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第 06 讲 动态平衡和临界、极值问题
题型一 动态平衡问题
题型二 平衡中的临界问题
题型三 平衡中的极值问题
课标要求 命题预测 重难点
1.学会用图解法、解析法
等解决动态平衡问题。
索桥、千斤顶、刀、木楔的工 （1）体会临界和极值的物理含义。
作原理。 （2）理解动态变化的过程。
2.会分析平衡中的临界与
极值问题。
题型一 动态平衡问题
【典型例题剖析】
【例1】 (多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩
擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中( )
A．斜面对球的支持力逐渐增大
B．斜面对球的支持力逐渐减小
C．挡板对小球的弹力先减小后增大
D．挡板对小球的弹力先增大后减小
【答案】 BC【详解】 对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力F 和挡板的弹力F ，如图，当挡板
N1 N2
绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，F 和F 的
N1 N2
合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小
球的支持力F 逐渐减小，挡板对小球的弹力F 先减小后增大，当F 和F 垂直时，弹力F 最小，
N1 N2 N1 N2 N2
故选项B、C正确，A、D错误。
【高考考点对接】
动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。常用
方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。
1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题
(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角
形，分析力的大小变化，如图甲所示。
(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变
化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示。
2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题
一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力
构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。
基本矢量图，如图所示
基本关系式：＝＝。
3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题
利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不
变，根据不同位置判断各力的大小变化。
【解题能力提升】
分析动态平衡问题的流程受力分析―――――――→画不同状态下的受力平衡图构造矢量三角形
―――――――→
【跟踪变式训练】
【变式1-1】如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆
的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷
扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切
阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力( )
A．大小不变 B．逐渐增大
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】 A
【详解】 以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、F 的合
N
力F 与G大小相等、方向相反。
合
根据三角形相似得＝＝，又F ＝G，得F ＝ G
合 N
∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则F 不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。
N
【变式1-2】 (多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一
端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞)。现将重物向右上方缓慢拉起，
并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中( )A．MN上的张力逐渐增大
B．MN上的张力先增大后减小
C．OM上的张力逐渐增大
D．OM上的张力先增大后减小
【答案】 AD
【详解】 法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F 、MN上拉力F ，由
2 1
题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F 、F 的夹角不变，在F 转至水平的过程中，
1 2 2
矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F 逐渐增大，OM上的张力F 先增大后减小，所
1 2
以A、D正确，B、C错误。
法二：正弦定理
根据正弦定理＝＝，mg与sin θ 保持不变，sin θ 变大，F 变大，sin θ 先增大后减小，F 先增大后减
3 1 1 2 2
小，故选A、D。
【变式1-3】 (2023·江苏南京市模拟)如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某
人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则(
)
A．电脑受到的支持力变大
B．电脑受到的摩擦力变大
C．支架对电脑的作用力减小D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小
【答案】 A
【详解】 根据题意，电脑始终处于平衡状态，对电脑受力分析，如图所示，由平衡条件可得，电脑
受到的支持力大小为F ＝Gcos θ
N
电脑受到的摩擦力大小F＝Gsin θ
f
由卡位4缓慢调到卡位1，θ减小，故F 增大，F 减小，故B错误，A正确。
N f
支架对电脑的作用力即为电脑受到的支持力与摩擦力的合力，支持力与摩擦力的合力大小等于电脑的
重力，保持不变，根据“三角形两边之和大于第三边”可知，电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之
和大于其重力大小，C、D错误。
题型二 平衡中的临界问题
【典型例题剖析】
【例2】 (2023·河南洛阳市期末)如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角 θ＝
60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，
则支架和地面间的动摩擦因数至少为( )
