文档内容
9.4 抛物线的定义与性质
思维导图
知识点总结
内容提要
抛物线的定义：平面上到定点F的距离与到定直线l 不过定点F 的距离相等的点的轨迹是抛物线，其中
定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线
1. ( )
抛物线的标准方程与简单几何性质： .
2. 标准方程
顶
定义 ( ) 焦点 准线 范围 对称轴 图形
点
p>0
(p ) p x≥0
y2=2px ，0 x=- x轴
2 2 y∈R
原
|AF|=d
点
( p ) p x≤0
y2=-2px - ，0 x= x轴
2 2 y∈R
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】标准方程
顶
定义 ( ) 焦点 准线 范围 对称轴 图形
点
p>0
(p ) p x≥0
y2=2px ，0 x=- x轴
2 2 y∈R
原
|AF|=d ( p) p x∈R
x2=2py 0， y=- y轴 点
2 2 y≥0
( p) p x∈R
x2=-2py 0，- y= y轴
2 2 y≤0
抛物线上的点到焦点F的距离可用坐标表示，例如开口向右的抛物线y2=2px(p>0)中，若点A在抛物线
p
3上.，且AD⊥准线于D，如上表中第 个图，有|AF|=|AD|=x + ，其余开口的抛物线类似
A 2
1 .
典型例题分析
考向一 抛物线的定义
【例 】已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线l与x轴交于点P，过F且垂直于x轴的直线与抛
物线交于A，B两点，若△PAB的面积为 ，则p=答案：√2
1
2 p
解析：如图，可以AB为底，PF为高来计算△PAB的面积，下面先求|AB|，将x= 代入y2=2px解得：
2
1 1
y=±p，所以|AB|=2p，又|PF|=p，所以S = |AB|⋅|PF|= ⋅2p⋅p=p2 ，由题意，S =2，
△PAB 2 2 △PAB
所以p2=2，故p=√2
.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【变式】 新课标I卷 已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为 ，到
y轴的距离为 ，则p=
(2020. ) 12
9 ( )
A.2
B.3
C.6
D答.9案：
C (p )
解析：如图，涉及抛物线上的点到焦点的距离，考虑抛物线的定义，设焦点为 F ，0 ，准线为
2
p
l：x=- ，作 AH⊥l于 H，交 y轴于G，由抛物线定义，|AH|=|AF|=12，又|AG|=9，所以
2
p
|HG|=|AH|-|AG|=12-9=3，即 =3，故p=6
2
.
考向二 抛物线的标准方程
(3 )
【例 】若抛物线C的顶点在原点，焦点坐标为 ，0 ，则抛物线C的标准方程为，准线方程是
2
2
___________ 3
答案：y2=6x，x=-
2
(3 )
解析：先判断开口，并设标准方程，焦点为 ，0 ⇒开口向右，可设抛物线方程为y2=2px(p>0)，则
2
(p ) p 3 3
其焦点坐标为 ，0 ，由题意， = ，所以p=3，故C的方程为y2=6x，准线方程为x=-
2 2 2 2
.
1
变式 若抛物线y=ax2的准线方程为y=- ，则a=
8
[ 1] ___________
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】答案：
2 1
解析：先把所给方程化为标准方程，即把平方项系数化 ，并判断开口，y=ax2 ⇒x2= y，
a
1
1 1 1
由抛物线的准线方程是y=- 知抛物线开口向上，所以a>0，且2p= ，从而p= ，
8 a 2a
1 1 1 1
故抛物线的准线方程为y=- ，与y=- 比较可得- =- ，解得：a=2
4a 8 4a 8
.
变式 顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线C经过点A(2，1)，则C的方程为
[ 2] 1 ___________
答案：y2= x或x2=4 y
2
解析：抛物线过点A(2，1)，有如图所示的两种情况，下面分别考虑，
若开口向右，可设抛物线C的方程为y2=2px(p>0)，
将点A(2，1)代入可得：12=2p⋅2，
1 1
解得：p= ，所以C的方程为y2= x；
4 2
若开口向上，可设抛物线C的方程为x2=2my(m>0)，将点A(2，1)代入可得：22=2m，
解得：m=2，所以C的方程为x2=4 y；
1
综上所述，C的方程为y2= x或x2=4 y
2
.
