文档内容
第 06 讲 平面向量中的范围与最值问题
（高阶拓展、竞赛适用）
（2 类核心考点精讲精练）
平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识
点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。
基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围
的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。由于数量积和系数的范围在前
两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。
本讲内容难度较大，需要综合学习。
知识讲解
1. 模长的范围及最值
与向量的模有关的问题, 一般都会用到 ，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。
2. 夹角的范围及最值
类别 几何表示 坐标表示
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。考点一、 模长的范围及最值问题
1．（浙江·高考真题）已知 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足 ，则
的最大值是
A．1 B．2 C． D．
2．（湖南·高考真题）已知 是单位向量， .若向量 满足 （ ）
A． B．
C． D．
3．（四川·高考真题）已知正三角形 的边长为 ，平面 内的动点 满足 ，
，则 的最大值是
A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知 为单位向量，且 ，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
2．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量 满足 ， ，则
的最小值是 .
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量 ， 为单位向量，且 ，向量 与 共线，则
的最小值为 .
4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量 满足： ，若 ，则
的最小值为 ．
5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知 ， ， ， ，，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．
6．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知 ， ， ．若 ，则
的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．
考点二、 夹角的范围及最值问题
1．（2024·广东江门·二模）设向量 ，则 的最小值为 .
2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量 满足关系 ，又设 与 的模
均为1且互相垂直，则 与 的夹角取值范围为 .
3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量 ， ， ，满足 ，
，则向量 与 所成夹角的最大值是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量 与 的夹角为锐角， 为 在 方向上的投影向量，且
，则 与 的夹角的最大值是 ．
2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量 满足 ， ，向量 满足
，当 与 的夹角余弦值取得最小值时，实数 的值为 .
3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知 是空间单位向量， ，若空间向量 满足：
，则 ，对于任意 ，向量 与向量 所成角的最小值
为 ．一、单选题
1．（2023·江西九江·一模）已知 、 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·模拟预测）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 与 夹角的正弦值的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量 ， 的夹角为 ， ，且 ，则夹角 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，
，则 的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 为非零向量，且 ， ，若 的最小值
为 ，则 的值为（ ）．
A． B． C．4 D．
6．（2021·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，若 ，且 ，
则 的最大值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量 ， ， 满足 ， ，若 与 的夹角为 ，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
8．（2021·全国·模拟预测）设 ， ，且 ，若向量 满足 ，则 的最大值
是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量 满足 ，对任意的 的最小值为 ，则 与
的夹角为 ．
10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量 满足 且 ，当向量 与向量 的夹角最
大时，向量 的模为 ．
11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量 ，若对任意实数 ， 恒成立，则向量 的夹
角的最小值为 .
12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量 ，向量 与 不共线，且 ，则 的最大值
为 ．
13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量 、 、 满足 ， ，且 ，则
的最小值是
14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量 ， ，且满足 ，若 为平面单位向量，
则 的最大值
15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量 ， ， 满足 ， ， ，则
的最大值是 .
16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量 ， 满足 ，若 在 方向上的投影
与 在 方向上的投影之和等于 ，则 ， 夹角的余弦值的最小值为 ．
17．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量 ， ， 满足 ，且 ，
若 与 的夹角为 ，且 ，则 的模取值范围是 .
18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形 中， ， 是 的中点， ，若设 ，则 可用 ， 表示为 ；若 的面积为 ，则 的最小值为
．
19．（2020·浙江温州·三模）已知向量 ， 满足 ， ，若存在不同的实数 ，使得
，且 则 的取值范围是
20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量 满足 ， , ,则 的取
值范围是 ；已知向量 是单位向量，若 ，且 ，则
的取值范围是 .
1．（全国·高考真题）设向量 满足 ， ， ，则 的最大值等于
A．4 B．2 C． D．1
2．（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆 上运动，且AB BC，若点P的坐标为（2，0），则
的最大值为
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（四川·高考真题）在平面内，定点A，B，C，D满足 = = , = = =–
2，动点P，M满足 =1， = ，则 的最大值是
A． B． C． D．
