文档内容
第 07 讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：离散型随机变量的分布列.................................................................................................4
知识点2：离散型随机变量的均值与方差.........................................................................................5
题型一：离散型随机变量....................................................................................................................7
题型二：求离散型随机变量的分布列..............................................................................................10
题型三：离散型随机变量的分布列的性质......................................................................................14
题型四：离散型随机变量的均值......................................................................................................17
题型五：离散型随机变量的方差......................................................................................................24
题型六：决策问题..............................................................................................................................31
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................37
05课本典例·高考素材........................................................................................................................39
06易错分析·答题模板........................................................................................................................42
易错点：随机变量分布列的性质用错..............................................................................................42
答题模板：求离散型随机变量的分布列及数字特征......................................................................44考点要求 考题统计 考情分析
从近五年的全国卷的考查情况来看，
本节是高考的热点，特别是解答题中，更
2024年II卷第18题，17分
是经常出现．随着计算机技术和人工智能
（1）离散型随机变量 2023年I卷第21题，12分 的发展，概率统计逐步成为应用最广泛的
的分布列 2023年甲卷（理）第 19题，12 数学内容之一．这部分内容作为高考数学
（2）离散型随机变量 分 的主干内容之一，会越来越受到重视．主
的均值与方差 2023年上海卷第19题，14分 要以应用题的方式出现，多与经济、生活
2023年北京卷第18题，13分 实际相联系，需要在复杂的题目描述中找
出数量关系，建立数学模型，并且运用数
学模型解决实际问题．
复习目标：
（1）理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．
（2）理解并会求离散型随机变量的数字特征．知识点1：离散型随机变量的分布列
1、随机变量
在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对
应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机
变量常用字母 ， ， ， ，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可
能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之
前不能确定这次试验会出现哪个结果．这种试验就是随机试验．
（2）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示．如掷一枚硬币， 表示反面
向上， 表示正面向上．
（3）随机变量的线性关系：若 是随机变量， ， 是常数，则 也是随机变量．
2、离散型随机变量
对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量．
注意：
（1）本章研究的离散型随机变量只取有限个值．
（2）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的
一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试
验的结果，但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出．
3、离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量 可能取的不同值为 ， 取每一个值
的概率 ，以表格的形式表示如下：
我们将上表称为离散型随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列．有时为了简单起见，也用等式
， 表示 的分布列．
4、离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
（1） ， ；（2） ．
注意：
①性质（2）可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数．
②随机变量 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．
【诊断自测】（多选题）已知随机变量 的分布列如下表：
-1 0 1 2
若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】依题意， ，所以 .
故选：AD
知识点2：离散型随机变量的均值与方差
1、均值
若离散型随机变量 的分布列为
称 为随机变量 的均值或数学期望，它反映了离散型随机
变量取值的平均水平．
注意：（1）均值 刻画的是 取值的“中心位置”，这是随机变量 的一个重要特征；
（2）根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值．但反过来，两个不同的分布可以
有相同的均值．这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值．而均值只是刻画了随
机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质．
2、均值的性质
C
（1） （ 为常数）．（2）若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
（3） ．
（4）如果 相互独立，则 ．
3、方差
若离散型随机变量 的分布列为
则称 为随机变量 的方差，并称其算术平方根 为随机变量 的标准
差．
注意：（1） 描述了 相对于均值 的偏离程度，而 是上述偏离程
度的加权平均，刻画了随机变量 与其均值 的平均偏离程度．随机变量的方差和标准差均反映了随
机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；
（2）标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方．
4、方差的性质
（1）若 ，其中 为常数，则 也是随机变量，且 ．
（2）方差公式的变形： ．
【诊断自测】2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组
织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加
服务，每名志愿者可服务多个项目.8月7日100米跨栏、200米、400米、800米、1500米、5000米比赛在
法兰西体育场举行.
(1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1500米
服务的概率；
(2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5000
米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中再选3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数
记作 ，求随机变量 的分布列和数学期望.
【解析】（1）设“汤姆选择中有200米服务”为事件 ；“汤姆选择中有1500米服务”为事件 ，
则 ， ，
所以 .
（2） 的值可能为：0，1，2，3.且 ，
，
，
.
所以 的分布列为：
0 1 2 3
所以 .
题型一：离散型随机变量
【典例1-1】一个袋中有4个白球和3个红球，从中任取2个，则随机变量可能为（ ）
A．所取球的个数
B．其中含红球的个数
C．所取白球与红球的总数
D．袋中球的总数
【答案】B
【解析】对于A：所取球的个数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项A不正确；
对于B：从中任取2个其中含红球的个数为 是随机变量，故选项B正确；
对于C：所取白球与红球的总数为2个，是定值，故不是随机变量，故选项C不正确；
对于D：袋中球的总数为7个，是定值，故不是随机变量，故选项D不正确；
故选：B.