考向三 焦半径和焦点弦
【例 】已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，点A是抛物线E的准线与坐标轴的交点，点P在抛物
|PA|
线E上3，若∠PAF=30∘，则 =___________，sin∠PFA=
|PF|
___________
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2√3 √3
答案： ，
3 3
解析：涉及|PF|，常用抛物线定义转化为P到准线的距离，如图，作PQ⊥准线于Q，因为∠PAF=30∘，
所以∠PAQ=60∘，设|PF|=m，则|PQ|=m，
|PQ| m 2√3m |PA| 2√3
所以|PA|= = = ，故 = ，
sin∠PAQ sin60∘ 3 |PF| 3
在△PAF中，PA和PF所对的角恰好分别是∠PFA和∠PAF，故可用正弦定理求sin∠PFA，
|PA| |PF|
在△PAF中，由正弦定理， = ，
sin∠PFA sin∠PAF
2√3m 1
×
所以 |PA|sin∠PAF 3 2 √3
sin∠PFA= = =
|PF| m 3
.
考向四 直线与抛物线有关计算问题
【例 】已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F(1，0)，准线与x轴交于点A，点M在第一象限且在
|MF|
抛物线4C上，则当 取得最小值时，直线AM的方程为
|MA|
___________
答案：x- y+1=0
解析：涉及|MF|，想到用定义转化为M到准线的距离，如图 ，作MN⊥准线于N，则|MF|=|MN|，所
|MF| |MN| |MF|
以 = =cos∠AMN，又MN//x轴，所以∠MAF1=∠AMN，故 =cos∠MAF，
|MA| |MA| |MA|
于是只需找cos∠MAF最小的情形，此时∠MAF最大，如图 ，当AM为抛物线切线时，∠MAF最大，
抛物线C的准线为x=-1，所以A(-1，0)，故可设图 中切线AM的方程为x=my-1，
2
2
联 立 {x=my-1消 去 整 理 得 ： ， 因 为 直 线 与 抛 物 线 相 切 ， 所 以
x y2-4my+4=0 AM
y2=4x
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得： ，因为 在第一象限，所以 ，故直线 的方程为 ，
Δ=(-4m) 2-4×1×4=0 m=±1 M m=1 AM x= y-1
即x- y+1=0
.
基础题型训练
一、单选题
1．已知抛物线 的焦点为F，准线为 ，过抛物线上一点P作 于点 ，则
（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根据点 坐标可知抛物线的准线方程以及点 ，进一步可得抛物线方程，然后求得 ，最后可
得结果.
【详解】由点 ，知准线 的方程为 ，焦点 ，
于是有抛物线的方程为 ，因为 ，所以 ，
代入抛物线方程解得 ，从而 ，
故选：A.
【点睛】本题考查抛物线的简单应用，考查抛物线的定义以及对题意的理解，属基础题.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2．设抛物线 ： 的焦点为 ，点 在 上， ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得出 是抛物线通径的一半，再由勾股定理即可解决.
【详解】由题意可知 ， ，
所以 .
因为抛物线 的通径长 ，
所以 轴，
所以
故选：D.
3．已知点 在抛物线 上，点 到抛物线 的焦点 的距离为 ，设 为坐标原
点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义性质：先求出p值，再将点M代入，求得 ，然后可以求 的面积
【详解】根据抛物线的定义： ，所以p=2;因此抛物线方程：y2=4x;
由于点M在抛物线上，所以 则 ；
三角形 的面积： ；故答案：B
【点睛】考查抛物线的定义性质，求p
4．设直线 与抛物线 交于 ， 两点，若 ( 为坐标原点)，则 的焦点坐
标为（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定
出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.
【详解】由对称性可知：点 的坐标为 或 ，代入拋物线 ，解得 ，
所以拋物线方程为： ，它的焦点坐标为 .
