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2021年四川省泸州市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）.
1．2021的相反数是（ ）
A．﹣2021 B．2021 C． D．﹣
2．第七次全国人口普查统计，泸州市常住人口约为4254000人，将4254000用科学记数法表
示为（ ）
A．4.254×105 B．42.54×105 C．4.254×106 D．0.4254×107
3．下列立体图形中，主视图是圆的是（ ）
A． B． C． D．
4．函数y＝ 的自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
5．如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是
（ ）
▱
A．61° B．109° C．119° D．122°
6．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，﹣2）向右平移5个单位长度得到点B，则点B关于y轴
对称点B′的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣2，﹣2） D．（2，﹣2）
7．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8．在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论： ＝ ＝
＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c
＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16 D．64
9．关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x ，x ，满足x x ＝2，则（x 2+2）
π 1 2 1 2 π 1
（x 2+2）的值是（ ）
2
A．8 B．32 C．8或32 D．16或40
10．已知10a＝20，100b＝50，则 a+b+ 的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
11．如图， O的直径AB＝8，AM，BN是它的两条切线，DE与 O相切于点E，并与AM，BN
分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD＝10，则BF的长是（ ）
⊙ ⊙
第1页（共12页）A． B． C． D．
12．直线l过点（0，4）且与y轴垂直，若二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a（其
中x是自变量）的图象与直线l有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范
围是（ ）
A．a＞4 B．a＞0 C．0＜a≤4 D．0＜a＜4
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.
13．分解因式：4﹣4m2＝ ．
14．不透明袋子中装有3个红球，5个黑球，4个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中
随机摸出一个球，则摸出红球的概率是 ．
15．关于x的不等式组 恰好有2个整数解，则实数a的取值范围是 ．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，
AE，BF相交于点G，则△AGF的面积是 ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．（6分）计算：（ ）0+（ ）﹣1﹣（﹣4）+2 cos30°．
18．（6分）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：BD＝CE．
19．（6分）化简：（a+ ）÷ ．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分.
20．（7分）某合作社为帮助农民增收致富，利用网络平台销售当地的一种农副产品．为了解
该农副产品在一个季度内每天的销售额，从中随机抽取了20天的销售额（单位：万元）作
为样本，数据如下：
16 14 13 17 15 14 16 17 14 14
15 14 15 15 14 16 12 13 13 16
（1）根据上述样本数据，补全条形统计图；
第2页（共12页）（2）上述样本数据的众数是 ，中位数是 ；
（3）根据样本数据，估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额．
21．（7分）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A
货车与4辆B货车一次可以运货160吨．
（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分别运货多少吨？
（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A、B两种货车将全部货物一次运完
（A、B两种货车均满载），其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费
400元．请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于A（2，3），B（6，
n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比
例函数的图象相交于点P，Q，求 的值．
23．（8分）如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出
求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西
60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25 海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海
轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少
时间．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．（12分）如图，△ABC是 O的内接三角形，过点C作 O的切线交BA的延长线于点F，
AE是 O的直径，连接EC．
（1）求证：∠ACF＝∠B；⊙ ⊙
（2）若A⊙B＝BC，AD⊥BC于点D，FC＝4，FA＝2，求AD•AE的值．
第3页（共12页）25．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣ x2+ x+4与两坐标轴分别相交
于A，B，C三点．
（1）求证：∠ACB＝90°；
（2）点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点
F．
①求DE+BF的最大值；
