文档内容
第 06 讲 抛物线方程及其性质
（5 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
切线长
2023年新Ⅱ卷，第10题,6分 根据抛物线方程求焦点或准线
直线与抛物线交点相关问题
由导数求函数的最值
抛物线标准方程 (不含参)
2023年新I卷，第22题,12分
求直线与抛物线相交所得弦的弦长 基本(均值)不等式的应用
求平面轨迹方程
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
2023年新Ⅱ卷，第10题,5分 无
求直线与抛物线的交点坐标与地物线焦
点弦有关的几何性质
根据抛物线方程求焦点或准线 求直线与抛物线相交所得弦
2022年新I卷，第11题,5分
判断直线与抛物线的位置关系 的弦长
抛物线定义的理解 数量积的坐标表示
2022年新Ⅱ卷，第10题,5分
求直线与抛物线的交点坐标 已知两点求斜率
根据抛物线方程求焦点或准线
2021年新I卷，第14题,5分 无
根据抛物线上的点求标准方程
2021年新Ⅱ卷，第3题,5分 根据抛物线方程求焦点或准线 已知点到直线距离求参教
2020年新I卷，第13题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2020年新Ⅱ卷，第14题,5分 求抛物线焦点弦长 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-17分
【备考策略】1.熟练掌握抛物线的定义及其标准方程，会基本量的求解
2.熟练掌握抛物线的几何性质，并会相关计算
3.会求抛物线的标准方程，会抛物线方程简单的实际应用
5.会求抛物线的相关最值【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，常常考查标准方程的求解、基本量的计算及最值的求解，
需重点强化训练
知识讲解
1. 抛物线的定义
平面上一动点 到定点 的距离与到定直线 ： 的点的轨迹叫做抛物线
2. 抛物线的图形
3. 数学表达式
4. 标准方程的推导
设 ， 由 定 义 可 知 ：
，等式两边同时平方得：5. 抛物线的标准方程及其几何性质
焦点
x x y y
轴正半轴 轴负半轴 轴正半轴 轴负半轴
位置
图形
标准
y2 2px y2 2px x2 2py x2 2py
方程
焦点 p p p p
( ,0) ( ,0) (0, ) (0, )
坐标 2 2 2 2
准线 p p p p
x x y y
方程 2 2 2 2
6. 通径
，半通径长：
通径长：
7. 焦半径（抛物线上的点到焦点的距离）
8. 焦点弦的性质
考点一、 抛物线的定义1．（2024·上海·高考真题）已知抛物线 上有一点 到准线的距离为9，那么点 到 轴的距离为
．
2．（2023·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为
5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
1．（2023高三·全国·专题练习）动点P到直线 的距离减去它到点 的距离等于2，则点P的
轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线
2．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点 的距离比M到 轴的距离大3，则动点M满足的
方程为 .
考点二、 抛物线的标准方程
1．（2024高三下·江西新余·专题练习）请写出一个以 为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线方程：
.
2．（2024·贵州毕节·三模）已知点 在抛物线 上，则抛物线C的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线 的焦点F的直线 交抛物线于两点A、B，交
其准线于C， 与准线垂直且垂足为 ，若 ，则此抛物线的方程为（ ）A． B．
C． D．
1．（2024·北京·高考真题）抛物线 的焦点坐标为 ．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）过点 ，且焦点在 轴上的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线 的顶点在原点，焦点 在坐标轴上，点 关于其准线的
对称点为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
考点三、 抛物线的几何性质
1．（24-25高三上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距
离为 .
2．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，若抛物线上一点 满足
， ，则 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
3．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点 在抛物线 上，则C的焦
点与点 之间的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
4．（2024·山西晋中·模拟预测）已知抛物线 （ ）的焦点为F，P为抛物线上一点，且满足
，设直线PF的倾斜角为 ，若 ，则点P的坐标为 .1．（2024·江西·一模）已知点 是抛物线 上一点，且点P到C的焦点距离为2，
则 ．
2．（2024·山东聊城·二模）点 在抛物线 上，若点 到点 的距离为6，则点 到 轴的距离为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（23-24高三下·全国·开学考试）抛物线 的焦点为 上的点到 的距离等于到直线
的距离，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
4．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知M是抛物线 上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原
点．若 ，则线段MF的长为 .
考点 四 、 抛物线中的最值问题
1．（2024·陕西·二模）已知抛物线 上的点 到定点 的最小距离为2，则
.
2．（2024·福建莆田·二模）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上．若点 在圆
上，则 的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2024·江西鹰潭·一模）已知抛物线 的焦点为 ， 是 上的动点，过点 作直线
的垂线，垂足为 ，则 的最小值为 ．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 是抛物线 上的点， 是圆 上的点，则 的
最小值是（ ）
A．2 B． C． D．3
5．（2023·河南开封·模拟预测）已知抛物线 ，P为C上一点， ， ，当 最小
时，点P到坐标原点的距离为（ ）A． B． C． D．8
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为 ，点 ，点 在抛物线上，则
的最小值为 .
