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专题 9.4 随机变量分布
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题型一： 离散型随机变量的分布列性质......................................................................................3
题型二： 确定离散型随机变量的分布列......................................................................................7
题型三： 分布列的期望与方差....................................................................................................13
题型四： 方案评价与决策问题....................................................................................................17
知识点总结
知识点一、离散型随机变量
一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我
们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．
知识点二、离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，称X取每一个值x的概率P(X
1 2 n i
＝x)＝p，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．
i i
知识点三、离散型随机变量的分布列的性质
(1)p≥0(i＝1,2，…，n)；
i
(2)p＋p＋…＋p＝1.
1 2 n
知识点四、离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n(1)均值
称E(X)＝xp ＋ xp ＋…＋ xp＝p为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它
1 1 2 2 n n i i
反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(x －E(X))2p ＋(x －E(X))2p ＋…＋(x －E(X))2p ＝(x－E(X))2p为随机变量X的方差，
1 1 2 2 n n i i
并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程
度．
知识点五、均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝ aE ( X ) ＋ b .
(2)D(aX＋b)＝ a 2 D ( X ) (a，b为常数)．
【常用结论与知识拓展】
均值与方差的四个常用性质
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(X＋X)＝E(X)＋E(X)．
1 2 1 2
(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(4)若X，X 相互独立，则E(XX)＝E(X)·E(X)．
1 2 1 2 1 2
例题精讲
题型一：离散型随机变量的分布列性质
【要点讲解】(1)研究随机变量的取值，关键是准确理解所定义的随机变量的含义．(2)进行
相关计算时，始终牢记离散型随机变量分布列的两个性质：p≥0，i＝1,2，…，n和 ＝1，
i i
随时验证计算的准确性．(3)随机变量可能取某一区间内任意值，无法一一列出，则称这样的随机变量为连续型随机变量，如“长江水位”“灯管寿命”等，正态分布即是一种重要
的连续型随机变量的分布，不要与离散型随机变量混为一谈.
【例1】某运动员射击一次所得环数的分布列如表所示，则
8 9 10
0.36 0.33
A．0.69 B．0.67 C．0.66 D．0.64
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练1】已知随机变量 的分布列如表：
1 2 3 4
0.15 0.35 0.25
则实数
A．0.05 B．0.15 C．0.25 D．0.35
【解答】解：由题意得， ，解得 ．
故选： ．
【变式训练2】已知随机变量 的分布列满足： ，2，3， ，其中 为
常数，则
A． B． C． D．
【解答】解：由分布列性质可知： ，即
，
故 ．
故选： ．
【变式训练3】已 知 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 ， 则A．1 B． C． D．
【解答】解：由分布列的性质得， ，解得 ，
，
或 ，
．
故选： ．
【例2】某市卫生部门随机抽取该市的 16所大学，对其食堂进行“进货渠道合格性”和
“食品安全”量化评估，所有大学的食堂评分均在 分范围内，以下表格记录了它们
的评分情况：
评分
， ，
大学所数 4 8 4
（1）现从16所大学中随机抽取3所，求至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率；
（2）以这16所大学的食堂评分数据估计全市大学的食堂评分，若从全市的大学中任选 3
