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第 34 讲 随机变量及其分布列
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
随机变量及其分布列的数字特征
1.离散型随机变量
一般地，如果随机试验的样本空间为 Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量
X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量.其所有可能的取值都是
可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
一般地，若离散型随机变量 X 的取值范围是{x ，x ，…，x }，如果对任意
1 2 n
k∈{1，2，…，n}，概率P(X＝x )＝p 都是已知的，则称X的概率分布是已知
k k
的，离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示，这个表格称为
X的概率分布或分布列.
X x x … x … x
1 2 k n
P p p … p … p
1 2 k n
3.离散型随机变量的分布列的性质
(1)p ≥0，k＝1，2，…，n；
k
(2)∑p ＝p ＋p ＋…＋p ＝1.
k 1 2 n
4.离散型随机变量的数学期望与方差、标准差
一般地，如果离散型随机变量X的分布列如下表所示
X x x … x … x
1 2 k n
P p p … p … p
1 2 k n
(1)均值
称E(X)＝x p ＋ x p ＋ … ＋ x p ＝ ∑ x p 为离散型随机变量X的均值或数学期望(简
1 1 2 2 n n i i
称为期望).
(2)方差
D(X)＝[x －E(X)]2p ＋[x －E(X)]2p ＋…＋[x －E(X)]2p ＝ ∑ [ x － E ( X ) ] 2 p，能够刻
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画X相对于均值的离散程度(或波动大小)，这称为离散型随机变量X的方差.
(3)标准差
称称为离散型随机变量 X的标准差，它也可以刻画一个离散型随机变量的离散
程度(或波动大小).
5.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数).
分布列
1.n次独立试验与二项分布
(1)n次独立重复试验
在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，
此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验.
(2)二项分布
一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝ 1 － p ，且n
次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，
k，…，n}，而且P(X＝k)＝ C p k q n － k，k＝0，1，…，n，
因此X的分布列如下表所示
X 0 1 … k … n
P Cp0qn Cp1qn－1 … C p k q n － k … Cpnq0
注意到上述 X 的分布列第二行中的概率值都是二项展开式(q＋p)n＝Cp0qn＋
Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的
二项分布，记作X～B(n，p).
2.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝ p (1 － p ) .
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝ np (1 － p ) .
3.超几何分布
一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有 M件(M