故选：C
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
5．设抛物线 的焦点为 ，已知点 ， ， ， 都在抛物线上，则
四点中与焦点 距离最小的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义，分别求出点M,N,P,Q到焦点F的距离即可．
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ；
则点 到焦点F的距离为 ，
点 到焦点F的距离为 ，
点 到焦点F的距离为
点 到焦点F的距离为 ；
所以点M与焦点F的距离最小.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选A
【点睛】本题考查了抛物线的定义与应用，是基础题．
6．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且
，则 （O为坐标原点）的最小值为（ ）
A．8 B． C． D．6
【答案】B
【分析】依题意得点 坐标，作点 关于 的对称点 ，则 ，求 即为最
小值．
【详解】如图所示：作点 关于 的对称点 ，连接 ，设点 ，不妨设
由题意知 ，直线l方程为 ，则 ，得
所以 ，得
由 ，当 三点共线时取等号，
又
所以 的最小值为
故选：B
【点睛】关键点点睛：作点 关于 的对称点 ，将 化为 ，利用三点共线是求得最小值的关键点．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
7．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为 ，
∴开口向上，焦点为 ，准线方程为 .
故选：AB
8．已知抛物线 的焦点在直线 上，则抛物线 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】分焦点在 轴， 轴上进行讨论，根据条件求出即可
【详解】由于焦点在直线 上，
则当焦点在y轴上时，令 ，
所以焦点坐标为： ，
设方程为 ，由焦点坐标知 ，
所以抛物线 的方程为：
当焦点在x轴上时，令 ，
所以焦点坐标为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设方程为 ，由焦点坐标知 ，
所以抛物线 的方程为： ，
故选：BC.
三、填空题
9．已知O为坐标原点，抛物线 的焦点为F，P为C上一点， 与x轴垂直，Q为x轴上一点，
若P在以线段 为直径的圆上，则该圆的方程为 .
【答案】
【分析】根据条件求出 点坐标，然后根据的圆的标准方程求解即可得答案.
【详解】解：由题意得：
抛物线 的焦点为 ， 与x轴垂直
点的横坐标为
，即
故 点的坐标为 或
又 Q为x轴上一点，且 为直径， 点在圆上
故设圆心为 ，于是有 ，即
所以圆的方程为
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．已知 为抛物线 ： 的焦点，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，与抛物线 的准线
交于点 ，若 是 的中点，则 .
【答案】
【分析】过点 ， ， 分别向准线引垂线，交准线于点 ， ， ，利用抛物线的焦半径公式即可求
解.
【详解】如图，过点 ， ， 分别向准线引垂线，交准线于点 ， ， ，
由 ，得 ， ， ，故 ，
又 ，所以 ，故 .
故答案为：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】11．若抛物线 上一点 到抛物线焦点的距离为1，则 点的横坐标是 ．
【答案】 ．
【分析】根据抛物线的焦半径公式求解．
【详解】抛物线标准方程为 ， ，即 ，
设 ，则 ， ，由 得 ．
故答案为： ．
12．已知二次函数 的图像交 轴于 两点，直线 与抛物线交于 两点，直线
与 平行，且与抛物线相切于点 ，则 ．
【答案】0
【分析】根据二次函数的性质和向量的转化以及垂直关系的向量表示即可求解.
【详解】设 ，
则 中点 ，
所以 ，
又 ，则 ，故 ，
所以 ，
又直线 与 平行，且与抛物线相切于点 ，记 ，
所以 ，
结合二次函数的性质可知， 的横坐标相同，则 连线与 轴垂直，
所以 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：0.
四、解答题
13．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点 ，求这个抛物
线的标准方程．
【答案】
【分析】根据抛物线的性质，利用待定系数法即可求解.
【详解】根据已知条件可设抛物线的标准方程为 ，
因为点 在抛物线上，所以 ，因此 ．
从而可知所求方程为 ．
14．已知抛物线 上有一点 到焦点 的距离为 ，
（1）求 及 的值．
（2）过焦点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若 ，求直线 的方程．
【答案】（1） ， ；（2） 或 ．
【分析】（1）首先表示出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出 ，从而得到抛物线方程，再代入点
的坐标求出 ；
（2）设直线 的方程为： ， ， ，联立直线与抛物线方程，消元、利用焦半径
公式得到方程，解得 ，即可求出直线方程.