所，记食堂评分不低于9分的大学有 所，求 的分布列．
【解答】解：（1）设 表示抽抽取的3所大学中有 所大学的食堂评分不低于9分，
现从16所大学中随机抽取3所，至多有1所大学的食堂评分不低于9分的概率为：
．
（2）由表格数据知，从这16所大学中任选1所，其食堂评分不低于9分的概率为 ，
由题知 ，
，
，，
，
的分布列为：
0 1 2 3
6．某外语学校的一个社团有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语
又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数 的分布列．
【解答】解：（1）根据题意，在7名同学中，2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语
又会英语，则会法语的有5人，
从7人中选派3人，共有 种选法，
其中恰有2人会法语共有 种选法，
故选派的3人中恰有2人会法语的概率 ．
（2）由题意可知， 所有可能的取值为0，1，2，3．
；
，
的分布列为：
0 1 2 3
7．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人
进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为 ，甲赢丙的概率为 ，乙赢丙的概率为 ．
（1）若甲、乙两人打第一局，求比赛局数 的概率分布列；
（2）求甲成为优胜者的概率；
（3）为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为
依据，帮助甲进行决策．
【解答】解：（1）比赛局数 的可能取值为2，3，4，
比赛两局结束，则甲连胜两局或乙连胜两局，所以 ，
比赛三局结束，则第二局、第三局丙连胜，所以 ，
比赛四局结束，所以 ，
所以 的分布列为：
2 3 4
（2）记甲、乙比赛第一局为事件 ，甲、丙比赛第一局为事件 ，乙、丙比赛第一局为
事件 ，甲成为优胜者为事件 ，
第一局比赛双方可能是甲乙、甲丙、乙丙共三种情况，则 （A） （B） （C）
，
所以 ，
，
，
所以 （D）
（A） （B） （C），
所以甲成为优胜者的概率为 ；
（3）由（2）知， ，
所以甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大．
题型二：确定离散型随机变量的分布列
【要点讲解】离散型随机变量的分布列问题的解题策略：(1)先确定离散型随机变量的所有
可能的取值，“不重不漏”；(2)选择合适的概率模型(公式)计算每一可能取值时的概率；
(3)列出分布列．
【例3】在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任
取3个．求：
（1）取出的3个球中红球的个数 的分布列；
（2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
【解答】解：（1）由题意知，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，
且 服从参数为 ， ， 的超几何分布，
因此 ； （1分）
所以 ，
，
，
； （4分）
所以 的分布列为：
0 1 2 3（6分）
（2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件 ，“恰好取出1个红球和2个
黑球”
为事件 ，“恰好取出 2 个红球”为事件 ，“恰好取出 3 个红球”为事件 ，
（7分）
由于事件 ， ， 彼此互斥，且 ，
而 ，
，
， （10分）
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为：
．
（11分）
答：取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为 ．
（12分）
【变式训练1】某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定
至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数的分布列；
（2）他能通过初试的概率．
【解答】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为 ，且 、1、2、3，
服从超几何分布，
分布列如下：
0 1 2 3即
0 1 2 3
（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，
这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到
【变式训练2】某校高二年级某班的数学课外活动小组有 6名男生，4名女生，从中选出4
人参加数学竞赛考试，用 表示其中男生的人数，
（1）请列出 的分布列；
（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．
【解答】解：（1）依题意得，随机变量 服从超几何分布，
随机变量 表示其中男生的人数， 可能取的值为0，1，2，3，4．
．
所以 的分布列为：
0 1 2 3 4
（2）由分布列可知至少选3名男生，
即 ．
【变式训练3】某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为
．若从该批产品中任意抽取3件，
（1）求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；