【典例1-2】一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，
则试验次数 的可能取值为（ ）
A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6
C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5【答案】A
【解析】由试验次数 的含义可知，至少试验一次才可能刚好打开，
如果第五次依然没有打开，此时不管开锁是否成功，那第六次将是最后一次开锁试验了.
所以 的所有可能取值为： .
故选：A.
【方法技巧】
离散型随机变量判断方法总结：关键在于随机变量的所有取值是否可以一一列出。若随机变量取值有
限个或可列无穷多个，则为离散型随机变量.
【变式1-1】在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得 分，回答不正确得 分，
则选手甲回答这三个问题的总得分 的所有可能取值的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】依题意每题回答正确得 分，回答不正确得 分，
则选手甲回答这三个问题的总得分 的可能取值为 ， ， ， 共 种情况.
故选：D
【变式1-2】下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数 ；
②一个沿 轴进行随机运动的质点，它在 轴上的位置 ；
③某派出所一天内接到的报警电话次数 ；
④某同学上学路上离开家的距离 ．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿 轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机
变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选：B．
【变式1-3】某袋中装有大小相同的10个红球，5个黑球．每次随机抽取1个球，若取到黑球，则另换1个
红球放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放回5个球”的事件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【解析】第一次取到黑球，则放回1个球；第二次取到黑球，则放回2个球……共放了五回，第六次取到
了红球，试验终止，故 .
故选：C
【变式1-4】袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
【答案】B
【解析】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误；
选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确；
选项C是一个事件而非随机变量，故C错误；
选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误．
故选：B.
【变式1-5】某商场进行有奖促销活动，满500元可以参与一次掷飞镖游戏.每次游戏可掷7只飞镖，采取
积分制，掷中靶盘，得1分，不中得0分，连续掷中2次额外加1分，连续掷中3次额外加2分，以此类推，
连续掷中7次额外加6分.小明购物满500元，参加了一次游戏，则小明在此次游戏中得分 的可能取值有
（ ）种
A．10 B．11 C．13 D．14
【答案】C
【解析】由题意得，我们知道所产生的不同得分的情况种数如下，
首先，我们把中记为 ，不中记为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
情况数为 ，此时得分为 ，
其它情况未产生其它得分情况，故省略，
故产生的不同得分的情况种数如下，共 种.
故选：C题型二：求离散型随机变量的分布列
【典例2-1】数字1，2，3，4任意排成一列，如果数字k恰好出现在第k个位置上，则称有一个“巧合”，
求“巧合”个数 的分布列 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】 的可能取值是0、1、2、4，
， ，
， ．
的分布列为：
0 1 2 4
P
故答案为：
0 1 2 4
P
【典例2-2】假如一段楼梯有11个台阶，现规定每步只能跨1个或2个台阶，则某人走完这段楼梯的单阶
步数 的分布列是 ．
【答案】
1 3 5 7 9 11
P
【解析】据题意， 的可能取值为1，3，5，7，9，11，
＝1时，还需走5个两阶，共六步走完，所以共有 种不同的走法；
同理， ＝3时，有 种； ＝5时，有 种； ＝7时，有 种；＝9时，有 种； ＝11时，有1种，
所以，走完这段楼梯共有6＋35＋56＋36＋10＋1＝144种不同的走法．
， ， ，
， ， ，
的分布列如下：
1 3 5 7 9 11
P
故答案为：
1 3 5 7 9 11
P
【方法技巧】
求解离散型随机变量分布列的步骤：
（1）审题
（2）计算
计算随机变量取每一个值的概率
（3）列表
列出分布列，并检验概率之和是否为 .
（4）求解
根据均值、方差公式求解其值.
【变式2-1】一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，
将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积 的分布列是 ．
【答案】
0 1 2 4
P
【解析】将这个小正方体抛掷1次，则向上的数为0的概率为 ；向上的数为1的概率为 ；向上
的数为2的概率为 ．
将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积 可能为 ，， ，
， ，
则 的分布列是
0 1 2 4
P
故答案为：
0 1 2 4
P
【变式2-2】将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是
．
【答案】
X 1 2 3
P
【解析】由题意知X的可能取值为1，2，3
； ；
故答案为：
X 1 2 3
P
【变式2-3】甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局
由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空．比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜
两局或打满6局时停止．设在每局中参赛者胜负的概率均为 ，且各局胜负相互独立．则比赛停止时已打
局数 的分布列是 ．
【答案】
2 3 4 5 6P
【解析】分别记 为甲、乙、丙在第 局获胜，则 ．
由已知， 可取 ．
表示事件“甲连胜两局”或“乙连胜两局”，
所以 ．
表示事件“甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜丙胜”，
所以 ．
表示事件“甲胜丙胜乙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜甲胜”，
所以 ．
表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜甲胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜乙胜”，
所以 ．
表示事件“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙
胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”，
所以
．
所以， 的分布列是
2 3 4 5 6
P
．
故答案为：
2 3 4 5 6
P题型三：离散型随机变量的分布列的性质
【典例3-1】已知随机变量 的概率分布为 ，则 .
