
证明: ,由正弦定理得:
由等比定理得: ,即
.
两焦点 及椭圆上任一点 (除长轴两端点外) 为顶点
公式 以椭圆
4:
, 则
证明: 由正弦定理有.
公式5:点 是椭圆的焦点,过 的弦 与椭圆焦点所在轴的夹角为 为直线 的斜率,且.
,则
轴上时,
当曲线焦点在
或者 而不是 或
注:
二、双曲线离心率求解的5种常用方法
公式1:公式
证明:
公式3:已知双曲线方程为 两焦点分别为 ,设焦点三角形
,则
证明: ,
由正弦定理得:
由等比定理得:
即 。
公式4:以双曲线 的两个焦点 及双曲线上任意一点 除实轴上两个端点外)
为顶点的 ,则离心率
证明:由正弦定理,有
即
又公式5:点 是双曲线焦点,过 弦 与双曲线焦点所在轴夹角为 为直线 斜率,
,则 ,当曲线焦点在 轴上时,
注: 或者 而不是 或
考点一、 椭圆、双曲线中的定义法或公式法求离心率
1．（2024·全国·高考真题）已知双曲线的两个焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该双
曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标可得焦距 ，结合双曲线定义计算可得 ，即可得离心率.
【详解】由题意，设 、 、 ，
则 ， ， ，
则 ，则 .
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）设椭圆 的离心率分别为 ．若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由 ，得 ，因此 ，而 ，所以 .
故选：A
3．（全国·高考真题）双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得 ，再利用 求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得 ，
，故选D．
【点睛】对于双曲线： ，有 ；对于椭圆 ，有
，防止记混．
4．（2024·新Ⅰ卷·高考真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
【详解】（1）由题意得 ，解得 ，
所以 .
5．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
【详解】（1）由题意 ，从而 ，
所以椭圆方程为 ，离心率为 ；1．（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的短轴长为2，则其离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义和性质即可求解.
【详解】由椭圆 的短轴长为2，知 ， ，即 ， ，
因此 ，
又椭圆的离心率 ，
故选：A.
2．（2024·安徽·模拟预测）双曲线 的一条渐近线过点 ，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由一条渐近线过点 得 ，代入 即可求解．
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
将点 代入 中，得 ，
故离心率 ，
故选：A．
3．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3：2，则
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，由已知可得 ，进而可求离心率.
【详解】由题意可知， ，则 ，设 ，则 ，所以 ，故 的离心率为 .
故选：C.
4．（2024·四川乐山·三模）设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为 ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求 的值.
【详解】由椭圆 ，可得 ，
所以 ，所以椭圆的离心率 ，
又 ，所以双曲线的离心率为 ，
又双曲线 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：B.
5．（2024·山东·二模）如图所示，已知双曲线 的焦点分别是 是等边三
角形，若 的中点 在双曲线上，则双曲线的离心率等于 ．
【答案】 / .
【分析】由等边三角形性质可得 ，然后由双曲线的定义可得 的关系，即可求得离心率.
【详解】因为 是等边三角形，点 是 的中点，则 ，
又 ，所以 ，因为点 在双曲线上，所以 ，
所以 ．
故答案为：
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，焦点为 , ，一个短轴顶点为 ，则
（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】D
【分析】由题可得 ，可得 ，即可求解.
【详解】设椭圆 的中心为 ，长轴长、短轴长、焦距分别为 ， ， ，则在等腰三角形 中，
， ， ．
因为椭圆 的离心率为 ，所以在直角三角形 中， ，故 ，
．
故选：D
考点二、 利用“公式 3 ”求焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率
1. 已知 是椭圆 的两个焦点, 是 上的一点,若 ,且 ,则 的离心率为 )
A. B. C. D.
2．（全国·高考真题）设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥
，
∠ = ，则C的离心率为
A． B． C． D．【答案】D
【详解】由题意可设|PF |＝m，结合条件可知|PF |＝2m，|F F |＝ m，
2 1 1 2
故离心率e＝ 选D.
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再
根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线
的几何性质、点的坐标的范围等.
5．（全国·高考真题）设 是等腰三角形， ，则以 ， 为焦点，且过点 的双曲线的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题设条件可知 ，由正弦定理可得 ，再由双曲线的定义可得 ，最后由离
心率公式进行计算即可得解.
【详解】双曲线的焦点为 ， ，则 ，
是等腰三角形， ，
， ，
由正弦定理 即 ，解得 ，
双曲线过点 ，由双曲线的定义可得 ，
解得离心率 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由
下面两个方面着手：
（1）根据已知条件确定 ， ， 的等量关系，然后把 用 ， 代换，求 的值；
（2）已知条件构造出 ， ， 的等式或不等式，结合 化出关于 ， 的式子，再利用 ，
化成关于 的等式或不等式，从而解出 的值或范围.