A. B. C. D.
【答案】 D
【详解】 对光滑球体受力分析如图所示，根据平衡条件可得F cos θ＝mg，对支架受力分析如图所
N2
示
根据牛顿第三定律可知F ＝F ，
N3 N2
对支架由平衡条件可得F ＝2mg＋F cos θ，
N4 N3
F＝F sin θ，
f N3又达到最大静摩擦力时F＝μF ，
f N4
联立以上各式解得μ＝，可知支架和地面间的动摩擦因数至少为，故选D。
【高考考点对接】
1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰
好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。临界问题常见的种类：
(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。
(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。
(3)刚好离开接触面，支持力F ＝0。
N
2．解题方法
(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须
在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。
(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，
用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。
(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形
定则进行动态分析，确定最大值与最小值。
【跟踪变式训练】
【变式2-1】 制作木器家具时，工人师傅常在连接处打入木楔，如图所示，假设一个不计重力的木楔
两面对称，顶角为α，竖直地被打入木制家具缝隙中。已知接触面的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力
等于滑动摩擦力。要使木楔能自锁而不会自动滑动，α与μ应满足( )
A．μ>tan B．μ>tan α
C．μ> D．μ>
【答案】 A
【详解】 由于存在对称性，仅对木楔的一个侧面受力分析，如图所示，当木楔能自锁而不会自动滑
出时，一定满足F sin <μF cos ，整理得μ>tan ，故选A。
N N【变式2-2】 (2024·重庆市七校开学考)小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移
开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。
设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面
间的动摩擦因数为，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则下列说法正确的是( )
A．无论θ取何值，小李都不可能拖动石墩
B．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力
C．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力
D．小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力
【答案】 C
【详解】 对石墩进行受力分析如图所示
Fcos θ＝μF
N
F ＋Fsin θ＝mg
N
解得2F(cos θ＋sin θ)＝mg
即F＝，可解得，当θ＝时，F最小为0.5mg，故小李能拖动石墩，且当θ＝时最省力，故选C。
【变式2-3】 如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一
个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在
小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有( )A．拉力F逐渐增大
B．拉力F先减小后增大
C．小球对大圆环轨道的压力大小保持不变
D．小球对大圆环轨道的压力先增大后减小
【答案】 C
【详解】 对小球进行受力分析如图所示，根据相似三角形法可得＝＝
在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，重力大小、方向均不变，AB变小，OA、OB不变，则拉力F
逐渐减小，大圆环轨道对小球的支持力F 大小不变，由牛顿第三定律知小球对大圆环轨道的压力大小
N
保持不变，故选C。
题型三 平衡中的极值问题
【典型例题剖析】
【例3】 如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以
v ＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数 μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉
0
力F的最小值。
【答案】 2 N
【详解】 设拉力与水平方向夹角为θ，根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，整理得cos θ＋μsin
θ＝，sin(α＋θ)＝(其中sin α＝)，当θ＝－α时F最小，故所需拉力F的最小值F ＝＝2 N。
min
【解题能力提升】在力的方向发生变化的平衡问题中求力的极小值时，一般利用三角函数求极值。也可利用“摩擦角”将四
力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力 F作用下做匀速直线运动，
改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力 F′代替支持力与摩擦力，F ＝mgsin θ，
min
其中F 与F 的合力F′方向一定，“摩擦角”θ满足tan θ＝。
N f
【跟踪变式训练】
【变式3-1】(2023·江苏扬州市质检)如图所示，在质量为m的物块甲上系着两条细绳，其中长30 cm的
细绳另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳
跨过光滑定滑轮与重力为G的物块乙相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm的地方，系统处于静止状态，
OA与棒的夹角为θ，两绳夹角为φ。当G＝6 N时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，
g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：
(1)OA绳与棒间的夹角θ；
(2)物块甲的质量m。
【答案】 (1)53° (2)1 kg
【详解】 (1)当圆环恰好要开始滑动时，设此时水平棒对圆环的支持力大小为F ，细绳对圆环的拉力
N
大小为F ，对圆环受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有μF ＝F cos θ①
T N T
F ＝F sin θ②
N T
联立①②解得tan θ＝＝，即θ＝53°。
(2)由题意，根据几何关系可知φ＝90°
按如图乙所示，以O为坐标原点建立xOy直角坐标系，对物块甲受力分析，根据平衡条件有Gcos θ＋
F sin θ－mg＝0③
TF cos θ－Gsin θ＝0④
T
联立③④解得m＝1 kg。
【变式3-2】 (多选)(2023·安徽安庆市三模)如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面
上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮
的接触点，初始时，小球 B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为θ＝