【答案】
【解析】由概率之和为 可得 ，
即 ，解得 .
故答案为： .
【典例3-2】设随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4
P m
则 ．
【答案】
【解析】 ， .
故答案为：
【方法技巧】
离散型随机变量的分布列性质的应用
（1）利用“总概率之和为 ”可以求相关参数的取值范围或值；
（2）利用“随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求特定事件的概
率；
（3）可以根据性质 及 ， 判断所求的分布列是否正确．
【变式3-1】设随机变量 的分布为 ，则 ．
【答案】 /0.4/
【解析】由题意知， 的分布为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
故答案为： ．
【变式3-2】设随机变量 的概率分布列为
0 1
则常数 ．
【答案】
【解析】由题意得 且
所以 ，
解得 ．
故答案为：
【变式3-3】设随机变量 的分布列如下：
1 2 3 4 5
① ；
②当 时， ；
③若 为等差数列，则 ；
④ 的通项公式可能为 ．
其由所有正确命题的序号是 ．
【答案】①②③．
【解析】对于①， ，
，，故①正确；
对于②，当 时， ，故②正确；
对于③，若 为等差数列，则 ， ，故③正确；
对于④，当 的通项公式为 时，
，故④错误．
故答案为：①②③．
【变式3-4】（2024·高三·江苏·期末）在概率论中常用散度描述两个概率分布的差异.若离散型随机变量
的取值集合均为 ，则 的散度 .若 ， 的
概率分布如下表所示，其中 ，则 的取值范围是 .
0 1
0 1
【答案】
【解析】根据已知公式 ，
得 ，
，
令 ，开口向下，对称轴为 ，
在 上， ，
则 ，
则 ，
故答案为：题型四：离散型随机变量的均值
【典例4-1】（2024·高三·上海·单元测试）已知集合 ， ，从集合 中任取3个
不同的元素，其中最小的元素用 表示，从集合 中任取3个不同的元素，其中最大的元素用 表示，记
，则随机变量 的期望为 ．
【答案】 /
【解析】由题意 的所有可能取值为：1，2， ，
的所有可能取值为：3，4，5， ，
所以 .
故答案为： .
【典例4-2】口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，
则X的数学期望 .
【答案】 /
【解析】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2；
则 ，
，
，
随机变量X的概率分布为；
X 0 1 2
P
所以数学期望 .
故答案为： .【方法技巧】
计算各可能取值与其概率的乘积之和。
【变式4-1】如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个
单位.
(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；
(2)设移动5次中向右移动的次数为X，求X的分布列和期望.
【解析】（1）由题意，从原点O处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位，
可得质点向左或向右移动的概率均为 ，且是等可能的，
要使得质点移动5次后移动到1的位置，则质点向右移动3次，向左移动2次，
所以概率为 .
（2）由题意知，质点向左或向右移动的概率均为 ，且是等可能的，
移动5次中向右移动的次数为 ，可得随机变量 可能取值为 ，
可得 ， ，
， ，
， ，
所以变量 的分布列为
0 1 2 3 4 5
则期望为 .
【变式4-2】（2024·高三·四川成都·开学考试）甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1
分，负者得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，
甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，且每局比赛结果相互独立．若比赛最多进
行5局，则比赛结束时比赛局数 的期望 的最大值为 ．
【答案】 /3.25
【解析】设“甲获胜”为事件 ，“乙获胜”为事件 ，
每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即 ，由题意得 的所有可能取值为 ，则，
，
，
所以 的分布列为
2 4 5
所以 的期望
，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以 ，故 的最大值为 ．
故答案为： ．
【变式4-3】（2024·湖北·模拟预测）如图：一张 的棋盘，横行编号 ：竖排编号 .一颗棋子目
前位于棋盘的 处，它的移动规则是：每次移动到与自身所在格不相邻的异色格中.例如该棋子第一次
移动可以从 移动到 或 .棋子每次移动到不同目的地间的概率均为 .
(1)①列举两次移动后，该棋子所有可能的位置.