（2）求取出的3件产品中次品的件数 的概率分布列与期望．
【解答】解：设该批产品中次品有 件，由已知 ，
（2分）
（1）设取出的 3 件产品中次品的件数为 ，3 件产品中恰好有一件次品的概率为（4分）
（2） 可能为0，1，2
（10分）
的分布为：
0 1 2
则 （13分）
【变式训练4】生产方提供50箱的一批产品，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产
品的准则是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该
批产品．问：该批产品被接收的概率是多少？
【解答】解：以50箱为一批产品，从中随机抽取5箱，用 表示“5箱中不合格产品的箱
数”，则 服从超几何分布 ，2， ．
这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格，
所以被接收的概率为 ，即 ．
答：该批产品被接收的概率是 ．
甲与乙两人掷硬币，甲用一枚硬币掷3次，记下国徽面朝上的次数为 ；乙用一枚硬币掷
2次，记下国徽面朝上的次数为 ．
（ 1 ） 算 国 徽 面 朝 上 不 同 次 数 的 概 率 并 填 入 下 表 ：（2）现规定：若 ，则甲胜；若 ，则乙胜．你认为这种规定合理吗？为什么？
【解答】解：（1）根据相互独立事件概率乘法公式得：
（2）这种规定是合理的．这是因为甲获胜，则
当 时， ，1，0，其概率为
当 时， ，0，其概率为 ；
当 时， ，其概率为 ；
甲获胜的概率为
若乙获胜，则
当 时， ，1，0，其概率为 ；
当 时， ，0，其概率为 ；
当 时， ，其概率为 ；
乙获胜的概率为
甲和乙获胜的概率相等，即获胜机会相等，所以这种规定是合理的．【变式训练5】福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一，纸伞的制作
工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面；第三步绘花刷油．一个优秀的作品除
了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，已知某工艺师在每个环节制作合格的
概率分别为 ， ， ，只有当每个环节制作都合格才认为一次成功制作．
（1）求该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率；
（2）若该工艺师制作4次，其中优秀作品数为 ，求 概率分布列及期望；
【解答】解：（1）由题意可知，制作一件优秀作品的概率为 ，
该工艺师进行3次制作，恰有一件优秀作品的概率 ．
（2）该工艺师制作4次，其中优秀作品数为 ， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
由题意可知， ，
， ，
， ，
，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4
．
【变式训练6】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点 出发，每隔 等可能地向
左或向右移动一个单位，共移动6次．求下列事件的概率．
（1）质点回到原点；
（2）质点位于4的位置．
【解答】解：设质点向右移动的次数为 ，又质点每隔 等可能地向左或向右移动一个单
位，共移动6次，且每次移动是相互独立，则 ，
（1）质点回到原点，则 ，
，
所以质点回到原点的概率是 ；
（2）当质点位于4的位置时，则 ，
，
所以质点位于4的位置的概率是 ．
题型三：分布列的期望与方差
【要点讲解】计算均值与方差的基本方法：①已知随机变量的概率分布求它的均值、方差
和标准差，可直接用定义或公式求；②已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y
＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求.
【例4】若随机变量 的分布列为 ， ，若 ，则 的
最小值等于
A．0 B．1 C．4 D．2
【解答】解：由题意得 ，解得 ，
， ， ，
，即 ，，
当 时， 取最小值0．
故选： ．
【变式训练1】已知离散型随机变量 的分布例如下表所示．
0.4 0.2 0.4
则
A． B． C．0.4 D．0.8
【解答】解：易知 ，
则 ．
故选： ．
【变式训练2】已知随机变量 的分布列如表（其中 为常数），则下列计算结果正确的
是
0 1 2 3
0.2 0.3 0.4
A． B． C． D．
【解答】解：已知 ，
解得 ，
此时 ，
而 ，
．
故选： ．
【变式训练3】某人在 次射击中击中目标的次数为 ， ，其中 ，，击中奇数次为事件 ，则
A．若 ， ，则 取最大值时
B．当 时， 取得最小值
C．当 时， （A）随着 的增大而增大
D．当 时， （A）随着 的增大而减小
【解答】解：对于 ，在10次射击中击中目标的次数 ，
当 时对应的概率 ，1，2， ，
取最大值， ，
即 ，
即 ，解得 ，
且 ， ，即 时概率 最大，故 不正确；
对于 ， ，当 时， 取得最大值，故 不正确；
对于 、 ， ，
，
，
，
当 时， 为正项且单调递增的数列，
（A）随着 的增大而增大，故 正确；当 时， ， 为正负交替的摆动数列，
（A）不会随着 的增大而减小，故 不正确．
故选： ．
【例5】某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下，选手依次参加第一，二，三关，闯
