文档内容
专题 9.4 双曲线
题型一 双曲线的定义
题型二 求双曲线的标准方程
题型三 根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围
题型四 双曲线的焦点三角形
题型五 距离和差的最值问题
题型六 双曲线的简单几何性质
题型七 双曲线的离心率
题型八 双曲线的渐近线
题型一 双曲线的定义
例1．（2021秋·高二课时练习）已知 、 是双曲线 的焦点， 是过焦点 的
弦，那么 的值是________．
【答案】16
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】由双曲线方程得， ，
由双曲线的定义得 ，①
，②
①＋②，得 ，
所以 ．
故答案为：16.
例2．（2021秋·高三课时练习）（多选）已知 ，满足条件
的动点 的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中， 可以是（ ）A． B．2 C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组 ，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点坐标 ，可得 ，
要使得满足条件 的动点 的轨迹是双曲线的一支，
则满足 ，解得 且 ，
结合选项，选项B、C符合题意.
故选：BC.
练习1．（2023·四川达州·统考二模）设 ， 是双曲线C： 的左、右焦点，过
的直线与C的右支交于P，Q两点，则 （ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由双曲线的定义知 ， ，则
，即可得出答案.
【详解】双曲线C： ，则 ， ，
由双曲线的定义知： ， ，
，
所以
.
故选：C.
练习2．（2022秋·高三课时练习）与圆 及圆 都外切的圆P的圆
心在（ ）
A．一个椭圆上 B．一个圆上
C．一条直线上 D．双曲线的一支上
【答案】D
【分析】根据题意，分别画出两个圆的图形，然后结合图形和双曲线定义即可判断.【详解】由 ，得 ，
画出圆 与 的图像如图，设圆P的半径为r，
∵圆P与圆O和圆M都外切，
∴ ， ，
则 ，
∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上.
故选：D
练习3．（2021秋·高三课时练习）已知动点 满足 ，
则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线左支
C．双曲线右支 D．一条射线
【答案】C
【分析】根据 表示动点 到点 与 的距
离之差为2，再结合双曲线的定义求解.
【详解】解：因为 的几何意义是动点 到点
与 的距离之差为2，
又因为 ，
所以由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线右支．
故选：C
练习4．（2023秋·高二课时练习）平面内到两个定点 的距离之差的绝对值等于
的点的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
【答案】B
【分析】直接分析即可得结果.
【详解】如图：设动点为 ， 到两个定点 的距离之差的绝对值为 ，
则若 在线段 （不包含两端点）上，有 ；
若 在直线 外，有 ；
若 在线段 的延长线上或线段 的反向延长线上（均包含两端点），
则有 .
故选：B
练习5．（2023·全国·高三专题练习）已知曲线C： ，点M与曲线C的焦点不重
合．已知M关于曲线C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在曲线C右支上，
则 的值为______．
【答案】12
【分析】根据已知条件，作出图形，MN的中点连接双曲线的两个焦点，便会得到三角形
的中位线，根据中位线的性质及双曲线的定义，即可求得 .
【详解】设双曲线 的实半轴长为 ，则 ，
设双曲线 的左右焦点分别为 ，
设 的中点为 ，连接 .
∵ 是 的中点， 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ .
同理 ，
∴ ，
∵P在双曲线上，根据双曲线的定义知： ，∴ .
故答案为：12.
题型二 求双曲线的标准方程
例3．（2023·全国·高三专题练习）2023年3月27日，贵州省首届“美丽乡村”篮球联赛
总决赛火爆开赛，被网友称为“村BA”.从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对
称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和
双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设双曲线方程为 ，由 ，可得 ，再代入点 ，
求解即可.
【详解】解：依题意，设双曲线方程为 ，
因为 ，则 ，
显然圆O的半径为3，
又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，
双曲线与圆O交于第一象限内的点为 ，
于是 ，解得 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：A
例4．（2023秋·高三课时练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)以椭圆 短轴的两个端点为焦点，且过点 ；
(2)经过点 和 ．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意首先确定其焦点坐标为 ，设出标准方程将 带入
即可求得结果；
（2）设双曲线方程的一般形式为 ，将 两点代入解方程即可求得
其标准方程为 .