②假设棋子两次移动后，最终停留到第1，2，3行时，分别能获得 分，设得分为 ，求 的分布列
和数学期望.
(2)现在于棋盘左下角 处加入一颗棋子，他们运动规则相同，并且每次移动同时行动.移动 次后，两
棋子位于同一格的概率为 ，求 的通项公式.
【解析】（1）①两次移动的所有路径可能如下：
； ； ； .所以两次移动后，该棋子所有可能的位置有： ， ， .
②棋子两次移动后，最终停留在 时，得1分，对应概率为： ；
棋子两次移动后，最终停留在 时，得1分，对应概率为： ；
棋子两次移动后，最终停留在 时，得3分，对应概率为： .
所以 ， .
所以最终得分 的分布列为：
1 3
所以 .
（2）将棋盘按如图所示编号：
将棋子可以去的区域用箭头连接起来，若从3可以连接到4或8，记做 ；从8可以连接3或1，记做
；然后将它们串联起来： .依次类推，可以串联处环状回路：
，如下图所示：
则棋子等价于在这个环状回路中运动.
问题（2）可以转化为将两个棋子放在环状回路中的3号、7号位置，每回合3号、7号棋子有四种运动模
式：（顺，顺），（顺，逆），（逆，顺），（逆，逆），发生概率均为 .为了转化问题，现规定： “两棋子之间的最短节点数”，例如：
特别规定两棋子重合时， .并统计四种运动模式下 会如何变化.
假设3号棋子顺时针走过 个节点可以与7号棋子重合；或逆时针走过 个节点也可以与之重合.
为了简化问题，不妨假设 ，于是有下表：
（逆，
（顺，顺） （顺，逆） （逆，逆）
顺）
设 “ 回合后， 的概率”，
“ 回合后， 的概率”，
“ 回合后， 的概率”，
则有： ，
所以 ，
显然： ， ，所以 ，
所以 .
【变式4-4】（2024·高三·江苏·开学考试）足球比赛积分规则为：球队胜一场积 分，平一场积 分，负一
场积 分．常州龙城足球队 年 月将迎来主场与 队和客场与 队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与 队比赛：胜的概率为 ，平的概率为 ，负的概率为 ；客场与 队比赛：胜的概率
为 ，平的概率为 ，负的概率为 ，且两场比赛结果相互独立．
(1)求常州龙城队 月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率；
(2)用 表示常州龙城队 月与 队和 队比赛获得积分之和，求 的分布列与期望．
【解析】（1）设事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队主场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队客场与 队比赛获得积分为 分”，
事件 “常州龙城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分”，
，
，
，
则 ，
∴常州龙城队七月主场与 队比赛获得积分超过客场与 队比赛获得积分的概率为 ；
（2）由题意可知 的所有可能取值为 ，
，
，
，
，
，
，
∴ 的分布列为：∴ .
【变式4-5】不透明的盒子中装有大小质地相同的4个红球、2个白球，每次从盒子中摸出一个小球，若摸
到红球得1分，并放回盒子中摇匀继续摸球；若摸到白球，则得2分且游戏结束．摸球 次后游戏结束的
概率记为 ，则 ；游戏结束后，总得分记为 ，则 的数学期望 ．
【答案】
【解析】 ；
的可能取值为 ， 且 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则
，
即 ，
又 ，故 .
故答案为： ； .题型五：离散型随机变量的方差
【典例5-1】某种种子每粒发芽的概率都为 ，现播种了 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种
粒，补种的种子数记为 ，则 的方差为 ．
【答案】
【解析】将没有发芽的种子数记为 ，则 ， ，
又 ， .
故答案为： .
【典例5-2】（2024·上海浦东新·三模）一袋中装有大小与质地相同的2个白球和3个黑球，从中不放回地
摸出2个球，记2球中白球的个数为X，则 .
【答案】 /
【解析】由题意可知，随机变量 的可能取值有 、 、 ，
则 ， ， ，
所以， ，
.
故答案为： .