关成功可获得的奖金分别为1000元、2000元、3000元．奖金可累加，若某关闯关成功，
选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关，若有任何一关闯关失
败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束．选手小刘参加闯关游戏，已知他第一
二，三关闯关成功的概率分别为 ， ， ．第一关闯关成功选择继续闯关的概率为 ，
第二关闯关成功选择继续闯关的概率为 ，且每关闯关成功与否互不影响．
（1）求小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
（2）设小刘所得奖金为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
【解答】解：（1）要使小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零，
选择闯第二关且失败，或选择闯第二关且成功，又选择闯第三关且失败，
所以小刘第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率 ；
（2）易知 的所有可能取值为0，1000，3000，6000，
此时 ， ，
， ，
则 的分布列为：
0 1000 3000 6000
故 元．
【变式训练1】第22届亚运会于2023年9月23日至10月8日在我国杭州举行，这届运动
会大量使用了高科技．为选拔合适的志愿者，参选者需参加测试，测试分为初试和复试；
初试从6道题随机选择4道题回答，每一题答对得1分，答错得0分，初试得分大于等于3
分才能参加复试，复试每人都回答 ， ， 三道题，每一题答对得2分，答错得0分．已知在初试6题中甲有4题能答对，乙有3题能答对；复试中的三题甲每题能答对的概率
都是 ，乙每题能答对的概率都是 ．
（1）求甲、乙至少一人通过初试的概率；
（2）若测试总得分大于等于6分为合格，问参加完测试甲、乙合格的概率谁更大．
【解答】解：（1）由题意得甲通过初试的概率为 ，
乙通过初试的概率为 ，
则甲、乙至少一人通过初试的概率为 ；
（2）考虑甲初试若得4分，要合格则复试答对一道即可，初试若得 3分，则复试答对2道
或3道才可合格，
故甲合格的概率为 ；
乙要合格，则需初试通过，复试答对2道或3道才可合格，
故乙合格的概率为 ，
因为 ，故甲合格的概率更大．
题型四：方案评价与决策问题
【要点讲解】随机变量的数字特征是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，所以应该
从整体和全局上作出科学合理解释，以此对方案选择、评价和决策作出有效判断．一般先
比较均值，若均值相同(或相近)，再用方差来决定．
【例6】如图，李先生家住 小区，他工作在 科技园区，从家开车到公司上班路上有 、
两条路线， 路线上有 、 、 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为 ； 路线上有 、 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为 ， ．
（1）若走 路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（2）若走 路线，求遇到红灯次数 的数学期望；
（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条
最好的上班路线，并说明理由．
【解答】解：（1）设“走 路线最多遇到1次红灯”为事件 ，包括没有遇到红灯和只
遇到红灯一次两种情况．
则 ，
所以走 路线，最多遇到1次红灯的概率为 ．
（2）依题意， 的可能取值为0，1，2．
， ，
．
随机变量 的分布列为：
0 1 2
所以 ．
（3）设选择 路线遇到红灯次数为 ，随机变量 服从二项分布 ，所以
．因为 ，所以选择 路线上班最好．
【变式训练1】惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙
两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这 6个
问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为 ．甲、
乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
【解答】解：（1） 这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，
甲至少答对两个问题的概率 ．
（2）设甲答对题数为 ， 所有可能取值为1，2，3，
则 ，
，
，
故 ，
．
设乙答对题数为 ，由题意可得，随机变量 ，
故 ， ，
， ，
甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
故选择学生甲．
【变式训练2】甲乙两人参加一个摸球中奖游戏，一个袋子中装有除颜色外完全相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球，从中依次随机摸出3个球，每次摸出1个球，规定至
少有2个红球则中奖．
（1）若甲采用有放回的方式摸球，求甲中奖的概率；
（2）若乙采用不放回的方式摸球，求乙中奖的概率．
【解答】解：（1）在有放回方式下，记“甲中奖”为事件 ，
则 ．
（2）在不放回方式下，记“乙中奖”为事件 ，
则 ．