1．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得 ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得 、 ，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得 与 的关系，进而求出
椭圆的离心率.
【详解】
由题意 ， ，
，
，
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
可得 ，所以椭圆的离心率 .
故选：B.
2．（2023·北京·校考模拟预测）已知 ， 分别是双曲线C： （ ， ）的两
个焦点，P为双曲线C上一点， 且 ，那么双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】由题意结合双曲线的定义和直角三角形的几何性质，列式运算可得其离心率的值.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，则 ，
由题意可得： ，
因为 ，整理得 .故选：D.
4．（2024·山东菏泽·高三统考）设 ， 是椭圆 的两个焦点.若在 上存在一点 ，
使 ，且 ，则 的离心率为 .
【答案】 .
【解析】由已知可得三角形是等腰直角三角形，则根据椭圆定义可得三角形三边长度，利用勾股定理即可
求解.
【详解】由已知可得三角形 是等腰直角三角形，且 ， ，
由椭圆的定义可得 ， ，又 ，
在△ 中，由勾股定理可得： ，即 ，
，
故答案为： .
【点睛】该题考查了椭圆定义以及直角三角形中的勾股定理问题，属于基础题目.
考点三、 利用“公式 5 ”求椭圆、双曲线离心率
1．（全国·高考真题）已知双曲线 的右焦点为F且斜率为 的直线交C于A、B
两点，若 ，则C的离心率为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过A，B分别作右准线的垂直AM，AN，垂足分别为M,N,再过B作BH垂直AM垂足为H，设|BF|
=x,则|AF|=4x,根据双曲线的第二定义可知
|AM|=4ex,|BN|=ex,|AH|=|AM|-|BN|=3ex,由于直线l的倾斜角为 ,所以
，所以 .
2．（全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 的直线与 相交于 两点．若 ，则
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，从而 ，则椭圆方程为 ．依题意可得
直线方程为 ，联立 可得
设 坐标分别为 ，则
因为 ，所以 ，从而有 ①
再由 可得 ，根据椭圆第二定义可得 ，即
②
由①②可得 ，所以 ，则 ，解得 ．因为
，所以 ，故选B
3．（2023·全国·高考真题）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．点 在 上，
点 在 轴上， ，则 的离心率为 ．
【答案】 /
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到 关于 的表达式，
从而利用勾股定理求得 ，进而利用余弦定理得到 的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得 ， ，将点 代入双曲线
得到关于 的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设 ，则 ，
在 中， ，则 ，故 或 （舍去），
所以 ， ，则 ，故 ，
所以在 中， ，整理得 ，
故 .
方法二:
依题意，得 ，令 ，
因为 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，
又点 在 上，则 ，整理得 ，则 ，
所以 ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 或 ，
又 ，所以 或 （舍去），故 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定
理得到关于 的齐次方程，从而得解.
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）设 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于 ， 两点，且 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 ，设出 ，根据椭圆的定义可知 ，
，再由 ，可知 和 都是直角三角形，最后利用勾股定理列方程求
解即可.
【详解】因为 ，不妨令 ，
由过 的直线交椭圆于 ， 两点，由椭圆的定义可得， ，|BF |+|BF |=2a，
1 2
则 ， ，
又因为 ，所以 ，则 和 都是直角三角形，
由勾股定理可得， ，
即 ，解得 ，
所以 ， ，
又 ， ，
所以 ，解得 ，
所以椭圆 的离心率为 .
故选：B.
2．（2022·浙江·高考真题）已知双曲线 的左焦点为F，过F且斜率为 的直线交双
曲线于点 ，交双曲线的渐近线于点 且 ．若 ，则双曲线的离心率是
．【答案】
【分析】联立直线 和渐近线 方程，可求出点 ，再根据 可求得点 ，最后根据
点 在双曲线上，即可解出离心率．
【详解】过 且斜率为 的直线 ，渐近线 ，
联立 ，得 ，由 ，得
而点 在双曲线上，于是 ，解得： ，所以离心率 .
故答案为： ．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交
椭圆C于点D，且 ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意知 ， ，设 ，由 解得点 坐标，代入椭圆方程，化简即可求
得离心率.
【详解】设椭圆的焦点在 轴上，方程为 ， ， ，
设 ，由 ，且 ，
故 ， ，
由点 在椭圆上，故 ，整理得 ，故离心率 ，
故选：B.