【方法技巧】
均值与方差性质的应用若 是随机变量，则 一般仍是随机变量，在求 的期望和方差时，
熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求 的分布列带来的繁琐运算．
【变式5-1】（2024·河南郑州·模拟预测）某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包．在一个不透
明的袋子中装有 个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取m个球 ，摸
完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额．
(1)若 ， ，当袋中的球中有 个所标面值为 元，1个为 元，1个为 元时，在员工所获得的
红包数额不低于 元的条件下，求取到面值为 元的球的概率；
(2)若 ， ，当袋中的球中有1个所标面值为 元，2个为 元，1个为 元，1个为 元时，求
员工所获得红包数额的数学期望与方差．
【解析】（1）记事件 ：员工所获得的红包数额不低于90元，事件 ：取到面值为60元的球，
因为球中有 个所标面值为 元，1个为 元，1个为 元，且， ， ，所以 ，
又 ，所以 ．
（2）设X为员工取得的红包数额，则 可能取值为 ，
所以 ， ，
， ，
所以 ，
．
【变式5-2】（2024·湖北·模拟预测）某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n
粒种子，其中发芽种子的数量为X．
(1)要使 的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为 ，方差为 ，则对任意 均有
，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件
的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等
式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有 的把握使种子的发芽率落在区间 ，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数
的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为 ，则对任意 ，均有
．
【解析】（1） ，由题意有 ，
解得 ，由于 为整数，故 ．
（2）①证法1：设 的分布列为 ，
其中 ， ，记 ，则对任意 ，．
证法2：由马尔科夫不等式，得 ．
② ，则 ， ．
由题意， ，即 ， ，也即 ．
由切比雪夫不等式，有 ，
从而 ， ，估计 的最小值为45．
【变式5-3】（2024·浙江温州·模拟预测）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个.从袋中随机取
出3个球，恰全为黑球的概率为 ，则黑球的个数为 .若记取出3个球中黑球的个数为 ，则
.
【答案】 3 /0.36
【解析】设袋中黑球有n个，则从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为 ，可得 ，
该事件服从超几何分布，
由题可知，取出3个球中黑球的个数 的可能取值为1，2，3，
由超几何分布事件分别计算对应概率，
，
，
可得分布列如下：
1 2 3
则 ，
.故答案为： ;
【变式5-4】（2024·广东·模拟预测）设离散型随机变量X，Y的取值分别为 ，
．定义X关于事件“ ” 的条件数学期望为：
．已知条件数学期望满足全期望公式：
．解决如下问题：
为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向
培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物
时，A的每个个体立即以相等的概率随机产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均
不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：
①直接死亡；②分裂为2个个体．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为 ．规定 ， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)已知 ，证明： 随着n的增大而增大．
【解析】（1）在事件 发生的条件下，如果在第五天下午加入药物后，有K个个体分裂，
则 ， ，
所以 ， ．
（2）由（1）可类似得到：在事件 发生的条件下，如果在第 天下午加入药物之后，
有 个个体分裂，则 的取值为 ．
在事件 发生的条件下，令随机变量Z表示第 天下午加入药物之后分裂的个体数目，
则 且 ．
因此 ．
设 的取值集合为 ，则由全期望公式可知
．
这表明 是常数列，所以 ．（3）由（2）可知
，
这表明 是公差为10的等差数列．
又因为 ，所以 ，
从而 ．
可以看出， 随着n的增大而增大．
【变式5-5】（2024·江苏南京·二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标 表示，
其中 .而在 维空间中 ，以单位立方体的顶点坐标可表示为 维坐标
，其中 .现有如下定义：在 维空间中， ，
两点的曼哈顿距离为
(1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；
(2)在 维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量 为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出 的分布列与期望；
（ii）证明：随机变量 的方差小于 .
【解析】（1）记“所取两点的曼哈顿距离为1为事件A”，则
答：所取两点的曼哈顿距离为1的概率为 .
（2）（i）对于 的随机变量，在坐标 与 中有 个坐标值不同，即 ，
剩下 个坐标值满足 .
此时所对应情况数为 种.即
故分布列为：
1 2 …
…
数学期望倒序相加得 ，
即 .
（ii）
，
设 ，
两边求导得， ，
两边乘以 后得， ，
两边求导得， ，
令 得， ，
所以
．
【变式5-6】（2024·山东·模拟预测）已知随机变量 ，其中 ，随机变量 的分布列为
0 1 2
表中 ，则 的最大值为 ．我们可以用 来刻画 与 的相似程
度，则当 ，且 取最大值时， ．
【答案】
【解析】由题意，可得 ，则
，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，
又由 ，可得 ，解得 ，可得 ，
又因为 ，
可得 ，
所以 .