【详解】解：（1）抛物线 的准线方程为 ，
由题意知 ， ，所以抛物线方程为 ，
， .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由题意知直线 的斜率存在，设为 ，则直线 的方程为： ，
代入抛物线方程 ，整理得 ，
设点 ， ， ， ，
又 ，即 ，
， ， ，
所求直线方程为： 或 ．
15．分别根据下列条件，求抛物线的焦点坐标和标准方程：
(1)抛物线的焦点到x轴的距离是2，而且焦点在y轴的正半轴上．
(2)抛物线的焦点是双曲线 的焦点之一．
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【分析】（1）确定抛物线的焦点，求得p，即可得答案；
（2）求出双曲线的焦点坐标，分2种情况确定抛物线焦点坐标，即可得答案.
【详解】（1）由已知可得焦点坐标为 ，因此抛物线的标准方程具有 的形式，且 ，
从而所求抛物线的标准方程是 ．
（2）因为双曲线 中， ，
又因为双曲线的焦点在y轴上，所以的焦点坐标为 或 ．
如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式，且 ，
此时抛物线的标准方程是 ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如果抛物线的焦点坐标为 ，则抛物线的标准方程具有 的形式，且 10，
此时抛物线的标准方程是 ．
16．已知抛物线 上横坐标为2的一点 到焦点的距离为3.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设动直线 交 于 、 两点， 为坐标原点， 直线OA，OB的斜率分别为 ，且 ，证
明：直线l经过定点，求出定点的坐标.
【答案】（1） ；（2）证明见解析，（2，0）.
【解析】（1）由抛物线的定义可得： ，即可求出 ，进而可得抛物线的方程；
（2）设直线 的方程为 ， ， 代入抛物线方程化简得 ，利用根与
系数的关系可得 ，再利用 ，列方程即可求出 ，进而可得直线 经过定点
【详解】（1）抛物线 的准线方程为： ，
由抛物线的定义可得： ，解得： ，
所以抛物线 的标准方程为：
（2）证明：设直线 的方程为 ， ，
代入抛物线方程化简得 ，
∴. ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，
解得：
∴直线 经过定点，且定点为 .
【点睛】关键点点睛：求抛物线方程的关键是利用抛物线的定义，点 到准线的距离等于它到焦点的距离
列出方程；第二问的关键是设出直线 的方程和 、 两点坐标，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理
得出 ，将 用斜率公式表示出来即可求得 ，从而判断出所过的点到.
提升题型训练
一、单选题
1．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知 ，然后分析判断即可
【详解】由题意知， 即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.
故选：D．
2．已知 ，则方程 与 在同一坐标系内的图形可能是（ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用特殊值法验证即可得到答案.
【详解】解：由题意，当 ， 时，方程 表示焦点在 轴上的椭圆 ，方程
表示开口向左的抛物线 ，故排除选项C、D；
当 ， 时，方程 表示焦点在 轴上的双曲线 ，方程 表示开口向
右的抛物线 ，故排除选项B，而选项A符合题意，
故选：A.
3．已知点P是抛物线 上的一个动点，则点P到点M(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之
和的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义转化为 ，由 三点共线时， 最小求解.
【详解】如图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由抛物线的定义得： ，
所以 ，
由图象知：当 三点共线时， 最小，
，
故选：C
4．设P为抛物线C： 上的动点， 关于P的对称点为B，记P到直线 的距离分
别 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到 ，再利用抛物线的定义结合三角不等
式求解.
【详解】解：如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，且 关于P的对称点为B，所以|PA|=|PB|，抛物线焦点 ，
所以
.
当P在线段AF上时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：A
5．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，抛
物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线
的焦点为 ，点 是抛物线 上一点，一条光线沿 射出，经过抛物线 上的点 （异于点 ）反射，
反射光线经过点 ，若 ，则抛物线 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设直线AB的方程，联立其与抛物线方程求出 ，代入抛物线方程可求出 ，再运用抛物线焦点
弦公式可得 ，解方程即可.