120°，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持夹角θ大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至
OB水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下列关于该过程的说法正确的是( )
A．拉力F一直变大
B．拉力F最小为mg
C．斜面体C所受地面摩擦力一直变小
D．斜面体C所受地面摩擦力先变小后变大
【答案】 AB
【详解】 对小球B受力分析，将F 、F、mg组成矢量三角形，由于F 和F的夹角始终不变，作辅助
T T
圆如图所示
拉力F一直变大，初始状态时最小，为mg，A、B正确；拉力F的水平分力先变大后变小，对A、B、
C整体进行受力分析知斜面体C所受地面摩擦力大小等于拉力F的水平分力大小，也是先变大后变小，
故C、D错误。
【变式3-3】 如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个
系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲
保持静止，甲受到地面的摩擦力为F，则该过程中( )
fA．F 变小，F变大 B．F 变小，F变小
f f
C．F 变大，F变小 D．F 变大，F变大
f f
【答案】 D
【详解】 以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为 α，根据平衡条件可得，水平拉力
F＝mgtan α，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为F ＝，故绳子的拉力逐渐增大；
T
以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向
的分力等大反向，F＝F cos θ＝，逐渐增大，故选D。
f T
1．(2023·山东烟台市模拟)如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与
墙壁的接触点为B。若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球
的支持力F ，下列说法正确的是( )
N
A．F和F 都增大 B．F增大，F 减小
N N
C．F减小，F 增大 D．F和F 的合力不变
N N
【答案】 D
【详解】 对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Fcos θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan
θ＝，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则cos θ增大，tan θ减小，所以F和F 都减小，故A、
N
B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和F 的合力始终与mg等大反向，故D正确。
N
2．(2024·重庆市渝中区期中)如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构
可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。
已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是(
)A．瓦片共受到4个力的作用
B．檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上
C．缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大
D．缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大
【答案】 D
【详解】 瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持
力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力
减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcos θ，当增大檩条间的距离 d时，两弹力与
竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确。
3．(2024·云南省联考)如图所示，晾晒衣服的绳子(可视为轻绳)固定在两根竖直杆A、B上，绳子的质量及
衣架挂钩之间的摩擦均可忽略不计，衣服处于静止状态。保持A杆及A杆上绳子的结点位置不动，则
下列说法正确的是( )
A．若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆缓慢向右移动，绳子上的拉力大小逐渐减小
B．若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆的结点缓慢向上移动，绳子上的拉力大小逐渐
增大
C．若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆的结点缓慢向下移动，绳子上的拉力大小保持
不变
D．若保持绳与B杆的结点不变，只改变绳子的长度，绳子上的拉力大小可能保持不变
【答案】 C
【详解】 若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆缓慢向右移动，绳子与竖直方向之间
的夹角增大，绳子上的拉力逐渐增大，故A错误；若保持绳子的长度、B杆的位置不变，只移动绳子
与B杆的结点，绳子与竖直方向之间的夹角保持不变，绳子上的拉力保持不变，故 B错误，C正确；
若只改变绳子的长度，则绳子与竖直方向之间的夹角一定随之改变，绳子上的拉力一定改变，故 D错
误。
4．(2023·宁夏六盘山高级中学模拟)如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程
中( )
A．绳子的拉力逐渐增大
B．该健身者所受合力逐渐减小
C．该健身者对地面的压力逐渐减小
D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大
【答案】 D
【详解】 由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等
于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，
由平衡条件可知，在竖直方向，则有F sin θ＋F ＝Mg，又有F ＝mg，可得F ＝Mg－mgsin θ，在水
T N T N
平方向，则有F cos θ＝F，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，
T f
地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地
面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。
5．(2023·广东梅州市质检)在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、
靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于
水平地面对A的弹力F 、竖直墙面对B的弹力F ，下列说法正确的是( )
N1 N2
A．F 不变，F 变大 B．F 变小，F 变大
N1 N2 N1 N2
C．F 变大，F 变小 D．F 不变，F 变小
N1 N2 N1 N2
【答案】 A
【详解】 以圆柱体B为研究对象，分析受力如图所示当将A缓慢向右移动一小段距离，F 与竖直方向的夹角增大，由图看出墙对B的弹力F 增大；以圆柱
1 N2
体A、B整体为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向有F ＝(m ＋m )g，当将A缓慢向右移动一小段
N1 A B
距离，水平地面对A的弹力F 不变，故A正确，B、C、D错误。
N1
