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2021年北京市中考数学试卷
一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱
2．党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．2014﹣2018年，中央财
政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金 1692
亿元，将169200000000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.1692×1012 B．1.692×1012
C．1.692×1011 D．16.92×1010
3．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，则∠BOD的大小为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．下列多边形中，内角和最大的是（ ）
A． B．
C． D．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）A．a＞﹣2 B．|a|＞b C．a+b＞0 D．b﹣a＜0
6．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（
）
A． B． C． D．
7．已知432＝1849，442＝1936，452＝2025，462＝2116．若n为整数且n＜ ＜n+1，
则n的值为（ ）
A．43 B．44 C．45 D．46
8．如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为ym，矩形
的面积为Sm2．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x
满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系
D．反比例函数关系，一次函数关系
二、填空题(共16分，每题2分)
9．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．分解因式：5x2﹣5y2＝ ．
11．方程 ＝ 的解为 ．
12．在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数y＝ （k≠0）的图象经过点A（1，2）和点
B（﹣1，m），则m的值为 ．
13．如图，PA，PB是 O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．
⊙14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，AF＝EC．只需添加一个条件即
可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是 （写出一个即可）．
15．有甲、乙两组数据，如下表所示：
甲 11 12 13 14 15
乙 12 12 13 14 14
甲、乙两组数据的方差分别为 s甲 2，s乙 2，则s甲 2 s乙 2（填“＞”，“＜”或
“＝”）．
16．某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，
加工时间为（4a+1）小时；在一天内，B 生产线共加工 b 吨原材料，加工时间为
（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都
在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的
吨数的比为 ．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5吨原材料后，
又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在
一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 的值为 ．
三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第
24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演
算步骤或证明过程。
17．计算：2sin60°+ +|﹣5|﹣（ + ）0．
π
18．解不等式组： ．19．已知a2+2b2﹣1＝0，求代数式（a﹣b）2+b（2a+b）的值．
20．《淮南子・天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上
点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B，使B，A两点间的距离为10
步（步是古代的一种长度单位），在点B处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B处的
杆的影子的方向取一点C，使C，B两点间的距离为10步，在点C处立一根杆．取CA
的中点D，那么直线DB表示的方向为东西方向．
（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A，B，C的位置如图所示．使用直
尺和圆规，在图中作CA的中点D（保留作图痕迹）；
（2）在如图中，确定了直线DB表示的方向为东西方向．根据南北方向与东西方向互相
垂直，可以判断直线CA表示的方向为南北方向，完成如下证明．
证明：在△ABC中，BA＝ ，D是CA的中点，
∴CA⊥DB（ ）（填推理的依据）．
∵直线DB表示的方向为东西方向，
∴直线CA表示的方向为南北方向．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值．
22．如图，在四边形 ABCD 中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点 E 在 BC 上，AE∥DC，
EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，cosB＝ ，求BF和AD的长．23．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝ x的图象向
下平移1个单位长度得到．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝
kx+b的值，直接写出m的取值范围．
24．如图， O是△ABC的外接圆，AD是 O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证⊙：∠BAD＝∠CAD； ⊙
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交 O于点G，连接GC．若 O的半径为5，OE
＝3，求GC和OF的长． ⊙ ⊙
25．为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，
各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对
数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成 5组：6≤x＜
8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：b．甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x＜12这一组的是：
10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8
c．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：
平均数 中位数
甲城市 10.8 m
乙城市 11.0 11.5
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m的值；
（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个
数为p ．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的
1
个数为p ．比较p ，p 的大小，并说明理由；
2 1 2
（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写
出结果）．
26．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y ），（2，y ），（4，y ）在该抛物线上．若mn＜0，比较y ，
1 2 3 1
y ，y 的大小，并说明理由．
2 3
27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ ，M为BC的中点，点D在MC上，以点A
为中心，将线段AD顺时针旋转 得到线段αAE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大α小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，
并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并
证明．28．在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若
将线段BC绕点A旋转可以得到⊙ O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），
则称线段BC是 O的以点A为中⊙心的“关联线段”．
（1）如图，点⊙A，B
1
，C
1
，B
2
，C
2
，B
3
，C
3
的横、纵坐标都是整数．在线段B
1
C
1
，
B C ，B C 中， O的以点A为中心的“关联线段”是 ；
2 2 3 3
（2）△ABC是边⊙长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是 O的以点
A为中心的“关联线段”，求t的值； ⊙
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是 O的以点A为中心的“关联线段”，直
接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC⊙长．