考点 四 、 斜率乘积求离心率
1．（2024·四川达州·二模）双曲线 的左、右顶点分别为 为 上一点，若
直线 与直线 斜率之积为2，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】设 ，由直线的斜率公式，结合 的坐标满足双曲线方程，可得 的关系，由离心率公式
即可求解.
【详解】由题意得 ，
设 ，可得 ，
即 ，
又直线 与直线 斜率之积为2，
得 ，
则离心率 .
故选： .
2．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，
线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，则 ，由点差法求解离心率即可.【详解】设 ，则 ，
则 ，两式相减可得 ，
，即 ，
即 ， ，故 .
故选：B
1．（2024·广东茂名·一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线
与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，若直线 与 的斜率之积为 ，则椭圆的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出各点坐标，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值.
【详解】 直线 经过原点， 设A(x ,y )， ， .
1 1
.
又 ， ， 两式相减，得 .
， . 离心率为 .
故选：B.2．（2024·湖北·模拟预测）椭圆 的右顶点为 ，直线 与椭圆 交
于A，B两点，直线PA，PB的斜率乘积为 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题可得 ，设 ， ，由 ，可得 ，进而可求离心率.
【详解】由题可得 ，设 ， ，则 ，
又 ，则 ， ，
则 ， ．
故选：B
考点 五 、 余弦定理求离心率
1．（2021·全国·高考真题）已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出 ，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为 ，由双曲线的定义可得 ，
所以 ， ；
因为 ,由余弦定理可得 ，
整理可得 ，所以 ，即 .
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立 间的等量关系是求解的关键.2．（2024·湖南衡阳·模拟预测）设 ， 是椭圆 （ ）的左、右焦点，过 的直线
与 交于 ， 两点，若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ， ，根据椭圆的定义及勾股定理求出 、 ，即可求出 、
，再由余弦定理求出 与 的关系，即可求出离心率.
【详解】不妨设 ， ， ，则 ， ．
又 ，所以 ，化简得 ，
显然 ，所以 ，解得 ， ，所以 ， ，
故 ，解得 ，故 的离心率为 ．
故选：D
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线一条渐近
线的垂线，垂足为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据点到直线得距离公式求出 ，在 和 中，求出 ，
利用余弦相反构造 的齐次式，即可得解.
【详解】 ，点 到渐近线 的距离为 ，即 ，因为 ，所以 ， ，
在 中，由余弦定理得： .
在 中，由余弦定理得： .
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 .
故选：D
4．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 且斜率为
的直线与椭圆 的一个交点为 ，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】由直线 的斜率得 和 ，由 得 和 ，
中，由余弦定理列方程求椭圆 的离心率.
【详解】由题知 在 轴上方，直线 的斜率为 ，则 ， ．
由 ， ，得 ，所以由椭圆的定义有 ．
在 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，得 ，即 ，
解得 或 ，
故椭圆 的离心率为 或 ．
故选：C.
1．（2024·湖南长沙·二模）已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶
点，过 作 的垂线，并与椭圆交于点 ，且满足 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理可得离心率.
【详解】
如图所示，
设 关于原点对称的点为 ，则 为平行四边形，
由 可知， ， ， 三点共线，且 ，
设 ，则 ，在 中， ，解得 ，
注意到 ，在 中结合余弦定理可得， ，
解得 ，则 ，所以 ，
故选：C.
2．（2024·浙江温州·三模）已知 是椭圆 的左右焦点， 上两点 满足：
， ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦点三角形的边长关系，利用余弦定理即可求解.
【详解】由 可知 ，设 ，则 ， ,
,
则由余弦定理可得
化简可得 ，故 ， （舍去），
又 ,
所以 ，化简可得
，故 ，
故选：D
x2 y2
3．（2024·江西鹰潭·三模）已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 ，倾斜角为 且
a2 b2
过原点的直线 交椭圆于 两点.若 ，设椭圆的离心率为 ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 ，得到四边形 为矩形，由直线 过原点且倾斜角为 ，在
和 中，利用余弦定理计算得 ，结合椭圆的定义 ,求得离心率，进
而计算出 .
【详解】如图所示，
因为 ，且 分别为 和 的中点， ，所以四边形
为矩形，
又直线 过原点且倾斜角为 ，即 ， ，且 为等腰三角形，
所以，在 中，根据余弦定理可得 ，即 ，
同时，在 中，根据余弦定理可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，
.
故选：B.
4．（2024·浙江·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线l与椭
圆 相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接 ， ．若O为坐标原点， ，
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形面积关系得出 ，再由勾股定理及椭圆定义求出 ，利用余弦定理及
求解即可.