【详解】（1）易知椭圆 短轴的两个端点坐标为 ；
所以双曲线焦点在 轴上，
可设双曲线的标准方程为 ，且 ，
点 在双曲线上，即 ，解得 ；
所以双曲线的标准方程为 .
（2）设双曲线方程为 ，
将 两点代入可得 ，解得 ；
所以双曲线的标准方程为 .
练习6．（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）若双曲线C：
其中一条渐近线的斜率为2，且点 在C上，则C的标准方程
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线一条渐近线的斜率可得 ，将点 的坐标代入方程
，即可求得答案.【详解】由题意可得 ，所以 ，
把点 的坐标代入方程 ，得 ，
所以 ，
则C的标准方程为 ，
故选：A
练习7．（2023秋·高三课时练习）已知双曲线过点 ，且与椭圆 有公共
焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得 ， ，得到 ，进而求得双曲线的标准方程.
【详解】由椭圆 ，可化为标准方程 ，可得 ，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以 ，
又因为双曲线过点 ，可得 ，则 ，
所以双曲线的标准方程为 .
故选：B.
练习8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线 满足下列条件中
的两个：①实轴长为4；②焦距为6；③离心率 ，则双曲线 的方程为___________.
（写出一个正确答案即可）
【答案】 （或 或 ）
【分析】根据所选择的两个条件，得到 ，即可求双曲线方程.
【详解】若选①②，因为实轴长为4，所以 ，又焦距为6，所以 ，则
，故此时双曲线 的方程为 ；
若选①③，因为 ，得 ，又实轴长为4，得 ，所以 ，则，故此时双曲线 的方程为 ；
若选②③，因为 ，又焦距为6，所以 ，所以 ，故
此时双曲线 的方程为 .
故答案为： （或 或 ）
练习9．（2023·全国·高三对口高考）离心率为 且过点 的双曲线方程为______.
【答案】 或
【分析】考虑双曲线焦点在 轴和在 轴上两种情况，根据离心率得到 ，再将点
的坐标代入方程得到答案.
【详解】当双曲线的焦点在x轴上时，设方程为 .
则 ，所以 ，所以 ，即 ，
将 代入 得 ，解得 ，
所以所求双曲线的标准方程为 .
当双曲线焦点在y轴上时，设方程为 .
则 ，所以 ，所以 ，即 ，
将 代入 得 ，解得 ，
所以所求双曲线的标准方程为 即 .
综上，所求双曲线方程为 或 .故答案为： 或 .
练习10．（2023·高三课时练习）动圆 过点 ，且与圆 外切，
则动圆圆心 的轨迹方程是______．
【答案】
【分析】由题知 ，进而根据双曲线的定义求解即可.
【详解】解：设动圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为动圆 过点 ，且与圆 外切，
所以， ， ，
所以 ，
所以，由双曲线的定义得 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支，
因为实轴长为 ，焦点为 ，
所以，动圆圆心 的轨迹方程是 ，即
故答案为：
题型三 根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围
例5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知曲线 ，
则下列说法正确的是（ ）
A．若曲线 表示两条平行线，则
B．若曲线 表示双曲线，则
C．若 ，则曲线 表示椭圆
D．若 ，则曲线 表示焦点在 轴的椭圆
【答案】BD
【分析】根据曲线的形状求出参数 的取值范围，逐项判断可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若曲线 表示两条平行线，则有 或 ，且 .
若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，若 ，则 ，此时曲线 的方程为 ，可得 或 ，合乎题意，
故A错；
对于B选项，若曲线 表示双曲线，则 ，
由于 且 ，则 ，可得 ，则 ，B对；
对于C选项，若曲线 表示椭圆，则 ，解得 且 ，C错；
对于D选项，若 ，则 ，则 ，
曲线 的方程可化为 ，
此时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，D对.
故选：BD.
例6．（2023春·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）已知
表示焦点在 轴上的双曲线有 个， 表
示焦点在 轴上的椭圆有 个，则 的值为（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
【答案】D
【分析】根据方程表示双曲线或椭圆的类型，确定参数 的取值，确定m和n的值，即
可得答案.