故答案为： ；
题型六：决策问题
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）在某项体育比赛中，从第2局开始，选手每次对局获胜的概率受到前
一局的影响．现甲、乙两位运动员对局，第一局甲胜的概率为 ；若前一局甲负，则下一局甲胜的概率是
；若前一局甲胜，则下一局甲胜的概率为 ．比赛没有平局．
(1)求甲在第3局中获胜的概率；
(2)现设置300万元奖金，若甲在前3局中已经胜了2局，如果停止比赛，那么甲拿走奖金的 ，如果再继
续比赛一局，第4局甲获胜，甲拿走奖金的 ，第4局甲失败，甲拿走奖金的 ，请问甲将如何决策，以
期拿走更多的奖金．
【解析】（1）站在甲的角度，甲在第3局中获胜包含4种情况：胜胜胜，胜负胜，负胜胜，负负胜，
所以甲在第3局中获胜的概率 ；
（2）方案一：停止比赛，甲拿到奖金的期望为 （万元）．
方案二；设甲在前3局中已经胜了2局的情况下第4局获胜的事件为 ，
前三局的情况有：
胜胜负，概率 ；
胜负胜，概率 ；
负胜胜，概率 ．
再继续比赛，第4局甲获胜的概率，
第4局甲失败的概率 ，
所以甲拿到奖金的期望 （万元）．
因为 ，所以选择停止比赛，拿到奖金的期望更高．
【典例6-2】（2024·河南·模拟预测）某水果店的草莓每盒进价20元，售价30元，草莓保鲜度为两天，若
两天之内未售出，以每盒10元的价格全部处理完.店长为了决策每两天的进货量，统计了本店过去40天草
莓的日销售量（单位：十盒），获得如下数据：
日销售量/十盒 7 8 9 10
天数 8 12 16 4
假设草莓每日销量相互独立，且销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率.
(1)记每两天中销售草莓的总盒数为X（单位：十盒），求X的分布列和数学期望；
(2)以两天内销售草莓获得利润较大为决策依据，在每两天进16十盒，17十盒两种方案中应选择哪种？
【解析】（1）日销售量为7盒、8盒、9盒、10盒的概率依次为： ，
根据题意可得： 的所有可能取值为14，15，16，17，18，19，20，
， ，
， ，
， ，
，
所以 的分布列为：
14 15 16 17 18 19 20
所以 ；
（2）当每两天进16十盒时，利润为 ，当每两天进17十盒时，利润为
，
，所以每两天进17十盒利润较大，故应该选择每两天进17十盒．
【方法技巧】
均值与方差在决策中的应用
（1）随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它
们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均
值相同，再用方差来决定．
（2）两种应用策略
①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断．
②若两随机变量均值相同或相差不大，则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳
定程度，进而进行决策.
【变式6-1】一个小型制冰厂有3台同一型号的制冰设备，在一天内这3台设备只要有一台能正常工作，制
冰厂就会有利润，当3台都无法正常工作时制冰厂就因停业而亏本（3台设备相互独立，3台都正常工作时
利润最大）.每台制冰设备的核心系统由3个同一型号的电子元件组成，3个元件能正常工作的概率都为
，它们之间相互不影响，当系统中有不少于 的电子元件正常工作时，此台制冰设备才能正常
工作.
(1)当 时，求一天内制冰厂不亏本的概率；
(2)若已知当前每台设备能正常工作的概率为0.6，根据以往经验可知，若制冰厂由于设备不能正常工作而
停业一天，制冰厂将损失1万元，为减少经济损失，有以下两种方案可供选择参考：
方案1：更换3台设备的部分零件，使每台设备能正常工作的概率为0.85，更新费用共为600元.
方案2：对设备进行维护，使每台设备能正常工作的概率为0.75，设备维护总费用为 元.请从期望损失最
小的角度判断如何决策？
【解析】（1）当 时，每台设备能正常工作的概率为： ，
所以一天内制冰厂不亏本的概率为 ；
（2）若不采取措施，设总损失为 ，当前每台设备能正常工作的概率为0.6，
故 元；
设方案1、方案2的总损失分别为 ， ，
采用方案1，更换3台设备的部分零件，使得每台设备能正常工作的概率为0.85，故 元；
采用方案2，对设备进行维护，使得每台设备能正常工作的概率为0.75，
故 元，
又 ，且 ，
因此，从期望损失最小的角度，当 时，可以选择方案1或2；
当 时，选择方案2；
当 时，采取方案1.
