文档内容
9.4 抛物线的定义与性质
思维导图
知识点总结
内容提要
抛物线的定义：平面上到定点F的距离与到定直线l 不过定点F 的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中
定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
1. ( )
抛物线的标准方程与简单几何性质： .
2. 标准方程
顶
定义 ( ) 焦点 准线 范围 对称轴 图形
点
p>0
(p ) p x≥0
y2=2px ，0 x=- x轴
2 2 y∈R
原
|AF|=d
点
( p ) p x≤0
y2=-2px - ，0 x= x轴
2 2 y∈R标准方程
顶
定义 ( ) 焦点 准线 范围 对称轴 图形
点
p>0
(p ) p x≥0
y2=2px ，0 x=- x轴
2 2 y∈R
原
|AF|=d ( p) p x∈R
x2=2py 0， y=- y轴 点
2 2 y≥0
( p) p x∈R
x2=-2py 0，- y= y轴
2 2 y≤0
抛物线上的点到焦点F的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线y2=2px(p>0)中，若点A在抛物线
p
3上.，且AD⊥准线于D，如上表中第 个图，有|AF|=|AD|=x + ，其余开口的抛物线类似
A 2
1 .
典型例题分析
考向一 抛物线的定义
【例 】已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点P，过F且垂直于x轴的直线与抛
物线交于A，B两点，若△PAB的面积为 ，则p=答案：√2
1
2【变式】 新课标I卷 已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为 ，到
y轴的距离为 ，则p=
(2020. ) 12
9 ( )
A.2
B.3
C.6
D.9
考向二 抛物线的标准方程
(3 )
【例 】若抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为 ，0 ，则抛物线C的标准方程为，准线方程是
2
2
___________
1
变式 若抛物线y=ax2的准线方程为y=- ，则a=
8
[ 1] ___________变式 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C经过点A(2，1)，则C的方程为
[ 2] ___________
考向三 焦半径和焦点弦
【例 】已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物
|PA|
线E上3，若∠PAF=30∘，则 =___________，sin∠PFA=
|PF|
___________考向四 直线与抛物线有关计算问题
【例 】已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，准线与x轴交于点A，点M在第一象限且在
|MF|
抛物线4C上，则当 取得最小值时，直线AM的方程为
|MA|
___________
基础题型训练
一、单选题
1．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过抛物线上一点P作 于点 ，则
（ ）
A．5 B．4 C． D．
2．设抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知点 在抛物线 上，点 到抛物线 的焦点 的距离为 ，设 为坐标原点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．设直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ( 为坐标原点)，则 的焦点坐
标为（ ）
A． B． C． D．
5．设抛物线 的焦点为 ，已知点 ， ， ， 都在抛物线上，则
四点中与焦点 距离最小的点是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且
，则 （O为坐标原点）的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．6
二、多选题
7．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
8．已知抛物线 的焦点在直线 上，则抛物线 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．三、填空题
9．已知O为坐标原点，抛物线 的焦点为F，P为C上一点， 与x轴垂直，Q为x轴上一点，
若P在以线段 为直径的圆上，则该圆的方程为 .
10．已知 为抛物线 ： 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与抛物线 的准线
交于点 ，若 是 的中点，则 .
11．若抛物线 上一点 到抛物线焦点的距离为1，则 点的横坐标是 ．
12．已知二次函数 的图像交 轴于 两点，直线 与抛物线交于 两点，直线
与 平行，且与抛物线相切于点 ，则 ．
四、解答题
13．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点 ，求这个抛物
线的标准方程．
14．已知抛物线 上有一点 到焦点 的距离为 ，
（1）求 及 的值．
（2）过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
15．分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
(1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上．
(2)抛物线的焦点是双曲线 的焦点之一．16．已知抛物线 上横坐标为2的一点 到焦点的距离为3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动直线 交 于 、 两点， 为坐标原点， 直线OA，OB的斜率分别为 ，且 ，证
明：直线l经过定点，求出定点的坐标.
提升题型训练
一、单选题
1．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ，则方程 与 在同一坐标系内的图形可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知点P是抛物线 上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之
和的最小值为（ ）A．3 B． C． D．
4．设P为抛物线C： 上的动点， 关于P的对称点为B，记P到直线 的距离分
别 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛
物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，一条光线沿 射出，经过抛物线 上的点 （异于点 ）反射，
反射光线经过点 ，若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，过点 的直线 与抛物线 交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
二、多选题
7．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，且 ，直线 交 于另一点 ，
记坐标原点为 ，则（ ）A． B． C． D．
8．已知圆 ： 直线 ： ，下列说法正确的是（ ）
A．直线 上存在点 ，过 向圆引两切线，切点为A，B，使得
B．直线 上存在点 ，过点 向圆引割线与圆交于A，B，使得
C．与圆 内切，与直线 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．与圆 外切，与直线 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
三、填空题
9．抛物线 的准线方程为 .
10．已知点O为坐标原点，直线 交抛物线 于A，B两点，P为y轴正半轴
上一点，且点A，P，B的纵坐标成等比数列，则P点的坐标为 .
11．设抛物线 ： 的焦点为 是 上的一点且在第一象限，以 为圆心，以 为半径的圆交
的准线于 两点，且 三点共线，则点A的横坐标为 .
12．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 两点，若 ，则 的中点 到y轴的距离等于
．
四、解答题
13．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 经过点 ，求抛物线C的方程；
14．已知 为抛物线 上一点，点 到直线 的距离为 .
（1）求 的最小值，并求此时点 的坐标；
（2）若点 到抛物线的准线的距离为 ，求 的最小值.15．（1）求经过点 的抛物线的标准方程：
（2）求一条渐近线为 ，且过点 的双曲线的标准方程；
（3）求经过点(3， )，( ，5)的双曲线的标准方程．
16．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，设 ，
，则 且弦 的中点到准线的距离为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设离心率为 且长轴为 的椭圆 的方程为 ．又椭圆 与过点 且斜
率存在的直线 相交于 ， 两点，已知 ， 为坐标原点，求直线 的方程．