【详解】设 ，由可得 ，由于 与 等高，
所以 ，
又 ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
在 中， ，
∵ ，
在 中， ，
化简可得 ，解得 ，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题关键点之一根据三角形面积关系得出 ，其次需要根据
建立 关系.
考点 六 、 构造齐次方程求离心率
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，以 为圆心
的圆交 轴正半轴于点 ，交 轴于 两点，线段 与 交于点 .若 的面积为 （ 为椭
圆的半焦距），则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据题中条件三角形面积计算出点 的坐标，代入椭圆的方程得到 的等式，化简得出离心率
的值；.
【详解】如图所示， ，所以圆 的方程为 ，
令 ，则 ，由图可知 ，
令 ，则 或 ，所以 .
设点 ，因为 的面积为 ，
所以 ，解得 ，
又因为直线 的方程为 ，因为点 在直线 上，
所以令 ，得 ，所以 ，
因为点 在椭圆 上，所以 ，即 ，
所以 ，化简得 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）设椭圆 的左右焦点为 ，右顶点为 ，已知点
在椭圆 上，若 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，求得 的面积为 ，结合 ，求得 ，进而得到 ，代入椭圆的方程，得到 ，转化为 ，即可求解.
x2 y2
【详解】由椭圆E: + =1(a>b>0)，可得 ，
a2 b2
不妨设点 在第一象限，由椭圆的定义知 ，
因为 ，可得 ，即 ，
可得 ，所以 ，
所以 的面积为 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，即 ，
将点 代入椭圆的方程，可得 ，整理得 ，
因为 ，可得 ，即 ，
解得 和 （舍去），即椭圆 的离心率为 .
故选：D.
1．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： ，点 ，
，若以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，且 ，
则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合圆的性质及数量积的运算律列式，化简可得 ，进而求出离心率.
【详解】由以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，得 ，即 ，而 ，则 ，又 ，
由 ，得 ，
则 ，即 ，因此 ，
整理得 ，解得 ，所以椭圆 的离心率为 .
故选：C
2．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
直线 过点 且与椭圆 的长轴垂直，直线 过椭圆 的上顶点与右顶点且与 交于点 ，若 （
为坐标原点），且 ，则椭圆 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先求出直线 ，直线 的方程，即可求出交点 的坐标，从而得到 点坐标，依题意可得点 在
椭圆 上，将 的坐标代入椭圆方程，即可得解.
【详解】设椭圆的焦距为 ，
则直线 ，直线 ，
联立 ，解得 ，即 ，
因为 ，故 ．
因为 ，所以点 在椭圆 上，
将 代入椭圆的方程得 ，即 ，
即 ，解得 或 （舍去）.故选：A
4．（2023·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， （如
图），过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意利用向量可求得点 的坐标，结合椭圆方程运算求解.
【详解】设椭圆 的半焦距为 ，
由题意可得： ，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，
即 ，且点 在椭圆 上，
则 ，整理得 ，解得 ，即 .
考点 七 、 离心率的范围及最值问题
1．（2021·全国·高考真题）设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点 都满足
，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再
构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由 可得
，即 ；
当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，显然该
不等式不成立．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论
函数的单调性从而确定最值．
2．（北京·高考真题）椭圆 的焦点为 ，两条准线与x轴的交点分别为M，N．若
，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据准线方程公式，由椭圆的方程可得 ，表示出 的长，又 ，所以把
和 的长度分别代入 ，化简即可求出离心率的取值范围，再根据椭圆的离心率小于1，取
交集即可.
【详解】因为椭圆的准线方程为 ，所以 ，又因为 ，
则由 ，得到 ，所以 ，又因为 ，所以 ，
故 ，
故选：D.
3．（湖南·高考真题）设 分别是椭圆 的左、右焦点，若在其右准线上存在P，使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先设出点 的坐标，再由题目条件得到 ，利用两点间的距离公式列出式子，借助
化简式子，得到关于离心率 的式子，结合离心率 的范围解出不等式即可.
【详解】设点 ，
因为线段 的中垂线过点 ，所以 ，即 ，
化简得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：D.
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 是椭圆 与双曲线 的一个公共
点，且 ，其离心率分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【分析】根据椭圆以及双曲线定义利用余弦定理和基本不等式计算可得当 时， 取得最
小值为3.
【详解】设 ，由余弦定理得 ，即 ；
在椭圆 中， 等于椭圆的长轴长，因此 ，
在双曲线 中， 等于双曲线的实轴长，因此 ，
则 ．所以 ，
当且仅当 时等号成立
故选：A
5．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是椭圆 上的动点，若动点 到定点 的距
离 的最小值为1，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，整理可得 ，根据题意结合二次函数分
析可得 ，进而可求离心率.