②点G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．
2021年四川省泸州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）.
1．【解答】解：2021的相反数是：﹣2021．
故选：A．
2．【解答】解：4254000＝4.254×106．
故选：C．
3．【解答】解：三棱柱、圆柱的主视图都是长方形，
圆锥的主视图是三角形，
球的主视图是圆，
故选：D．
4．【解答】解：要使函数有意义，
则x﹣1＞0，
解得：x＞1，
故选：B．
5．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝61°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝119°，
故选：C．
第4页（共12页）6．【解答】解：点A（﹣3，﹣2）向右平移4个单位长度得到的B的坐标为（﹣3+5，﹣2），即（2，
﹣2），
则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，﹣2）．
故选：C．
7．【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的四边形也可能是等
腰梯形等四边形，故A不符合题意；
B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线再相等，则四边形是矩形，故B符合题
意；
C、对角线互相垂直的四边形不能判定是平行四边形，也就不能判定是菱形，故C不符合题意；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不能判断它的内角有直角，故D不符合题意；
故选：B．
8．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵ ＝2R，
∴2R＝ ＝ ＝ ，
∴R＝ ，
∴S＝ R2＝ （ ）2＝ ，
故选：A．
π π π
9．【解答】解：由题意得△＝（2m）2﹣4（m2﹣m）≥0，
∴m≥0，
∵关于x的一元二次方程x2+2mx+m2﹣m＝0的两实数根x ，x ，满足x x ＝2，
1 2 1 2
则x +x ＝﹣2m，x •x ＝m2﹣m＝2，
1 2 1 2
∴m2﹣m﹣2＝0，解得m＝2或m＝﹣1（舍去），
∴x +x ＝﹣4，
1 2
（x 2+2）（x 2+2）
1 2
＝（x x ）2+2（x +x ）2﹣4x x +4，
1 2 1 2 1 2
原式＝22+2×（﹣4）2﹣4×2+4＝32；
故选：B．
10．【解答】解：∵10a×100b＝10a×102b＝10a+2b＝20×50＝1000＝103，
∴a+2b＝3，
∴原式＝ （a+2b+3）＝ ×（3+3）＝3，
故选：C．
11．【解答】解：如图，构建如图平面直角坐标系，过点D作DH⊥BC于H．
∵AB是直径，AB＝8，
∴OA＝OB＝4，
∵AD，BC，CD是 O的切线，
∴∠DAB＝∠ABH＝∠DHB＝90°，DA＝DE，CE＝CB，
∴四边形ABHD是矩⊙形，
第5页（共12页）∴AD＝BH，AB＝DH＝8，
∴CH＝ ＝ ＝6，
设AD＝DE＝BH＝x，则EC＝CB＝x+6，
∴x+x+6＝10，
∴x＝2，
∴D（2，4），C（8，﹣4），B（0，﹣4），
∴直线OC的解析式为y＝﹣ x，直线BD的解析式为y＝4x﹣4，
由 ，解得 ，
∴F（ ，﹣ ），
∴BF＝ ＝ ，
故选：A．
12．【解答】解：∵直线l过点（0，4）且与y轴垂直，
∴直线l为：y＝4，
∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a的图象与直线l有两个不同的交点，
∴（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝4，
整理得：3x2﹣12ax+12a2+a﹣4＝0，
△＝（﹣12a）2﹣4×3（12a2+a﹣4）＝144a2﹣144a2﹣12a+48＝﹣12a+48＞0，
∴a＜4，
又∵二次函数y＝（x﹣a）2+（x﹣2a）2+（x﹣3a）2﹣2a2+a＝3x2﹣12ax+12a2+a对称轴在y轴右
侧，
∴﹣ ＝2a＞0，
∴a＞0，
∴0＜a＜4，
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）.
13．【解答】解：原式＝4（1﹣m2）
＝4（1+m）（1﹣m）．
故答案为：4（1+m）（1﹣m）．
14．【解答】解：∵袋子中共有3+5+4＝12个除颜色外无其他差别的球，其中红球的个数为3，
∴从袋子中随机摸出一个球，摸出红球的概率是 ＝ ，
故答案为： ．
15．【解答】解：解不等式2x﹣3＞0，得：x＞1.5，
解不等式x﹣2a＜3，得：x＜2a+3，
∵不等式组恰好有2个整数解，
∴3＜2a+3≤4，
解得：0＜a≤0.5，
故答案为：0＜a≤0.5．
16．【解答】解：作FM⊥AB于点M，作GN⊥AB于点N，如右图所示，
∵正方形ABCD的边长为4，点E是BC的中点，点F在CD上，且CF＝3DF，
∴BE＝2，MF＝4，BM＝CF＝3，
∵GN⊥AB，FM⊥AB，
∴GN∥FM，
∴△BNG∽△BMF，
第6页（共12页）∴ ，
设BN＝3x，则NG＝4x，AN＝4﹣3x，
∵GN⊥AB，EB⊥AB，
∴△ANG∽△ABE，
∴ ，
即 ，
解得x＝ ，
∴GN＝4x＝ ，
∴△AGF的面积是： ＝ ＝ ，
故答案为： ．
三、本大题共3个小题，每小题6分，共18分.
17．【解答】解：（ ）0+（ ）﹣1﹣（﹣4）+2 cos30°．
＝1+4+4+3
＝12．
18．【解答】证明：在△ABE与△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA）．
∴AD＝AE．
∴BD＝CE．
19．【解答】解：原式＝（ + ）÷
＝ •
＝ •
＝a﹣1．
四、本大题共2个小题，每小题7分，共14分.
20．【解答】解：（1）由题目中的数据可得，
销售额为14万元的有6天，销售额为16万元的有4天，
补全的条形统计图如右图所示；
第7页（共12页）（2）由条形统计图可得，
样本数据的众数是14万元，中位数是（14+15）÷2＝14.5（万元），
故答案为：14万元，14.5万元；
（3） ＝14.65（万元），
答：估计这种农副产品在该季度内平均每天的销售额是14.65万元．
21．【解答】解：（1）设1辆A货车一次可以运货x吨，1辆B货车一次可以运货y吨，
根据题意得： ，
解得： ，
答：1辆A货车一次可以运货20吨，1辆B货车一次可以运货15吨；
（2）设A货车运输m吨，则B货车运输（190﹣m）吨，设总费用为w元，
则：w＝500× +400×
＝25m+
＝25m﹣ m+
＝﹣ m+ ，
∵﹣ ＜0，
∴w随m的增大而减小．
∵A、B两种货车均满载，
∴ ， 都是整数，
当m＝20时， 不是整数；
当m＝40时， ＝10；
当m＝60时， 不是整数；
当m＝80时， 不是整数；
当m＝100时， ＝6；
当m＝120时， 不是整数；
第8页（共12页）当m＝140时， 不是整数；
当m＝160时， ＝2；
当m＝180时， 不是整数；
故符合题意的运输方案有三种：
①A货车2辆，B货车10辆；
②A货车5辆，B货车6辆；
③A货车8辆，B货车2辆；
∵w随m的增大而减小，
∴费用越少，m越大，
故方案③费用最少．
五、本大题共2个小题，每小题8分，共16分.