【详解】由题意 表示焦点在 轴上的双曲线，则 ，
故b的取值可取 ，a可取 ，故 ，
表示焦点在 轴上的椭圆，则 ，
则 可取 ，
即 ，故 ，
故选：D
练习11．（2023秋·北京平谷·高二统考期末）“ ”是“方程 表示双曲线”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意求出方程表示双曲线的条件，即可判断出结论.
【详解】若 时，方程 不表示双曲线；
若 时，方程 为双曲线，则 ，
∴ 是方程 表示双曲线的充分必要条件，
故选： .
练习12．（2023春·安徽·高三合肥市第八中学校联考开学考试）（多选）对于曲线C：
，则下列说法正确的有（ ）
A．曲线C可能为圆 B．曲线C不可能为焦点在y轴上的双曲线
C．若 ，则曲线C为椭圆 D．若 ，则曲线C为双曲线
【答案】BCD
【分析】根据 无解判断 ；令 ，解之无解判断 ；根据 和
曲线方程可判断 ；根据曲线为双曲线的条件即可判断 .
【详解】当曲线C为圆时，则 ，无解，故 错误；
当曲线C为焦点在y轴上的双曲线时，则 ，无解，故 正确；
若 ，则 ， ，此时曲线C是椭圆，故 正确；
若曲线C为双曲线，则 ，解得 ，故 正确．
故选 ．
练习13．（2023秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）若方程
所表示的曲线为C，则下面四个选项中错误的是（ ）
A．若C是圆，则 B．若C为椭圆，则
C．若C为双曲线，则 或 D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则
【答案】BD
【分析】利用圆、椭圆与双曲线的标准方程的特征，逐一分析选项得到关于 的方程或不等式，解之即可判断.
【详解】对于A，因为方程 表示圆，
所以 ，解得 ，故A正确；
对于B，因为方程 表示椭圆，
所以 ，解得 且 ，故B错误；
对于C，因为方程 表示双曲线，
所以 ，解得 或 ，故C正确；
对于D，因为方程 表示长轴在y轴上的椭圆，
所以 ，解得 ，故D错误.
故选：BD
练习14．（2023·高三课时练习）若 ，则方程 表示的曲
线只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】确定 或者 ，根据椭圆或者双曲线确定 的正负，
再判断直线是否满足得到答案.
【详解】 ，则 或 ，
即 ，对选项A：根据椭圆得到 ， ，直线与 轴的交点在 轴上方，不满足；
对选项B：根据椭圆得到 ， ，直线斜率为正，不满足；
对选项C：根据双曲线得到 ， ，直线斜率为负且与 轴的交点在 轴上方，满足；
对选项D：根据双曲线得到 ， ，直线斜率为正，不满足.
故选：C
练习15．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期末）（多选）当 变化时，
所表示的曲线形状，下列说法不正确的是（ ）
A．当 时，方程表示椭圆
B． 或 是方程表示双曲线的充要条件
C．该方程不可能表示圆
D． 是方程表示直线的充分不必要条件
【答案】ACD
【分析】分别列出方程 表示椭圆，圆，双曲线，直线的条件，推出 m的范
围与取值，判断选项的正误即可.
【详解】若该方程表示椭圆，则 ， ，故A错误；
若该方程表示是双曲线，则 ， 或 ，故B正确；
若该方程表示是圆，则 ， ，即当 时，此方程表示圆，故C错误；
若该方程不能表示是直线，故D错误.
故选：ACD.
题型四 双曲线的焦点三角形
例7．（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设P是双曲线 右支上的一个动
点， 、 为左、右两个焦点，在 中，令 ， ，则
的值为_________．
【答案】
【分析】三角形的内角角平分线的交点为内切圆的圆心，根据双曲线的定义，结合三角形
的内切圆的切线长的性质可得内切圆的其中一个切点必与双曲线的右顶点重合，最后再根
据三角函数的定义表示出 即可求解．【详解】由双曲线的方程 ，可得 ， ，
设 的内切圆 在 ， ， 上的切点分别为 ， ， ，设切点 的坐标为
，
因为
，
即 ，切点 与双曲线的右顶点重合，
， ，
根据题意可得 ， ，则两角的角平分线的交点一定为 的内心．
如图所示，因此 ， ，
所以 ．
故答案为： .