【详解】由题意可设： ，
则
，
令 ，则 ，
注意到 ，则 ，
可知 的图象开口向上，对称轴为 ，
当 ，即 时，可知 在 内的最小值为 ，
则 ，
整理得 ，解得 ，不合题意；
当 ，即 时，可知 在 内的最小值为 ，符合题意；
综上所述： .
可得椭圆 的离心率 ，
所以椭圆 的离心率的取值范围是 .
故选：D.【点睛】关键点点睛：设 ，整理得 ，换元
，分类讨论对称轴的取值范围，结合二次函数最值求 的取值范围.
1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知 是椭圆 的左、右焦点，若 上存在不同
的两点 ，使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性，
找到当 分别位于 的左、右顶点时， 有最大值，求出离心率的取值范围.
【详解】如图，延长 交椭圆于 ，根据椭圆的对称性，得 ， ，
当 分别位于 的左、右顶点时， 有最大值，
又因为 不重合，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 的离心率的取值范围为 ．
故选：C．
2．（2024·河南濮阳·模拟预测）点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于
椭圆的焦点 ，圆 与 轴相交于 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据 轴可设 ，代入椭圆方程可求得圆 的半径，根据 为锐角三角形，可构
造关于 的齐次不等式，进而配凑出离心率 ，解不等式即可求得结果.
【详解】 圆 与 轴相切于焦点 ， 轴，可设 ，
在椭圆上， ，解得： ， 圆 的半径为 ；
作 轴，垂足为 ，
， ，
为锐角三角形， ， ，
，即 ，解得： ，
即椭圆离心率的取值范围为 .
故选：D.
3．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有共同
的焦点 ，点 为两曲线的一个公共点，且 ，椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，
那么 最小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别在椭圆和双曲线中，利用焦点三角形中的余弦定理建立等量关系，再构造 ，利用
基本不等式，即可求解.
【详解】设两曲线的半焦距为 ，由余弦定理得 ．在椭圆中， ，
得 ．
在双曲线中， ，
得 ．从而 ，得 ，
则 ，即 ，
即 ．
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故选：B
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A作x
轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[ √3 ，2]
【答案】A
【分析】首先求出 ，再结合题干中的条件可知 ，通过解不等式可得 的
取值范围，结合双曲线的离心率公式可得答案.
【详解】由题意得 ，渐近线 ,
将 代入得 坐标为 ,所以 ,
因为 轴，所以 ,
由已知可得 ,
两边同时除以 得 ,所以 ，即 ，
解得 ,所以 ，
而双曲线的离心率 ，
故选：A.
1．（2024·全国·模拟预测）设椭圆 的离心率是椭圆 的离心率的
倍，则 的长轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据离心率公式 求得椭圆 和椭圆 离心率，列式求解求得 ，进而可得解.
【详解】因为椭圆 ，
所以椭圆 离心率为 ，
椭圆 的离心率 ，
则由题意可知 ，解得 .
所以 的长轴长为 .
故选：D.
2．（2024·河南商丘·模拟预测）若动直线 始终与椭圆 （ 且
）有公共点，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】由直线方程得出直线过定点 ，再由直线与椭圆有公共点列出不等式，结合椭圆离心率公式计
算即可．
【详解】由直线 得，直线过定点 ，
由题意得，点 在椭圆上或椭圆内部，
所以 ，则 ，所以椭圆焦点在 轴上，
所以 ，
故选：C．
3．（2024·江苏南京·二模）设 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，
直线 与以 为圆心、 为半径的圆切于点 为坐标原点 ，且 ，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出 的长度，进而通过 ，可以得到 的长
度，再次应用勾股定理，求出 的长度，最后根据 为椭圆上一点，运用椭圆的定义，结合椭圆离心率
公式进行求解即可.
【详解】由题意， ， ，
因为直线 与以 为圆心、 为半径的圆切，
所以 ，
因此由勾股定理可知 ，
又 ，所以 ，因此 ，
由勾股定理可得 ，
根据椭圆定义， ， .
故选：B4．（2024·全国·模拟预测）设椭圆 和双曲线 的离心率分别为 ，若
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线的性质得到离心率 的表达式，再根据 得到 的范围 ，代入
中即可求解.
【详解】由题意可得 ．
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故选：B．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右顶点，点 在 上，
为等腰三角形，且顶角为 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，过点 作 轴，求得 ，代入双曲线方程求解.
【详解】如图所示：
因为 为等腰三角形，且顶角为 ，
所以 ，过点 作 轴，垂足为 ，
在 中，则 ，故 ，
代入双曲线方程得 ，解得 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：D
6．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线 的一条渐近线为 ，则其离心率为
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程解得 ，再由离心率公式求解即可.