【详解】如图所示，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，设 ， ，直线AB的方程为 ，
，
则 ，解得： ，
将 代入 得 ，
又因为 ，
即： ，即： ，
又因为 ，
所以 ，即： ，
所以抛物线方程为 .
故选：B.
6．已知抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，过点 的直线 与抛物线 交于 ，
两点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．9
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义求得 ，进而求得抛物线方程.设出直线 的方程，并与抛物线方程联立，化简
写出根与系数关系，结合基本不等式求得 的最小值.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】因为抛物线 的焦点 到其准线的距离为2，
所以 ，抛物线 的方程为 ．设直线 的方程为 ，
将此方程代入 ，整理得 ．
设 ， ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
故选：B．
二、多选题
7．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为 上一点，且 ，直线 交 于另一点 ，
记坐标原点为 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据条件先求出抛物线的标准方程，再逐项分析求解.
【详解】依题意，抛物线C 的准线为 ，
因为 为C上一点，且 ，则 ，
解得 ，故A正确；
可得抛物线C: ，焦点为 ，
因为A为C上一点，则 4，所以 ，故B错误；
若 ，则线 的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入 ，得 ，整理得 ，解得 或 ，
因为B与A分别在x轴的两侧，可得 ；
同理：若 ，可得 ；
综上所述： 或 ，故C错误；
若 ，则 ，则 ；
同理：若 ，可得 ；
故D正确；
故选：AD.
8．已知圆 ： 直线 ： ，下列说法正确的是（ ）
A．直线 上存在点 ，过 向圆引两切线，切点为A，B，使得
B．直线 上存在点 ，过点 向圆引割线与圆交于A，B，使得
C．与圆 内切，与直线 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．与圆 外切，与直线 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
【答案】ABCD
【分析】AB选项考查直线与圆的位置关系，存在点P，故找到适合的一个点就可，CD选项因圆与圆内切，
外切，则找到圆心距与两半径之间的关系就可以得到点的轨迹.
【详解】A选项，
因为 ，则 ,又因为 为圆的两条切线，所以 ，且 ，则
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】， ，所以 ，因此存在点 在直线 上，且满足
，故A正确．
B选项，过点P作圆 的割线，交圆 与 两点，过点P作圆 的切线，切点为 ，
因为 为圆 的切线，所以 ，又 ，所以 ， 则
， ， ，所以存在点P ，使得 有
解，故B正确．
C选项，设动圆圆心设为 ，半径设为 ，因为动圆与圆 内切，且与直线 相切
则如图所示
， ，作 的平行线 与 的距离为1，则 到直线
的距离为 ，故 到定直线 与到定点Ｏ的距离相等，故Ａ点的轨迹为抛物线．
对于选项D，设动圆圆心设为 ，半径设为 ，因为动圆与圆 外切，且与直线 相切，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】如图所示：
， ，作 的平行线 与 的距离为1，则 到直线
的距离为 ，则A到定点O的距离等于到定直线 的距离．
∴A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对．
故选：ABCD
三、填空题
9．抛物线 的准线方程为 .
【答案】 /
【分析】根据抛物线的准线方程即得．
【详解】由抛物线 ，
抛物线 的准线方程为 ．
故答案为： ．
10．已知点O为坐标原点，直线 交抛物线 于A，B两点，P为y轴正半轴
上一点，且点A，P，B的纵坐标成等比数列，则P点的坐标为 .
【答案】
【分析】直线与抛物线联立，算出纵坐标之积即可获解.
【详解】设点 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 得 ，
，即 ，
∴ ，
∵点A，P，B的纵坐标成等比数列，
∴ ，
∴P的坐标为 .
故答案为：
11．设抛物线 ： 的焦点为 是 上的一点且在第一象限，以 为圆心，以 为半径的圆交
的准线于 两点，且 三点共线，则点A的横坐标为 .