例8．（2021秋·高三课时练习）已知点F，F 分别是双曲线 =1的左、右焦点，
1 2
若点P是双曲线左支上的点，且 ，则 的面积为____.
【答案】16 △
【分析】由双曲线的定义可知 ， ，再在△ 中利用由余弦定
理可求出 ，从而求出△ 的面积．
【详解】 双曲线 ，所以 ， ，所以 ， ，是双曲线左支上的点， ， ，
在△ 中，由余弦定理得
，
，
△ 的面积为 .
故答案为： .
练习16．（2022秋·高三课时练习）已知点 分别是双曲线 的下、上焦点，
若点 是双曲线下支上的点，且 ，则 的面积为________.
【答案】16
【分析】由双曲线定义可得 ，然后平方可得 的值，然后由余弦定
理可得∠FPF=90°，然后可得答案.
1 2
【详解】因为 是双曲线下支上的点，所以 ，两边平方得：
|PF |2+|PF |2-2|PF |·|PF |=36，所以|PF |2+|PF |2=36+2|PF |·|PF |=36+2×32=100.
1 2 1 2 1 2 1 2
在△FPF 中，由余弦定理，得cos ∠FPF= =0，
1 2 1 2
所以∠FPF=90°，所以 |PF |·|PF |= ×32=16
1 2 1 2
故答案为：
练习17．（2023春·湖南·高三浏阳一中校联考阶段练习）已知离心率为2的双曲线
的左、右焦点分别为 、 ，过点 作直线与双曲线交于第一象限内的点P，若 的内切圆半径为b，则直线 的倾斜角为__________．
【答案】
【分析】利用离心率为2及 ，找出 间的关系，再由切线长定理和双曲线的
定义可得到，圆与 轴的切点为双曲线的右顶点，从而建立直线 的倾斜角 与 间
的关系，得到结果.
【详解】∵双曲线 的离心率为2，又 ∴ ， ，
如图，设 的内切圆圆心为I，三角形三边与圆分别相切于 ，由切线长定理
和双曲线的定义可得到， ，
不妨设 ，则 ，得到 ，所以A为双曲线的右顶点，
所以 轴，
设直线 的倾斜角为 ，又内切圆半径为 ，在 中，因为
则 ，将 ， 代入，解得 ，
故答案为： .
练习18．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线
的左、右焦点分别是 ， ，过点 的直线与双曲线的右支交于点
， ，连接 交双曲线的左支于点 ，若 ， ， ，则 的
面积是______．
【答案】10
【分析】利用双曲线的定义表示 ， ，设 ，表示 ，由勾股定理可
得 的关系，再由余弦定义求 ，结合余弦定理列方程求 ，由此可求
的面积.
【详解】连接 ，由 ， ，得 ， ．设 ，则 ， ．
由 得 ，
即 ，
得 ．
在 中， ．
在 中，由余弦定理，得 ，
所以 ，得 ，
所以 ， ，即 ，
故 的面积为 ．
故答案为：10.
练习19．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 ，双曲线
的左､右焦点分别为 、 ，点 在双曲线的右支上，且直线 的斜率为 .
若 ，则 __________.
【答案】
【分析】依题意求出 ，由直线 的斜率为 求出 ，设 ， ，
再由双曲线的定义，余弦定理及正弦定理计算可得.【详解】双曲线 ，即 ，所以 ，所以 ，
又直线 的斜率为 ，即 ，所以 ，
显然 为锐角，所以 ， ，
设 ， ，
则 ，
另一方面，在 中，由正弦定理 ，
即 ，解得 ，
代入上述方程组，解得 ， （负值舍去）.
故答案为：
练习20．（2023·全国·高三对口高考）设 ， 分别是双曲线 的左、右焦点．
若点P在双曲线上，且 ，则 _________， _________；
【答案】
【分析】由 得 为直角三角形，由 可求出 ；
根据双曲线的定义以及勾股定理可求出 .【详解】因为 ，所以 ，则 为直角三角形，
所以 ( 为原点)，
又 ， ，所以 ， ，
所以 .
不妨设点 在双曲线的右支上，则 ，①
又 ，②
联立①②解得 ， ，
所以 .
故答案为： ； .