2．（2024·全国·二模）已知点P为抛物线 上一点，过点P作圆C： 的两条切线，切
点分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·四川成都·三模）已知点 分别是抛物线 和直线 上的动点，若抛物线 的焦
点为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
4．（2023·辽宁抚顺·模拟预测）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 上任意一点，M是线段
PF上的点，且 ，则直线OM的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
考点 五 、 抛物线的简单应用
1．（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分
的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，
使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）
A．3m B．4m C．5m D．6m
2．（2023·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清
新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为 ，碗盖口直径为 ，碗体口直径为 ，碗体深 ，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚
度忽略不计）（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽
为 ，渠深 为 ，水面 距 为 ，则截面图中水面宽 的长度约为（ ）（ ，
， ）
A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m
1．（23-24高三下·陕西安康·阶段练习）在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨
迹均可近似看作是抛物线的一部分．这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一
部分（如图中虚线所示），称该条抛物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为
30米，碎片距离爆炸中的最远水平距离为60米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为
米．
2．（2023·河北张家口·二模）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物
镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､
手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口
直径是 ，灯深 ，则光源到反射镜顶点的距离为（ ）
A． B． C． D．3．（2024·山西晋城·一模）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至
滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设
该抛物线的焦点到准线的距离为 米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻
两根吊索之间的距离均为 米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点 到桥面的
距离）为 米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点 到桥面的距离）为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
一、单选题
1．（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线 的准线经过双曲线 的右焦点，则 的值为
（ ）
A． B．4 C． D．8
2．（2024·山东济宁·三模）已知抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 交抛物线
于 ， 两点，若 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2024·河南·模拟预测）已知抛物线 上的点 到原点的距离为 ，焦点为F，
准线l与x轴的交点为M，过C上一点P作PQ⊥l于Q，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川南充·一模）已知抛物线 的焦点为F，抛物线上一点 满足 ，则
抛物线方程为（ ）A． B． C． D．
5．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知 为抛物线 上的一点，点 到抛物线 焦
点的距离为2，则 （ ）
A．2 B．1 C． D．4
6．（2024·安徽·模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，若点 在C上，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·重庆·模拟预测） 是抛物线 上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且
的重心恰为F，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知点 是抛物线 上一点，若 到抛物线焦点
的距离为5，且 到 轴的距离为4，则 （ ）
A．1或2 B．2或4 C．2或8 D．4或8
二、填空题
9．（2024·山西太原·模拟预测）已知等腰梯形ABCD的四个顶点在抛物线 上，且 ，
则原点到AB的距离与原点到CD的距离之比为 ．
10．（24-25高三上·云南·阶段练习）动圆 经过原点，且与直线 相切，记圆心 的轨迹为 ，直
线 与 交于 两点，则 .
一、单选题
1．（2024·山西运城·三模）已知抛物线 的焦点为 ，动点 在 上，点 与点 关于直
线 对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建泉州·一模）已知抛物线E的焦点为F，点P在E上，M为PF的中点，则 的最小值为
（ ）A． B． C．1 D．
3．（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足线段
PE的中点在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
4．（2024·全国·模拟预测）设F为抛物线 的焦点，点 在C上，过点 的
直线交C于M，N两点，则下列说法中正确的是（ ）
A．抛物线C的方程为 B．抛物线C的焦点为
C．直线 与C不相切 D．
5．（2024·广东汕头·三模）已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点，动点 在 上，
若定点 满足 ，则（ ）
A． 的准线方程为 B． 周长的最小值为5
C．四边形 可能是平行四边形 D． 的最小值为
三、填空题
6．（23-24高二下·四川德阳·期中）已知抛物线 为 上一点， ，当 最小
时，点 到坐标原点的距离为 .
7．（2024·福建福州·模拟预测）倾斜角为 的直线经过抛物线 ： 的焦点 ，且与 交于 ， 两
点， 为线段 的中点， 为 上一点，则 的最小值为 ．
8．（2024·湖北黄冈·三模）已知抛物线 的焦点为 , ， 是抛物线 上关于其对称轴对称的两点，
若 ， 为坐标原点，则点 的横坐标为 .
9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知 为坐标原点，矩形 的顶点A，C在抛物线 上，则顶点
B的轨迹方程为 ．
10．（2024·河北·模拟预测）抛物线 上的动点 到直线 的距离最短时， 到 的焦点距
离为 .1．（2024·天津·高考真题）圆 的圆心与抛物线 的焦点 重合， 为两曲线
的交点，则原点到直线 的距离为 ．
2．（2023·全国·高考真题）已知点 在抛物线C： 上，则A到C的准线的距离为 .
3．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线 过抛物线 的焦点，且
与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D． 为等腰三角形
4．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线 的焦点，点A在C上，点 ，若 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2021·全国·高考真题）抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．4
6．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点 在抛物线 上，过点 的
直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
7．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线 焦点F的直线与C交于A，B
两点，其中A在第一象限，点M(p,0)，若 ，则（ ）
A．直线 的斜率为 B．|OB|=|OF|
C．|AB|>4|OF| D．
8．（2021·北京·高考真题）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上， 垂直 轴于点 .若
，则点 的横坐标为 ； 的面积为 ．
9．（2021·全国·高考真题）已知 为坐标原点，抛物线 ： ( )的焦点为 ， 为 上一点，
与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ，若 ，则 的准线方程为 .
10．（2020·全国·高考真题）已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y
轴的距离为9，则p=（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
11．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过
作 于 ，则线段 的垂直平分线（ ）．A．经过点 B．经过点
C．平行于直线 D．垂直于直线