【变式6-2】贝叶斯公式 中， 称为先验概率， 称为后验概率．先验概
率 表达了对事件 的初始判断，当新的信息 出现后，我们可以利用贝叶斯公式求出后验概率
，以此修正自己的判断并校正决策．利用这种思想方法我们来解决如下一个实际问题．
某趣味抽奖活动准备了三个外观相同的不透明箱子，已知三个箱子中分别装有10个红球、5个红球5个白
球、10个白球(球的大小、质地相同)．抽奖活动共设计了两个轮次：
第一轮规则：抽奖者从三个箱子中随机选择一个箱子，并从该箱子中取出两球（分两次取出，每次取一球，
取出的球不放回)，若取出的两个球都是红球则可以进入第二轮，否则抽奖活动结束(无奖金)．
第二轮规则：进入第二轮的抽奖者可以选择三种抽奖方案．方案一：就此停止，并获得奖金300元；方案
二：继续从第一轮抽取的箱子中再取一球，若为红球则可获得奖金400元，若为白球奖金变为0元；方案
三：不再从第一轮抽取的箱子中取球，而是从另外两个箱子中随机选择一个箱子，并从中取出一球，若为
红球则可获得奖金800元，若为白球奖金变为80元．
(1)求抽奖者在第一次取出红球的条件下，能进入第二轮的概率；
(2)在第二轮的三种抽奖方案中，从抽奖者获得奖金的数学期望的角度，找出三种抽奖方案的最佳方案．
【解析】（1）设第 次取到红球为事件 ，
从装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球的箱子取球分别为事件 ．
在第一次取出红球的条件下，要进入第二轮只需第二次也取出红球，
所以概率为 ．
（2）先分别求出在进入第二轮的条件下，第一轮在各个箱子取球的概率：方案一：所获得奖金为300；
方案二：继续取出红球的概率 ，
设所获得奖金为X，则 ．
方案三：继续取出红球的概率 ，
设所获得奖金为 ，则 ，
所以方案二最佳．
【变式6-3】（2024·山东菏泽·一模）某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个
不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小
球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球
个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为 ．
(1)求盒中2号球的个数；
(2)若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜
对谜语的概率相互独立）
球号 1号球 3号球
答对概率 0.8 0.5
奖金 100 500
【解析】（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n， ，n，
则取到异号球的概率 ，，即 ．解得 ．
所以盒中2号球的个数为4个．
（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，
因为猜对谜语的概率相互独立，记 为甲获得的奖金总额，
则 可能的取值为0元，100元，600元，
，
，
．
X的分布列为
X 0 100 600
P 0.2 0.4 0.4
的均值为 ，
若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，
记Y为甲获得的奖金总额，则Y可能的取值为0元，500元，600元，
．
Y的分布列为
Y 0 500 600
P 0.5 0.1 0.4
的均值为 ，
因为 ，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．
【变式6-4】某种药材的种植加工过程，受天气、施肥、管理等因素影响，农民按照药材色泽、大小等将
药材分为上等药材、中等药材、普通药材，并分类装箱，已知去年生产了8箱药材，其中上等药材2箱，
中等药材2箱，其他为普通药材.
(1)若在去年生产的药材中随机抽取4箱，设X为上等药材的箱数，求X的分布列和数学期望；
(2)已知每箱药材的利润如表：
上等药
等级 中等药材 普通药材
材
利润（元/箱） 4000 2000 -1200
今年市场需求增加，某农户计划增加产量，且生产的上等药材、中等药材、普通药材所占比例不变，但需要的人力成本增加，每增加m箱，成本相应增加 元，假设你为该农户决策，你觉得目
前应不应该增加产量？如果需要增加产量，增加多少箱最好？如果不需要增加产量，请说明理由.
【解析】（1）X的可能取值为0，1，2，
， ， ，
X的分布列如表：
X 0 1 2
P
.
（2）按原计划生产药材每箱平均利润为 （元），
则增加 箱药材，利润增加为 元，成本相应增加 元，
所以增加净利润为 .
设 （ 或 ），则 ，
当 时， ，
当 时， ，且 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 时， 取得最大值，
所以需要增加产量，增加20箱最好.
1．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标III卷））某群体中的每位成员使用移动支
付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，
， ，则 （ ）
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3【答案】B
【解析】分析：判断出为二项分布，利用公式 进行计算即可．
或
，
,可知
故答案选B.
2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片
上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，
两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的
人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总
得分不小于2的概率为 .
【答案】 /0.5
【解析】设甲在四轮游戏中的得分分别为 ，四轮的总得分为 .
对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲得分的出牌组合有六种，从而甲在
该轮得分的概率 ，所以 .
从而 .
记 .
如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以
；
如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以
.
而 的所有可能取值是0，1，2，3，故 ， .
所以 ， ，两式相减即得 ，故 .
所以甲的总得分不小于2的概率为 .
故答案为： .3．（2022年新高考浙江数学高考真题）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡
片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 ，则 ， ．
【答案】 ， /
【解析】从写有数字1,2,2,3,4,5,6的7张卡片中任取3张共有 种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小
值为2的取法有 种，所以 ，
由已知可得 的取值有1，2，3，4，
， ，
，
所以 ,
故答案为： ， .
4．（2021年浙江省高考数学试题）袋中有4个红球m个黄球，n个绿球.现从中任取两个球，记取出的红
球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ， .