题型五 距离和差的最值问题
例9．（2021秋·高二课时练习）设P是双曲线 的右支上的动点，F为双曲线的
右焦点，已知 ， ，则|PA|＋|PF|的最小值为________；|PB|＋|PF|的最小值为
________．
【答案】 /
【分析】求距离之和的最小值由双曲线的定义转化为两点之间线段最短求解即可.
【详解】如图：
设双曲线的另一焦点为 ，则有 ， ，连接 ，易知点 在双曲线内，
点B在双曲线外，则 ；
.
故答案为： ； .
例10．（2023春·四川内江·高三威远中学校校考期中）已知F是双曲线C： 的右焦点，P是C的左支上一点， ，则 的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义得 ，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即
可求出最值.
【详解】由双曲线方程 可知， ， ，故右焦点 ，左焦点 ，
当点 在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知 ，所以 ，
从而 ，又 为定值，
所以 ，此时点 在线段 与双曲线的交点处（三点共线距离最短），
故选：B.
练习21．（2022·青海西宁·统考二模）设双曲线 的左焦点为 ，点 为双曲线右
支上的一点，且 与圆 相切于点 ， 为线段 的中点， 为坐标原点，则
（ ）
A．- B．-1 C．- D．-2
【答案】B
【分析】依题意作出曲线图形，点P在双曲线右支上，由双曲线定义，即可得解.
【详解】由题意可知：双曲线 焦点在x轴上，a=3，b=4，c=5，
设双曲线的右焦点F（5，0），左焦点F（﹣5，0），
2
由OM为△PFF 中位线，则丨OM丨= 丨PF 丨，
1 2
由PF与圆x2+y2=9相切于点N，则△ONF为直角三角形，
∴丨NF丨2=丨OF丨2﹣丨ON丨2=25﹣9=16，
则丨NF丨=4，∴丨MN丨=丨MF丨﹣丨NF丨=丨MF丨﹣4，
由丨MF丨= 丨PF丨，
∴|MN|﹣|MO|= 丨PF丨﹣4﹣ 丨PF 丨= （丨PF丨﹣丨PF 丨）﹣4= ×2a﹣4=-1，
2 2
∴|MN|﹣|MO|=-1，
故选：B．练习22．（2022秋·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期末）已知 ，
，动点 满足 ， ，则 周长的最小值为______，此时
点 的坐标为______.
【答案】 10
【分析】由题意得动点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，求出轨迹
方程，根据双曲线定义及三点共线求得 周长的最小值，将直线 的方程代入双曲线
方程可求得 的坐标．
【详解】由题意得动点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
则 ，动点 的轨迹方程为 ，
∵ ，
∴ 的周长最小时， 最小， ，
又 ，当且仅当 ， ， 三点共线且 在线段 上时，等号成立，
∴ 的周长为 ，
直线 的方程为 ，将其代入到 ，化简得： ， ，
则 ， 的坐标为 .
故答案为：10， .
练习23．（2022秋·河北邢台·高三统考阶段练习）如下图， 地在 地的正东方向 处，
地在 地的北偏东 方向 处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点到 的距离比到 的距离远 ，则曲线 的轨迹方程（以 中点为原点）是___________；现要在
曲线 上选一处 建一座码头，向 两地转运货物，那么这两条公路 的路程
之和最短是___________ .
【答案】
【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线 的轨迹为双曲线的右支，
从而求得其轨迹方程；结合图像得到 ，由此得解.
【详解】以 所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立直角坐标系，如图，
.
由题意得 ，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，
故 ，
所以曲线 的轨迹方程为 ；
因为 ，
所以 ，
当且仅当 共线时，等号成立，
所以这两条公路 的路程之和最短为 .
故答案为： .
练习24．（2023·山东泰安·统考二模）已知双曲线 ，其一条渐近线方程为 ，右顶点为A，左，右焦点分别为 ， ，点P在其右支上，点
，三角形 的面积为 ，则当 取得最大值时点P的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形 的面积结合渐近线方程可得 的值，再根据双曲线的定义转
换可得当且仅当 共线且 在 中间时 取得最大值，进而联立直线
与双曲线的方程求解即可.
【详解】设 ，则由三角形 的面积为 可得 ，
即 ，又双曲线一条渐近线方程为 ，故 ，即 ，故
，故 ，解得 ，故 ，双曲线
.