【详解】解：因为双曲线 的一条渐近线为 ( )，
即 ,
所以渐近线的斜率为 ，
即 ，
解得 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
7．（2024·全国·模拟预测）椭圆 的左顶点为 ，点 均在 上，且点 关于点 轴对称，若直线 均存在斜率，且斜率之积为 ，记 的离心率为 ，则 （ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 的坐标，进而利用两点距离公式与点在椭圆上得到关于 的齐次方程，从
而得解.
【详解】由题可得 ，设 .
则 ，
又 ，
则 .
则 .
故选：C
二、多选题
8．（2024·甘肃酒泉·三模）已知椭圆 上存在点 ，使得 ，其中 分别
为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的定义得到 ， ，再由 即可求出离心率的取值范围，即可判断.
【详解】因为 ，又 ，所以 ， ，
又 ，即 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，故符合题意的有BCD.
故选：BCD
9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知 ，则双曲线 与 有相同的
（ ）
A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线【答案】CD
【分析】由双曲线的几何性质逐一判断即可；
【详解】对于选项A、B：设 ，易知 的左、右焦点坐标分别为 和 ，
而 的标准方程为 ，故其左、右焦点坐标分别为 和 ，
显然 和 的焦点和焦距均不相同，故A，B错误；
对于选项C、D： 和 的离心率均为 ，渐近线方程均为 ，故C，D正确．
故选：CD.
三、填空题
10．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知双曲线 的一条渐近线与直线
垂直，则C的离心率为 .
【答案】
【分析】借助斜率与垂直的关系可得 ，即可得离心率.
【详解】由直线 的斜率为 ，故有 ，
即 ，则 .
故答案为： .
一、单选题
1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若经过
的弦 满足 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据椭圆的定义可得 ，由 ，根据余弦定理可得，再由离心率公式求解即可.
【详解】
由题可知 ，
所以 ，解得 ，
由
得 ，
整理得 ，
所以 .
故选：A.
2．（2024·江苏苏州·三模）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，过 作 的
渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于 点，此时 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根据题意，联立直线方程可得点 坐标，再由 可得 ，在 中
可得 ，从而得到 ，再由离心率公式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为双曲线 ，则其渐近线方程为 ，
且 ，过 作 的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于 点，
则直线方程为 ，联立直线方程 ，解得 ，
所以 ，过点 作 轴的垂线，交 轴于点 ，
因为 ，则 ，
则 ，且 ，
即 ，化简可得 ，则 .
故选：C
3．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆上第一象限
内的一点，且 与 轴相交于点 ，离心率 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由离心率得 ， ，由 得 在圆 上，解方程组求得 点坐
标，利用 的横坐标即可求得 ．
【详解】 ， ，则 ，所以 ， ，椭圆方程化为 ，
，因此 在圆 上，
由 ，解得 ， 在第一象限，则 ，
，则 ，
故选：D．
4．（2024·山东菏泽·二模）已知 分别为椭圆 和双曲线 的离心率，双曲
线渐近线的斜率不超过 ，则 的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，求出 ，令 ，结合 ，即可求解.
【详解】由椭圆 的离心率 ，
双曲线 的离心率 ，可得 ，
令 ，因为双曲线的渐近线的斜率不超过 ，即 ，
则 此时 ，即 ，
则 的最大值是 .
故选：B.
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 : 的左焦点为 ，过 的直线 交圆
于 ， 两点，交 的右支于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】设双曲线的右焦点为 ，连接 ，过 作 与 ，易得 ， ，设
，结合双曲线的定义分别求出对应边，在 和 中，由勾股定理得 和
之间的关系，即可求解.
【详解】
设双曲线的右焦点为 ，连接 ，过 作 与 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 为线段 的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ， ，
设 ，
则 ， ，
，
所以 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，解得 ，所以 .
故选： .
【点睛】方法点睛：求解离心率的常用方法：
（1）直接法：直接求出 ， ，求解 ；
（2）变用公式，整体求出 ；
（3）利用题目中所给的几何关系或者条件得出 ， ， 的关系；
（4）构造 ， 的齐次式，解出 .
6．（2024·天津·二模）设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点 的
直线与双曲线C交于A，B两点， ， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由双曲线的对称性可得 ， 且四边形 为平行四边形，由数量积的定义，
结合余弦定理代入计算，即可得离心率.
【详解】
由双曲线的对称性可知 ， ，有四边形 为平行四边形，
令 ，则 ，
由双曲线定义可知 ，故有 ，即 ，
即 ， ，
则
，
即 ， ，所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：一：求出 ，代入公式 计算；
二：只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，结合 转化为 的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以 或 转化为关于 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 （ 的取值范围）.