【答案】6
【分析】由条件推得 ，从而可得 ，结合图形求得AD的长，由抛物线焦半径公式即可
求得答案.
【详解】由题意，A在第一象限， 三点共线 为圆 的直径，则 ,
由抛物线定义
又对于抛物线 ： ，有 则 ,
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设抛物线准线与x轴交点为E,则 ,
在 中，可得 ．
设A的横坐标为 则 即 ,
故答案为：6
12．过抛物线 焦点的直线交抛物线于 两点，若 ，则 的中点 到y轴的距离等于
．
【答案】4
【分析】过 分别作准线的垂线，垂足分别为 ，由 为直角梯形的中位线及抛物线的定义
求出 ， 到 轴的距离 为所求．
【详解】抛物线 焦点 ，准线方程为 ，
由于 的中点为 ，过 分别作准线的垂线，
垂足分别为 交纵轴于点 ，如图所示：
由抛物线的定义可知 ，
则由 为直角梯形的中位线知， ，
，故答案为4．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想，属
于中档题．与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点
的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
四、解答题
13．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 经过点 ，求抛物线C的方程；
【答案】 .
【分析】由抛物线上的点求抛物线方程.
【详解】因为抛物线 ： 经过点 ，
则 ，解得 ，
故抛物线 的方程为 .
14．已知 为抛物线 上一点，点 到直线 的距离为 .
（1）求 的最小值，并求此时点 的坐标；
（2）若点 到抛物线的准线的距离为 ，求 的最小值.
【答案】（1）当 时， ；（2） .
【分析】（1）表示点 到直线 的距离，表示为坐标的函数，求函数的最小值，以及点 的坐标，
（2）将点 到焦点的距离转化为点 到准线的距离，从而可得 的最小值就是点 到直线的距离.
【详解】（1）设 ，则 ，
当 时， ，此时 ，
∴当 时， .
（2）设抛物线的焦点为 ，则 ，且 ，
∴ ，它的最小值为点 到直线 的距离 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ .
15．（1）求经过点 的抛物线的标准方程：
（2）求一条渐近线为 ，且过点 的双曲线的标准方程；
（3）求经过点(3， )，( ，5)的双曲线的标准方程．
【答案】（1） 或 ；
（2） ;
（3） .
【分析】（1）根据点所在的象限设抛物线方程，代入点求 得解；
（2）根据渐近线方程设出双曲线方程，代入点求解；
（3） 设所求方程为 ，代入点求解.
【详解】（1）因为 在第三象限，
设所求抛物线方程为 或 ，
点 代入 ，可得 ，
点 代入 ，可得 ，、
故所求抛物线的标准方程为 或 .
（2）因为一条渐近线为 ，
所以设双曲线方程为 ，
又过点 ，代入方程可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故所求双曲线方程为 .
（3）设所求双曲线方程为 ，
则 ，解得 ，
所以双曲线方程为 .
16．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，设 ，
，则 且弦 的中点到准线的距离为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）设离心率为 且长轴为 的椭圆 的方程为 ．又椭圆 与过点 且斜
率存在的直线 相交于 ， 两点，已知 ， 为坐标原点，求直线 的方程．
【答案】（1） （2） ．
【解析】（1）由题意联立直线方程与抛物线方程，结合题意和韦达定理求得 的值即可确定曲线方程；
（2）首先确定曲线 的方程，设直线 的方程为 ，然后连线直线和椭圆方程，结合韦达定理得
到关于 的方程，解方程求得 的值即可确定直线方程．
【详解】（1）由已知得 ，设直线 的方程为 ，
，
，
又因为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
曲线 的方程为 ．
（2）由已知得 ， ， ，
曲线 的方程为 ，
设直线 的方程为 ，
则 ，
设 ， ， ， ， ，
，
因为
所以 ，
直线 的方程为 ．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抛物线方程的求解，椭圆方程的确定，直线与圆锥曲线的位置关系等
知识，关键在于联立椭圆方程，由韦达定理及三角形面积公式可得出m,求出直线方程，意在考查学生的转
化能力和计算求解能力．
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