22．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 得图象过点A（2，3），点B（6，n），
∴m＝2×3＝6，m＝6n，
∴y＝ ，n＝1，
∴一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（2，3），点B（6，1），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数的解析式为：y＝﹣ x+4；
（2）∵直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，
∴直线l的解析式为：y＝﹣ x+4﹣8＝﹣ x﹣4，
当x＝0时，y＝﹣4，
当y＝0时，x＝﹣8，
∴M（﹣8，0），N（0，﹣4），
∴OM＝8，ON＝4，
∴MN＝ ＝ ＝4 ，
联立 ，
得：﹣ x﹣4＝ ，
解得：x ＝﹣2，x ＝﹣6，
1 2
将x ＝﹣2，x ＝﹣6代入y＝ 得：y ＝﹣3，y ＝﹣1，
1 2 1 2
经检验： 和 都是原方程组的解，
∴P（﹣6，﹣1），Q（﹣2，﹣3），
如图，过点P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，两条平行线交于点C，
则∠C＝90°，C（﹣2，﹣1），
∴PC＝﹣2﹣（﹣6）＝4，CQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，
第9页（共12页）∴PQ＝ ＝ ＝2 ，
∴ ＝ ＝ ．
23．【解答】解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25 海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25 （海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25 （海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝ ＝ ＝70（海里），
∴70÷42＝ （小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是 小时．
六、本大题共2个小题，每小题12分，共24分.
24．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，
第10页（共12页）∵CF是 O的切线，
∴∠OCF＝90°，
∴∠OCA⊙+∠ACF＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠E＝∠OCE，
∵AE是 O的直径，
∴∠ACE＝90°，
∴∠OCA⊙+∠OCE＝90°，
∴∠ACF＝∠OCE＝∠E，
∵∠B＝∠E，
∴∠ACF＝∠B；
（2）解：∵∠ACF＝∠B，∠F＝∠F，
∴△ACF∽△CBF，
∴ ＝ ，
∵AF＝2，CF＝4，
∴ ，
∴BF＝8，
∴AB＝BC＝8﹣2＝6，AC＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ACE＝90°，
∵∠B＝∠E，
∴△ABD∽△AEC，
∴ ＝ ，即AE•AD＝AB×AC＝6×3＝18．
25．【解答】解：（1）y＝﹣ x2+ x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x ＝﹣2，x ＝8，
1 2
∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴OA＝2，OB＝8，OC＝4，AB＝10，
∴AC2＝OA2+OC2＝20，BC2＝OB2+OC2＝80，
∴AC2+BC2＝100，
而AB2＝102＝100，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°；
（2）①设直线BC解析式为y＝kx+b，将B（8，0），C（0，4）代入可得： ，
解得 ，
第11页（共12页）∴直线BC解析式为y＝﹣ x+4，
设第一象限D（m， + m+4），则E（m，﹣ m+4），
∴DE＝（ + m+4）﹣（﹣ m+4）＝﹣ m2+2m，BF＝8﹣m，
∴DE+BF＝（﹣ m2+2m）+（8﹣m）
＝﹣ m2+m+8
＝﹣ （m﹣2）2+9，
∴当m＝2时，DE+BF的最大值是9；
②由（1）知∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵DF⊥x轴于F，
∴∠FEB+∠CBA＝90°，
∴∠CAB＝∠FEB＝∠DEC，
∴以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需 ＝ 或 ＝ ，
而G为AC中点，A（﹣2，0），C（0，4），
∴G（﹣1，2），OA＝2，AG＝ ，
由①知：DE＝﹣ m2+2m，E（m，﹣ m+4），
∴CE＝ ＝ ，
当 ＝ 时， ＝ ，解得m＝4或m＝0（此时D与C重合，舍去）
∴D（4，6），
当 ＝ 时， ＝ ，解得m＝3或m＝0（舍去），
∴D（3， ），
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，则D的坐标为（4，6）或（3， ）．
声日明期：：2试02题1/解6/1析7 著17作:3权8:5属2；菁用优户网：所柯有瑞，；未邮经箱书：面a同ini意xia，ok不e0得0@复1制63发.co布m；学号：500557
第12页（共12页）