又由双曲线的定义可得 ，当且仅当 共线且
在 中间时取得等号.
此时直线 的方程为 ，即 ，联立 可得
，解得 ，由题意可得 在 中间可得 ，代入
可得 ，故 .
故选：B练习25．（2023·全国·高三专题练习）过双曲线 的左焦点F作圆
的一条切线（切点为T），交双曲线右支点于P，点M为线段FP的
中点，连接MO，则 的最大值为______．
【答案】
【分析】如图所示，连接 ,连接 ，求得 ，由 ，得
到 ，设 ，得到 ，结合函数的单调性，即
可求解.
【详解】如图所示，连接 ,设双曲线的右焦点为 ，连接 ，则
，
由 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ， ．
可得函数 在 上单调递减，所以 ，即 ，
故 的最大值为 ．
故答案为： ．
题型六 双曲线的简单几何性质
例11．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）已知 ，则双曲线
与 的（ ）
A．实轴长相等 B．虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率相等
【答案】D【分析】由双曲线方程求得 对应的 ，进而判断选项是否正确.
【详解】因为双曲线 与 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以选项A，B错误；
因为 ，
所以 ，所以选项C错误；
因为 ，所以选项D正确.
故选：D.
例12．（2023·四川凉山·三模）已知以直线 为渐近线的双曲线，经过直线
与直线 的交点，则双曲线的实轴长为（ ）．
A．6 B． C． D．8
【答案】C
【分析】由题意可得双曲线过点 ，分类讨论，分别求解当双曲线的焦点在x轴、y轴
时的标准方程，结合离心率的定义和实轴的概念计算，即可求解.
【详解】由 ，解得 ，则双曲线过点 .
若双曲线的焦点在x轴，设为 ，
由双曲线的渐近线方程为 ，得 ，即 ，
将 代入方程 ，得 ，
有 ，无解，不符合题意；
若双曲线的焦点在y轴，设为 ，
由双曲线的渐近线方程为 ，得 ，即 ，
将 代入方程 ，得 ，有 ，解得 ，
所以双曲线的实轴长为 .
故选：C.
练习26．（2023·湖南·校联考模拟预测）过双曲线 的左焦点作直线 交双曲线于
A，B两点，若实数 使得 的直线 恰有3条，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于
轴对称，即可得到答案.
【详解】左支内最短的焦点弦 ，又 ，
所以与左、右两支相交的焦点弦长 ，
因为实数 使得 的直线 恰有3条，
根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于 轴对称.
如图所示：
所以当 时，有3条直线满足题意.
故选：C
练习27．（2022秋·内蒙古包头·高三统考期末）若实数m满足 ，则曲线
与曲线 的（ ）
A．离心率相等 B．焦距相等 C．实轴长相等 D．虚轴长相等
【答案】B
【分析】根据双曲线的性质逐一分析判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，所以曲线 与曲线 都是焦点在 轴上的双曲线，
，
所以两曲线的焦点和焦距都相同，故B正确；
因为 ，所以离心率不相等，故A错误；
因为 ，所以实轴长不相等，故C错误；
因为 ，所以虚轴长不相等，故D错误.
故选：B.
练习28．（2023·河南安阳·统考三模）以双曲线 的右焦点 为圆心
作圆，与 的一条渐近线相切于点 ，则 的焦距为（ ）
A．4 B． C．6 D．8
【答案】C
【分析】由渐近线方程得出 ， ，以及 ，联立即可求得答案.
【详解】由题意， ，不妨设双曲线的渐近线方程为 ，
则 .又 ，且 ，
联立解得， ，即 .
故选：C
练习29．（2022·全国·高三假期作业）已知点P是双曲线C： 上的动点， ，
分别是双曲线C的左、右焦点，O为坐标原点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设P(x,y)是双曲线C右支上的一点，则有 ， ，所以
= ，再根据 ，即可求得范围.【详解】解：如图所示：
设P(x,y)是双曲线C右支上的一点，
由焦半径公式可得
，
所以 ，
同理可得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以原式
又因为 ，
所以 ,
所以 ,
所以 .
故选：B.