7．（2024·湖南·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，过 作直
线与C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，首先证明 ，结合题意算得解得 ，即可得三角形
为等边三角形，进一步结合椭圆定义可得， ，
，即 是 的中点，结合勾股定理、离心率公式即可求解.
【详解】
我们首先来证明一个引理：若 ，则 ，
证明如下：设 ，则由余弦定理有
，即 ，
所以 ，
所以 ，从而引理得证；
根据题意可得， ，解得 ，因为 ，所以 ，解得 ，
由 ， ，可得三角形 为等边三角形，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 是 的中点，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键在于得出三角形 为等边三角形，进一步得出 的齐次式关系即可求解.
二、填空题
8．（2024·陕西西安·三模）已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线交
双曲线的左支于A，B两点， ， ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】设 ， ，在 中，利用余弦定理求出|AB|，再根据双曲线的定义即可求
出 ，再在 中，利用余弦定理即可得解.
【详解】由题可设 ， ，
由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
在 中， ， ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
则所求双曲线的离心率为 ．
故答案为： ．
9．（2024高三下·全国·专题练习）已知P、Q为椭圆 上关于原点对称的两点，点P
在第一象限， 、 是椭圆C的左、右焦点， ，若 ，则椭圆C的离心率的取值范围
为 .
【答案】
【分析】结合题目条件可得四边形 是矩形，设 ，由 可得 ，又
，化简计算即可得解.
【详解】如图， ，
显然四边形 是矩形，所以 ，
由题意， ，所以 ，
设 ，则 ，所以 ，
又点P在第一象限，所以 ，
故 ，即 ，所以 ，
椭圆C的离心率，
由 可得 ，
又 ，
所以 ，
故 .
故答案为： .
10．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知双曲线 的左顶点是 ，右焦点是 ，点
是双曲线 右支上异于顶点的动点， 的平分线与直线 交于点 ，过 作 轴，垂足是 ，
若 恒成立，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】
【分析】过点 作 ，根据题意，得到 ，设 ，由 为 的角平分线，
求得 ，化简得到 ，结合任意的 都成立，列出方
程组，求得 ，即可求解.
【详解】如图所示，过点 作 交 于点 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
由 为 的角平分线，可得 ，所以 ，
由 ，可得 ，
所以 ，
整理得 ，
若对于任意的 都成立，则必有 ，解得 ，
所以双曲线的离心率为 .
故答案为： .
1．（2024·广东江苏·高考真题）设双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作平行
于 轴的直线交C于A，B两点，若 ，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出 ，结合双曲线第一定义求出 ，即可得到 的值，
从而求出离心率.
【详解】由题可知 三点横坐标相等，设 在第一象限，将 代入
得 ，即 ，故 ， ，
又 ，得 ，解得 ，代入 得 ，故 ，即 ，所以 .
故答案为：
2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
【答案】(1)椭圆的方程为 ，离心率为 .
(2) .
【分析】（1）由 解得 ，从而求出 ，代入椭圆方程即可求方程，再代入离心率公
式即求离心率.
（2）先设直线 的方程，与椭圆方程联立，消去 ，再由韦达定理可得 ，从而得到 点和 点坐
标.由 得 ，即可得到关于 的方程，解出 ，代入直线
的方程即可得到答案.
【详解】（1）如图，由题意得 ，解得 ，所以 ，
所以椭圆的方程为 ，离心率为 .
（2）由题意得，直线 斜率存在，由椭圆的方程为 可得 ，
设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，消去 整理得： ，
由韦达定理得 ，所以 ，
所以 ， .
所以 , , ，
所以 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以直线 的方程为 .
3．（2022·天津·高考真题）椭圆 的右焦点为F，右顶点A和上顶点为B满足
．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于点N（N异于M）．记O为原点，若 ，且的面积为 ，求椭圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于 、 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程与椭圆方程联
立，由 可得出 ，求出点 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得 的
值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解： ，
离心率为 .
