文档内容
第 07 讲 平面向量奔驰定理与三角形四心问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
平面向量问题是高中数学中的一个热点，在高考中考查比重不会很大，一般以选择填空形式出现，难
度一般也会控制在中等，有时也会以压轴题命题。平面向量中有很多重要的应用，比如系数和（等和
线）、极化恒等式、本节我们继续学习另一个重要的结论-奔驰定理。它将三角形的四心与向量完美地融
合到一起，高中的同学们可以将这个内容当成课外拓展知识，同时也是加强对三角形的认识，加深对数学
的理解。
奔驰定理”揭示的是平面向量与三角形面积之间所蕴含的一个优美规律并因其图形与奔驰的 logo相似
而得名“奔驰定理”，会提升解题效率，可强化学习。
知识讲解
1. 奔驰定理
如图，已知P为 内一点，则有 .
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.2. 奔驰定理的证明
如图：延长 与 边相交于点
则
3. 奔驰定理的推论及四心问题
推论 是 内的一点,且 ,则
有此定理可得三角形四心向量式
（1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的
距离之比为2：1.
（2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.
（3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的
内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.
（4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，
它到三角形三个顶点的距离相等.
奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
已知点 在 内部，有以下四个推论：
①若 为 的重心，则 ；
②若 为 的外心，则 ；或
③若 为 的内心，则 ；备注：若 为 的内心，则
也对.
④若 为 的垂心，则 ，或
研究三角形“四心”的向量表示，我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题，充分利用
平面向量的相关知识解决三角形的问题，这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用，也很好地体现了数
形结合的数学思想.
考点一、 奔驰定理与四心问题综合
1．（宁夏·高考真题）已知O，N，P在 所在平面内，且 ，且
，则点O，N，P依次是 的
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）
A．重心外心垂心 B．重心外心内心
C．外心重心垂心 D．外心重心内心
2．（江苏·高考真题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．设 是 所在平面内的一点,若 且 .则点 是 的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
4．已知点 是 所在平面内一点，且满足 ，则直线 必经过
的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．设 是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点， 动点P满足， ，则动点P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
1．若 是 内一点，且 ，则 为 的（ ）
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
2．已知点 是 所在平面上的一点， 的三边为 ，若 ，则点 是
的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
3．已知点O为 所在平面内一点，在 中，满足 ， ，则点O为
该三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
4．已知 ， ， 是不在同一直线上的三个点， 是平面 内一动点，若 ，
，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心
5．在平面上有 及内一点O满足关系式： 即称为经典的“奔驰
定理”，若 的三边为a，b，c，现有 则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
6．已知G，O，H在 所在平面内，满足 ， ，
，则点G，O，H依次为 的（ ）
A．重心，外心，内心 B．重心、内心，外心
C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心
考点二、 奔驰定理与其他问题综合
1．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedes benz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”若 是锐角 内的一
点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 ，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰
定理与三角形四心（重心､内心､外心､垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是 内一点，
的面积分别为 ，且 ．以下命题正确的有
（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
1．奔驰定理：已知点O是 内的一点，若 的面积分别记为 ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是 的垂心，且
，则 （ ）A． B． C． D．
2．（多选）如图. 为 内任意一点，角 的对边分别为 ，总有优美等式
成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（ ）
A．若 是 的重心，则有
B．若 成立，则 是 的内心
C．若 ，则
D．若 是 的外心， ， ，则
6．（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是 ABC内一点，
BOC， AOC， AOB的面积分别为 ， ， ，且 ．设△O是锐角 ABC
△内的一点△，∠BAC△，∠ABC，∠ACB分别是的 ABC三个内角，以下命题正确的有（ ） △
△
A．若 ，则
B．若 ， ， ，则C．若O为 ABC的内心， ，则
△
D．若O为 ABC的垂心， ，则
△
一、单选题
1．在 中，动点P满足 ，则P点轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
2．若O，M，N在 所在平面内，满足 ，且
，则点O，M，N依次为 的（ ）
A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，内心
C．外心，重心，垂心 D．外心，垂心，重心
3．已知O为 内一点，若分别满足① ；② ；③
；④ (其中 为 中，角 所对的边).则O依次是
的
A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心
C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心
4．给定△ABC，则平面内使得到A，B，C三点距离的平方和最小的点是△ABC的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
5．若 为 所在平面内一点，且 则点 是 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
6．已知 ， ， ， 是平面上的4个定点， ， ， 不共线，若点 满足 ，其
中 ，则点 的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
7．平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ， ， 的面积分别记作 ，
， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车的 很相似，常把上述结论称为“奔
驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足 ，则O为
的（ ）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
8．已知点 在平面 中，且 ，则
点 是 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心
9．奔驰定理：已知 是 内的一点，若 、 、 的面积分别记为 、 、 ，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知 是 的垂心，且
，则 ( )
A． B． C． D．
10．已知O是 所在平面上的一点,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，若 （其
中P是 所在平面内任意一点），则O点是 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车
标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是 ABC内的一点， BOC， AOC，
AOB的面积分别为 、 、 ，则有 △，设O是锐角 A△BC内的一△点，
△∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是 ABC的三个内角，以下命题错误的是（ ） △
△A．若 ，则O为 ABC的重心
B．若 ，则 △
C．则O为 ABC（不为直角三角形）的垂心，则
△
D．若 ， ， ，则
二、多选题
12．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”奔驰定理：已知O是 内的一点，
， ， 的面积分别为 ， ， ，则 .若O是锐角 内
的一点，A，B，C是 的三个内角，且点O满足 .则（ ）
A．O为 的外心 B．
C． D．
13．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很
相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面
积分别为 ，则有 .设 是锐角 内的一点， ， ，
分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A．若 ，则 为 的重心
B．若 ，则
C．若 ， ， ，则
D．若 为 的垂心，则
14．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三
角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是 内一点，
， ， 的面积分别为 ， ， ，且 ．以下命题正确的
是（ ）
A．若 ，则M为 的重心
B．若M为 的内心，则
C．若 ， ，M为 的外心，则
D．若M为 的垂心， ，则
15．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若 、 是锐角 内的
点， 、 、 是 的三个内角，且满足 ， ，则
（ ）
A．
B．C．
D．
三、填空题
16．在面上有 及内一点 满足关系式： 即称为经典的“奔驰定
理”，若 的三边为 ， ， ，现有 ，则 为 的 心.
17．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
， ，则P的轨迹一定经过 的 ．(从“重
心”，“外心”，“内心”，“垂心”中选择一个填写）
18．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P是 的重心，则有 ；
②若 成立，则P是 的内心；
③若 ，则 ；
④若P是 的外心， ， ，则 ；
⑤若 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，O为 内的一点且为内心.若
，则 的最大值为 .
则正确的命题有 .（填序号）
19． 年，戴姆勒公司申请登记了“三叉星”做为奔驰轿车的标志，象征着陆上，水上和空中的机械化，
而此圆环中的星形标志演变成今天的图案，沿用至今，并成为世界十大著名的商标之一（图一）.已知 为
内一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则有 ，我们
称之为“奔驰定理”（图二）.已知 的内角 的对边分别为 ，且 ， 为 内
的一点且为内心.若 ，则 的最大值为 .20．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与
三角形的四心（重心､内心､外心､垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图，若 是 内一点，
的面积分别为 ，则有 .已知 为 的内心，且
，若 ，则 的最大值为 .