练习30．（2023·江苏南京·统考二模）（多选）若实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】根据不等式性质得到AB正确，取特殊值排除CD，得到答案.【详解】对选项A： ，故 ，正确；
对选项B： ，正确；
对选项C：取 ，满足 ，此时 不成立，错误；
对选项D：取 ，满足 ，此时 ，错误.
故选：AB
题型七 双曲线的离心率
例13．（2022秋·高三课时练习）已知A，B是双曲线 的两个顶点，
P为双曲线上(除顶点外)一点，若直线PA，PB的斜率乘积为 ，则双曲线的离心率
e=_____.
【答案】
【分析】可设 ，根据直线PA，PB的斜率乘积为 ，结合点P是
双曲线上的点，构造 的齐次式，即可得解.
【详解】由题意，可设 ，
则 ，
因为点P是双曲线上的点，可得 =1，化简整理得 ，
所以 ，
因为直线PA，PB的斜率乘积为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
例14．（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）已知双曲线 的
左､右焦点分别为 ，圆 ，过点 作圆 的切线交双曲线的右支于点 ，点 为 的中点，且 ，则双曲线 的离心率是___________.
【答案】
【分析】作出图象，由 ，求得 ，得到 ，根据双
曲线的定义，得到 ，结合 及离心率的定义，转化为 ，即
可求解.
【详解】因为点 为 的中点，且 ，可得 ，
设直线 与圆 相切于点 ，则 且 ，
如图所示， ，可得 ，且 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
由双曲线的定义，可得 ，即 ，
所以 ，可得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
所以双曲线的离心率为 .
故答案为： .
练习31．（2023·北京·北京二中校考模拟预测）已知双曲线 的渐近线与
圆 相切，则 ______；双曲线的离心率为______.
【答案】 / /
【分析】写出双曲线的渐近线方程，根据直线与圆相切求出 的值，可得出 、 、 的
值，进而可求得双曲线的离心率的值.【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
圆的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
因为双曲线 的渐近线与圆 相切，
则 ，解得 ，
所以， ， ，则 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
故答案为： ； .
练习32．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）双曲线 （ ，
）的焦距为 ，已知点 ， ，点 到直线 的距离为 ，点
到直线 的距离为 ，且 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先表示出直线 的方程，利用距离公式表示出 ， ，依题意可得 ，
再根据 、 、 的关系得到关于 的不等式，解得即可.
【详解】依题意直线 ： ，即 ，又 ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
即 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 .
故选：B练习33．（2023·四川成都·校考模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点
分别为 ，点 是 的一条渐近线上的两点，且 （ 为坐标原点），
．若 为 的左顶点，且 ，则双曲线 的离心率为_____
【答案】
【分析】根据 ，可得 关于原点对称，从而可得四边形 为平行四边
形，再根据 ，可得四边形 为矩形，再求出 的坐标，求出
，再利用余弦定理构造齐次式即可得解.
【详解】设双曲线的焦距为 ，因为 ，所以 ，所以 关于
原点对称，又 ，所以四边形 为平行四边形，
又 ，所以四边形 为矩形，因为以 为直径的圆的方程为 ，
不妨设 所在的渐近线方程为 ，则 ，
由 ，解得 或 ，不妨设 ，
因为 为双曲线的左顶点，所以 ，
所以 ，
又 ，由余弦定理得 ，
即 ，整理得 ，
所以离心率 ．
故答案为： ．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得 、 的值或不等式，根据离心率的定义求解离心率 的值或取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于 、 的齐次方程或不等式，然后转化为关于 的方
程或不等式求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.
练习34．（2023秋·高三课时练习）过双曲线的一个焦点F 作垂直于实轴的弦PQ，点F
2 1
是另一个焦点，若 ，则双曲线的离心率等于________.
【答案】 /
【分析】由对称性可得 为等腰直角三角形，结合双曲线定义可得 的关系，由此
可求离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为 ，则 ，
不妨设F、F 分别是双曲线的左、右焦点，
1 2
因为 ，由对称性可得 ，又 ，
所以 为等腰直角三角形， 为其斜边，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率 ，
故答案为： .