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为 ，
易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
联立 得 ，
由 ，①
， ，
由 可得 ，②
由 可得 ，③
联立①②③可得 ， ， ，故椭圆的标准方程为 ．
4．（2022·全国·高考真题）（多选）双曲线C的两个焦点为 ，以C的实轴为直径的圆记为D，过
作D的切线与C交于M，N两点，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，利用正弦定理结合三角变换、
双曲线的定义得到 或 ，即可得解，注意就 在双支上还是在单支上分类讨论.【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为B，
所以 ，因为 ，所以 在双曲线的左支，
， ， ，设 ，由即 ，则 ，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为 ，所以 在双曲线的右支，
所以 ， ， ，设 ，
由 ，即 ，则 ，所以 ，即 ，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点都在左支, ，
，
则 ，
特值双曲线 ，
过 且与圆相切的一条直线为 ，
两交点在左右两支， 在右支， ，
，
则 ，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在 轴，设过 作圆 的切线切点为 ，
若 分别在左右支，
因为 ，且 ，所以 在双曲线的右支，又 ， ， ，
设 ， ，
在 中，有 ，
故 即 ，
所以 ，
而 ， ， ，故 ，
代入整理得到 ，即 ，
所以双曲线的离心率
若 均在左支上，
同理有 ，其中 为钝角，故 ，
故 即 ，
代入 ， ， ，整理得到： ，故 ，故 ，
故选：AC.
5．（2021·天津·高考真题）已知双曲线 的右焦点与抛物线 的焦点重
合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若 ．则双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为 ，进而可得准线为 ，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得
，再由双曲线离心率公式即可得解.
【详解】设双曲线 与抛物线 的公共焦点为 ，
则抛物线 的准线为 ，
令 ，则 ，解得 ，所以 ,
又因为双曲线的渐近线方程为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故选：A.
6．（2021·浙江·高考真题）已知椭圆 ，焦点 ， ，若过 的直线
和圆 相切，与椭圆在第一象限交于点P，且 轴，则该直线的斜率是 ，
椭圆的离心率是 .
【答案】
【分析】不妨假设 ，根据图形可知， ，再根据同角三角函数基本关系即可求出
；再根据椭圆的定义求出 ，即可求得离心率．【详解】
如图所示：不妨假设 ，设切点为 ，
，
所以 , 由 ，所以 ， ，
于是 ，即 ，所以 ．
故答案为： ； ．
7．（全国·高考真题）双曲线C: 的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为
A．2sin40° B．2cos40° C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得 ，再利用 求双曲线的离心率．
【详解】由已知可得 ，
，故选D．
【点睛】对于双曲线： ，有 ；对于椭圆 ，有
，防止记混．
8．（全国·高考真题）已知 ， 是椭圆 的左，右焦点， 是 的左顶点，点 在过
且斜率为 的直线上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据条件得PF=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.
2
【详解】因为 为等腰三角形， ，所以PF=FF=2c,
2 1 2
由 斜率为 得， ，
由正弦定理得 ,
所以 ，
故选：D.
9．（重庆·高考真题）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在
一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】试题分析：在△PF F 中，由正弦定理得： ，则由已知得： ，
1 2
即：a|PF |=|cPF |
1 2
设点（x ，y ）由焦点半径公式，
0 0
得：|PF |=a+ex ，|PF |=a-ex 则a（a+ex ）=c（a-ex ）
1 0 2 0, 0 0
解得：x = ，由椭圆的几何性质知：x ＞-a则 >-a
0 0
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜- -1或e＞ -1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈( -1，1)，故答案为( -1，1)．
考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，
多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到
离心率的范围．
10．（天津·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 .若 与双曲线 的两
条渐近线分别交于点A和点B，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率．
【详解】抛物线 的准线 的方程为 ，
双曲线的渐近线方程为 ，
则有
∴ ， ， ，
∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度．
11．（全国·高考真题）设 是等腰三角形， ，则以 ， 为焦点，且过点 的双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题设条件可知 ，由正弦定理可得 ，再由双曲线的定义可得 ，最后由离
心率公式进行计算即可得解.
【详解】双曲线的焦点为 ， ，则 ，
是等腰三角形， ，
， ，
由正弦定理 即 ，解得 ，
双曲线过点 ，由双曲线的定义可得 ，
解得离心率 ，
故选：B.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由
下面两个方面着手：
（1）根据已知条件确定 ， ， 的等量关系，然后把 用 ， 代换，求 的值；（2）已知条件构造出 ， ， 的等式或不等式，结合 化出关于 ， 的式子，再利用 ，
化成关于 的等式或不等式，从而解出 的值或范围.
12．（福建·高考真题）已知 ， 是双曲线 的两个焦点，以线段 为边作正
三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意有 可得 坐标，进而求得 的中点坐标，代入双曲线方程得到参数的齐次方程，
即可求离心率.
【详解】依题意知，若双曲线焦点为 ， ，
∴ ，则△ 的高为 ，即 ，
∴ ，代入双曲线方程： ，整理得： ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，得 ，
∵ ，
∴ ．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：利用双曲线、等边三角形、中点的性质求点坐标，由点在双曲线上可得双曲线参数
的齐次方程.