【答案】 1
【解析】 ，所以 ，
, 所以 , 则 ．
由于
．
故答案为：1； ．1．设 ，a是不等于 的常数，探究X相对于 的偏离程度与X相对于a的偏离程度的大小，并说
明结论的意义．
【解析】设 取 的概率为 ，
又 ，所以X相对于 的偏离程度为 ，
X相对于a的偏离程度为 ，
又因为 ， ， ，
所以
，
，即X相对于 的偏离程度小于X相对于a的偏离程度，
结论的意义：X相对于 的偏离程度（即 的方差）是 相对于任意常数a的偏离程度中最小的，从而方
差能很好的反映一组数据的集中与离散程度.
2．甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y（单位：s），其分布列为：
甲品牌的走时误差分布列X 0 1
0.
P 0.8 0.1
1
乙品牌的走时误差分布列
Y 0 1 2
P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1
试比较甲、乙两种品牌手表的性能．
【解析】由题意可得 ，
同理可得 ，
故可得
由于 ，故甲的质量更稳定些，
3．有A和B两道谜语，张某猜对A谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对B谜语的概率为0.5，猜对
得奖金20元，规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道．如果猜谜顺序由张某选择，
他应该选择先猜哪一道谜语？
【解析】如果他先猜谜A，那么他将有 的概率得0元，有 概率得10元，
有 概率得30元，此时，他的奖金期望是 ；
如果他先猜谜B，那么他的奖金期望是 ．
因为 ，所以他最好先猜谜A，
4．证明： ．
【解析】证明：设离散型随机变量X的分布列为：
… …
… …
设 （a，b为常数），则Y也是离散型随机变量，Y的分布列为：
Y … …
… …
由均值的性质可得 ，5．随机变量X的分布列为 ， ， ，若 ，求a和b．
【解析】由题意知， ，
解得
即a和b分别为 .
6．现要发行10000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，
100元的彩票50张，1000元的彩票5张．1张彩票可能中奖金额的均值是多少元？
【解析】由题意，设 表示1张彩票中奖的金额，
则 ，
，
，
，
，
所以 的分布列为：
0 2 10 50 100 1000
0.0
0.8545 0.1 0.01 0.005 0.0005
3
，
即1张彩票可能中奖金额的均值是2元．易错点：随机变量分布列的性质用错
易错分析：离散型随机变量的分布列指出了随机变量的取值范围及取每一个值时的概率。离散型随机
变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 一定要注意这一性质在解题中的应
用.
【易错题1】随机变量Y的分布列为下表所示，若Y的期望值为1，则：（ ）
0 2
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由分布列的性质可知， ，故A正确；
因为Y的期望值为1，所以 ，所以C错.
若 ，不满足分布列性质，B错，
由上，有 ，显然D错.
故选：A
【易错题2】已知随机变量ξ只能取三个值： ， ， ，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围
是 .
【答案】
【解析】设ξ取 ， ， 时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，
所以 ，
由 ，得所以公差d的取值范围是：
故答案为：
答题模板：求离散型随机变量的分布列及数字特征
1、模板解决思路
求离散型随机变量的分布列及数字特征，关键是找出随机变量X的所有可能取值，并明确每一个取值
所表示的意义，然后进行相应的计算即可.
2、模板解决步骤
第一步：理解随机变量X的意义，找出X的所有可能取值.
第二步：求出X取每一个值时的概率。
第三步：写出X的分布列.
第四步：由均值或方差的定义求出均值或方差.
【经典例题1】袋子中装有5个白球和3个红球，现从袋子中不放回地摸取4个球，取到1个白球得2分，
取到1个红球得1分，设摸球所得分数之和为随机变量 ．
(1)求摸球得分不低于6分的概率；
(2)求摸球所得分数之和的方差．
【解析】（1）当摸球得分不低于6分时，摸球的情况有2白2红、3白1红、4白三种，所以得分不低于6
分的概率为 .
（2） 的可能取值为 ，
且 ， ，
， ，
所以所得分数之和的期望为 ，
所以所得分数之和的方差为 ．
【经典例题2】国庆节前，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，
共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为 ，且每个人答题相互不受影响．
(1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率；
(2)用随机变量 表示三名同学能够成为宣传员的人数，求 的数学期望与方差．
【解析】（1）每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题，
所以每个同学成为宣传员的概率为 ，
因为每个人答题相互不受影响，
所以三人是否成为宣传员是相互独立事件，
又因为每个人成为宣传员的概率均为 ，
所以甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率为 ．
（2）因为每个人成为宣传员的概率均为 ，故为独立重复试验，又随机变量 表示能够成为宣传员的人数，
即3次独立重复试验中发生 次的概率，所以随机变量 满足二项分布 ，
所以 ，
．