练习35．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知 分别为双曲线
的左、右焦点，过 的直线与双曲线左支交于 两点，且
，以 为圆心， 为半径的圆经过点 ，则 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设 ，利用双曲线定义表示出 的长，再利用勾股定理可得
，在 和 中，分别利用余弦定理可得 ，联立两
式即可得离心率 .【详解】如下图所示，连接 ，易知以 为圆心， 为半径的圆经过点 ，
即 为圆 的直径，所以 ；
不妨设 ，则 ，
由双曲线定义可得
所以 ，即 ，整理得
在 中可得， ；
在 中可得， ；
又易知 ，可得
联立 可得， ，
则双曲线的离心率为
故选：B
题型八 双曲线的渐近线
例15．（2023·河北·模拟预测）已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，
， 的一条渐近线过点 ，点 在 上，且 ，则 ______.
【答案】11
【分析】将双曲线 化为标准方程，求出该双曲线的渐近线方程，再利用已知条件求出
的值，最后利用双曲线的定义求出 即可.
【详解】由 得双曲线的标准方程为：
，所以 ，
所以双曲线的渐近线方程为：
，
又 的一条渐近线过点 ，
所以 ，
因为点 在 上， ， 为双曲线的上、下焦点，
所以 ，
由 ，所以 ，
所以 或 （舍去），
故答案为：11.
例16．（2023·全国·高三对口高考）与 有相同渐近线，焦距 ，则双曲线标
准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线及渐近线方程的定义求解即可.
【详解】（1）若焦点在 轴上，设所求双曲线方程为 ，
因为 与双曲线 有相同渐近线，
所以 ，设该双曲线的焦距为 ，
又因为焦距 ，所以 ，所以 ，
联立 ，解得 ，则双曲线方程为 ；
（2）若焦点在 轴上，设所求双曲线方程为 ，
因为 与双曲线 有相同渐近线，所以 ，设该双曲线的焦距为 ，
又因为焦距 ，所以 ，所以 ，
联立 ，解得 ，则双曲线方程为 ，
所以双曲线的标准方程为： 或 .
综上，双曲线标准方程为 .
故选：D
练习36．（2021秋·高三课时练习）设P是双曲线 右支上任一点，过点P分别作
两条渐近线的垂线，垂足分别为E、F，则 的值为________．
【答案】
【分析】求出渐近线方程，设出 ，利用点到直线距离公式得到
.
【详解】渐近线方程为 ，设 ，则 ，所以 ．
由点到直线的距离公式有 ， ，
∴ .
故答案为：
练习37．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为 ， ，点M，N在双曲线C上， .
若 为等边三角形，且 ，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】利用双曲线的对称性得出 ，结合余弦定理，得出 ，进而得出
答案.
【详解】由双曲线的对称性可知，
点M，N在双曲线C的右支上，且 ；
又 ，故 .
连接 ，则 ，故 ，
在 中，
由余弦定理可得 ，
即 ，
整理得 ，解得 ，故 ，
故双曲线C的渐近线方程为 .
故选：D
练习38．（2023·北京海淀·高三专题练习）与双曲线 渐近线相同，且一个焦点坐
标是 的双曲线的标准方程是__________．
【答案】
【分析】设所求双曲线的方程为 ，由题意有 且 ，解出 即
可.
【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
由焦点坐标是 ，可设所求双曲线的方程为 ，得 ，
双曲线渐近线的方程为 ，由题意有 ，
解得 ， ，
所以双曲线的方程为 .故答案为： .
练习39．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为 ， ，点P为第一象限内一点，且点P在双曲
线C的一条渐近线上， ，且 ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知 ，再由直角三角形中线的性质可得 ，
利用二倍角正切公式计算即可.
【详解】如图，
设双曲线C的焦距为2c，由 可得 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选：A．
练习40．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知双曲线 的左右焦点分
别为 ，过 作渐近线的垂线交双曲线的左支于点 ，已知 ，则双曲线的渐
近线方程为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，结合双曲线的定义、余弦定理求出a，b的关系即可作答.
【详解】依题意， ， ，则 ，令双曲线半焦距为c，
双曲线 的渐近线方程为 ，则点 到渐近线的距离
，有 ，
在 中，由余弦定理 ，
得 ，整理得 ，即 ，解得
，
所以双曲线的渐近线方程为 .
故答案为：
